Nguyễn Hồng Điệp Tích phân và ứng dụng 𝑧 = 0.8 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑢𝑣 𝐹 16 tháng 01, 2014 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 nd −L A T E X−2014 01 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Copyright c ○ 2014 by Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Lời nói đầu Đôi khi người ta tung đồng xu không phải để xem mặt sấp hay ngửa, cái quan trọng là biết ta đang đợi mặt nào. Các em học sinh cuối cấp đang đứng trước bước ngoặt cuộc đời. Chúc các em có kết quả thi tốt nhất và chọn đúng ngành mình yêu thích. Những năm gần đây 1, 0 điểm phần Tích phân trong đề thi tuyển sinh không còn là vấn đề quá khó khăn. Hy vọng tài liệu nhỏ này có thể có ích cho một ai đó. Tài liệu này cũng không có gì quá đặc biệt, chỉ là tổng hợp lại các kiến thức từ nhiều nguồn khác nhau. Tất cả các hình vẽ đều thực hiện bằng L A T E X để được mịn màng trong từng đường nét. Đây là sản phẩm mang tính cá nhân nên bất kì sự sai sót nào đều là do người soạn. Bản thân người soạn cũng cảm thấy đôi chổ chưa hoàn chỉnh nhưng do kinh nghiệm chưa nhiều nên mong sự đóng góp của mọi người qua địa chỉ hongdiep2205@gmail.com. Thị trấn Vĩnh Bình, Lễ hội Kỳ Yên năm Quý Tỵ — Nguyễn Hồng Điệp. www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Mục lục 1 Tích phân 7 1.1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng . . . . . . . . . 7 1.1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . . . . . . . . 12 1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . . 20 1.4.3 Dạng phân thức 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.4 Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.5 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . 37 1.6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 43 1.7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . 47 5 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Mục lục Mục lục 1.7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác 58 1.7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.8 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . 67 1.8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.9 Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.9.1 Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . 79 1.9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . 88 1.10 Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . 95 1.10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1.10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.10.3 Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . 103 1.11 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2 Ứng dụng của Tích phân 111 2.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.1.1 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.2.1 Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . . . . . . . 116 2.2.2 Hình phẳng quay quanh Oy - Nâng cao . . . . . . 118 3 Bài tập tổng hợp 121 3.1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2013 . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6 c ○ Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Chương 1 Tích phân 1.1 Các công thức 1.1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng  0𝑑𝑥 = 𝐶  𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶  𝑥 𝛼 𝑑𝑥 = 𝑥 𝛼+1 𝛼+1 + 𝐶  (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝛼 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑥 𝛼+1 𝛼+1 + 𝐶  1 𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶  1 𝑎𝑥+𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎 ln |𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝐶  𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶  𝑒 𝑎𝑥+𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑒 𝑎𝑥+𝑏 + 𝐶  𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 + 𝐶  𝑢 ′ 𝑎 𝑢 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑢 𝑙𝑛𝑎 + 𝑐  cos 𝑥𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶  cos(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 1 𝑎 sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶  sin 𝑥𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶  sin(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = − 1 𝑎 cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶)  1 cos 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶  1 cos 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = tan(𝑎𝑥) + 𝐶  1 sin 2 𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶  1 sin 2 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = −cot(𝑎𝑥) + 𝐶 7 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 1.1. Các công thức Chương 1. Tích phân 1.1.2 Tích phân xác định 1.2.1 Định nghĩa Cho 𝑦 = 𝑓(𝑥) là một hàm số liên tục trên [𝑎, 𝑏] và 𝑦 = 𝐹 (𝑥) là một nguyên hàm của nó. Tích phân xác định từ 𝑎 đến 𝑏 được định nghĩa và kí hiệu như sau: 𝑏  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎) 1.2.2 Tính chất ∙ 0  0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 ∙ 𝑏  𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 𝑏  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑏  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − 𝑎  𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑏  𝑎 [𝑓(𝑥) ±𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝑏  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑏  𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∙ 𝑏  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏  𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∙ Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 0 trên [𝑎; 𝑏] thì 𝑏  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0 8 c ○ Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân ∙ Nếu 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) trên [𝑎; 𝑏] thì 𝑏  𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 𝑏  𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 1.2 Phương pháp phân tích Ví dụ 1.2.1. Tính các tích phân sau: (a) 𝐼 1 = 2  1 𝑥 2 − 2𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥 (b) 𝐼 2 = 3  1 (𝑥 2 − 1) 2 𝑥 𝑑𝑥 (c) 𝐼 3 = 1  0 𝑒 𝑥 + 1 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 (d) 𝐼 4 = 1  0  √ 𝑒 𝑥 − 1  2 𝑑𝑥 (e) 𝐼 5 = 2  0 6𝑥 − 3 𝑥 2 − 𝑥 + 5 𝑑𝑥 Giải (a) Ta có: 𝐼 1 = 2  1  1 𝑥 − 2 𝑥 2  𝑑𝑥 =  ln |𝑥| + 2 𝑥      2 1 = ln 2 − 1. (b) Ta có: 𝐼 2 = 3  1 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1 𝑥 𝑑𝑥 = 3  1  𝑥 3 + 2𝑥 + 1 𝑥  𝑑𝑥 =  1 4 𝑥 4 + 𝑥 2 + ln |𝑥|      3 1 = 28 + ln 3. (c) Ta có: 𝐼 3 = 1  0  1 𝑒 𝑥 + 1 𝑒 2𝑥  𝑑𝑥 = 1  0  𝑒 −𝑥 + 𝑒 −2𝑥  𝑑𝑥 =  −𝑒 −𝑥 − 1 2 𝑒 −2𝑥      1 0 = 3 2 − 1 𝑒 − 1 2𝑒 2 . c ○ Nguyễn Hồng Điệp 9 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 1.2. Phương pháp phân tích Chương 1. Tích phân (d) Ta có: 𝐼 4 = 1  0  𝑒 𝑥 − 2 √ 𝑒 𝑥 + 1  𝑑𝑥 = 1  0  𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 2 + 1  𝑑𝑥 =  𝑒 𝑥 − 4𝑒 𝑥 2 + 𝑥    1 0 = 𝑒 − 4 √ 𝑒 + 4. (e) Ta có: 𝐼 5 = 3 2  0 2𝑥 − 1 𝑥 2 − 𝑥 + 5 𝑑𝑥 = 3  ln |𝑥 2 − 𝑥 + 5|    2 0 (dạng  𝑢 ′ 𝑢 𝑑𝑥) = 3 ln 7 5 Ví dụ 1.2.2. Tính các tích phân sau: (a) 𝐼 1 = 1  0 𝑥(1 − 𝑥) 2004 𝑑𝑥 (b)𝐼 2 = 1  0 1 √ 𝑥 − 2 − √ 𝑥 − 3 𝑑𝑥 Giải (a) Ta có: 𝐼 1 = 1  0 [(𝑥 − 1) + 1](𝑥 −1) 2004 𝑑𝑥 = 1  0 [(𝑥 − 1) 2005 + (𝑥 − 1) 2004 ] 𝑑𝑥 = 1  0 (𝑥 − 1) 2005 𝑑𝑥 + 1  0 (𝑥 − 1) 2004 𝑑𝑥 =  (𝑥 − 1) 2006 2006 − (𝑥 − 1) 2005 2005      1 0 = − 1 4022030 . (b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được 𝑥 ở mẫu. Ta có: 𝐼 2 = 1  0  √ 𝑥 − 1 − √ 𝑥  𝑑𝑥 = 2 3  (𝑥 + 1) 3 2 − 𝑥 3 2     4 3 = 4 3 ( √ 2 − 1) 10 c ○ Nguyễn Hồng Điệp www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... + 1) 3 , 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1) 2 và mẫu số chung 1 1 của các số mũ , là 6 nên ta đổi biến 𝑥 + 1 = 𝑡6 3 2 Nhận xét: do  √ 3 Bài toán tương tự 729 ∫︁ 1 √ 3 1 √ 𝑑𝑥 𝑥− 𝑥 64 ∫︁3 √︂ 3 2 𝑥−1 1 · 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥+1 2 Hướng dẫn: đặt trang 32 1.4.3 𝑥+1 𝑥−1 = 𝑡3 và kết hợp phương pháp giải mục 1.5.3 Dạng phân thức 1 Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng 𝑓 (𝑥) nói chung trong nhiều trường hợp ta đặt 𝑡 = 𝑔(𝑥)... www.DeThiThuDaiHoc.com c ○ Nguyễn Hồng Điệp 1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản www.MATHVN.com 1.4.1 Chương 1 Tích phân Dạng căn thức Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng √︀ √︀ 𝑛 𝑓 (𝑥) nói chung trong nhiều trường hợp ta đặt 𝑡 = 𝑛 𝑓 (𝑥) ∫︁1 √ Ví dụ 1.4.1 Tính 𝑥 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 0 Giải √ Đặt 𝑡 = 𝑥2 + 1 ⇒ 𝑡2 = 𝑥2 + √ ⇒ 𝑥2 = √− 1 ⇒ 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡 1 𝑡2 Đổi cận: 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 1 ; 𝑥 = 1 ⇒ 𝑡 = 2 √ Khi đó: 𝐼 ∫︁... 1.4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng (︂ )︂ 𝑚 (︂ )︂ 𝑟 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑠 𝑎𝑥 + 𝑏) , , ta đặt = 𝑡 𝑘 với 𝑘 là 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑐𝑥 + 𝑑 𝑚 𝑟 mẫu số chung nhỏ nhất của các số mũ , , 𝑛 𝑠 ∫︁63 1 √ 𝑑𝑥 𝑥+1+ 𝑥+1 0 www.DeThiThuDaiHoc.com c ○ Nguyễn Hồng Điệp Ví dụ 1.4.5 Tính 𝐼 = 20 √ 3 1.4 Phương pháp đổi biến số đơn giản www.MATHVN.com Chương 1 Tích phân... sin + cos 𝑑𝑥 + − sin + cos 𝑑𝑥 2 2 2 2 0 3𝜋 2 (︁ 𝑥 𝑥 )︁⃒ 3𝜋 𝑥 𝑥 )︁⃒2𝜋 ⃒2 ⃒ = 2 − cos + sin + 2 cos − sin ⃒ ⃒ = 4 ln 2 2 2 0 2 2 3𝜋 2 (︁ ∫︁2 (|𝑥| − |𝑥 − 1|) 𝑑𝑥 Ví dụ 1.3.3 Tính 𝐼 = −1 Giải Bảng xét dấu chung 𝑥 −1 0 1 𝑥 − 0 + + − − 0 + 𝑥−1 www.DeThiThuDaiHoc.com c ○ Nguyễn Hồng Điệp 2 13 1.3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max Chương 1 Tích phân www.MATHVN.com 0 ∫︁ ∫︁1 ∫︁2 Khi đó: 𝐼 = (−𝑥 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥+