Chương • Giới hạn dãy số thực: Định nghĩa, tính chất, tiêu chuẩn hội tụ Số e • Giới hạn hàm số: Định nghĩa, định lý giới hạn kẹp Giới hạn phía Một số giới hạn quan trọng Dạng vơ định • Hàm số liên tục: Định nghĩa, tính chất, liên tục phía, tính liên tục hàm sơ cấp Hàm liên tục khoảng đóng ÁNH XẠ Định nghĩa: Ánh xạ f từ X → Y quy luật cho tương ứng với phần tử x ∈ X với y ∈ Y Ký hiệu f: X → Y Y X x a y = f(x) Phân loại ánh xạ Ánh xạ f đơn ánh: y ∈ Y, có nhiều x ∈ X cho y = f(x) Ánh xạ f tồn ánh: y ∈ Y, có x ∈ X cho y = f(x) Ánh xạ f song ánh: y ∈ Y, có x ∈ X cho y = f(x) DÃY SỐ THỰC 1.Định nghĩa: Dãy số thực ánh xạ từ tập N* vào tập hợp số thực R Ký hiệu {xn}, n =1, 2,…, để dãy số Ví dụ: 1 a) { xn } ; xn = ; x1 = 1; x2 = ; L; xn = ;L n n b) { xn } ; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; L; xn = 1;L c) { xn } ; xn = ( −1) ; x1 =−1; x2 = 1; L; xn = ( −1) ;L n d) { xn } ; n xn = n ; x1 = 1; x2 = 4; L; xn = n ;L n n 1 1   e) { xn } ; xn = 1 + ÷ ; x1 = 2; x2 = ; L; xn = 1 + ÷ ;L n   n DÃY SỐ HỘI TỤ 1.Định nghĩa: Dãy số {xn} hội tụ a ⇔ n đủ lớn giá trị xn “rất gần” a ⇔ ∃ a ∈ R, ∀ >0, ∃ N : ∀n > N :| x n - a| < ε ε Ký hiệu Ví dụ: lim xn = a; lim xn = a a) lim =0 n b) lim n = n →+∞ CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN Nếu dãy số {xn} hội tụ giới hạn Nếu limxn, limyn tồn  lim(xn + yn) = limxn + limyn  lim(Cxn) = Climxn  lim(xnyn) = limxnlimyn x limx lim n yn  Ví dụ: = n limy n 1 1 a) lim  n + ÷ 2 n    b) lim  n ÷   DÃY SỐ PHÂN KỲ Định nghĩa: Dãy {xn} phân kỳ khơng hội tụ Giới hạn vơ hạn: Định nghĩa: Ta nói dãy số xn có giới hạn vơ hạn xn có giá trị tuyệt đối lớn tùy ý n đủ lớn ⇔ ∀M > 0, ∃ N , ∀n > N : x n >M Ký hiệu lim x n = ∞ Nếu dãy số xn có giới hạn vô hạn xác định dấu, tức xn > xn < chỗ trở đi, ta viết tương ứng lim x n = +∞ lim x n = − ∞ Ví dụ: Xét dãy số có số hạng tổng quát xn = Ank (n ∈N), A ≠ k > Ta có lim An k = + ∞ A > 0; lim An k = − ∞ A < NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN Chuyển giới hạn thay vào biểu thức cần tính giới hạn (nếu giá trị biểu thức xác định)  +∞ a > • lim a =  0 < a < n +∞ • lim n =  0 Ví dụ: Tính giới hạn sau 2n + a) lim n -1 5n - n b) lim n n +3 c) lim ( n − n-1 )  1 1  d) lim  + + + +  n ( n+1)   1.2 2.3 3.4 k k>0 k 0, y ( 1) = b) y ' + 2y = 4e 2x c) xy ' − 2y = 2x 3y d) y ' + = 3, x x y ( 1) = PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: F(x, y, y’, y’’) = (1) hay y’’ = f(x, y, y’) (2) Nghiệm tổng quát – nghiệm riêng a) Nghiệm tổng quát phương trình phương trìnhvi phân cấp hàm y = φ(x, C1, C2) cho:  Thay vào phương trình ta có đẳng thức  Với điều kiện ban đầu y(x0) = y0, y’(x0) = y’0, tồn C ,C ) ( ( đầu x, C , C yφ= yφ x,( C , C = làm cho ) ) thỏa điều kiện ban gọi nghiệm riêng thỏa đkbđ b)thì nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát gán cho C 1, Mỗi C2 giá trị số định gọi nghiệm riêng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Phương trình vi phân cấp giảm cấp Là phương trình thuộc dạng sau y’’ = f(x) F(x, y’, y’’) = F(y, y’, y’’) = Để giải phương trình này, ta đặt z = y’, giải phương trình theo z Ví dụ: Giải phương trình sau y' a) y '' = x − x b) y'' ( + x ) = 2xy' PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Phương trình vi phân cấp với hệ số a) Phương trình + Dạng: ay’’ + by’ + cy = + Nghiệm tổng quát (1) a, b, c (a ≠ 0) số thực Phương trình đặc trưng: ak2 + bk + c = (*) Trường hợp 1: ∆ > 0, pt (*) có nghiệm phân biệt k1, k2 Nghiệm tổng quát pt (1): y = c1e k1x + c 2e k 2x Trường hợp 2: ∆ = 0, pt (*) có nghiệm kép k1 = k2 = k Nghiệm tổng quát pt (1): y = ( c1 + c x ) e kx Trường hợp 3: ∆ < 0, pt (*) có nghiệm phức k1,2 = α ± β Nghiệm tổng quát pt (1): y = eαx ( c1cosβx + c 2sinβx ) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Ví dụ: Giải phương trình sau a) y'' − 2y' − 8y = b) y '' − 4y ' + 4y = c) y '' + 2y ' + 10y = b) Phương trình khơng + Dạng: ay’’ + by’ + cy = f(x) (2) a, b, c (a ≠ 0) số thực + Nghiệm pt (2) có dạng y(x) = y1(x) + y2(x) Với y1(x) nghiệm tổng quát phương trình (1), y2(x) nghiệm riêng phương trình (2) Để tìm nghiệm riêng pt (2) ta khảo sát phương pháp sau Phương pháp hệ số bất định αx  Trường hợp 1: f x = e Pn x ( ) ( ) Pn(x) đa thức bậc n x α số thực PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP + Nếu α khơng phải nghiệm phương trình đặc trưng (*) αx ta tìm nghiệm riêng (2) dạng y ( x ) = e Q n ( x ) Qn(x) đa thức tổng quát bậc với Pn(x) + Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (*) ta tìm nghiệm riêng (2) dạng y ( x) = xe Q n ( x ) αx + Nếu α nghiệm kép phương trình đặc trưng (*) ta tìm nghiệm riêng (2) dạng y ( x ) = x 2αx Q n ( x ) e Ví dụ: Giải phương trình sau a) y'' − y' − 2y = 4x b) y '' − y = 3.e 2x c) y'' + 6y' + 8y = xe − 3x PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP  Trường hợp 2: f ( x ) = eαx Pn ( x ) cosβx + Q n ( x ) sinβx    Pn(x), Qn(x) đa thức bậc n x α, β hai số thực + Nếu α± β nghiệm phương trình đặc trưng (*) ta tìm nghiệm riêng (2) dạng αx y ( x ) = e  A n ( x ) cosβx + Bn ( x ) sinβx    An(x), Bn(x) đa thức tổng quát bậc với Pn(x), Qn(x) + Nếu α nghiệm phương trình đặc trưng (*) ta tìm nghiệm riêng (2) dạng y ( x ) = xeαx  A n ( x ) cosβx + Bn ( x ) sinβx    An(x), Bn(x) đa thức tổng quát bậc với Pn(x), Qn(x) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Ví dụ: Giải phương trình sau a) y'' + y = 3sinx b) y '' + 2y ' + 5y = e-x cos2x ... ứng thành n phần, mà diện tích phần thứ i xấp xỉ f(ci )Δxi , , ci ∈ [xi-1 , xi ], i =1, …, n Khi đó, diện tích S xấp n xỉ S ≈ ∑ f ( ci ) ∆x i i =1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Diện tích xác d nhỏ, nên cách... y=f(x) y B A a x x2 xk-1xk b x Tính diện tích S hình phẳng D = { ( x, y ) : a ≤ x ≤ b, ≤ y ≤ f ( x)} Để đến phương án tìm lời giải cho tốn , ta thực bước sau TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (a) Chia [a, b] thành... (x -2) Áp dụng tính gần đúng f(2,1) Hãy tính gần đúng số e với sai sớ nhỏ 10-6 TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH a) Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a, b) Hàm số F(x) gọi nguyên