Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC THẮNG VỀ MÔĐUN TỰ DO TIỂU LUẬN BỘ MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN VĂN THIỆN HUẾ, THÁNG 2 2012 Tóm tắt Tiểu luận này trình bày một số tính chất và ứng dụng của vành di truyền trái, được thể hiện trong Mệnh đề 30, Mệnh đề 31 Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện, Thầy đã tận tình truyền đạt những kiến thức trong học phần Cơ sở đại số hiện đại và đã cho tác giả cơ hội tiếp cận các tính chất của vành di truyền.
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC THẮNG VỀ MÔĐUN TỰ DO TIỂU LUẬN BỘ MÔN CƠ SỞ ĐẠI SỐ HIỆN ĐẠI GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN VĂN THIỆN HUẾ, THÁNG 2-2012 Tóm tắt Tiểu luận trình bày số tính chất ứng dụng vành di truyền trái, thể Mệnh đề 30, Mệnh đề 31 Tác giả xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện, Thầy tận tình truyền đạt kiến thức học phần Cơ sở đại số đại cho tác giả hội tiếp cận tính chất vành di truyền Trong tiểu luận này, ta xét vành có đơn vị Định nghĩa Cho R vành, (M, +) nhóm cộng aben M gọi R-mơđun trái có ánh xạ R × M −→ M (r, x) −→ rx thỏa mãn i) r(x + y ) = rx + ry; ii) (r + s)x = rx + sx; iii) (rs)x = r(sx); iv) 1x = x ∀r, s ∈ R, ∀x, y ∈ M , phần tử đơn vị vành R Ta quy ước M R-mơđun trái nói M R-mơđun Nhận xét Mọi iđêan trái I vành R R-môđun với phép nhân vô hướng R × I −→ I (r, i) −→ ri Định nghĩa Cho M R-môđun Tập N M gọi môđun M N nhóm nhóm cộng M thỏa mãn rx ∈ N, ∀r ∈ R, ∀x ∈ N Nhận xét Cho M R-môđun I iđêan trái vành R Khi IM = {a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn : ∈ I, xi ∈ M, i = 1, n, n ∈ N} môđun R-môđun M Mệnh đề Cho M R-môđun, S tập M Khi đó, giao tất mơđun M chứa S môđun bé M chứa S Định nghĩa Môđun xác định Mệnh đề gọi môđun M sinh tập S, ký hiệu ⟨S⟩ Nếu ⟨S⟩ = M S gọi hệ sinh M Định nghĩa Cho M R-môđun, X tập M Một tổ hợp tuyến ∑ tính phần tử X tổng hữu hạn ni=1 ri xi , ri ∈ R, xi ∈ X, i = n Phần tử x ∈ M gọi biểu thị tuyến tính qua phần tử X x viết dạng tổ hợp tuyến tính phần tử X Tập X ⊂ M gọi độc lập tuyến tính tập hữu hạn bao gồm phần tử phân biệt x1 , x2 , , xn X có tổ hợp tuyến tính triệt tiêu ∑n i=1 ri xi = kéo theo ri = 0, i = 1, n Một tập M gọi sở hệ sinh độc lập tuyến tính M Định nghĩa Cho M, N R-môđun Ánh xạ f : M −→ N gọi đồng cấu R-môđun điều kiện sau thỏa mãn f (x + y ) = f (x) + f (y ), f (rx) = rf (x) ∀x, y ∈ M, ∀r ∈ R Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu f đơn ánh, tồn ánh, song ánh tương ứng Nếu có đẳng cấu f : M −→ N M gọi đẳng cấu ∼ N với N , ký hiệu M = Mệnh đề Cho {Mi }i∈I họ khác rỗng R-mơđun Tích Descartes ∏ Mi = {(xi )i∈I : xi ∈ Mi } i∈I với phép cộng (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I , ∀(xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ ∏ Mi i∈I phép nhân vô hướng r(xi )i∈I = (rxi )i∈I , ∀r ∈ R, ∀(xi )i∈I ∈ ∏ Mi i∈I làm thành R-môđun Định nghĩa 10 Cho {Mi }i∈I họ khác rỗng R-môđun R-môđun ∏ Mi i∈I xác định Mệnh đề gọi tích trực tiếp họ R-mơđun {Mi }i∈I Định nghĩa 11 Cho {Mi }i∈I họ khác rỗng R-môđun Phần tử (xi )i∈I ∈ Mi gọi có giá hữu hạn có tập hữu hạn J ⊂ I cho xi = 0, ∀i ∈ ∏ i∈I I \ J Mệnh đề 12 Cho {Mi }i∈I họ khác rỗng R-môđun Tập hợp ⨿ ∏ = {(xi )i∈I ∈ Mi : (xi )i∈I có giá hữu hạn} i∈I i∈I môđun ∏ Mi i∈I Định nghĩa 13 Cho {Mi }i∈I họ khác rỗng R-môđun Môđun ⨿ i∈I xác định Mệnh đề 12 gọi tổng trực tiếp (ngồi) họ R-mơđun {Mi }i∈I Mệnh đề 14 Cho {Mi }i∈I họ khác rỗng môđun R-môđun M Tập hợp { } ∑ ∑ Mi = xi : xi ∈ Mi , J ⊂ I, J hữu hạn i∈I i∈J ∪ môđun M sinh i∈I Mi ∑ Định nghĩa 15 Môđun Mi xác định Mệnh đề 14 gọi i∈I tổng môđun Mi , i ∈ I Định nghĩa 16 Cho {Mi }i∈I họ khác rỗng môđun R-môđun M ∑ ∑ Tổng Mi gọi tổng trực tiếp (trong) Mi ∩ Mj = với i ∈ I, i∈I ký hiệu ⊕ j̸=i Mi i∈I Định nghĩa 17 Một dãy đồng cấu R-môđun ··· fi−2 / Mi−1 fi−1 / Mi fi / Mi+1 fi+1 / ··· gọi khớp i Imfi−1 = Kerfi Dãy gọi dãy khớp khớp i Dãy khớp / X f / Y gọi dãy khớp ngắn g / Z / Định nghĩa 18 Dãy khớp / ··· X f / Y g / / ··· Z gọi chẻ Y Imf hạng tử trực tiếp Y Dãy khớp chẻ môđun (trừ hai đầu) gọi dãy khớp chẻ Nhận xét 19 Dãy khớp ngắn / X f / Y g / Z / chẻ X Z Do đó, dãy khớp ngắn chẻ chẻ Y Mệnh đề 20 Dãy khớp /X ··· f / Y g / Z / chẻ Y ∼ Z Y = Imf ⊕ B với B = Chứng minh i (Khi) Rõ ràng, Imf hạng tử trực tiếp Y ii (Chỉ khi) Giả sử dãy khớp chẻ Y Khi đó, có mơđun B Y ∼ Z cho Y = Imf ⊕ B Ta chứng minh B = Xét ánh xạ h : B −→ Z y −→ g (y ) Dễ thấy h đồng cấu R-môđun Kerh = B ∩ Kerg = B ∩ Imf = Vậy h đơn cấu Với z ∈ Z = Img, ta có z = h(y ), y ∈ Y Vì Y = Imf ⊕ B = Kerg ⊕ B nên y = y1 + y2 , y1 ∈ Kerg, y2 ∈ B Suy z = g (y1 + y2 ) = g (y1 ) + g (y2 ) = g (y2 ) ∈ Imh ∼ Z Vậy h tồn cấu Từ B = Định nghĩa 21 Cho R vành, S tập Một R-môđun tự tập S R-môđun F với ánh xạ f : S −→ F cho với ánh xạ g : S −→ X từ tập S vào R-môđun X, tồn đồng cấu R-môđun h : F −→ X thỏa mãn hf = g f /F ~ ~ ~~ g ~~ h ~ ~~ S X Định nghĩa 22 R-môđun X gọi R-môđun tự X đẳng cấu với R-môđun tự tập S Định lí 23 Cho M R-môđun Tập S ⊂ M sở M ánh xạ bao hàm i : S −→ M mở rộng thành đẳng cấu R-môđun h : F −→ M , với F R-môđun tự sinh S Hệ 24 R-môđun M tự M có sở Mệnh đề 25 Cho F R-môđun F R-môđun với sở S ⊕ F = Rs s∈S Chứng minh Với s ∈ S, xét ánh xạ φs : R −→ Rs r −→ rs Rõ ràng φs toàn cấu Với r ∈ R, ta có φs (r) = ⇒ rs = ⇒ r = Suy ra, φs đơn cấu, φs đẳng cấu Vì S sở F nên {Rs}s∈S hệ sinh F Suy ∑ F = Rs s∈S ∑ Với t ∈ S, xét s ∈ Rt ∩ F = Rs Khi đó, có s1 , s2 , , sn ∈ S, si ̸= t, i = s∈S,s̸=t 1, , n r, r1 , r2 , , rn ∈ R cho x = rt = n ∑ r i si ⇒ −rt + i=1 n ∑ r i si = i=1 Do S sở F nên r = r1 = r2 = = rn = Suy x = Vậy ⊕ F = Rs s∈S Ngược lại, ta có Rs = φs (R) = φs (R.1) = Rφs (1) Suy F = ⊕ Rs = ⊕ s∈S Rφs (1) s∈S Do {φs (1)}s∈S hệ sinh F độc lập tuyến tính, hay S sở F Định nghĩa 26 R-môđun X gọi xạ ảnh với đồng cấu R-môđun f : X −→ B tồn cấu R-mơđun g : A −→ B, tồn đồng cấu R-môđun h : X −→ A thỏa mãn gh = f h ~ A ~~ ~ X ~ f / / B g Định lí 27 Mọi R-mơđun tự xạ ảnh Chứng minh Giả sử X R-môđun tự do, f : X −→ B đồng cấu R-môđun, g : A −→ B tồn cấu R-mơđun Gọi S sở X, i : S −→ X ánh xạ bao hàm Với s ∈ S, ta có f (s) ∈ B Do g : A −→ B tồn cấu nên có phần tử A gọi j (s) cho g (j (s)) = f (s) Vì vậy, xây dựng ánh xạ j : S −→ A s −→ j (s) j ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ h ~ A ~~ ~ ~ g / S i X f B / Do X môđun tự sinh S nên ánh xạ j mở rộng thành đồng cấu R-môđun h : X −→ A, hi = j Ta chứng minh gh = f Với x ∈ X, S sở X nên x= n ∑ al sl , al ∈ R, sl ∈ S l=1 Khi n n n ∑ ∑ ∑ gh(x) = gh( al sl ) = al gh(sl ) = al ghi(sl ) l=1 = n ∑ l=1 al gj (sl ) = l=1 n ∑ l=1 n ∑ al f (sl ) = f ( l=1 al sl )) l=1 = f (x) Định nghĩa 28 Một vành R gọi di truyền trái iđêan R R-mơđun xạ ảnh Định lí 29 (Kaplansky) Cho R vành di truyền trái Khi đó, mơđun A R-môđun tự F đẳng cấu với tổng trực tiếp iđêan trái R; nữa, A môđun xạ ảnh Chứng minh Gọi {xk : k ∈ K} sở R-môđun F Giả sử tập số K thứ tự tốt ⊕ Với k ∈ K, xét Fk = Rxi , ta có dãy tăng {Fk }k môđun i