Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 1 Bài 1.1. Hãy tính tích phân, năng lượng, ñộ rộng trung bình của các tín hiệu sau ñây: a) ( ) ( ) ttx Λ= d) ( ) t tetx − = b) ( ) 2 t etx π − = e) ( ) ( ) ( ) tetetx tt 11 2 − +−= c) ( ) 2 1 1 t tx + = f) ( )       Π= π 3 cos t ttx Giải a)Tích phân của tín hiệu là: [ ] ( ) ∫ ∞ ∞− = dttxx ( ) ( ) ∫ ∫ − −++= 0 1 1 0 11 dttdtt ( ) ∫ −= 1 0 12 dtt 1 0 2 2 1       −= tt       −= 2 1 12 1 = Năng lượng của tín hiệu là: ( ) [ ] ∫ ∞ ∞− = dttx E x 2 ( ) dtt ∫ −= 1 0 2 12 ( ) 1 0 3 1 3 2 t − − = 3 2 = b) ( ) 2 t etx π − = *Tích phân của tín hiệu là: [ ] ( ) ∫ ∞ ∞− = dttxx ( ) ∫ ∞ ∞− − = dte t 2 π ðặt I ( ) ∫ ∞ ∞− − = dte t 2 π dyedxeI yx ∫ ∫ −− =⇒ ππ 2 ( ) dxdye yx ∫∫ +− = 22 π ñặt ϕ cos r x = và ϕ sinry = Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 2 ∫∫ ∞ − =⇒ 0 2 0 2 2 rdredI r π π ϕ ∫ ∞ − ×= 0 2 2 2 1 2 dre r π π 2 0 r e π − = − ∞ 1 = 1 = ⇒ I *Năng lượng của tín hiệu là: ( ) [ ] ∫ ∞ ∞− = dttx E x 2 ( ) ∫ ∞ ∞− − = dte t 2 2 π ðặt M ( ) ∫ ∞ ∞− − = dte t 2 2 π dyedxeM yx ∫ ∫ −− =⇒ 22 222 ππ ( ) dxdye yx ∫∫ +− = 22 2 π ñặt ϕ cos r x = và ϕ sinry = ∫∫ ∞ − =⇒ 0 2 2 0 2 2 rdredM r π π ϕ ∫ ∞ − ×= 0 22 2 2 1 2 dre r π π 2 2 2 1 0 r e π − = − ∞ 2 1 = ⇒ ( ) [ ] ∫ ∞ ∞− = dttx E x 2 M = 2 2 = c) ( ) 2 1 1 t tx + = * Tích phân của tín hiệu là: [ ] π ππ =+= = + = ∞ ∞− ∞ ∞− ∫ 22 1 1 )( 2 acrtgtdt t tx * Năng lượng của tín hiệu là: ( ) [ ] ∫ ∞ ∞− = dttx E x 2 = ∫ ∞ ∞− + dt t 22 )1( 1 Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 3 ðặt tgu t = ( ) ( ) 2 4 1 22sin 4 1 )12(cos 2 1 cos cos 1 cos cos 1 )1( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 222 π ππ π π π π π π π π π π =+= +=+= == + =⇒ ∫ ∫∫ ∫ − − −− − uuduu ududu u u du uutg E x d) ( ) t tetx − = * Tích phân của tín hiệu là: [ ] ( ) ( ) 0 1 1 0 0 0 0 = + − = ++−= += ∞ −− ∞− ∞ − ∞− ∫∫ tttt tt eteete dttedttex * Năng lượng của tín hiệu là: ( ) [ ] ∫ ∞ ∞− = dttx E x 2 2 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 0 2222 0 2222 0 22 0 22 =+=       ++−       +−= += ∞ −−− ∞− ∞ − ∞− ∫∫ tttttt tt eteeteteet dtetdtet e) ( ) ( ) ( ) tetetx tt 11 2 − +−= * Tích phân của tín hiệu là: Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 4 [ ] 2 3 1 2 1 2 1 0 0 2 0 0 2 =+=−= += ∞ − ∞− ∞ − ∞− ∫∫ tt tt ee dtedtex * Năng lượng của tín hiệu là: ( ) [ ] ∫ ∞ ∞− = dttx E x 2 4 3 2 1 4 1 2 1 4 1 0 2 0 4 0 2 0 4 =+=−= += ∞ − ∞− ∞ − ∞− ∫∫ tt tt ee dtedte f) ( )       Π= π 3 cos t ttx * Tích phân của tín hiệu là: [ ] 211sin cos 2 3 2 3 2 3 2 3 −=−−== = − − ∫ π π π π t tdtx * Năng lượng của tín hiệu là: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 2 3 33 4 1 2cos2 4 1 2sin1 2 1 cos 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 π ππ π π π π π π =+= += −== = − −− ∞ ∞− ∫∫ ∫ tt dtttdt dttx E x Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 5 Bài 1.2 Dòng ñiện i(t) = Ie t β − 1(t) chạy qua ñiện trở R .Hãy tìm : a )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞) b )Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β) Giải a)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;∞) là: E = )()( 2 0 tdtiR ∫ ∞ = )( 2 0 tdIeR t ∫ ∞ − β = )( 2 0 2 tdeRI t ∫ ∞ − β = ∞− − 0 2 2 2 t e RI β β = )10( 2 2 − − β RI = β 2 2 RI b)Năng lượng tiêu hao trên ñiện trở R trong khoảng t(0;1/β) là : E = )()( 2 /1 0 tdtiR ∫ β = )( 2 /1 0 tdIeR t ∫ − β β = )( 2 /1 0 2 tdeRI t ∫ − β β = ββ β /1 0 2 2 2 t e RI − − = )1( 2 2 2 − − − e RI β = β 2 865.0 2 RI Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 6 Bài 1.3 Hãy tìm thành phần chẵn , lẻ của các tín hiệu sau ñây và chứng minh rằng các thành phần này trực giao , năng lượng cùa tín hiệu bằng tổng các năng lượng thành phần: Giải a)Ta có: x(t) = A ( 1- T t )[ 1(t)-1(t-T) ] * Thành phần chẵn của tín hiệu là: x ch = 2 1 [x(t) + x(-t)] = 2 1 (A ( 1- T t )[ 1(t)-1(t-T)] + A ( 1+ T t )[ 1(-t)- 1(-t-T)] ) = 2 1 A       Λ T t * Thành phần lẻ của tín hiệu là x le = 2 1 (A ( 1- T t )[ 1(t)-1(t-T)] - A ( 1+ T t )[ 1(-t)-1(-t-T)] ) = 2 1 A       Λ T t sgn(t) Xét tích vô hướng sau dttxtx T T lech )(*)( ∫ − = 4 1 A 2 ∫ − +−− T T dt T t T t ])1()1[( 22 =0 → thành phần này trực giao Năng lượng của tín hiệu là: Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 7 E x = A 2 dt T t T 2 0 )1( ∫ − = A 2 (t- T t 2 + T t 3 3 ) T 0 = A 2 3 T Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn: E ch = 4 1 A 2 ( dt T t T 2 0 )1( ∫ − + + dt T t T 2 0 )1( ∫ − ) = 4 1 A 2 3 2T =A 2 6 T Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là: E le = 4 1 A 2 ( dt T t T 2 0 )1( ∫ − + + dt T t T 2 0 )1( ∫ − ) = A 2 6 T → E x = E ch + E le = A 2 3 T b) Ta có x(t) = e t α − 1(t) * Thành phần chẵn của tín hiệu là: x ch (t) = 2 1 [e t α − 1(t) + e t α 1(-t)]= 2 1 e t α − * Thành phần lẻ của tín hiệu là: Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 8 x le (t) = 2 1 [e t α − 1(t) - e t α 1(-t)]= 2 1 e t α − sgn(t) Xét tích vô hướng sau dttxtx lech )(*)( ∫ ∞ ∞− = 4 1 dttete tt )](1)(1[ 22 −− ∫ ∞ ∞− − αα = - 4 1 dte t ∫ ∞− 0 2 α + 4 1 dte t ∫ ∞ − 0 2 α = α 8 1 (-e t α 2 0 ∞− + e t α 2− ∞ 0 )= 0 → thành phần này trực giao Năng lượng của tín hiệu là: E x = dte t ∫ ∞ − 0 2 α = - α 2 1 e t α 2− ∞ 0 = α 2 1 Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn: E ch = 4 1 ( ∫ ∞− 0 2 dte t α + dte t ∫ ∞ − 0 2 α )= α 4 1 Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ là: E le = 4 1 ( dte t ∫ ∞− 0 2 α + dte t ∫ ∞ − 0 2 α )= α 4 1 Ta có E x = E ch +E le = α 2 1 c) x(t) = e t α − sin( t ω )1(t) Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 9 * Thành phần chẵn của tín hiệu là: x ch = 2 1 [ e t α − sin( t ω )1(t) - e t α sin( t ω )1(-t) ] = 2 1 e t α − sin( t ω )sgn(t) * Thành phần lẻ của tín hiệu là: x le = 2 1 [ e t α − sin( t ω )1(t) + e t α sin( t ω )1(-t) ] Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 10 = 2 1 e t α − sin( t ω ) Xét tích vô hướng sau: dttxtx lech )(*)( ∫ ∞ ∞− ( ) ( ) ( ) ( ) 0 )(2)(2 8 1 2cos 8 1 2cos 8 1 16 1 2cos1 8 1 2cos1 8 1 sin 4 1 sin 4 1 2222 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 22 0 22 =       + − + = −+       +−= −−−= −= ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∞ − ∞− ∞− ∞ − ∞− ∞ − ∞− ∞ − ωα α ωα α ωω α ωω ωω αααα αα αα tdtetdteee dttedtte dttedtte tttt tt tt → thành phần này trực giao Năng lượng của tín hiệu là: )( 1 )(sin 22 0 22 ωα α α ω α + += = ∫ ∞ − dtteE t Năng lượng của tín hiệu thành phần chẵn: )(2 2 1 )(4 4 1 )(4 4 1 )(sin 4 1 )(sin 4 1 22 2222 0 22 0 22 ωα α α ωα α α ωα α α ωω αα + += + ++ + += += ∫∫ ∞− ∞ − dttedtteE tt ch Năng lượng của tín hiệu thành phần lẻ: )(2 2 1 )(4 4 1 )(4 4 1 )(sin 4 1 )(sin 4 1 22 2222 0 22 0 22 ωα α α ωα α α ωα α α ωω αα + += + ++ + += += ∫∫ ∞− ∞ − dttedtteE tt le Ta có E x = E ch +E le [...]... Trang 26 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng Hàm t tương quan c a tín hi u : ϕ xx (τ ) = ∞ ∫ x(t ) x(t − τ )dt −∞ d) Hàm t tương quan c a tín hi u : Trang 27 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng ϕ xx (τ ) = ∞ ∫ x(t ) x(t − τ )dt −∞ Trang 28 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng Trang 29 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng Bài 2.2... 12 120 Bài 2.1 Hãy xác ñ nh hàm t tương quan a) b) Trang 23 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng c) d) Gi i a) Hàm t tương quan c a tín hi u : ϕ xx (τ ) = ∞ ∫ x(t ) x(t − τ )dt −∞ x(t) là hàm th c là hàm ch n Trang 24 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng V y b) Hàm t tương quan c a tín hi u : ϕ xx (τ ) = ∞ ∫ x(t ) x(t − τ )dt −∞ Trang 25 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi... 2α   τ →∞    A = lim τ → ∞ 2T 2 =A 2 c) Hàm t tương quan c a tín hi u là: Ψ ∞ xx = ∫ δ (t )δ (t − τ )dt −∞ = δ (τ ) ∗ δ (τ ) = δ (τ ) Bài 2.4 Tìm hàm t tương quan c a tín hi u ñi u hòa: x (t ) = A sin(ωt + ϕ ) Gi i Ta có: x(t ) = A sin(ωt + ϕ ) Trang 31 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng Hàm t tương quan c a tín hi u là: [ ] 1 T 2 A sin(ωt + ϕ ) sin[ω (t − τ ) + ϕ dt T ∫0 T... 4dt = 4 −T Năng lư ng thành ph n l c a tín hi u là: 1 0 1 1 T1 1 dt + ∫4 ∫ 4dt ] = 4 2T 0 T →0 2T −T p x = p xch + p xl p xl = lim [ c) x(t ) = (1 − e −αt )1(t ) Thành ph n ch n c a tín hi u là: xch (t ) = 1 −α t (1 − e ) 2 Thành ph n l c a tín hi u là: 1 xl (t ) = [(1 − e −αt )1(t ) − (1 − eαt )1(−t )] 2 Năng lư ng c a tín hi u là: Trang 15 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng T... 4 + t 0 − τ + t 0  = 4 − T   τ +t 0 ( ) Bài 2.3 Tìm hàm t tương quan c a các tín hi u sau: a) x(t ) = A ; A là h ng s b) x(t ) = A(1 − e −αt ) c) x(t ) = δ (t ) Trang 30 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng Gi i a) Hàm t tương quan c a tín hi u là: 1 Ψ (τ ) = lim 2T ∫ A dt 2 xx T →∞ 1 lim T → ∞ 2T 2 AT= 2 A 2 b) Hàm t tương quan c a tín hi u là: ∫ A (1 − e T Ψ xx = lim 1 2T =... x(t ) = 1(t ) Thành ph n ch n c a tín hi u là: xch (t ) = 1 2 Thành ph n l c a tín hi u là: 1 xl (t ) = [1(t ) − 1(−t )] 2 Xét tích vô hư ng t2 ∫x t1 ch 1 xl * (t )dt = [12 (t ) − 12 (−t )] = 0 4 Trang 14 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng V y hàm tr c giao Năng lư ng c a tín hi u là: T p x = lim T →0 1 1 ∫ 1dt = 2 2T 0 Năng lư ng thành ph n ch n c a tín hi u là: p xch 1 = lim T →0... + 4 − 2 − 3 − 4 = 0 ω   T V y 2 thành ph n tr c giao, Bài 1.6 Tín hi u ñi n áp răng cưa ñư c cho trên hình B1.6 ñư c ñưa qua ñi n tr R Hãy tính công su t trung bình c a i(t) và công su t trung bình c a thành ph n m t chi u và xoay chi u trên R Bi t I = 10mA ; R = 1kΩ Gi i *Công su t trung bình c a i(t) trên R là: Trang 22 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng 2 4 P=R 1  I  ∫ ... a tín hi u thành ph n l : 1 E = ∫ 4t 2 dt −1 4 = t3 3 1 = −1 8 3 Ta có E x ≠ E ch +E le Bài 1.4 Hãy tìm thành ph n ch n, l c a các tín hi u sau Trong m i trư ng h p hãy ch ng minh r ng các thành ph n ñó tr c giao và công su t trung bình c a m i tín hi u b ng t ng công su t trung bình thành ph n a) x(t ) = e jωt b) x(t ) = 1(t ) c) x(t ) = (1 − e −αt )1(t ) 1 d) x(t ) = δ  t −     2 Trang 12 Bài. .. giao Năng lư ng c a tín hi u là: T 1 p x = ∫ e 2 jωt dt T 0 T  1 2 j ωt   2 jω e   0 1 = (e 4 jπ − 1) 4 jπ 1 = [cos(4π ) − 1] = 0 4 jπ 1 = T Năng lư ng thành ph n ch n c a tín hi u là: Trang 13 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng T 1 2 ∫ cos (ωt )dt T 0 p xch = T 1 = (1 + cos 2ωt )dt 2T ∫ 0 T 1 1 = (2ωt + sin 2ωt ) 2T 2ω 0 = 1 2 Năng lư ng thành ph n l c a tín hi u là: T 1 Pxl... a tín hi u là: xch (t ) = 1   1 1   δ  t − 2  + δ  − t − 2  2     Trang 17 Bài t p Lý Thuy t Tín Hi u sưu t m b i Tr n Văn Thư ng Thành ph n l c a tín hi u là: xl (t ) = 1   1 1   δ  t − 2  − δ  − t − 2  2     Xét tích vô hư ng 2 1  1  1   xch (t ) xl (t )dt = ∫ δ 2  t −  − δ 2  − t −  = 0 ∫ 4  2  2   t1 t1 t2 t V y hàm tr c giao Năng lư ng c a tín . Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 1 Bài 1.1. Hãy tính tích phân, năng lượng, ñộ rộng trung bình của các tín hiệu. = β 2 865.0 2 RI Bài tập Lý Thuyết Tín Hiệu sưu tầm bởi Trần Văn Thượng Trang 6 Bài 1.3 Hãy tìm thành phần chẵn , lẻ của các tín hiệu sau ñây và