Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp tọa độ trong không gian và các dạng bài tập cơ bản phục vụ cho học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học
VẤN ĐỀ 1: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Cho ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ;a a a a b b b b= = r r . Khi đó ta có: ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;a b a b a b a b+ = + + + r r ( ) 1 1 2 2 3 3 ; ;a b a b a b a b− = − − − r r ( ) 1 2 3 ; ;ka ka ka ka= r 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b = = ⇔ = = r r 1 1 2 2 3 3 .a b a b a b a b= + + r r 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r ( ) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 os a,b . a b a b a b c a a a b b b + + = + + + + r r ,a b r r cùng phương ( ) 3 1 2 1 2 3 1 2 3 0⇔ = ⇔ = = ≠ r r a a a a kb b b b b b b 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + = r r 2. Cho ( ) ( ) ( ) ; ; , ; ; , ; ; A A A B B B C C C A x y z B x y z C x y z , ( ) ; ; D D D D x y z . Khi đó ta có: ( ) ; ; B A B A B A AB x x y y z z= − − − uuur Nếu I là trung điểm của AB thì ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 I A B I A B I A B x x x y y y z z z = + = + = + Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 3 G A B C G A B C G A B C x x x x y y y y z z z z = + + = + + = + + Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì ( ) ( ) ( ) 1 4 1 4 1 4 G A B C D G A B C D G A B C D x x x x x y y y y y z z z z z = + + + = + + + = + + + 3.Tích có hướng của hai vectơ ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ;a a a a b b b b= = r r ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 a,b a b a b ;a b a b ;a b a b = − − − r r * ( ) , sin ,a b a b a b = r r r r r r * a r và b r cùng phương , 0a b ⇔ = r r r * , ,a b c r r r đồng phẳng , . 0a b c ⇔ = r r r * Nếu ABCD là hình bình hành thì , ABCD S AB AD = uuur uuur - Nếu ABC là 1 tam giác thì 1 , 2 ABC S AB AC = uuur uuur * Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì . ' ' ' ' , . ' ABCD A B C D V AB AD AA = uuur uuur uuur - Nếu ABCD là tứ diện thì 1 , . 6 ABCD V BA BC BD = uuur uuur uuur B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Trong không gian cho ( ) 1;2;3a = r , ( ) 2;0;5b = − r và ( ) 2 1;1;3c m= + r a. Tính toạ độ của 3a b+ r r b. Tính ( ) . 2a a b+ r r r c. Tính a b+ r r d. Tính ( ) ,a b r r e. Tìm m để 8c a= r r f. Tìm m để c a ⊥ r r Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 3;0;2 , 4; 2;0A B C− − Tìm toạ độ đỉnh D Bài 3: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;5 , 3;0; 2 , 4;7;6A B C− a. Chứng minh rằng A,B, C lập thành tam giác. Tính tọa độ trọng tâm G b. Tìm toạ độ của K , biết B là trung điểm của AK c. Tìm toạ độ của N , biết C là trọng tâm của tam giác ABN. Bài 4: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2 1;1;1 , 3;2;5 , 2 3; ;4A B C m m m− + − Tìm m để tam giác ABC vuông tại A Bài 5: Trong không gian cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;2;5 , 2;1;3 , 1;1;2 1A B C m m+ − Tìm m để ( ) 0 , 60AB AC = uuur uuur Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết ( ) ( ) ( ) ( ) 2;0;2 , 4;2;4 , 2; 2;2 , ' 8;10; 10A B D C− − Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp Bài 7: Cho ( ) ( ) ( ) A 3;4; 1 ,B 2;0;3 ,C 3;4;5− − . a. Chứng minh rằng ABC là 1 tam giác b. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC c. Tính các góc của tam giác ABC. Bài 8: Cho ( ) ( ) ( ) A 2;1; 1 ,B 3;0;1 ,C 2; 1;3− − và D Oy∈ . Biết thể tích V của ABCD bằng 5. Tìm toạ độ của điểm D. Bài 9: Cho tam giác ABC với ( ) ( ) ( ) A 1;2; 1 ,B 2; 1;3 ,C 4;7;5− − − . Tính độ dài đường phân giác trong của góc B. Bài 10: Cho ( ) ( ) ( ) a 2;3;1 ,b 5;7;0 ,c 3; 2;4= = = − r r r . Chứng minh rằng a,b,c r r r không đồng phẳng. Hãy biểu diễn ( ) d 4;12; 3= − r theo 3 vectơ a,b,c r r r Bài 11: Cho ( ) ( ) ( ) ( ) A 1;0;1 ,B 1;1;2 ,C 1;1;0 ,D 2; 1; 2− − − − . Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính ABCD V , từ đó suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện Bài 12: Cho ( ) ( ) ( ) A 1; 2; 1 ,B 5;10; 1 ,C 4;1;1− − − − . Chứng minh ABC là 1 tam giác. Tìm toạ độ trực tâm, trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 13: Cho ( ) ( ) A 1;2; 1 ,B 4;3;5− . Xác định M Ox ∈ sao cho M cách đều A, B Bài 14: Cho ( ) ( ) A 4; 1;2 ,B 3;5; 1− − − . Tìm C biết trung điểm của AC thuộc Oy, trung điểm của BC thuộc Oxz. Bài 15: Cho v 0≠ r r . Gọi , ,α β γ là 3 góc tạo bởi v r với Ox, Oy, Oz . Chứng minh rằng 2 2 2 cos cos cos 1α + β+ γ = VẤN ĐỀ 2: GÓC (Bổ sung) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Góc giữa hai đường thẳng : Đường thẳng 1 d có VTCP ( ) 1 1 1 ; ;u x y z= r và đường thẳng 2 d có VTCP ( ) 2 2 3 ; ;v x y z= r Gọi β là góc giữa hai đường thẳng 1 d và 2 d . Khi đó 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 os = x x y y z z c x y z x y z β + + + + + + 2. Góc giữa hai mặt phẳng : Cho ( ) 1 1 1 1 : 0P a x b y c z d+ + + = và ( ) 2 2 2 2 : 0Q a x b y c z d+ + + = Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q . Khi đó 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 os = a a bb c c c a b c a b c α + + + + + + 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng d có VTCP ( ) ; ;u a b c= r và mặt phẳng ( ) : 0Ax By Cz D α + + + = Gọi β là góc giữa d và ( ) α . Khi đó 2 2 2 2 2 2 Aa + Bb + Cc sin A B C a b c β = + + + + B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1 : Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y z α − + − = và ( ) : 2 3 0x y z β − + + + = Bài 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng ( ) 1 2 3 : 2 5 4 x t d y t z t = + = − + = − và ( ) 2 2 : 2 3 4 5 x t d y t z t = = − = + Bài 3 : Tính góc giữa đường thẳng ( ) 3 2 : 3 7 x t d y t z t = − = = + và mặt phẳng ( ) : 3 1 0x y z α + + − = VẤN ĐỀ 3: KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng : Trong không gian Oxyz, cho ( ) : Ax + By + Cz +D = 0 α và ( ) 0 0 0 ; ;M x y z . Khi đó ta có: ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 2 Ax , By Cz D d M A B C α + + + = + + 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song : Cho ( ) ( ) // α β và ( ) M α ∈ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d d M α β β = 3.Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua 0 M và có VTCP u r : Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao - Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa M và ( ) α ⊥ ∆ - Tìm ( ) K α = ∆∩ - Tính MK. Suy ra ( ) ,d M MK∆ = 0 ,M M u h u = uuuuuur r r 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song : Cho // 'd d và M d∈ . Khi đó ( ) ( ) , ' , 'd d d d M d= 5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Cho ( ) // α ∆ và M ∈∆ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d d M α α ∆ = 6. Khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 d và 2 d ; biết 1 d đi qua 1 M và có VTCP 1 u r , 2 d đi qua 2 M và có VTCP 2 u r : (Chương trình nâng cao) Bổ sung (dùng cho chương trình chuẩn) Chương trình nâng cao - Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa 1 d và ( ) 2 // d α - Lấy 2 M d∈ và tính ( ) ( ) ,d M α - Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 2 , ,d d d d M α = [ ] [ ] 1 2 1 2 1 2 , . , u u M M h u u = uuuuuur r r r r B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - 0n ≠ r r được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( ) α nếu giá của nó vuông góc với ( ) α - Cho hai vectơ không cùng phương ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 ; ; , ; ;a a a a b b b b= = r r có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( ) α . Khi đó 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , , a a a a a a n b b b b b b = ÷ ÷ r là 1 vectơ pháp tuyến của ( ) α , n r được gọi là tích có hướng của a r và b r ; kí hiệu là ,a b r r hoặc a b∧ r r 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng : a. Mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và nhận ( ) ; ;n A B C= r làm VTPT có phương trình: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = b. Phương trình có dạng 2 2 2 Ax + By + Cz + D = 0 (A 0)B C+ + ≠ được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 3. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng : (Chương trình nâng cao) Nếu ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c với 0abc ≠ thì phương trình mặt phẳng ( ) ABC là 1 x y z a b c + + = ( ) * . ( ) * được gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng 4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0; : 0A x B y C z D A x B y C z D α β + + + = + + + = Chương trình chuẩn Chương trình nâng cao ( ) α cắt ( ) β ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; ; ;A B C k A B C⇔ ≠ ( ) α cắt ( ) β 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C⇔ ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 ; ; ; ; // A B C k A B C D kD α β = ⇔ ≠ ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 // A B C D A B C D α β ⇔ = = ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 ; ; ; ;A B C k A B C D kD α β = ≡ ⇔ = ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D α β ≡ ⇔ = = = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C α β ⊥ ⇔ + + = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 0A A B B C C α β ⊥ ⇔ + + = 5. Chùm mặt phẳng: (Bổ sung) Cho hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β cắt nhau lần lượt có phương trình: ( ) ( ) : 0, : ' ' ' ' 0Ax By Cz D A x B y C z D α β + + + = + + + = . Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β gọi là một chùm mặt phẳng. Mỗi mặt phẳng của chùm đều có phương trình: ( ) ( ) ' ' ' ' 0a Ax By Cz D b A x B y C z D+ + + + + + + = trong đó 2 2 0a b+ ≠ 6. Vị trí tương đối của điểm và mặt phẳng (bổ sung) Cho mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0α và 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 M x ;y ;z , M x ;y ;z . Khi đó ta có: - Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D Ax By Cz D 0+ + + + + + > thì 1 2 M ,M nằm cùng phía đối với ( ) α - Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 Ax By Cz D Ax By Cz D 0+ + + + + + < thì 1 2 M ,M nằm khác phía đối với ( ) α B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG Bài 1: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua ( ) 1; 2;6A − và nhận ( ) 2;0;3n = − r làm VTPT Bài 2: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua ( ) 2;1; 5M − và song song với ( ) Oxy Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) 2;3;5 , 2;3;1A B− . Lập phương trình tổng quát của mặt phảng trung trực đoạn AB Bài 4: Lập phương trình của mặt phẳng chứa trục Ox và điểm ( ) 2; 3;5P − Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 4;3;2 , 5;2;1A B C a. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) ABC Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α đi qua A và song song với mặt phẳng ( ) : 2 3 5 0x y z β + − − = Bài 7: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua hai điểm ( ) ( ) 1;1;1 , 3;2; 1A B − và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 5 7 0x y z α − + + + = Bài 8: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua ( ) 3;2;5N − và vuông góc với trục Ox. Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của ( ) 2;3;5M trên các trục toạ độ HD: Dùng phương trình đoạn chắn. Bài 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 2;3;5 , 3; 2;2O A B − . Viết phương trình của các mặt phẳng ( ) ( ) ,OAC OBC Bài 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 0;2; 1M − , song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng 0x y z− + = Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 3;0;1A − , vuông góc với hai mặt phẳng ( ) : 2 3 2 0P x y z− + − + = và ( ) : 5 2 1 0Q x y z+ − + = Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm ( ) 1;2;3M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz ở 3 điểm cách đều gốc toạ độ. HD: Gọi mặt phẳng cần tìm là ( ) α ⇒ phương trình của mặt phẳng của ( ) α có dạng: 1 x y z a b c + + = Vì ( ) M α ∈ nên ta có : 1 2 3 1 a b c + + = ( ) 1 Theo đề ra ta có a b c= = . Khi đó ( ) 6 1 1 6a a ⇔ = ⇔ = Phương trình của mặt phẳng ( ) : 1 6 6 6 x y z α + + = Bài 14: Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa đường thẳng x 2z 0 : 3x 2y z 3 0 − = ∆ − + − = và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 2y z 5 0β − + + = Bài 15 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa Oz và lập với mặt phẳng ( ) : 2x y 5z 0β + − = một góc 60 0 HD : Pt của ( ) α có dạng ( ) 2 2 mx ny 0 m n 0+ = + > Bài 16 : Viết phương trình của mặt phẳng ( ) α qua ( ) ( ) M 0;0;1 , N 3;0;0 và tạo với Oxy một góc 60 0 Bài 17 : Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α đi qua ( ) M 1;2;1 và chứa giao tuyến của ( ) P : x y z 1 0+ + − = và ( ) Q :2x y 3z 0− + = Bài 18 : Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α chứa x y z 3 0 : 3x y 2z 1 0 − + − = ∆ + + − = và vuông góc với mặt phẳng ( ) P : x y 2z 3 0+ + − = Bài 19 : Lập phương trình của mặt phẳng ( ) α đi qua 2 điểm ( ) ( ) A 2; 1;0 ,B 5;1;1− và khoảng cách từ 1 M 0;0; 2 ÷ đến ( ) α bằng 6 3 Bài 20 : Lập phương trình mặt phẳng ( ) α thuộc chùm tạo bởi hai mặt phẳng ( ) P : x 3y 7z 36 0− + + = và ( ) Q :2x y z 15 0+ − − = , biết rằng khoảng cách từ O đến ( ) α bằng 3. Bài 21 : Cho ( ) : 2x y 3z 4 0α − + + = và ( ) M 2; 1;2− . Viết phương trình của mặt phẳng ( ) β đối xứng với ( ) α qua M. Bài 22: Cho tứ diện ABCD có ( ) ( ) ( ) ( ) 5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4 , 4;0;6A B C D a. Viết phương trình mặt phẳng ( ) BCD b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với đường thẳng CD c. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và song song với mặt phẳng ( ) ABC Bài 23 : Cho mặt phẳng ( ) : x 2y z 3 0α + + − = và ( ) M 1;1;1 . Viết phương trình mặt phẳng ( ) β sao cho ( ) ( ) ( ) d , 4α β = đồng thời M và ( ) β nằm cùng phía đối với ( ) α Bài 24 : Cho mặt phẳng ( ) : 2x 2y z 1 0α + + + = và ( ) M 1;2;1− . Viết phương trình mặt phẳng ( ) β sao cho ( ) ( ) ( ) d , 2α β = đồng thời M và ( ) β nằm khác phía đối với ( ) α Dạng 2 : XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Bài 1 : Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau : a. 2 3 4 5 0x y z− + − = và 3 1 0x y z− + − = b. 4 0x y z− + − + = và 2 2 2 7 0x y z− + − = c. 3 3 6 12 0x y z+ − − = và 4 4 8 16 0x y z+ − − = Bài 2 : Cho hai mặt phẳng ( ) 2 5 2 5 0m x y mz m− − + + − = và 2 3 3 0x y nz+ − + = Tìm m và n để hai mặt phẳng : a. Song song với nhau. b. Trùng nhau. c. Cắt nhau. Bài 3 : Cho hai mặt phẳng ( ) ( ) :3 3 2 5 0x m y z α − − + − = và ( ) 2 2 10 10m x y mz+ − + − = Tìm m để a. Hai mặt phẳng song song b. Hai mặt phẳng trùng nhau. c. Hai mặt phẳng cắt nhau. Dạng 3 : BÀI TẬP VỀ CHÙM MẶT PHẲNG Bài 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 1;2;3M và chứa đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng 3 0x y z− + − = và 3 2 5 0x y z+ + − = Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3 1 0x z − + = và 2 3 5 0y z+ − = và vuông góc với mặt phẳng 2 1 0x y− − = Bài 3 : Xác định m, n để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua 1 đường thẳng 2 0; 3 2 2 0; 4 4 0x y z x y z mx ny z− + = − − + = − + + = Dạng 4 : HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA 1 ĐIỂM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cho điểm M và mặt phẳng ( ) α . Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) α - Lập phương trình tham số của đường thẳng MH ( đi qua M và nhận VTPT của ( ) α làm VTCP) - Thay ptts của MH vào phương trình của mặt phẳng ( ) α tính được t ⇒ toạ độ của H Bài 1: Cho điểm ( ) 1;1;1M và mặt phẳng ( ) : 2 5 1 0x y z α − + − + = . Tìm toạ độ của H là hình chiếu vuông góc của M trên ( ) α Bài 2: Cho điểm ( ) 2;1;1M − và mặt phẳng ( ) : 5 1 0x y z α + − + = . Tìm toạ độ điểm M’, biết M’ đối xứng với M qua ( ) α Bài 3: Cho hai điểm ( ) ( ) 3;1;1 , 7;3;9A B và mặt phẳng ( ) : 3 0x y z α + + + = . Tìm ( ) M α ∈ sao cho MA MB+ uuur uuur đạt giá trị nhỏ nhất HD : - Gọi I là trung điểm của AB. - Ta có 2MA MB MI+ = uuur uuur - MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên ( ) α Bài 4: Cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) 2;1;6 , 4; 4;7 , 3;0; 1A B C− − − − − và mặt phẳng ( ) : 2 2 5 0x y z α − − − = Tìm ( ) M α ∈ để MA MB MC+ + uuur uuur uuuur nhỏ nhất HD : - Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC - Ta có 3MA MB MC MG+ + = uuur uuur uuuur - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( ) α Bài 5: Cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 5;2;0 , 8; 1; 1 , 1;1; 5 , 3; 2;2A B C D− − − − − − − và mặt phẳng ( ) : 4 2 8 0x y z α − − − = a. Chứng minh rằng ABCD là 1 tứ diện. b. Tìm ( ) M α ∈ để MA MB MC MD+ + + uuur uuur uuuur uuuur nhỏ nhất HD : Câu a : - Chứng minh , ,AB AC AD uuur uuur uuur không đồng phẳng Câu b: - Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD - Ta có 4MA MB MC MD MG+ + + = uuur uuur uuuur uuuur - MG nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( ) α Bài 6: Cho mặt phẳng ( ) : 2 3 5 0x y z α − − + = và hai điểm ( ) ( ) 0;0; 3 , 9;15;12A B− . Tìm ( ) M α ∈ sao cho a. MA MB+ ngắn nhất. b. MA MB− dài nhất. HD : A và B ở khác phía đối với ( ) α Câu a : - Tìm toạ độ điểm I là giao điểm của AB và ( ) α - Suy ra M I≡ Câu b : - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( ) α - ' 'MA MB MA MB A B− = − ≤ - Đẳng thức xảy ra khi M nằm trên đường thẳng A’B (không nằm trên đoạn A’B) - Gọi ( ) 'J A B α = ∩ . Suy ra M J≡ Bài 7: Cho mặt phẳng ( ) : 3 19 0x y z α + − − = và hai điểm ( ) ( ) 2;0;1 , 7; 5;3A B− − − . Tìm ( ) M α ∈ sao cho a. MA MB+ ngắn nhất. b. MA MB− dài nhất. HD : A và B ở cùng phía đối với ( ) α Câu a: - Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua ( ) α - Gọi ( ) 'J A B α = ∩ . Suy ra M J≡ Câu b : - MA MB AB− ≤ - Gọi ( ) I AB α = ∩ - Suy ra M I≡ VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Phương trình tham số của đường thẳng : Đường thẳng d đi qua ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và nhận ( ) ; ;u a b c= r làm VTCP có phương trình tham số là : 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + Chú ý : Một đường thẳng có vô số phương trình tham số 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng : Cho đường thẳng d có phương trình tham số 0 0 0 x x at y y bt z z ct = + = + = + ( ) * với 0abc ≠ ( ) 0 0 0 * x x y y z z a b c − − − ⇒ = = (phương trình chính tắc) Chú ý : Nếu 0abc = thì không có phương trình chính tắc 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng : [...]... = = Lập phương trình đường thẳng ∆ nằm trong ( α ) và cắt cả d1 , d 2 1 2 −4 HD : Tìm toạ độ giao điểm A của d1 và ( α ) Tìm toạ độ giao điểm B của d 2 và ( α ) ( d2 ) : ∆ là đường thẳng đi qua A và B x −1 y z + 2 = = Bài 5: Cho ( ∆ ) : và mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 2 = 0 Lập phương trình 2 2 −3 đường thẳng d nằm trong ( α ) , cắt và vuông góc với ∆ HD : - Tìm toạ độ giao điểm A của ∆ và ( α )... BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A ( 1;1;1) và B ( 3;0; −2 ) 2 x + y − z + 3 = 0 x + y + z −1 = 0 x − 2 y + 3z − 4 = 0 Bài 3 : Lập phương trình chính tắc của đường thẳng 3 x + 2 y − 5 z − 4 = 0 Bài 2 : Lập phương trình tham số của đường thẳng x = −5 − 3t Bài 4 : Cho mặt phẳng ( α ) : 3x − 4 y + z − 3 = 0 và. .. ( d1 ) : = và ( d 2 ) : y = 2t 2 5 −3 z = −2 + t Chứng minh rằng d1 và d 2 cắt nhau Viết phương trình của mặt phẳng chứa d1 và d 2 x = −1 + 5t x + 3 y + 4 z −1 = = Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d ) : y = −5 + 7t và ( d ') : 1 −2 4 z = 3 + 3t a Chứng minh d và d’ chéo nhau b Lập phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d và d’ HD : Câu b : r - d đi qua A ( −1; −5;3) và có VTCP... MẶT PHẲNG Phương pháp giải: Cách 1:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) - Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d và ( β ) ⊥ ( α ) - Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) Suy ra d ' = ( β ) ∩ ( α ) Cách 2:Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( α ) Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên ( α ) - Tìm giao điểm A của d và ( α ) -... viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm A’, B, C, D c Viết phương trình tiếp diện của ( S) tại A’ Bài 5: Cho 3 điểm A ( 1;0; −1) , B ( 1; 2;1) , C ( 0; 2;0 ) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC a Viết phương trình mặt cầu ( S) đi qua 4 điểm O, A, B, C b Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với OG và tiếp xúc với mặt cầu ( S) Bài 6 : Lập phương trình mặt cầu ( S) có tâm I ( 1; 4; −7 ) và tiếp... S ) 8 x − 11 y + 8 z − 30 = 0 tiếp x − 2 y − 2z = 0 Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa đường thẳng ( d ) : xúc với 2 2 2 mặt cầu ( S ) : x + y + z + 2 x − 6 y + 4 z − 15 = 0 Bài 6: Cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 4 z − 1 = 0 và I ( 1; 2;3) a Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với ( α ) b Tìm toạ độ tiếp điểm A Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu x... 1) và AM = ( −3 − 3t; −2 + 2t;1 + t ) uuu r uuuu r uuu uuuu r r - Yêu cầu bài toán ⇒ AB cùng phương với AM ⇔ AB, AM = 0 ⇔ t = t ' = 0 Bài 9: Cho ba điểm A ( −2; 2;1) , B ( 1; 2; −2 ) , C ( 2;1; 2 ) Viết phương trình tham số của đường thẳng d vuông góc với mp ( ABC ) và đi qua trực tâm H của tam giác ABC Bài 10 : Dạng 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG x = 1 − 3t x y−7 z +4 = Bài. .. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU- XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH Bài 1: Lập phương trình của mặt cầu, biết rằng mặt cầu đó đi qua A ( 5;3; 2 ) và có tâm I ( 1;1;1) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A ( 2; −1;5 ) , B ( 3;5;7 ) Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: a x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y − 6 z + 3 = 0 b x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 8 y + 2 z − 1 = 0 Bài 4: Cho 4 điểm A ( 1; −1; 2 ) , B ( 1;3;... ( S ) = { M , N } (mặt cầu cắt đường thẳng tại hai điểm) Bài tập áp dụng 2 2 2 Bài 1: Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x − 6 z − 35 = 0 a Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S ) b Tìm giao điểm của mặt cầu ( S ) với đường thẳng đi qua hai điểm A ( 2; −4;8 ) và B ( 0; −2;10 ) Bài 2: Lập phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3; −1) và cắt đường thẳng 5 x − 4 y + 3 z + 20 = 0 tại hai điểm... 0 Bài 5: Cho mặt phẳng ( α ) : x − 3 y − 3z + 2 = 0 và hai đường thẳng ( d1 ) : x+4 z −3 =y= và −2 2 x = −1 + 5t ( d 2 ) : y = 2 + t Viết phương trình hình chiếu theo phương d 2 của đường thẳng z = −3t d1 trên mặt phẳng ( α ) VẤN ĐỀ 6: MẶT CẦU A KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1 Phương trình mặt cầu: a Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính r có phương trình ( x − a) 2 + ( y − b) + ( z − c) = r2 . a ⊥ r r Bài 2: Trong không gian cho hình bình hành ABCD. Biết ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 3;0;2 , 4; 2;0A B C− − Tìm toạ độ đỉnh D Bài 3: Trong không gian cho. uuur uuur uuur B. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Trong không gian cho ( ) 1;2;3a = r , ( ) 2;0;5b = − r và ( ) 2 1;1;3c m= + r a. Tính toạ độ của 3a b+ r r b.
