BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hoàng Trọng Vĩnh QUAN ĐIỂM VECTƠ TRONG DẠY HỌC PHÉP BIẾN HÌNH Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Thị Hồi Châu, giảng viên khoa Tốn- Tin trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Cơ người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành Luận văn thời hạn Xin chân thành cám ơn trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Khoa Tốn- Tin, Phịng Khoa học công nghệ - sau đại học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập, nghiên cứu làm Luận văn Xin trân trọng biết ơn thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ lớp Cao học khoá 17 chuyên ngành “Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn” Xin chân thành cám ơn cấp lãnh đạo, giáo viên, công nhân viên trường Trung học phổ thông Chu Văn An tỉnh Đồng Nai tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành Luận văn Sau tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình tôi, bạn bè thân thiết động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình làm Luận văn Do điều kiện thời gian lực, chắn Luận văn cịn nhiều khiếm khuyết, chúng tơi kính mong thầy giáo, giáo đồng nghiệp góp ý để Luận văn hồn chỉnh Tác Giả Hoàng Trọng Vĩnh MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Kể từ cải cách giáo dục bắt đầu thực toàn quốc từ năm 1980 theo hình thức chiếu trực tiếp ảnh hưởng đến chương trình trung học phổ thông (THPT) vào năm 1990, vectơ xem đối tượng giảng dạy lớp 10 Như tác giả Lê Thị Hồi Châu (1997) phân tích, việc đưa vectơ vào tạo nên thay đổi chương trình mơn tốn dạy THPT Nếu trước học sinh biết đến phương pháp tổng hợp tiếp cận hình học sơ cấp họ trang bị thêm phương pháp vectơ phương pháp toạ độ Nhờ có cơng cụ vectơ mà nhiều định lý chứng minh cách gọn gàng Phương pháp vectơ (cũng giống phương pháp tọa độ) mang lại tính khái quát cao cho việc giải nhiều tốn phức tạp hình học sơ cấp Điều tác giả viết sách giáo khoa khẳng định : “…Với công cụ vectơ, học sinh tập làm quen với việc nghiên cứu hình học phẳng phương pháp khác, gọn gàng, có hiệu mang tầm khái quát cao….” (Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, SGV Hình Học 10, NXBGD, 2006, trang 7) Không Sách giáo viên tác giả cịn giải thích : “Việc đưa “vectơ phương pháp tọa độ” vào chương trình Hình học 10 giúp cho học sinh sớm tiếp cận với phương pháp tư đại mang tính khoa học cao, giúp cho học sinh có thêm cơng cụ để suy luận tư cách chặt chẽ xác, tránh hiểu lầm trực giác mang tới” Chương trình 1990 chỉnh lý vào năm 2000 Trong chương trình thứ hai này, vai trị vectơ khơng thay đổi Đến năm 2006, chương trình phân ban áp dụng tồn quốc Trong chương trình mới, có dịch chuyển vị trí chương Phép biến hình: trước kia, dạy chương 3, chương cuối hình học lớp 10, sau chương Vectơ chương Hệ thức lượng, cịn đây, đẩy sau chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng (vốn trước trình bày lớp 12) Sự thay đổi có làm biến đổi vai trò vectơ nghiên cứu phép biến hình hay khơng ? có biến đổi nào? điều có ảnh hưởng đến việc dạy học phép biến hình hay không? Những câu hỏi dẫn đến với đề tài Quan điểm vectơ dạy học phép biến hình trường phổ thơng Khung lý thuyết tham chiểu Thuật ngữ quan điểm vectơ sử dụng theo nghĩa khai thác vectơ cho việc nghiên cứu hình học sơ cấp, mà trường hợp chúng tơi phép biến hình Đặt khuôn khổ lý thuyết Didactic, thấy câu hỏi vai trò vectơ dạy học phép biến hình liên quan đến khái niệm quan hệ thể chế Thuyết nhân học Chevallard đặt móng Câu hỏi ảnh hưởng thay đổi chương trình lên hoạt động dạy học lại liên quan đến khái niệm quan hệ cá nhân lý thuyết Sau chúng tơi trình bày tóm tắt số khái niệm mà sử dụng lý thuyết cố gắng tính thỏa đáng cho lựa chọn phạm vi lý thuyết Các khái niệm này, chúng tơi trích từ giảng cơng bố sách song ngữ Những yếu tố Didactic toán 2.1 Quan hệ thể chế đối tượng tri thức Cách tiếp cận sinh thái Một đối tượng tồn cá nhân Mỗi cá nhân lại tồn thể chế Quan điểm thừa nhận thuyết nhân học : “Một tri thức không tồn “lơ lửng” xã hội rỗng : tri thức xuất thời điểm định, xã hội định, cắm sâu vào nhiều thể chế.” (Chevallard, 1989) Như thế, đối tượng O tồn độc lập thể chế Nói cách khác, O sống mối quan hệ chằng chịt với đối tượng khác O sinh ra, tồn phát triển mối quan hệ Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) O phát triển có lý tồn (raison d’être), nuôi dưỡng quan hệ, ràng buộc với đối tượng khác Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R (I,O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R (I, O) cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trị I, … Trở lại với câu hỏi xuất phát vai trò vectơ dạy học phép biến hình theo chương trình 2006, chúng tơi thấy cần thiết việc xem xét quan hệ thể chế mà quan tâm phép biến hình, hay nói xác việc khai thác công cụ vectơ việc nghiên cứu phép biến hình Cụ thể, theo cách tiếp cận trường sinh thái, câu hỏi xuất phát chúng tơi địi hỏi nghiên cứu tồn phát triển đối tượng vectơ mối quan hệ với phép biến hình 2.2 Tổ chức tốn học Vấn đề làm để nghiên cứu quan hệ thể chế I với đối tượng O ? Theo Bosch M Chevallard Y., điều tiến hành thơng qua việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O : “Mối quan hệ thể chế với đối tượng […] định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm vị trí thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định (tham khảo Bosch M Chevallard Y., 1999) Ở đây, tổ chức toán học (organisation mathématique) – cịn gọi praxéologie tốn học (praxéologie mathématique), gồm thành phần [T, , , ], T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T,  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  lí thuyết giải thích cho , nghĩa công nghệ công nghệ  Việc O xuất hay số tổ chức toán học giải thích lý tồn O, phản ánh vai trò, mối quan hệ O với đối tượng khác có mặt thể chế 2.3 Quan hệ cá nhân với đối tượng O Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X,O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O R (X, O) cho biết X nghĩ O, X hiểu O, thao tác O Theo quan điểm việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O điều chỉnh mối quan hệ X O Cụ thể, việc học tập xảy quan hệ R (X, O) bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), bị biến đổi (nếu tồn tại) Hiển nhiên, cá nhân phải tồn tại, hoạt động thể chế Trong thể chế I mà cá nhân X tồn hoạt động, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R (I, O) Chính thế, muốn trả lời câu hỏi thứ hai ảnh hưởng thay đổi cấu trúc chương trình đến việc dạy học phép biến hình, cần phải nghiên cứu trước hết quan hệ thể chế sau quan hệ cá nhân Cũng theo Bosch M Chevallard Y., việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O không giúp rõ quan hệ thể chế O mà cịn cho phép hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X tồn O, vì: “Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Vấn đề nghiên cứu quan điểm vectơ dạy học phép biến hình trường phổ thông Chúng nhắc lại : thuật ngữ quan điểm vectơ dùng theo nghĩa khai thác công cụ vectơ Trong phạm vi thuyết nhân học, chúng tơi trình bày lại câu hỏi đặt ban đầu sau:  Q1 Gọi đối tượng O phép biến hình, I thể chế dạy học trường phổ thơng theo chương trình hành Đâu đặc trưng quan hệ thể chế R(I, O)? Trong quan hệ ấy, cơng cụ vectơ xét có vai trị gì? Vai trị tạo điều kiện thuận lợi, hay ngược lại, khó khăn, cho việc dạy học phép biến nào?  Q2 Sự lựa chọn thể chế ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân học sinh O? Ở đây, cần phải nói rõ thể chế dạy học giáo viên học sinh hai đối tượng chủ chốt Nhưng, thời gian có hạn, chúng tơi khơng xem xét X cương vị giáo viên mà thu hẹp nghiên cứu quan hệ cá nhân học sinh O Tuy nhiên, để phân tích quan hệ R(I, O), cần phải có nghiên cứu thân O cấp độ tri thức khoa học, vì, để tồn thể chế, đối tượng O phải bị biến đổi cho phù hợp với điều kiện ràng buộc thể chế Điều dẫn đến chỗ thường tồn khoảng cách (đôi lớn) tri thức khoa học (được thừa nhận cộng đồng nhà toán học) với tri thức xác định chương trình, trình bày sách giáo khoa (tri thức cần dạy) Thiếu hiểu biết O cấp độ tri thức khoa học khơng hình dung khoảng cách khó mà có hiểu biết đầy đủ R(I, O) Vì lý trên, trước nghiên cứu quan hệ thể chế R(I, O), cần phải tìm hiểu O (phép biến hình) cấp độ tri thức khoa học Thông thường, nghiên cứu tri thức luận đối tượng toán học O giúp làm rõ nhiều vấn đề : lịch sử O hình thành từ việc giải tốn ? việc hình thành có gặp phải trở ngại hay có gắn liền với điều kiện khơng (chẳng hạn phải có thay đổi quan niệm hay tác động đối tượng đó) ? đến lượt mình, O lại phát triển nào, ảnh hưởng đến lịch sử tốn học, v.v Đó nghiên cứu đòi hỏi nhiều thời gian tư liệu, vượt q khả chúng tơi Vì thế, chúng tơi tìm kiếm vài cơng trình có phân tích lịch sử hình thành phát triển đối tượng phép biến hình Trong trường hợp cần thiết, chúng tơi nghiên cứu thêm giáo trình đại học sách có trình bày cách hệ thống đối tượng (dành cho giáo viên, sinh viên trường đại học sư phạm) Mục đích xem xét tư liệu tìm yếu tố trả lời câu hỏi Q0 mà chúng tơi nói cần thiết để làm tham chiếu cho việc nghiên cứu quan hệ thể chế :  Q0 Trong lịch sử, lý thuyết phép biến hình trải qua giai đoạn phát triển nào? Đặc trưng giai đoạn gì? Khái niệm phép biến hình hình thành điều kiện (phải có thay đổi quan niệm hay tốn học)? Vectơ có vai trị việc nghiên cứu phép biến hình? Những kết luận sư phạm rút từ lịch sử? Kết thu qua việc nghiên cứu loại tài liệu nêu trình bày chương luận văn với tiêu đề: Phép biến hình quan điểm vectơ : điều tra khoa học luận Nghiên cứu thực chương sở cho việc xem xét phép biến hình cấp độ tri thức cần dạy Ở đây, tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 Điều thực qua việc phân tích chương trình sách giáo khoa hành, kèm theo sách tập, sách giáo viên Phân tích đặt khuôn khổ thuyết nhân học Với câu hỏi Q1 phân tích quan hệ thể chế với phép biến hình chúng tơi đặt trọng tâm vào việc tìm hiểu vai trị cơng cụ vectơ xây dựng kiến thức phép biến hình Phân tích chúng tơi trình bày chương luận văn – Phép biến hình quan điểm vectơ: nghiên cứu thể chế Phân tích quan hệ thể chế cho phép chúng tơi hình thành nên giả thuyết liên quan đến câu hỏi Q3, Q4 Để kiểm chứng (hay bác bỏ) giả thuyết này, xây dựng thực nghiệm tiến hành với học sinh lớp 11, sau em hồn tất phần chương trình phép biến hình Chương luận văn – Một nghiên cứu thực nghiệm, chương trình bày nghiên cứu thực nghiệm Chương PHÉP BIẾN HÌNH VÀ QUAN ĐIỂM VECTƠ: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN 1.1 Phép biến hình : điều tra khoa học luận 1.1.1 Lịch sử hình thành phát triển lý thuyết phép biến hình Trong điều kiện hạn chế tư liệu lịch sử, chúng tơi xin trích dẫn phần lớn nội dung lịch sử phép biến hình từ giáo trình Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thơng Lê Thị Hồi Châu Trong giáo trình này, tác giả tóm lược lại kết nghiên cứu tri thức luận phép biến hình mà Jahn A P thực qua phân tích lịch sử (Jahn A P , 1998 ) Lịch sử hình thành lý thuyết phép biến hình gắn liền với cách hiểu khác hình hình học Vì thế, để phân tích lịch sử hình thành lý thuyết biến hình ta khơng thể khơng nói đến tiến triển quan niệm hình Về phép biến hình, lịch sử trải qua giai đoạn Dưới đây, chúng tơi trình bày tóm lược giai đoạn Giai đoạn thứ : phép biến hình xuất ngầm ẩn khái niệm “hình nhau” Hình học sơ cấp hình thành từ thời cổ xa, thực trở thành khoa học suy diễn từ cơng trình Euclide Nhà toán học vĩ đại tập trung kiến thức hình học mà lồi người có kỷ thứ trước công nguyên xây dựng nên lý thuyết hình học theo tư tưởng phương pháp tiên đề Trong hình học Euclid, hình xác định ba yếu tố: vị trí, hình dạng số đo Sự thay đổi vị trí khơng ảnh hưởng đến hai yếu tố Các hình đối tượng cứng, xem xét tổng thể hình dạng kích thước Người ta nói “điểm đường”, hay “điểm hình”, khơng quan niệm hình tạo thành từ tập hợp điểm, mà xem giá đặt điểm lên Liên quan đến phép biến hình, với mắt tốn học ngày nay, ta đọc mệnh đề IV Euclid mô tả kết việc dịch chuyển tam giác, dẫn Jahn A P., 1998, Des transformations des figures aux transformations ponctuelles : étude d'une séquence d'enseignement avec Cabri-géomètre, relation entre aspects géométriques et fonctionnels en classe de seconde, Thèse en didactique des mathématiques Universté Joseph Fourier đến trùng với tam giác khác Điều đưa đến chỗ xem tam giác thứ hai ảnh tam giác thứ qua qua phép dời hình Nhưng dịch chuyển (ngầm ẩn) dịch chuyển hình khơng phải phép biến hình thực không gian xem xét với tư cách tập hợp điểm Do thao tác dịch chuyển khơng xem phép biến hình theo nghĩa làm biến đổi hình dạng hình Tóm lại, hình học Eucid, đối tượng nghiên cứu hình xét tổng thể với tư cách hình dạng Phép biến hình khơng phải đối tượng nghiên cứu, ngầm ẩn xuất tình so sánh hai hình, hiểu theo nghĩa phép chuyển dời hình từ vị trí sang vị trí khác, chưa xem xét tác động lên không gian điểm Giai đoạn thứ hai : Phép biến hình – Cơng cụ nghiên cứu đường cơnic Vấn đề biểu diễn đối tượng khơng gian bóng chúng chiếm quan tâm nhiều họa sĩ kỷ 15 Các nghệ sĩ thời Phục hưng Durer, Léonard de Vinci, Brunelleschi tìm cách biểu diễn xác lên mặt phẳng hình khơng gian cho tạo nên hình vẽ “trung thành” thực tế Nghiên cứu họ dẫn đến chỗ sáng tạo số quy tắc hình học phép phối cảnh Nhiều sách bàn phép phối cảnh xuất vào đầu kỷ XVI Thoạt tiên chúng giới hạn phạm vi nghệ thuật, sau phép chiếu bắt đầu đưa vào hình học nhờ cơng trình Girard Desargues (1591 – 1661), kiến trúc sư người Pháp Theo Desargues, nguyên lý làm sở cho kỹ thuật vẽ phối cảnh không cho phép tạo hình từ hình khác mà cịn mang tính chất hình ban đầu vào hình nhận Nghiên cứu Desargues liên quan chủ yếu đến đường cônic Những đường xem giao mặt phẳng với hình nón trịn xoay Sau đó, nhờ phép chiếu mà chúng giải thích hình chiếu phối cảnh đường tròn lên mặt phẳng không song song: Desargues tưởng tượng phép chiếu chuyển số tính chất hình học đường trịn vào đường cơnic suy (khơng cần phép chứng minh mới) từ tính chất đường tròn Tiếp theo, Pascal (1623 – 1662) sử dụng lại phép chiếu Desargues để trình bày sách đường cônic ông Cũng xem đường cơnic ảnh đường trịn Desargues, Pascal thiết lập hai hình tương ứng điểm: “Mọi điểm đường trịn chiếu ảnh lên mặt phẳng tranh” Như vậy, Pascal tưởng tượng điểm đường cônic ảnh điểm thuộc đường trịn qua phép chiếu Điều dẫn ơng đến cho phân loại đường cônic theo số điểm (của đường trịn) khơng có ảnh “ở khoảng cách xác định” (tức ảnh vô hạn) Ta thấy, từ gốc nó, phép biến hình xuất công cụ để chứng minh, theo nghĩa cho phép khẳng định tính chất đối tượng hình học phức tạp hình tạo ảnh (với cách sử dụng vấn đề vạch rõ tính chất bất biến qua phép biến hình) Tuy nhiên, phép biến hình xét ngữ cảnh đường cônic, có phép chiếu sử dụng Các phép chiếu tiếp cận dạng tổng thể, quan niệm xem ánh xạ điểm xuất hiện, để lập luận số phép chứng minh hay dựng hình Như thế, tận cuối kỷ XVII, phép biến hình xuất công cụ ngầm ẩn để chuyển tính chất hình học (bất biến) từ hình sang hình Nó chưa xem đối tượng nghiên cứu toán học Kế thừa tư tưởng Desargues Pascal, nhà toán học Mydorge (1585 – 1647), Grégoire de St.Vincent (1584 – 1667), De La Hir (1640 – 1718), Newton … tiếp tục sử dụng phép biến cơng cụ để nghiên cứu đường cônic De La Hir quan tâm đến vấn đề tạo đường cơnic từ đường trịn Chính ơng nói đến phương pháp biến đổi hình thành hình đơn giản thuộc loại Điều quan trọng De La Hir ta thấy xuất phép biến hình định nghĩa qua việc dựng điểm Như vậy, tư tưởng ánh xạ điểm xuất De La Hir Tuy nhiên, cần phải thận trọng mà nói rõ chưa phải phép biến hình từ mặt phẳng lên nó: De La Hir khơng nhằm biến đổi mặt phẳng, giới hạn vào tập hợp điểm đường cong Mười ba năm sau, Newton (1642 – 1727) sử dụng phép biến hình vào mục đích nghiên cứu đường cơnic Vấn đề xác định số quỹ đạo buộc Newton phải giải lớp tốn liên quan đến đường cơnic Khó khăn gặp phải giải nhiều toán dẫn ông đến với tư tưởng tìm phép biến hình cho phép chuyển toán vào việc nghiên cứu hình đơn giản Tương tự ta chứng minh INB  INB '  IB  IB ' Ta có: IB = IB’ IA + AB = IA’ + A’B’ AB = A’B’ B     Suy ra: A ' B '  AB (đpcm) A Cách 3: I M N Từ A kẻ AC//  cắt BB’ C A' A’ kẻ A’C’//  cắt BB’ C’ B' Suy ra: AC//A’C’, mà AA’//CC’ Khi đó: ACC’A’ hình chữ nhật M trung điểm AA’ MN//AC//A’C’ => N trung điểm CC’ => CN = C’N => BC = B’C’ ABC A ' B ' C ' có: AC = A’C’; BC = B’C’ ACB  A ' C ' B '  900     Suy ra: ABC  A ' B ' C ' => AB = A’B’ => A ' B '  AB (đpcm) Cách 4: Dễ thấy ABB’A’ có AA’//BB’ => ABB’A’ hình thang INB  INB ' Dễ dàng chứng minh được: => IBN  IB ' N => ABB’A’ hình thang cân     => AB = A’B’ => A ' B  AB b) Chiến lược “vectơ” (CL2)               A ' B '  A ' M  MN  NB '  MN  NB '  A ' M         mà MN  NB '  A ' M           => A ' B '  MN  NB '  A ' M       (1)     Tương tự: AB  MN  NB  AM Ta có:         NB '  A ' M   NB  AM       (2)         NB  AM        Từ (1), (2), (3) suy ra: A ' B '  AB   => NB '  A ' M    (3) c) Chiến lược “vectơ - tọa độ” (CL3) Đặt đường thẳng  vào hệ trục tọa độ Oxy, cho  thuộc Ox Khi đó: A(xA; yA) => A’(xA; – yA) B(xB; yB) => A’(xB; – yB)   Ta có: AB   xB  x A ; yB  y A    A ' B '   x B  x A ; y A  yB    Suy ra: AB    A'B'     x B  x A    yB  y A  2  x B  x A    y A  yB  2   => A ' B  AB d) Chiến lược “phép biến hình” (CL4) Theo tính chất phép đối xứng tâm, ta có:  A '  Ñ ( A) Suy ra: A’B’ = AB   B '  Ñ ( B ) 3.2.3 Phân tích apriori tốn 2.3.1 Kiến thức liên quan - Học sinh học xong toàn phép biến hình chương trình lớp 11 Do vận dụng kiến thức phép biến hình để giải tốn kết hợp với kiến thức chương trình cấp II kiến thức lớp 10 Trong đó, kiến thức liên quan đến là: - Phép đối xứng trục, phép vị tự - Tính chất đường phân giác - Tính chất vectơ - Vectơ hệ trục tọa độ Oxy - Phương trình đường thẳng hệ trục tọa độ Oxy 2.3.2 Biến didactic: Biến – Tỉ số k AB AM (AB = k.AM) Tỉ số k ảnh hưởng đến chiến lược tìm điểm B Nếu k = 2, ta có AB = 2.AM điểm M trung điểm đoạn AB Khi đó, chiến lược giải công thức đối xứng trục xuất x A  xB   xM     y  y A  yB  M   x  xM  x A  B  y B  yM  y A Nếu k  từ biểu thức AB = k.AM kết hợp với hình vẽ, học sinh nhận xét mối     quan hệ AB  k AM Từ đó, chiến lược vectơ có khả xuất Biến – Hình thức đặt câu hỏi Nếu câu hỏi xây dựng theo kiểu bậc thang học sinh dễ dàng nhận tính chất đối xứng trục đường phân giác Ví dụ tốn u cầu sau: a) Xác định tọa độ điểm M’ ảnh M qua phân giác AD b) Xác định tọa độ đỉnh A, B Việc đặt câu hỏi tìm tọa độ đỉnh A, B cho phép kiểm chứng kiến thức học sinh phép đối xứng trục phân giác tam giác Cách thức giới hạn kiến thức để giải toán cho phép chiến lược “vectơ – phương trình” hay chiến lược “vectơ – tọa độ” Nếu giới hạn cách giải toán phương pháp vectơ – tọa độ chiến lược vectơ chắn xuất Vì trước học phương trình đường thẳng, học sinh biết sử dụng chiến lược “vectơ – tọa độ” để giải toán Biến – Dạng phương trình Nếu phương trình cho dạng y = f(x) khả học sinh đặt điểm ảo dựa vào phương trình cao Từ chiến lược vectơ – tọa độ có nhiều khả xảy Ví dụ: Cho phương trình phân giác (AD): y = x, học sinh lấy điểm I(a; a)     thuộc vào AD Từ tính chất MI  AD => MI // nAD => tìm tọa điểm I Tuy nhiên cách cho phương trình dạng y = f(x) dạng phương trình đường thẳng chương trình Đại số nên chúng tơi khơng cho dạng Cách cho phương trình dạng ax + by + c = cách cho phương trình đường thẳng hình học giải tích chúng tơi muốn kiểm tra xem: Trong hình học giải tích học sinh có thấy lợi tính chất vectơ hay khơng? Và với cách cho phương trình đường thẳng học sinh ưu tiên chiến lược nào? 2.3.3 Những chiến lược có thể: Chiến lược “vectơ – phương trình” (CL1) Gọi M’ ảnh M qua trục đối xứng AD Ta có: A I M'    MM '  AD => vtcp uMM '  nAD  (1; 1)  Suy đường thẳng MM’ có vtpt nMM '  (1;1) M H Phương trình đường thẳng MM’: ( x  0)  ( y  1)   x  y   C Gọi I giao điểm MM’ AD D B Tọa độ điểm I thỏa hệ:  x   xy0    1  => I   ;     2 x  y 1  y     Tọa độ M’ thỏa hệ:  xM '  xI  xM   y M '  yI  y M   1  x M '       1     => M '  1;   1  y    (1)     M'  2  Do M  AC  M '  AB    Ta có: AB  CH => vtcp uAB  nCH  (2;1)   Suy đường thẳng AB có vtpt nAB  (1; 2) Phương trình đường thẳng AB: ( x  1)  2( y  0)  x  y   Tọa độ điểm A thỏa hệ: x  x  y   A(1; 1)  y   x  2y    AB  AM '    AB  AM '   Do AD phân giác góc A AB = 3AM nên ta có:     Gọi B(xB; yB) ta có: AB  ( xB  1; yB  1)  AM '  (2; 1)     x B   3(2)  xB  5   yB   3(1)  y B  2 Suy ra: AB  AM '   Suy ra: B(– 5; – 2) Vậy tọa độ điểm A(1; 1) B(– 5; – 2) Chiến lược “vectơ - tọa độ” Gọi M’ ảnh M qua trục đối xứng AD Gọi I giao điểm MM’ AD Lấy I(a; a)  (AD): x – y =    Ta có: MI  AD => MI // nAD    MI  (a; a  1) nAD  (1; 1) Suy ra: a a 1  1   a  a   a   => I   ;   1  2 1  xM '         2  x M '  1 M’(– 1; 0) Ta có: IM '  MI    yM '  y    M' 2  Lấy điểm A(b; b)  (AD): x – y =   Ta có: AM '  (1  b; b) nCH  (2;1)   Do AM '  CH => AM ' // nCH Khi ta có: 1  b b   b 1 Suy tọa độ điểm A(1; 1)  AB  AM '    AB  AM '   Do AD phân giác góc A AB = 3AM nên ta có:     Gọi B(xB; yB) ta có: AB  ( xB  1; yB  1)  AM '  (2; 1)     x B   3(2)  xB  5   yB   3(1)  y B  2 Suy ra: AB  AM '   Suy ra: B(– 5; – 2) Vậy tọa độ điểm A(1; 1) B(– 5; – 2) 3.3 Phân tích a-posteriori tốn 3.3.1 Phân tích a-posteriori tốn Sau phân tích tồn giải 26 học sinh lớp 11 – Lương Thế Vinh 40 học sinh lớp 11 – Ngô Quyền Chúng tổng hợp kết bảng tổng kết sau: 3.3.1.1 Kết học sinh lớp 11 – Lương Thế Vinh Tổng số bài: 26 có 26 hợp lệ, hồn tồn khơng có lời giải Bảng thống kê kết chiến lược giải: Cách làm Chiến Chiến Chiến Chiến Chiến Chiến lược lược lược lược lược lược khác Cách 20 0 Cách 13 0 Cách 0 38(57,5%) 22(33,3%) 3(4,5%) (3%) (1,5%) 12 Tổng cộng Bỏ trống 3.3.1.2 Kết học sinh lớp 11 – Ngơ Quyền Tổng số bài: 40 có 40 hợp lệ, khơng có bỏ trống hoàn toàn Bảng thống kê kết chiến lược giải: Cách làm Chiến Chiến Chiến Chiến Chiến Chiến lược lược lược lược lược lược khác Cách 32 0 0 Cách 20 0 11 Cách 13 2(1,9%) 28(26,4%) 5(4,7%) 14 Tổng cộng 60(56,6%) 12(11,3%) Bỏ trống 3.3.1.3 Phân tích kết thu Dựa vào số liệu thống kê thu được, nhận thấy chiến lược “tam giác nhau” chiếm ưu Mặc dù tốn cho tính chất đặc trưng phép đối xứng tâm cịn trình bày theo ngôn ngữ vectơ chiến lược “vectơ” xuất nhiều Điều cho thấy học sinh chưa quan tâm mức đến việc sử dụng vectơ với vai trị cơng cụ để giải tốn hình học => hợp thức giả thuyết H1 Các giải học sinh phù hợp với phân tích apriori nên chúng tơi khơng trình bày lại lời giải Trong số lời giải thu được, vấn có cách giải mà chúng tơi khơng biết phân chia vào nhóm chiến lược nào, chưa dự trù chiến lược Tất lời giải xếp vào chiến lược khác (CL6) Đối với học sinh Lương Thế Vinh Phân tích chiến lược giải học sinh, chúng tơi nhận thấy có chiến lược khác học sinh sử dụng: Ta có: AB = AI + IB hay  AA ' BB '    B ' B  AA '   B ' A  B ' I  IA '          => AB  B ' A ' => AB  B ' A ' Nhận xét cách giải chúng tơi nhận thấy học sinh muốn sử dụng chiến lược vectơ, nhiên kiến thức vectơ khơng đầy đủ nên trình bày lẫn lộn, không rõ ràng nên xếp vào loại chiến lược khác Đối với học sinh Ngơ Quyền Có chiến lược giải khác với chiến lược apriori, chiến 3,8% Sau lời giải học sinh:     Lời giải 1: Dùng thước đo, ta thấy độ dài AB, A’B’ => B ' A '  AB Đây sai lầm mà học sinh THCS thường gặp phải cách sử dụng thước thẳng, thước đo độ để xác định độ dài đoạn, số đo góc cấp Tiểu học Lời giải 2: BB’ trung trực AA’ => AB = BA’ AA’ trung trực BB’ => A’B’ = A’B          AB  A ' B ' => AB  B ' A ' => B ' A '  AB  AB // A ' B ' Suy ra:  (vì ĐI ( A)  A '   ÑI ( AB)  A ' B ' ) ÑI ( B )  B '  Học sinh sai lầm chỗ sử dụng hình vẽ trường hợp AA '  BB ' Học sinh cách xét trường hợp khác vị trí điểm A, B, I Do lấy trường hợp đặc biệt toán để suy kết tổng quát           Lời giải 3: AA '.BB '  AI  IA ' B ' I  IB              = AI B ' I  AI IB  IA '.B ' I  IA '.IB = AI2.B’I2.cos AIB ' + AI2.IB2.cos AIB + AI’2.B’I2.cos AIB + IA’2.IB2.cos A ' IB Lời giải có sử dụng tính chất vectơ gần giống với chiến lược Tuy nhiên, lời giải chưa hồn tồn rõ ràng nên khơng biết xếp vào loại chiến lược 3.3.2 Phân tích a-posteriori tốn Sau phân tích tồn giải 26 học sinh lớp 11 – Lương Thế Vinh 40 học sinh lớp 11 – Ngô Quyền Chúng tổng hợp kết bảng tổng kết sau: 3.3.2.1 Kết học sinh lớp 11 – Lương Thế Vinh Tổng số bài: 26 có 25 hợp lệ, hồn tồn khơng có lời giải Bảng thống kê kết chiến lược giải: Cách làm Bỏ trống Chiến Chiến Chiến Chiến Chiến lược lược lược lược lược Cách 21 2 Cách 11 Cách 1 16 38(71,7%) 6(11,3%) 1(1,9%) 6(11,3%) 2(3,8%) 25 Tổng cộng 3.3.2.2 Kết học sinh lớp 11 – Ngô Quyền Tổng số bài: 40 có 38 hợp lệ, hồn tồn khơng có lời giải Bảng thống kê kết chiến lược giải: Chiến Chiến Chiến Chiến Chiến lược lược lược lược lược Cách 16 20 Cách 29 0 Cách 12 16 57(57,6%) 5(5%) 34(34,3%) 3(3,0%) 21 Cách làm Tổng cộng Bỏ trống 3.3.2.3 Phân tích kết thu Qua số liệu thống kê, nhận thấy có chênh lệch lớn việc sử dụng chiến lược “tam giác nhau” tốn Bài tốn tính chất đặc trưng phép đối xứng trục, SGK nâng cao hướng dẫn chứng minh tính chất phương pháp tọa độ Tuy nhiên, chiến lược mà SGK gợi ý chứng minh không học sinh thực Chiến lược vectơ học sinh sử dụng không dẫn đến kết mong đợi Các lời giải học sinh vectơ đa phần ảnh hưởng từ việc trình bày yêu cầu toán dạng vectơ Từ số liệu thống kê trên, cho thấy học sinh chưa quan tâm đến việc sử dụng vectơ làm công cụ để giải tốn liên quan đến phép biến hình => hợp thức giả thuyết H1 Về lời giải với chiến lược khác (CL5) Đối với học sinh Lương Thế Vinh: Tổng cộng số giải cách theo CL5 chiếm 3,8% Lời giải 1: Nối A B’, đặt M giao điểm AB’ () , I1, I2 giao điểm AA’ BB’ với () A B M I1 I2 B' A' Do () đường trung trực AA’ BB’ nên MA = MA’; MB = MB’ AMA ' BMB ' hai tam giác cân, đó: AMI1  A ' MI1 ; BMI  B ' MI Mà AMI1  B ' MI (đối đỉnh) nên: AMI1  BMI  A ' MI1  B ' MI => 1800  AMI1  BMI  1800  A ' MI1  B ' MI => AMB  A ' MB ' (1)        AB  AB  AM  MB       AM  MB  AM MB    = AM  MB  AM MB cos AMB    = A ' M  MB '2  A ' M MB ' cos A ' MB '  = AB '     Vậy: AB  A ' B ' Đây chiến lược vectơ, nhiên giải có sai lầm không chứng minh A’, M, B thẳng hàng Việc sử dụng chiến lược vectơ học sinh khơng cần thiết chứng minh A’, M, B sử dụng phương pháp chứng minh “tam giác nhau” mà không cần sử dụng chiến lược vectơ Việc đưa giải vào loại chiến lược khác lời giải có sử dụng chiến lược vectơ phân tích apriori bỏ sót Lời giải 2:   Ch   AB  HK           AB  A ' B ' Ch   A ' B '  HK   A B H K Đây sai lầm kiến thức hình chiếu Đối với học sinh Ngơ Quyền: B' A' Tổng cộng có giải theo CL5, chiếm 3,0% Lời giải 1: Dùng thước đo: AB = A’B’ = 3,9 cm Đây phương pháp sử dụng học sinh tiểu học so sánh độ dài hai đoạn thẳng Chúng bất ngờ lời giải xuất học sinh THPT Lời giải 2:     Phản chứng: Giả sử A ' B '  AB hay A ' B '  AB AIB  A ' IB ' IA  IA ' IB  IB ' I1  I I  I IBB ' khơng cân Suy vơ lí     => A ' B '  AB Đây sai lầm mặt toán học học sinh Hai tam giác khác khơng thiết ba cạnh tương ứng hai tam giác phải khác 3.3.3 Phân tích a-posteriori tốn Sau phân tích tồn giải 26 học sinh lớp 11 – Lương Thế Vinh 40 học sinh lớp 11 – Ngô Quyền Chúng tổng hợp kết bảng tổng kết sau: 3.3.3.1 Kết học sinh lớp 11 – Lương Thế Vinh Tổng số bài: 26 có 20 có lời giải, khơng có lời giải Bảng thống kê kết chiến lược giải: Chiến Chiến Chiến lược lược lược khác Câu a 20 0 Câu b 0 0 Bỏ trống 3.3.3.2 Kết học sinh lớp 11 – Ngơ Quyền Tổng số bài: 40 có 36 có lời giải, khơng có lời giải Bảng thống kê kết chiến lược giải: Chiến Chiến lược Câu a Chiến lược lược khác 35 Bỏ trống Câu b 0 0 3.3.3.3 Phân tích Dựa vào kết thu được, nhận thấy hầu hết học sinh sử dụng CL1, giải toán dựa vào phương pháp đại số hóa, tức sử dụng giải phương trình giao điểm Đây mục đích nhiệm vụ phương pháp tọa độ đại số hóa hình học Tuy nhiên, dựa vào phân tích apriori nhận thấy, CL1 SGK sử dụng thường xuyên, trở thành chiến lược sở học sinh Nhưng CL1 chiến lược tối ưu để giải dạng toán trên, CL2 sử dụng tính chất vectơ kết hợp với hệ tọa độ cho lời giải ngắn gọn, rõ ràng Để giải tốn thực nghiệm, ngồi việc học sinh phải biết sử dụng thành thạo phương pháp tọa độ mặt phẳng điều cần thiết đối học sinh phải nhìn thấy tính chất phép đối xứng trục đường phân giác Giả thiết ban đầu toán đường thẳng, điểm đầu mút cần thiết tam giác điểm A, B, C chưa có Nếu học sinh có thói quen xem một tổng thể phương pháp giải học sinh xa vào việc đặt ẩn phụ cho điểm A, B hay C Điều dẫn đến khó khăn giải toán  Học sinh giải toán cách đặt điểm B(x, y) điểm C(x, y) cho thấy học sinh bị ảnh hưởng việc xem xét phép biến hình theo cấp độ => bác bỏ giả thuyết nghiên cứu H2  Học sinh giải toán cách lấy điểm M’ ảnh điểm M qua phép đối xứng trục AD cho thấy học sinh hiểu phép biến hình theo cấp độ => hợp thức giả thuyết nghiên cứu H2 Kết thu cho thấy học sinh giải tốt toán theo CL1 => Hợp thức giả thuyết nghiên cứu Khơng có học sinh giải toán theo yêu cầu câu b Ban đầu học sinh không hiểu ý câu b muốn đề cập đến vấn đề gì? Chúng tơi giải thích cho học sinh giải toán ngôn ngữ vectơ, cụ thể giải tốn mà khơng viết phương trình đường thẳng Dù vậy, không thu kết mong đợi câu b Rõ ràng, kết hợp tính chất vectơ tọa độ học sinh khơng có thói quen sử dụng vectơ làm cơng cụ để giải tốn 3.4 Kết luận thực nghiệm Qua thực nghiệm, kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu:  H1: Vectơ túy với vai trị làm cơng cụ giải tốn chưa học sinh sử dụng hiệu việc giải tốn liên quan đến phép biến hình  H2: Với cách trình bày dựa vào biểu thức tọa độ vectơ, phép biến hình hình thành học sinh với nghĩa ánh xạ từ tập hợp điểm vào tập hợp điểm Việc hợp thức giả thuyết H1, cho phép trả lời câu hỏi Q3 Vectơ với vai trị cơng cụ để giải toán, chưa vận dụng cách hiệu việc giải toán liên quan đến phép biến hình Rõ ràng, mặt tốn học, chúng tơi thấy giải tốn liên quan đến phép biến hình cơng cụ vectơ túy Thậm chí, số giải cơng cụ vectơ cịn cho lời giải nhanh chóng, ngắn gọn Việc hợp thức giả thuyết H2, cho phép trả lời câu hỏi Q4 Học sinh có quan niệm phép biến hình theo cấp độ vận dụng tốt quan niệm ánh xạ từ tập hợp điểm vào tập hợp điểm để giải tốt toán đặt KẾT LUẬN Kế thừa nghiên cứu khoa học luận tác giả Lê Thị Hồi Châu, 2004, chúng tơi thấy việc phép biến hình phân làm bốn cấp độ  Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ hình dáng hai hình hai phần hình (đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt)  Cấp độ 2: Phép biến hình hiểu ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng qt hơn, từ khơng gian, lên nó, mặt phẳng khơng gian nghiên cứu với tư cách tập hợp điểm  Cấp độ 3: Phép biến hình xem cơng cụ giải tốn hình học  Cấp độ 4: Phép biến hình xem phần tử nhóm dùng để phân loại lý thuyết hình học Phép biến hình trường phổ thống gắn liền với cấp độ cấp độ chủ yếu Cấp độ nghiên cứu chương trình THCS, cấp độ nghiên cứu chương trình THPT Khái niệm vectơ cơng cụ tốn học hình thành với mục đích nghiên cứu hình học tổng hợp dựa vào việc đại số hóa đặc trưng hình học giữ tính trực quan hình học Do đó, khái niệm vectơ tác động hầu hết đến khái niệm liên quan đến hình học Qua phân tích tài liệu, chúng tơi nhận thấy khái niệm vectơ tác động mạnh lên hệ thống lý thuyết phép biến hình Vectơ khơng tác động lên phép tịnh tiến, phép vị tự hai khái niệm gần gũi với vectơ mà tác động đến khái niệm phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay Nhờ sử dụng công cụ vectơ mà tính chất phép biến hình trình bày rõ ràng, định lý, tính chất phép biến hình chứng minh cách ngắn gọn Không vậy, vectơ với biểu thức tọa độ giúp giảm bớt khó khăn việc tiếp cận phép biến hình cấp độ Thông qua thực nghiệm, trả lời câu hỏi Q3, Q4  Vectơ với vai trị cơng cụ để giải tốn, chưa vận dụng cách hiệu việc giải toán liên quan đến phép biến hình  Học sinh có quan niệm phép biến hình theo cấp độ vận dụng tốt quan niệm ánh xạ từ tập hợp điểm vào tập hợp điểm để giải tốt toán đặt Từ kết trên, rút hướng nghiên cứu cho luận văn: Có thể xây dựng tiểu đồ án Didactic cho phép học sinh vận dụng linh hoạt công cụ vectơ với phương pháp tọa độ không? TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp Dạy – Học Hình học trường Trung học Phổ Thơng, NXB Đại học Quốc Gia, TP Hồ Chí Minh Đỗ Cơng Đoán (2002), Nghiên cứu Didactic tác động ràng buộc thể chế việc học khái niệm vectơ học sinh lớp 10 Việt Nam, Luận văn Thạc sỹ khoa học., trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Hồng Hữu Vinh (2002), Nghiên Cứu Didactic Tốn hoạt động cơng cụ vectơ Hình học lớp 10, Luận văn Thạc sỹ khoa học, trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Phan Đức Chính (Tổng chủ biên, 2004), Tốn 8, Tập một, NXB Giáo dục Văn Như Cương – Trần Văn Hạo (2000), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Tốn 10 (Sách chỉnh lí hợp năm 2000), NXB Giáo dục, TP Hồ Chí Minh Đồn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2006), Hình học 10 nâng cao (Sách Giáo viên), NXB Giáo dục, Hà nội Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2007), Hình học 11 nâng cao (Sách Giáo viên), NXB Giáo dục, Hà nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên, 2007), Hình học 11 (Sách Giáo viên), NXB Giáo dục, Hà nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên, 2006), Hình học 10 (Sách Giáo viên), NXB Giáo dục, Hà nội 10 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2007), Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, Hà nội 11 Trần Phương (Biên soạn), Ba thập kỷ đề thi Toán vào trường Đại học Việt Nam, NXB Đại học Quốc Gia, TP Hồ Chí Minh 12 Nguyễn Ái Quốc (2002), Nghiên Cứu Didactic việc Dạy Học Các Phép Biến Hình lớp 10: Trường Hợp Phép Quay, Luận văn Thạc sỹ khoa học, trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh 13 Vũ Khánh Ly (2008), Nghiên Cứu Didactic việc dẫn nhập khái niệm phép biến hình trường phổ thơng mơi trường tích hợp phần mềm cabri, Luận văn Thạc sỹ khoa học, trường Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh 14 Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục ... hưởng đến việc dạy học phép biến hình hay khơng? Những câu hỏi dẫn đến với đề tài Quan điểm vectơ dạy học phép biến hình trường phổ thơng 2 Khung lý thuyết tham chiểu Thuật ngữ quan điểm vectơ. .. hợp điểm  Cấp độ 3: Phép biến hình xem cơng cụ giải tốn hình học  Cấp độ 4: Phép biến hình xem phần tử nhóm dùng để phân loại lý thuyết hình học Trong việc dạy – học chủ đề phép biến hình trường. .. đoạn phép biến hình trở thành đối tượng nghiên cứu tốn học Ở giai đoạn này, phép biến hình xem ánh xạ từ khơng gian lên Quan niệm phép biến hình gắn liền với quan niệm xem hình tập hợp điểm, mà hình