TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM #  " SINH VIÊN THỰC HIỆN: NGUYỄN HÒA LỢI LỚP: ĐH3A1 TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT AN GIANG GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : thạc sĩ HOÀNG HUY SƠN M M M ụ ụ ụ c c c l l l ụ ụ ụ c c c N N N ộ ộ ộ i i i d d d u u u n n n g g g t t t r r r a a a n n n g g g    L L L ờ ờ ờ i i i n n n ó ó ó i i i đ đ đ ầ ầ ầ u u u 0 0 0    T T T í í í n n n h h h c c c ấ ấ ấ p p p t t t h h h i i i ế ế ế t t t , , , đ đ đ ố ố ố i i i t t t ư ư ư ợ ợ ợ n n n g g g n n n g g g h h h i i i ê ê ê n n n c c c ứ ứ ứ u u u , , , p p p h h h ư ư ư ơ ơ ơ n n n g g g p p p h h h á á á p p p n n n g g g h h h i i i ê ê ê n n n c c c ứ ứ ứ u u u , , , n n n ộ ộ ộ i i i d d d u u u n n n g g g n n n g g g h h h i i i ê ê ê n n n c c c ứ ứ ứ u u u 1 1 1    D D D ạ ạ ạ n n n g g g 1 1 1 : : : D D D ự ự ự a a a v v v à à à o o o c c c ô ô ô n n n g g g t t t h h h ứ ứ ứ c c c 2 2 2    B B B à à à i i i t t t ậ ậ ậ p p p á á á p p p d d d ụ ụ ụ n n n g g g 7 7 7    D D D ạ ạ ạ n n n g g g 2 2 2 : : : T T T ì ì ì m m m đ đ đ i i i ề ề ề u u u k k k i i i ệ ệ ệ n n n c c c ầ ầ ầ n n n 7 7 7    B B B à à à i i i t t t ậ ậ ậ p p p á á á p p p d d d ụ ụ ụ n n n g g g 9 9 9    D D D ạ ạ ạ n n n g g g 3 3 3 : : : P P P h h h ư ư ư ơ ơ ơ n n n g g g p p p h h h á á á p p p đ đ đ ồ ồ ồ t t t h h h ị ị ị 2 2 2 9 9 9    B B B à à à i i i t t t ậ ậ ậ p p p á á á p p p d d d ụ ụ ụ n n n g g g 3 3 3 1 1 1    D D D ạ ạ ạ n n n g g g 4 4 4 : : : P P P h h h ư ư ư ơ ơ ơ n n n g g g p p p h h h á á á p p p d d d ù ù ù n n n g g g t t t í í í n n n h h h đ đ đ ơ ơ ơ n n n đ đ đ i i i ệ ệ ệ u u u 3 3 3 9 9 9    B B B à à à i i i t t t ậ ậ ậ p p p á á á p p p d d d ụ ụ ụ n n n g g g 4 4 4 1 1 1    D D D ạ ạ ạ n n n g g g 5 5 5 : : : P P P h h h ư ư ư ơ ơ ơ n n n g g g p p p h h h á á á p p p đ đ đ á á á n n n h h h g g g i i i á á á 5 5 5 1 1 1    B B B à à à i i i t t t ậ ậ ậ p p p á á á p p p d d d ụ ụ ụ n n n g g g 5 5 5 3 3 3    K K K ế ế ế t t t l l l u u u ậ ậ ậ n n n 7 7 7 1 1 1    T T T à à à i i i l l l i i i ệ ệ ệ u u u t t t h h h a a a m m m k k k h h h ả ả ả o o o 7 7 7 2 2 2 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp cho công tác dạy học ở trường phổ thông được tốt,giúp cho học sinh nâng cao được trình độ đề tài là một nét phát thảo lớn các phương giải “tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất”. Nội dung của đề tài chia ra làm năm dạng: Dang 1:Dựa vào công thức Dạng 2:Tìm điều kiện cần Dạng 3:Phương pháp đồ thị Dạng 4:Phương pháp dùng tính đơn điệu Dạng 5:Phương pháp đánh giá Ứng với mỗi dạng được chia làm ba phần :Từ phần tóm tắt phương pháp giải đến ví dụ minh hoạ cuối cùng là phần bài tập áp dụng. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệ u tham khảo bổ ích cho các bạn sinh viên say mê học toán. Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy chủ nhiệm khoa ,thầy Hồ Văn Các,trong thời gian qua đã tạo mọi điều kiện cho em tham gia nghiên cứu đề tài.Em xin gởi lời cảm ơn thầy Hoàng Huy Sơn đã hướng dẫn em trong thời gian nghiên cứu đề tài .Và cuối cùng em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy trong khoa sư phạm đã góp nhiều ý ki ến quý báo và giúp cho đề tài của em được nhiệm thu một cách tốt đẹp. Mặc dù đã cố gắng hết sức để tài thành công mỹ mảng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những sai sót và khuyết điểm .Kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn,xứng đáng là tài liệu tham khảo bổ ích. Long Xuyên ngày 9 tháng 10 năm 2004 Tóm Tắt Nội Dung Nghiên Cứu "  # Kính thưa các thầy, trước hết em xin kính chúc các thầy dồi dào sức khỏe ! Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy chủ nhiệm khoa, thầy Hồ Văn Các , đã tạo điều kiện cho em tham gia nghiên cứu đề tài. Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Hoàng Huy Sơn trong thời gian qua đã hướng dẫn em nghiên cứu đề tài. Em xin gởi lời cảm ơn đến các thầy trong hộ i đồng khoa sư phạm đã tạo điều kiện để tài của em được nghiệm thu. Kính thưa các thầy ! Lĩnh vực toán sơ cấp có nhiều điểm lí thú, có những dạng toán mà làm cho chúng ta suy nghĩ rất nhiều mới tìm ra lời giải đáp. Nếu không có phương pháp suy nghĩ đúng đắn chắc chắn chúng ta khó mà tìm được đáp án đúng hoặc đi lòng vòng quanh co. Một trong những dạng như thế là dạ ng toán “Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất”. Chính vì nhận thức được điều đó mà em tham gia nghiên cứu vấn đề một cách thận trọng và tổng hợp hết các các dạng của loại toán này. Nội dung được chia làm năm phần.Ứng với mỗi phần là một dạng toán của đề tài. Trong mỗi phần được chia làm ba nội dung:tóm tắt phương pháp giải, ví dụ minh h ọa và bài tập áp dụng. Dạng 1: Dựa vào công thức. Đối với dạng này chúng ta chỉ cần thuộc công thức thì có thể giải được ngay không cần suy nghĩ nhiều. Tuy nhiên, phải phát hiện đúng dạng mới áp dụng được. Chúng ta cần nhớ các công thức: công thức gramme, công thức ,… Để hiểu được phương pháp em đã đưa ra nhiều ví dụ minh họa dễ hiểu từ dễ đến khó. Sau cùng là bài tập áp dụng để củng cố những kiến thức đã nêu. Nhìn chung phương pháp này khá đơn giản đối với các bạn sinh viên học toán . 04 2 =− ps Dạng 2: Tìm điều kiện cần Đối với dạng này thì chúng ta quan tâm đến tính chất chẵn lẻ của hàm số. Nếu là hàm chẵn thì đồ thị của nó đối xứng qua trục tung,còn là hàm số lẻ thì đồ thị của nó đối xứng nhau qua góc tọa độ. Dựa vào tính chất này mà ta phát hiện ra điều kiện cần . Cũng có khi chúng ta lại dựa vào điều kiện có nghiệm duy nhất của phương trình bậc hai để tìm ra điều kiện c ần. Sau khi đã tìm ra điều kiện cần bước tiếp theo ta thử lại xem giá trị nào là giá trị tham số cần tìm. Phương pháp này có ưu điểm là giải quyết được khá nhiều bài tập. Mặc dù vậy nó cũng phải là phương pháp tối ưu vì có hững bài ta chỉ cần biện luận vài ba câu thì đã xong được bài toán. Chẳng hạn như phương pháp đồ thị Dạng 3: Phương pháp đồ thị Ưu điểm của phương pháp này là giải quyết nhanh gọn bài toán. Tuy nhiên, cần phải biết vẽ đồ thị của từng biểu thức trong hệ phương trình. Sau đó dựa vào hình mà biện luận. Như đã nói thì không có phuong pháp nào là tối ưu mỗi phương pháp trên điều có ưu điểm và khuyết điểm. Có những bài toán mà cả ba phương pháp trên điều khong giải được mà chúng ta phải dùng một phương pháp khác. Đó là phương pháp dùng tính đơn điệu Dạng 4: Phương pháp dùng tính đơn điệu Trong phương pháp này ta lại khai thác tính chất đơn điệu của hàm số trên một miền D đơn điệu nào đó. Sử dụng tính chất này ta sẽ thu được tính chất tuyệt vời mà việc giải hệ trở nên đon giản đưa về hệ mà trong đó có một phương trình có dạng x=y. Sau đó ta thay x hoặc y vào các phương trình còn lại để bện luận. Một phương khác cũng không kém phần quan trọng là phươ ng pháp đánh giá Dạng 5:Phương pháp đánh giá Nếu biết sử dụng nhuần nhuyễn các bất đẳng thức như: bất đẳng thức Cauchy, bunnhiacopxki, becnouly,…và các bất đẳng thức khác thì ta sẽ giải được những bài toán đặc biệt mà các phương pháp trên không giải được. Đối vơi dạng toán thường khó phát hiện ra sớm nên có thể nói đây là phương pháp khó. Do thời gian hạn hẹp nên em đưa ra những bài tập có hạn. Có những dạng đưa ra bài tập tương đối nhiều và c ũng có những dạng đưa ra bài tập tương đối ít. Phần bài tập áp dụng có những bài em tự suy nghĩ ra mà không có trong sách nào cả vì muôn có nhiều bài tập cho được cân đối giữa các phần. Tuy nhiên, không phải vì như vậy mà đưa ra những bài tập qua loa. Đề tài còn phát triển được nhiều bài tập nhưng vì thời gian không cho phép nên em không thể đưa ra hết các bài tập .Mặc dù em đã cố gắng hết sức để hoàn tất đề tài nhưng chắc chắ n không tránh khỏi khiếm khuyết. Hy vọng đề tài góp phần vào kho tàng tri thức toán học, là một tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên toán năm thứ hai, các bạn học sinh phổ thông và các giáo viên phổ thông trung học. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-1 I.TÍNH CẤP THIẾT : Như ta đã biết trong chương trình Toán phổ thông ta thường gặp những dạng toán thường đòi hỏi chúng ta làm việc với những tham số như giải và biện luận phương trình,bất phương trình,hệ phương trình,hệ bất phương trình. Trong các dạng ấy ta đặc biệt quan tâm đến dạng toán tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.Đây là dạng toán hay và có nhiề u lý thú trong cách giải. Thông thường các biểu thức giải tích có trong hệ phương trình nó ẩn dấu một tính nào đó.Ta cần phát hiện và khai thác tính chất ấy để tìm ra mối quan hệ đặc biệt hoặc một ràng buộc đối với tham số, từ đó tìm ra điều kiện cần. Đôi khi chúng ta dựa vào công thức hoặc tính chất hình học đã biết để vẽ đồ thị của hàm,từ đó tìm ra lời giả i cho bài toán , thậm chí có thể khảo sát tính đơn diệu của một biểu thức rồi tìm ra được mối liên hệ để giải bài toán .Và có những bài toán không có cách giải chung đòi hỏi chúng ta phải giải chúng bằng một cách nào đó và ta gọi chúng là những hệ phương trình không mẫu mực. II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất trong đó ta đi sâu vào các loại hệ phương trình sau: 1/ Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2/ Hệ phương trình đối xứng loại 1 3/ Hệ phương trình đối xứng loại 2 4/ Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 5/ Hệ phương trình mũ – Logarit 6/ Hệ phương trình không mẫu mực III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Dựa vào các bài tập trong các tài liệu tham khảo để tìm ra phương pháp chung. Đối với loại toán này chung qui có một số phương pháp cơ bản sau: 1. Dựa vào công thức 2. Tìm điều kiện cần của tham số sau đó thử lại 3. Phương pháp đồ thị 4. Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số 5. Phương pháp đánh giá một biểu thức IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : Tìm cách giải đối với từng dạng và được tiến hành 3 phần: Phần 1: phương pháp giải Phần 2: Ví dụ Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-2 Dạng 1 : Dựa vào công thức Nếu ta gặp được hệ cho dưới dạng ⎩ ⎨ ⎧ = + ′ = ′ + ′ cbyax cybxa hoặc ⎩ ⎨ ⎧ = + = m p s csp hoặc ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ dxbyax dybyay 23 23 tức là cho dưới dạng hệ phương trình bậc nhất , hệ phương trình đối xứng loại 1 ,hệ phương trình dối xứng loại 2 thì ta giải như sau: - Đối với hệ phương trình nhất: + Tính D = a b a a ′′ + Cho D 0 để tìm m m là giá trị cần tìm để hệ có nghiệm duy nhất ≠ ⇒ - Đối với hệ đối xứng loại 1 : + Đặt ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += = ≥− yxs xyP ps 04 2 + Tính S 2 – 4p = 0 ⇒ tìm được m,với giá trị m này là giá trị m cần tìm để hệ có nghiệm duy nhất ( không cần thử lại) - Đối với hệ phương trình đối xứng loại 2 : Trừ từng vế của hai phương trình được phương trình mới và ghép một trong hai phương trình của hệ để được một hệ phương trình mới.Thông thường đối với hệ mới này ta sẽ dẫn đến giải hai hệ phương trình,một trong hai hệ có dạng ⎩ ⎨ ⎧ = = yx myxf 0),,( ( I ) Giải hệ (I) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất,sau đó thay giá trị m này vào hệ còn lại,nếu hệ này vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất trùng với nghiệm của hệ (I) thì đó là giá trị cần tìm,ngược lại là không. Có khi ta tìm m thuộc một đoạn hoặc một khoảng .Khi đó ta biến đổi hệ này để đưa về hệ trong đó có một phương trình bậc hai hai ẩn x,y.Khi đó ,xem x hoặc y là ẩ n và tính ∆ theo ẩn đó.Từ đó định ∆ < 0 để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (so sánh với giá trị m đã tìm ở hệ (I) rồi rút ra kết luận). Ví dụ 1: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-3 ⎩ ⎨ ⎧ = + =+ 45 3 myx ymx Giải + Ta có D = m m 1 5 = 5 – m 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 5± Vậy với m ≠ 5± thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất Ví dụ 2: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ = − ++++ 1 32 2 31 3 21 1 321 n mxmxmx n mxmxmx n mxmxmx n n mxmxmxmx Giải Ta có D = = (n-1)m 0 m m . . . . . . . . . m m 0 m . . . . . . . . . m m m 0 . . . . . . . . . m . . . . . . . . . . . . . . . . . . m m m . . . . . . . . .0 1 m m . . . . . . . . m 1 0 m . . . . . . . . . m 1 m 0 . . . . . . . . . m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1mm 0 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-4 = (-1) n-1 . (n-1) . m . m n-1 =( n-1) . (-1) n-1 . m n ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 Vậy với m 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất. ≠ Ví dụ 3 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=++ +=+ 2 1 22 mxyyx myxxy Giải Đặt Đ/K S ⎩ ⎨ ⎧ = += xyP yxS 2 – 4p 0 ≥ Hệ phương trình trở thành ⎩ ⎨ ⎧ + = + += 2 1 mpS mSp ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = += 1 1 S mp ∨ ⎩ ⎨ ⎧ += = 1 1 mS p Với thỏa điều kiện S ⎩ ⎨ ⎧ = += 1 1 S mp 2 – 4p 0 ≥ ⇔ 1 – 4 (m+1) 0 ≥ ⇔ m ≤ - 4 3 Ö x,y là nghiệm của phương trình X 2 – X + m +1 = 0 Với thỏa điều kiện S ⎩ ⎨ ⎧ += = 1 1 mS p 2 – 4p 0 ≥ ⇔ m -3 m 1 ≤ ∨ ≥ Ö x, y là nghiệm của phương trình Y 2 – (m+1)Y + 1 = 0 Để hệ có nghiệm duy nhất xảy ra các trường hợp sau: a/ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ∆ <∆ 0 1 0 2 m = -⇔ 4 3 thỏa điều kiện b/ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ∆ =∆ 0 1 0 2 m = 1 thỏa điều kiện ⇔ Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất-5 c/ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =∆ =∆ + = 0 1 0 2 2 1 2 1 m vô nghiệm Vậy với m = - 4 3 hoặc m = 1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất Ví dụ 4 : (I) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ axyyx axyxy 2 2 Giải (I) ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− =−+++ 0)1)(( 22)( 2 )( yxyx axyxyyxyx ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =−++ =+ =−+++ )( 22)( 2 )( )( 1 22)( 2 )( II yx axyxyyxyx III yx axyxyyxyx Giải hệ (II) : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =−+++ yx axyxyyxyx 22)( 2 )( ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 0 x y ∨ ⎩ ⎨ ⎧ = =+− yx xa 01)1( ( ∗ ) Hệ có nghiệm duy nhất ⇔ ( ∗ ) vô nghiệm ⇔ a = 1 Thay a = 1 vào hệ (III) ta được ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = 1 2 1 S p vô nghiệm [...]... có hệ ⎨ ⎪ y2 =1 ⎩ Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 0,1 ) với a = 2 + Với a = 0 ta có hệ phương trình : ⎧ ⎪ y + 1 = sin x ⎨ ⎪ tg 2 x + y 2 = 1 ⎩ (3) (4) ⇒ y=1 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 20 ⎧ x = kπ Dễ thấy ⎨ là nghiệm của hệ ⎩ y = −1 Vậy hệ có vô số nghiệm ⇒ a = 0 không thỏa Vậy a = 2 thì hệ có nghiệm duy nhất ⎧ ( x + 1)a = y + cos x ⎪ ⎨ ⎪ sin 2 x + y 2 = 1 ⎩ 7/ (I) Điều. .. 1) (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của (I) Do tính duy nhất nghiệm nên x = y ⇒ x = 0 Khi đó hệ trở thành: 2lg2x – mlgx + m = 0 (1) Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 27 Đặt t = lgx , (1) trở thành 2t2 – mt + m = 0 (*) Do x là duy nhất ⇔ (*) có nghiệm duy nhất ⎡m = 0 ⇔ ⎢ ⎣m =8 Điều kiện đủ: +Với m = 0 ta có hệ phương trình: ... phương trình Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 9 ⎧ 2 2 ⎪ x + y =1 ⎨ ⎪ 2 x + x = y + x2 ⎩ (II) +2 Hệ (II) có ít nhất 2 nghiệm (-1,0) , (1,0) do đó a=2 không thỏa Vậy a=0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Ví dụ 2 : ⎧ 2 ⎪x + y ⎨ ⎪ x − sin 2 ⎩ =a (I) y = −3 - Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (x,-y) cũng là nghiệm của (I) , do tính duy nhất nghiệm. .. thay vào hệ (I) thấy thỏa ⎧ x = −6 thay vào hệ (I) thấy không thỏa * Với ⎨ y=0 ⎩ ⎧x=0 là nghiệm duy nhất Vậy ⎨ ⎩y=0 0 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 18 Với a = 2 ta có hệ phương trình ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ y y (3 − 2 2 ) + (3 + 2 2 ) = x 2 + 6 x + 11 y2 = 0 −6 ≤ x ≤ 0 ⎧ x = −3 ⇔ ⎨ Vậy hệ có nghiệm duy nhất ⎩y=0 Vậy với a = 2 hoặc a = -1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⎧... (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I) thì (-x,y) cũng là nghiệm của (I) Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x ⇒ x = 0 Khi đó hệ trở thành: ⎧ ⎧ a = −1 ⎪ a = 3y +1 ⇔ ⎨ ⎨ ⎩ a = 4/3 ⎪ y = a 2 −1 ⎩ Điều kiện đủ: + Với a = -1 ta có hệ phương trình: ⎧ ⎪ 3y + ⎨ ⎪y+ ⎩ x 2 +1 = 1 x 2 +1 = 1 ⎧x=0 ⇔ ⎨ ⎩y=0 + Với a = 4 /3 ta có hệ phương trình : Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy. .. u , v là nghiệm của phương trình 12 + 3 15 =0 2 15 15 15 X2 – ( 3 + 15 )X + Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 22 u=v= 3 + 15 ⇒ 2 ⎧ 10 + 3 15 ⎪x = ⎪ 2 ⎨ 8 + 3 15 ⎪ ⎪y= 2 ⎩ Vậy a = 3 + 15 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⎧ ⎪ x + y + xy = m 9/ ⎨ ⎪ x2 + y2 = m ⎩ (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y) là nghiệm (I) thì (y,x) cũng là nghiệm của (I) Do tính duy nhất nghiệm nên... duy nhất 16/ ⎧ 4 ⎪ a( x + 1) = y + 1 − ⎨ ⎪ x2 + y2 =1 ⎩ x (I) Điều kiện cần: Dễ thấy (x,y) là nghiệm của (I)thì (-x,y) cũng là nghiệm của (I) Do tính duy nhất nghiệm nên suy ra x = - x ⇔ x = 0 Khi đó hệ trở thành ⎧ y =1 ⎨ ⎩a = 2 Điều kiện đủ: ∨ ⎧ y = −1 ⎨ ⎩a = 0 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 28 +Với a=0 ta có hệ phương trình ⎧ y +1 = x ⎪ ⎨ ⎪ x2 + y2 =1 ⎩ Dễ thấy hệ. .. m=1 vô nghiệm thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 14 ⎧ xyz + z = a ⎪ 2 ⎪ xyz + z = b ⎨ ⎪ x2 + y2 + z2 ⎪ ⎩ 2/ =4 (I) Điều kiện cần : Dễ thấy (x,y,z) là nghiệm (I) thì (-x,-y,z) cũng là nghiệm của (I) Do tính duy nhất nghiệm nên x = -x , y = -y ⇔ x = y = 0 ⎧z =a=b ⎪ ⎨ ⎪ z2 = 4 ⎩ Khi đó hệ trở thành ⎧z ⇔ ⎨ ⎩z =a=b=2 = a = b = −2 Điều kiện đủ:... không thỏa ta có hệ phương trình ⎧ x + y + xy = 2 + 2 ⎪ ⎨ ⎪ xy( x + y) = 4 2 ⎩ 2 ⎧x+ y = 2 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ xy = 2 2 ⎩ ∨ ⎧x+ y=2 ⎪ ⎨ ⎪ xy = 2 ⎩ 2 Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 13 ⎧x+ y = 2= S ⎪ Hệ ⎨ ⎪ xy = 2 2 = p ⎩ ⎧x+ y = 2 2 ⎪ Hệ ⎨ ⎪ xy = 2 = p ⎩ vô nghiệm S2 – 4p = 4 - 8 . Vậy a = 1/ 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bài tập tương tự : Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 10 1/ ⎩ ⎨ ⎧ + =++ =+ 2 2)( mxyyx myxxy . m ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = −= = 1 22 22 2 m m m m vô nghiệm Vậy với m=1 hoặc m = 2 2 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất- 14 2/