1 SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈ M SƠN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán - Khối A (Thời gian làm bài: 180 phút) P h ần I: Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu I. (2 điểm) Cho hàm số ( ) Cxxy 43 23 +−= 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Câu II. (2 điểm) 1. Giải phương trình: ( ) 2 cos sin 1 tan cot 2 co t 1 x x x x x − = + − . 2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 21 1 21 1 x y y y x x  + = − +   + = − +   Câu III. (1 đ i ể m) Gi ả i ph ươ ng trình: 3 2 3 3 5 8 36 53 25 x x x x − = − + − Câu IV. (1 đ i ể m) Cho hình chóp S.ABCD có đ áy ABCD là hình vuông c ạ nh b ằ ng a, SA vuông góc v ớ i đ áy. Góc t ạ o b ở i SC và m ặ t ph ẳ ng (SAB) b ằ ng 30 0 . G ọ i E là trung đ i ể m c ủ a BC. Tính th ể tích kh ố i chóp S.ABCD và kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng DE, SC theo a. Câu V. (1 đ i ể m) Cho các s ố d ươ ng x, y, z th ỏ a mãn 3 xy yz zx + + = . Chứng minh rằng: ( )( )( ) 1 4 3 2xyz x y y z z x + ≥ + + + P h ần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần. A. Theo chương trình chuẩn Câu VIa.(2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I(2; 1) và AC = 2BD. Điểm 1 0 ; 3 M       thu ộ c đườ ng th ẳ ng AB, đ i ể m N(0; 7) thu ộ c đườ ng th ẳ ng CD. Tìm t ọ a độ đỉ nh B bi ế t B có hoành độ d ươ ng. 2. Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ Oxy, cho Elip có ph ươ ng trình chính t ắ c ( ) 2 2 : 1 25 9 x y E + = . Vi ế t ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng song song v ớ i Oy và c ắ t (E) t ạ i hai đ i ể m A, B sao cho AB = 4. CâuVIIa. (1 đ i ể m) Tìm h ệ s ố c ủ a x 5 trong khai tri ể n bi ể u th ứ c ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 n n P x x x x = − + + , biết rằng 2 1 1 5 n n n A C − + − = . B. Theo chương trình nâng cao. Câu VIb.(2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, biết rằng các đường thẳng AB, BD lần lượt có phương trình là 3 4 1 0 x y + + = và 2 3 0 x y − − = . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D. 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip (E) biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là ( ) 12 2 3 + Câu VIIb. (1 điểm) Tìm số nguyên dương n sao cho: 2 ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013 n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = ………………… Hết…………………. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI H ỌC LẦN I KHỐI A Câu Nội dung Điểm ( ) Cxxy 43 23 +−= + Tập xác định: D = ℝ + Giới hạn: l i m , l i m x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ 0.25 + Đaọ hàm 2 0 ' 3 6 ; ' 0 2 x y x x y x =  = − = ⇔  =  BBT: x - ∞ 0 2 + ∞ y ’ + - + y - ∞ 4 0 + ∞ 0.25 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ;0, 2 ; −∞ +∞ , nghịch biến trên khoảng ( ) 0 ; 2 Hàm số đạt cực đại tại x = 0, 4 CD y = Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, 0 CT y = 0.25 I.1 + Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 0) và nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng 8 6 4 2 2 4 6 15 10 5 5 10 15 -1 1 2 0.25 Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc k là: ( ) 2−= xky + Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: ( ) 432 23 +−=− xxxk ( ) ( ) ( )    =−−−= == ⇔=−−−−⇔ 02 2 022 2 2 kxxxg xx kxxx A 0.25 I.2 + (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P ( ) 0 = ⇔ xgpt có hai nghiệm phân biệt 0.25 3 khác 2 ( ) (*)0 4 9 02 0 ≠<−⇔    ≠ >∆ ⇔ k g + Theo định lí viet ta có:    −−= =+ 2. 1 kxx xx NM NM + Các tiếp tuyến tại M, N vuông góc với nhau ( ) ( ) 1'.' −=⇔ NM xyxy ( ) ( ) 3 223 0118916363 222 ±− =⇔=++⇔−=−−⇔ kkkxxxx NNMM (th ỏ a(*)) 0.5 ( ) ( ) 2 cos sin 2 cos sin 1 1 sin cos 2 cos cos cos sin 1 cos sin 2 sin cos .sin2 sin x x x x pt x x x x x x x x x x x x − − ⇔ = ⇔ = − + − 0.25 Điều kiện: sin 2 0 2 cos sin 0 4 k x x x x x k π π π  ≠  ≠   ⇔   − ≠   ≠ +   0.25 Khi đó pt ( ) 2 sin2 2 sin c o s 2 2 4 x x x x k k π π ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ ℤ 0.25 II.1 Đối chiếu với điều kiện, pt đã cho có nghiệm là ( ) 2 4 x k k π π = − + ∈ ℤ 0.25 ( ) ( ) 2 2 2 2 21 1 1 21 1 2 x y y y x x  + = − +   + = − +   Đ i ề u ki ệ n: 1 1 x y ≥   ≥  Tr ừ hai v ế c ủ a pt (1) và (2) cho nhau ta đượ c: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 21 1 1 0 1 1 21 21 1 0 1 1 21 21 x y y x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + − + = − − − + − − + − ⇔ + + − + = − + − + + +   +   ⇔ −+ + + =   − + − + + +   ⇔ = 0.5 II.2 Thay x = y vào pt (1) ta đượ c: ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 21 1 21 5 1 1 4 4 2 2 2 1 1 21 5 1 1 2 2 1 0 2 1 1 21 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x + = − + ⇔ + − = − − + − − − ⇔ = + + − − + + +     ⇔ − + + − = ⇔ =     − + + +       V ậ y pt có nghi ệ m duy nh ấ t x = 2 0.5 III ( ) ( ) 3 3 3 5 2 3 2 * pt x x x⇔ − = − − + Đặt ( ) 3 3 2 3 3 5 2 3 3 5 y x y x − = − ⇔ − = − 0.5 4 Ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 5 ** 2 3 3 5 x y x y x  − = + −   − = −   Tr ừ v ế v ớ i v ế hai ph ươ ng trình c ủ a hê ta đươ c: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 0 x y x x y y x y x y x x y y x y   − − + − − + − = − −     ⇔ − − + − − + − + =   ⇔ = 0.5 Thay x=y vào (**) ta đượ c: ( ) 3 3 2 1 2 3 2 3 3 5 8 36 51 22 0 5 3 5 3 2 , , 4 4 x x x x x x x x − = − ⇔ − + − = + − ⇔ = = = M H I E C A D B S K T Vì ( ) CB AB CB SAB CB SA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒  ⊥  SB là hình chi ế u c ủ a SC lên mp(SAB) ( )  ( )  ( )  0 , , 30 SC SAB SC SB CSB⇒ = = = 0 .cot30 3 2 SB BC a SA a ⇒ = = ⇒ = 0.25 Vậy t h ể tích khối chóp S.ABCD là: 3 2 . 1 1 2 . 2. ( ) 3 3 3 S ABCD ABCD a V SAS a a dvtt = = = 0.25 + T ừ C d ự ng CI // DE 2 a CE DI ⇒ = = và ( ) / / DE SCI ( ) ( ) ( ) , , d DE SC d DE CSI ⇒ = Từ A kẻ AK CI⊥ cắt ED tại H, cắt CI tại K Ta có: ( ) ( ) ( ) SA CI CI SAK SCI SAK AK CI ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  theo giao tuyến SK Trong mặt phẳng (SAK) kẻ ( ) HT AK HT SCI ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ( ) ( ) , , d DE SC d H SCI HT ⇒ = = 0.25 IV + Ta có: 2 2 3 . 1 1 . 3 2 . . 2 2 5 2 ACI a a CD AI a S AK CI CD AI AK CI a a = = ⇒ = = =   +     0.25 5 Kẻ KM//AD 1 1 ( ) 2 3 5 HK KM a M ED HK AK HA AD ∈ ⇒ = = ⇒ = = L ại c ó:  2 2 2. . 38 5 sin 19 9 2 5 a a SA HT SA HK SKA H T SK HK SK a a = = ⇒ = = = + Vậy ( ) 38 , 19 d ED SC = Áp d ụ ng b đ t Cosi cho 3 s ố d ươ ng ( )( )( ) 1 1 4 , , 2 2 xy z x y z x y y z z x + + + ta đượ c: ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 3 1 4 1 1 4 2 2 3 xyz x y y z z x xy z xyz x y y z z x x y z x y y z z x + = + + + + + + + + ≥ + + + 0.25 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z x y y z z x xyz zx yz xy zx yz xy + + + = + + + Áp d ụ ng b đ t Cosi cho 3 s ố d ươ ng xy, yz, zx: ( ) 3 2 2 2 . . 1 1 1 1 3 xy yz zx xy yz zx x y z xyz + +   ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≤     Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương , , zx yz xy zx yz xy + + + : ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 8 2 3 zx yz x y zx yz xy zx yz xy zx y z xy   + + + + + + + + ≤ =     0.5 V Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8 x y z x y y z z x + + + ≤ Vậy ( )( )( ) 3 1 4 3 3 2 8 xyz x y y z z x + ≥ = + + + . 0.25 I A C B D M N L Gọi N’ là điểm đối xứng với N qua I ( ) ' 4 ; 5 N ⇒ − 0.25 Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0 Khoảng cách từ I đến AB là: 2 2 4.2 3.1 1 2 4 3 d + − = = + 0.25 VIa 1 Vì AC = 2BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x, trong tam giác vuông ABI có: 0.25 6 2 2 2 1 1 1 5 5 4 x BI d x x = + ⇒ = ⇒ = Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x+3y-1=0 với đường tròn tâm I bán kính 5 Tọa độ B là nghiệm của hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 1 4 3 4 3 1 0 1 13 1 2 1 5 25 20 5 0 1 5 1 ; 1 x y x x y y x x y x y x x x loai B −  =  −  + − =   = =    ⇔ ⇔ ⇔ =      = − − + − =       − − =    = −   ⇒ − 0.25 Gọi pt đường thẳng song song với Oy là (d): x = a (với 0 a ≠ ). Tung độ giao điểm của (d) và (E) là: ( ) 2 2 2 2 2 25 3 1 9. 25 5 25 9 25 5 a y a y y a a − + = ⇔ = ⇔ = ± − ≤ 0.25 Vậy 2 2 2 3 3 6 ; 25 , ; 25 25 5 5 5 A a a B a a AB a     − − − ⇒ = −         0.25 Do đ ó 2 2 6 100 5 5 4 25 4 25 5 9 3 AB a a a= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ± (th ỏ a mãn đ k) 0.25 VIa. 2 V ậ y p h ươ ng trình đườ ng th ẳ ng c ầ n tìm là 5 5 5 5 , 3 3 x x= = − 0.25 Đ i ề u ki ệ n 2,n n ≥ ∈ ℕ Ta có: ( ) ( ) 2 1 1 2 1 5 1 5 2 2( ) 3 10 0 5 n n n n n A C n n n loai n n n − + + − = ⇔ − − = = −  ⇔ − − = ⇔  =  0.5 VII a Với n = 5 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 10 5 10 2 2 5 10 0 0 1 2 1 32 3 k l k l k l P x x x x x C x x C x = = = − + + = − + ∑ ∑ ⇒ số hạng chứa x 5 là ( ) ( ) ( ) 4 3 1 2 7 5 5 5 10 . . 2 . 3 16.5 27.120 3320 x C x x C x x x − + = + = Vậy h ệ số của x 5 trong biểu thức P đã cho là 3320 0.5 + Tọa độ B AB BD= ∩ là nghiệm của hệ phương trình: ( ) 3 4 1 0 1 1 ; 1 2 3 0 1 x y x B x y y + + = =   ⇔ ⇒ −   − − = = −   + ( ) . 22 1 ABCD S AB AD= = C A D B + Ta có:  ( )  ( ) 2 2 2 2 3.2 4.1 211 cos tan 2 2 5 5 3 4 2 1 AD ABD ABD AB − = = ⇒ = = + + − Từ (1) và (2) ta có: AD =11; AB = 2 (3) 0.25 VIb 1 + Vì ( ) ; 2 3 D BD D x x ∈ ⇒ − + . Ta có: ( ) ( ) 11 11 ; 4 5 x AD d D AB − = = 0.25 7 Từ (3) và (4) suy ra 6 11 11 55 4 x x x =  − = ⇔  = −  + Với x = 6 ( ) 6 ; 9D ⇒ ⇒ phương trình đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB là : 4 3 3 0 x y − + = 3 1 38 39 ; ; 5 5 5 5 A AD AB C     ⇒ = ∩ = − ⇒         0.25 + V ớ i x = -4 ( ) 4 ; 11D ⇒ − − ⇒ ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng AD đ i qua A và vuông góc v ớ i AB là : 4 3 17 0 x y − − = 13 11 28 49 ; ; 5 5 5 5 A AD AB C     ⇒ = ∩ = − ⇒ − −         0.25 G ọ i pt Elip c ầ n tìm là: ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b a b + = > > v ớ i hai tiêu đ i ể m là ( ) 1 ;0, F c− ( ) 2 ;0 F c ( ) 2 2 2 , 0 c a b c = − > và hai đinh trên trục nhỏ là: ( ) ( ) 1 2 0 ; , 0 ; B b B b − 0.25 Theo giả thiết ta có hệ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 6 4 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3 4 12 2 3 c a b b a a b c b c b c a b a b   = − =  =      = ⇔ = ⇔ =       = + = +    + = +    0.5 VIb 2 Vậy (E): 2 2 1 36 27 x y + = 0.25 ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . 2013 n n n n n n n C C C C n C + + + + + + − + − + + + = (*) Xét khai triên: ( ) 2 1 1 n x + + = 0 1 2 2 3 3 4 42 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n C xC x C x C x C x C + + + + + + + + + + + + + + Đạo hàm cả hai vế của khai triển ta được: ( )( ) 2 2 1 1 n n x + + = ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 2 1 n n n n n n n C xC x C x C n x C + + + + + + + + + + + + 0.5 VII Thay x=-2 vào ta được: ( ) 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2. 3.2 . 4.2 . 2 1 2 . n n n n n n n n C C C C n C + + + + + + + = − + − + + + Do đó (2) 2 1 2013 1006 n n ⇔ + = ⇔ = 0.5 ………………… Hết…………………. . 1 SỞ GD VÀ ĐT THANH H A TRƯỜNG THPT BỈ M SƠN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2 012 -2 013 Môn: Toán - Khối A (Thời gian làm bài: 18 0 phút). 1 1 x y ≥   ≥  Tr ừ hai v ế c ủ a pt (1) và (2) cho nhau ta đượ c: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 21 21 1 1 0 1 1 21 21 1 0 1 1 21 21 x