o m c Giíi thiƯu w w w v ie t m a t h s A Tµi liƯu nµy đợc soạn pdfLTEX Muốn xem tài liệu hớng dẫn sử dụng ATEX bạn hÃy nhấn vào chữ xanh xanh này, lúc bạn mở L đợc tập tin Bai giang LaTeX.pdf o m c Giíi thiƯu t h s A Tài liệu đợc soạn pdfLTEX Mn xem tµi liƯu h−íng dÉn sư dơng ATEX bạn hÃy nhấn vào chữ xanh xanh này, lúc bạn mở L đợc tập tin Bai giang LaTeX.pdf w w w v ie t m a Néi dung tài liệu trình bày số ví dụ chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức Cauchy Muốn xem phần lý thuyết bất đẳng thức bạn hÃy nhấn vào chữ xanh xanh vừa rồi, nhấn vào đợc 2.1 Ví dụ m a 2.2 VÝ dô t 2.3 VÝ dô ie 2.4 VÝ dô v 2.5 VÝ dô 2.8 VÝ dô w w 2.6 VÝ dô 2.7 VÝ dụ s t h Bất đẳng thức Cauchy Các ví dụ w Bài tập áp dụng o m c Môc lôc o m w w w v ie t m a t h s c sö dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức o m m a t h s c sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức w w w v ie t Bất đẳng thức Cauchy o m m a t h s c sử dụng bất đẳng thức Cauchy ®Ĩ chøng minh mét sè bÊt ®¼ng thøc w w w v ie t Bất đẳng thức Cauchy o m m a t h s c sư dơng bÊt ®¼ng thøc Cauchy ®Ĩ chøng minh mét sè bÊt ®¼ng thức ie t Bất đẳng thức Cauchy w w w v Cho n số không âm a1 , a2 , , an , ®ã ta cã o m m a t h s c sö dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức ie t Bất đẳng thức Cauchy w w v Cho n số không âm a1 , a2 , , an , ®ã ta cã w √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n o m m a t h s c sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức ie t Bất đẳng thức Cauchy v Cho n số không âm a1 , a2 , , an , ®ã ta cã w w √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n w DÊu "=" x¶y vµ chØ a1 = a2 = · · · = an o m m a t h s c sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức ie t Bất đẳng thức Cauchy v Cho n số không âm a1 , a2 , , an , ®ã ta cã w w √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 · · · an n w DÊu "=" x¶y vµ chØ a1 = a2 = · · · = an o m Tõ (7.5) vµ (7.6) suy (7.7) s c ab + bc + ca − 2abc ≤ 27 t h DÊu "=" (7.7) xảy (7.4) (7.6) Ví dụ ie t 2.8 m a xảy dÊu "=", tøc lµ a = b = c b + a+ y w w w b a+ x v Cho a, b, x, y, z > vµ x + y + z = Chøng minh r»ng b + a+ z Lêi gi¶i ≥ 3(a + 3b)4 (8) o m 4 t h s ≥ w w v ie t m a b b + a+ + a+ y z b b b a+ a+ a+ x y z w b a+ x c áp dụng bất đẳng thức (3) (ví dụ 3), ta cã 3a + b 1 + + x y z (8.1) o m 4 s ≥ t h b b + a+ + a+ y z b b b a+ a+ a+ x y z 3a + b 1 + + x y z (8.1) a b a+ x c ¸p dơng bất đẳng thức (3) (ví dụ 3), ta có m Ta cã ie t 1 + + ≥ x y z x+y+z nªn w v w w 3a + b 1 + + x y z ≥ 3(a + 3b) (8.2) o m Ngoµi ta cßn cã c 1 + + xy yz zx b3 + a2 b + xyz w w w v ie t m a = a + ab s b a+ z t h b a+ y b a+ x 1 + + x y z o m Ngoài ta có c 1 + + xy yz zx b3 + a2 b + xyz 1 + + x y z a = a + ab s b a+ z t h b a+ y b a+ x t x+y+z xyz ≤ =⇒ ≥ 27 xyz ie √ m B»ng c¸ch ¸p dơng bất đẳng thức Cauchy ta có v w w w 1 x+y+z + + = = ≥ 27 xy yz zx xyz xyz o m VËy b a+ z c ≥ a3 + 9a2 b + 27ab2 + 27b3 s b a+ y w w v ie t m a t h = (a + 3b)3 w b a+ x (8.3) o m VËy b a+ z ≥ a3 + 9a2 b + 27ab2 + 27b3 c b a+ y s b a+ x t h = (a + 3b)3 w w w v ie t m a Tõ (8.1), (8.2) vµ (8.3) suy điều phải chứng minh (8.3) o m Vậy b a+ z ≥ a3 + 9a2 b + 27ab2 + 27b3 c b a+ y s b a+ x t h = (a + 3b)3 a Tõ (8.1), (8.2) (8.3) suy điều phải chứng minh w w w v ie t m DÊu "=" x¶y vµ chØ a = b = c = (8.3) o m VËy b a+ z ≥ a3 + 9a2 b + 27ab2 + 27b3 c b a+ y s b a+ x t h = (a + 3b)3 a Tõ (8.1), (8.2) vµ (8.3) suy điều phải chứng minh ie t m Dấu "=" xảy a = b = c = w w w v Bài tập áp dụng (8.3) o m Vậy b a+ y b a+ z ≥ a3 + 9a2 b + 27ab2 + 27b3 c b a+ x t h s = (a + 3b)3 a Tõ (8.1), (8.2) vµ (8.3) suy điều phải chứng minh ie t m Dấu "=" xảy a = b = c = v Bµi tËp ¸p dơng w w Cho a, b, c > Chøng minh r»ng w a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b (8.3) o m VËy b a+ z ≥ a3 + 9a2 b + 27ab2 + 27b3 c b a+ y s b a+ x t h = (a + 3b)3 a Từ (8.1), (8.2) (8.3) suy điều phải chứng minh ie t m DÊu "=" x¶y vµ chØ a = b = c = w w v Bài tập áp dụng Cho a, b, c > Chøng minh r»ng w b2 c2 a+b+c a2 + + ≥ b+c c+a a+b (8.3) o m Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng w w w v ie t m a t h s c a2 b2 c2 + + ≥ b+c c+a a+b o m Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng s c a2 b2 c2 + + ≥ b+c c+a a+b t h Cho a, b, c > vµ a + b + c = Chøng minh r»ng w w w v ie t m a a b c + + ≥ 2−a 2−b 2−c o m Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng s c a2 b2 c2 + + ≥ b+c c+a a+b t h Cho a, b, c > vµ a + b + c = Chøng minh r»ng m a a b c + + ≥ 2−a 2−b 2−c ie t Cho a, b, c > vµ a + b + c = Chøng minh r»ng w w w v a b c + + ≤ 1+a 1+b 1+c o m Cho a, b, c > vµ abc = Chøng minh r»ng s c a2 b2 c2 + + ≥ b+c c+a a+b t h Cho a, b, c > vµ a + b + c = Chøng minh r»ng m a a b c + + ≥ 2−a 2−b 2−c t Cho a, b, c > vµ a + b + c = Chøng minh r»ng v ie a b c + + ≤ 1+a 1+b 1+c Cho a, b, c ba cạnh tam giác ABC p lµ nưa chu w w vi Chøng minh r»ng w 1 + + ≥2 p−a p−b p−c 1 + + a b c ... Bất đẳng thức Cauchy Các ví dụ w Bài tập áp dụng o m c Mục lục o m w w w v ie t m a t h s c sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức o m m a t h s c sử dụng bất đẳng thức Cauchy. .. số bất đẳng thức w w w v ie t Bất đẳng thức Cauchy o m m a t h s c sư dơng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất ®¼ng thøc w w w v ie t BÊt ®¼ng thøc Cauchy o m m a t h s c sử dụng bất đẳng. .. thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng thức ie t Bất đẳng thøc Cauchy w w w v Cho n sè kh«ng ©m a1 , a2 , , an , ®ã ta cã o m m a t h s c sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh số bất đẳng