BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Văn Bình LẶP PICACRD CHO HÀM TĂNG MẠNH VÀ LIPSIT GIẢ CO MẠNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH TÙY Ý Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: GITI-08-002 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 Trang 3 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Hoàn Hóa – người đã hướng dẫn tận tâm và tạo mọi điều kiện tốt nhất, giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc để hoàn thiện đề tài hơn nữa. Xin chân thành cảm ơn. Tp Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011 Trang 4 MỤC LỤC 1TLỜI CẢM ƠN1T 3 1TMỤC LỤC1T 4 1TPHẦN MỞ ĐẦU1T 5 1TChương I. Không gian lồi đều và trơn đều1T 6 1T1.1 Không gian lồi đều1T 6 1T1.2 Không gian trơn đều1T 13 1TChương II. Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và trơn đều1T 24 1T2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều1T 24 1T2.2 Bất đẳng thức trong không gian trơn đều1T 37 1TChương III. Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến1T 44 1T3.1 Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian Banach.1T 44 1T3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh và hàm lipsit giả co mạnh1T 58 1TTÀI LIỆU THAM KHẢO1T 64 Trang 5 PHẦN MỞ ĐẦU Cho E là không gian Banach thực. Ta xét phương trình Ax f= , với ánh xạ : ()ADA E E⊂→ , trong đó ()DA mở. Giả sử rằng phương trình đó có nghiệm x ∗ , ta sẽ tìm cách lặp dãy hội tụ đến nghiệm. Việc này cho phép tính xấp xỉ nghiệm. Dãy lặp ở đây được xem xét là dãy lặp Picard: cố định 0 xB∈ ; 1 () nn n x x Ax f λ + =−− ( 0)n ≥ . Để dãy lặp Picard hội tụ, ta xét E trơn đều hoặc p-trơn đều, và A thỏa một số tính chất, chẳng hạn như: lipsit địa phương và tựa-tăng mạnh. Nếu như Ax f= không có nghiệm thì sự cố gắng lặp dãy hội tụ đến nghiệm là vô nghĩa. Tuy nhiên, nếu A tăng mạnh và lipsit thì sự tồn tại nghiệm của phương trình Ax f= là được khẳng định bởi định lý 13.1 xem ở [7]. Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Giới thiệu không gian lồi đều và p-lồi đều, cùng các tính chất của môđun lồi. Giới thiệu không gian trơn đều và q-trơn đều, cùng các tính chất của môđun trơn. Chương II: Chứng minh một số bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong chương III. Chương III: Trình bày cách lặp dãy hội tụ về nghiệm phương trình theo dãy lặp Picard. Trang 6 Chương I. Không gian lồi đều và trơn đều 1.1 Không gian lồi đều Bài này giới thiệu về không gian lồi đều và p-lồi đều và đặc biệt chỉ ra một vài tính chất của môđun lồi. Cho X là không gian định chuẩn và cố định 0 xX∈ . Đặt { } 00 ( ,) :Sx r x X x x r=∈ −= . Định nghĩa 1.1.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi đều nếu cho bất kỳ (0,2] ε ∈ đều có một 0 δ > sao cho nếu ,xy X∈ mà 1, 1xy= = và xy ε −≥ , thì 1 ( )1 2 xy δ + ≤− . Nhận xét 1.1.2 Trong định nghĩa trên không khác đi khi thay (0,2] ε ∈ bởi 0 ε > . Thật vậy, nếu với mọi 0 ε > đều có 0 δ > sao cho nếu ,xy X∈ mà 1, 1xy= = và xy ε −≥ , thì 1 ( )1 2 xy δ + ≤− . Do đó cũng dúng với (0,2] ε ∈ . Ngược lại, nếu đúng với (0,2] ε ∈ thì với 2 ε > 1, 1xy= = và xy ε −≥ 2xy⇒−> , dẫn đến 1 ( )1 2 xy δ + ≤− . Mệnh đề 1.1.3 Cho số p, 1 p< <∞ . Không gian định chuẩn X lồi đều khi và chỉ khi, cho mỗi 0 ε > có số () 0 p δε > sao cho, nếu , mà , 1xy X x y∈≤ và xy ε −≥ thì (*) (1 ( )) 22 pp p p xy xy δε + + ≤− . Trang 7 Chứng minh. Ta chứng minh chiều ngược lại. Cho 0 ε > có số () 0 p δε > sao cho, nếu , mà 1xy X x y∈== và xy ε −≥ thì (1 ( )) 22 pp p p xy xy δε + + ≤− , điều này dẫn đến ( ) ( ) 11 1 () 1 1 1 () 2 pp pp xy δε δε     + ≤− =−−− , bởi vậy chọn ( ) 1 () 1 1 () p p δε δ ε     = −− , ta được ngay X lồi đều. Ta chứng minh chiều thuận. Giả sử X là không gian định chuẩn lồi đều. Nếu p > 1 thì hàm 1 () (1 ) p p t t t ϕ + = + , 0t ≥ đạt giá trị nhỏ nhất khi 1t = . Thật vậy 1 1 11 22 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ( 1) () (1 ) (1 ) p p p p pp pp pt t pt t pt t t tt ϕ − − −− +−+ + + − ′ = = ++ , cho nên dấu của ()t ϕ ′ là dấu của 1 1 p t − − và do đó 1 0 min ( ) (1) 2 p t t ϕϕ − ≥ = = . Bởi vậy 1 1 2 (1 ) p p p t t − + ≥ + , 0t∀≥ , điều này dẫn đến 11 (1 ) 22 p p t t    + ≤+ , với mọi 01t≤≤ . Bây giời chúng ta khẳng định rằng nó là đủ để chứng minh (*) cho ,xy X∈ sao cho 1, 1xy= ≤ . Thật vậy giả sử (*) đúng cho ,xy X∈ sao cho 1, 1xy = ≤ . Khi đó Trang 8 với 1,xy≥ (xem yx≤ ) và xy xy x xx ε ≤−= − , (nếu xem xy≤ thì đổi x bởi y ) đúng nếu và chỉ nếu xy x xx ε ε ≤≤ − ta được (1 ( )) 2 2 p p p p xy xy x x δε + + ≤− . Vì vậy, chúng ta thiết lập (*) cho 1, 1xy = ≤ và xy ε ≤− . Nếu (*) không đúng thì có 0 ε > , các dãy ( ),( ) nn xy trong X sao cho 1 nn yx≤= và nn xy ε −≥ sao cho 2 () 1 2 p nn pp nn xy xy α + → + Vì vậy 1 n y → . (Thật vậy, nếu n y không hội tụ về 1 thì có 01q<< và dãy con { } n y sao cho 1 n yq≤< cho tất cả n. Thật vậy, giả sử điều trên không đúng thì với 1 1 2 k k q = − , ta có dãy con { } k n y của { } n y sao cho 1 11 2 k n k k qy−=< ≤ , suy ra 1 k n y → . Ta sẽ chứng minh mọi dãy con hội tụ của { } n y đều hội tụ về 1. Giả sử có dãy con { } k n y ′ của { } n y thỏa { } k n y ′ hội tụ về phần tử khác 1, thì theo chứng minh trên { } k n y ′ có dãy con mà dãy chuẩn của nó hội tụ về 1, suy ra { } k n y ′ hội tụ về 1 (mâu thuẫn). Như vậy mọi dãy con hội tụ của dãy { } n y đều hội tụ về cùng giới hạn 1 nên 1 n y → (mâu thuẫn)). Do 1 n yq≤< nên, Trang 9 ( ) 1 1 (1 ) 2 1 1 p p n p p p n y q q y − + + ≤≤ + + do đó ta có 1 22 2 p p p nn n nn xy y xy         + + + ≤= . Mặt khác, chọn 1 ρ < sao cho ( ) 1 22 p p n p nn y xy ρ  +  ≤+   , n ∗ ∀∈¥ Chọn được vì 1 () (1 ) p p t t t ϕ + = + nghịch biến trên [0,1] nên 1 ( ) ( ) (1) 2 , [0, ] p t q tq ϕϕ ϕ − ≥ > = ∀∈ , suy ra, 11 1 1 (1 ) 1 22 () () 1 () p pp p t tq t q ϕϕ ϕ −− + ≤<⇔ ≤< + điều này dẫn đến: 1 21 . 2 2 () 2 p p p tt q ϕ ++  ≤   . Do đó chọn 2 1 2 () p q ρ ϕ = < , ta thu được ( ) 22 p p p nn nn xy xy ρ + ≤+ , điều này mâu thuẫn với () α . Trang 10 Đặt n n n y z y = thì 0 n nn n n y zy y y −= −→ . Vì vậy, /2 nn zx ε −≥ khi n đủ lớn ( do () nn nn nn nn nn zx xy zy xy zy−=−−− ≥ −−− ). Nhưng bởi () α , lim 1 2 nn xz+ = ( vì 1 1 22 nn n xz x++ →→ ), mâu thuẫn với tính lồi đều của X. Định lý 1.1.4 Không gian () p L µ với 1 p< <∞ là không gian Banach lồi đều. Chứng minh. Xem [2] hoặc [3]. Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian định chuẩn với dim 2X ≥ . Môđun lồi của X là hàm :(0,2] [0,1] X δ → được định nghĩa bởi ( ) inf 1 : 1; 2 X xy x y xy δε ε +  = − = = −=   . Trong trường hợp không gian Hilbert ta có 2 () 1 1 4 H ε δε =−− ( do đẳng thức hình bình hành 2 2 22 2( )xy xy x y+ +− = + ). Nhận xét rằng (0) 0 δ = . Bổ đề 1.1.6 Cho X là không gian định chuẩn với dim 2X ≥ . Khi đó ( ) inf 1 : 1, 1; inf 1 : 1, 1; 22 X xy xy x y xy x y xy δε ε ε + +  = − ≤ ≤−≥= − ≤ ≤−=       Chứng minh. Day, M. M [11]. Bổ đề 1.1.7 Cho mỗi không gian định chuẩn X , hàm () X δε ε không giảm trên (0;2] . Chứng minh. Cố định , (0;2], ηλ η λ ∈≤ và , :1xy X x y∈== , xy λ −= . [...]... τ2 2 Từ Không gian Hilbert là 2-trơn đều với , ∀τ > 0 hệ quả 1.2.10 , suy ra ρ H (τ ) = (1 + τ ) 2 1/ 2 ta −1 ≤ τ2 2 có ρ H (τ ) = τ 2 )1/ 2 − 1 (1 + , ∀τ > 0 Mà Trang 24 Chương II Một số bất đẳng thức trong không gian lồi đều và trơn đều 2.1 Bất đẳng thức trong không gian lồi đều Trong chương này nếu không nói gì về X thì ta ngầm hiểu X là không gian Banach thực = Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f : X... k pε p Chứng minh [3], trang 66 Từ định lý trên ta thấy không gian Lp (1 < p < ∞) là không gian p-lồi đều 1.2 Không gian trơn đều Định nghĩa 1.2.1 Một không gian định chuẩn X được gọi là trơn nếu cho mỗi x ∈ X , x =duy nhất x∗ ∈ X ∗ : x∗ 1 và 〈 x, x∗ 〉 1 , có = = x Định nghĩa 1.2.2 Cho X là một không gian định chuẩn với dim X ≥ 2 Môđun trơn của X là một hàm ρ X :[0,∞) → [0,∞) ,  x+ y + x− y  −... nghĩa 1.1.8 Cho tập con lồi, mở không rỗng của không gian định chuẩn X Hàm f : D( f ) → ¡ được gọi là lồi trên D( f ) nếu: f [λ x + (1 − λ ) y ] ≤ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y ), ∀x, y ∈ D( f );0 ≤ λ ≤ 1 Bổ đề 1.1.9 Mỗi hàm lồi f trên tập con mở D( f ) không rỗng, lồi trong ¡ là liên tục Chứng minh Charles Chidume [1] Định lý 1.1.10 Môđun lồi của không gian định chuẩn X là hàm liên tục và lồi Chứng... n và δ X * (ε n ) → 0 Bởi vì δ X * không giảm nên δ X * (ε ) ≤ δ X * (ε n ) → 0 , do đó δ X * (ε ) = 0 , tức là X * không lồi đều (!) Chứng minh (b) Tương tự Hệ quả 1.2.10 Mỗi không gian Banach trơn đều thực X và mỗi không gian τε  ε2   : 0 < ε ≤ 2= Hilbert H ta đều có ρ H (τ ) = sup  − 1 + 1 − 4 2    1 + τ 2 − 1 ≤ ρ X (τ ) Chứng minh Do H là không gian Hilbert nên H ∗ cũng là không gian. .. ∗ không giảm Bây giờ với τ > 0 , ta có τε 2 − δ X ∗ (ε ) ≤ τ − δ X ∗ (ε ), ∀ε ∈ (0, 2] Do đó kết hợp với mệnh đề 1.2.7 ta thu được ρ X (t ) ≤ t Định lý 1.2.9 Cho X là không gian Banach thực (a) X là không gian trơn đều nếu và chỉ nếu X ∗ là lồi đều (b) X là lồi đều nếu và chỉ nếu X ∗ là trơn đều Chứng minh Ta chứng minh (a) (a) → Nếu X ∗ không lồi đều thì có ε 0 ∈ (0, 2] sao cho δ (ε 0 ) = 0 , và. .. ( x )} , hàm định cỡ φ với X là không gian định chuẩn bất kỳ Trong trường hợp φ (t ) = t , hàm đối ngẫu J := Jφ được gọi là hàm đối ngẫu chuẩn hóa Bổ đề 2.1.8 Trong một không gian định chuẩn X, cho mỗi hàm định cỡ φ , Jφ ( x) là khác rỗng với bất kì x trong X Chứng minh Trường hợp x = 0 là hiển nhiên bởi u ∗ = 0 Với x ≠ 0 thì xφ ( x ) ≠ 0 định Bởi = 1= x∗ và xφ ( x ), x∗ x, φ= ( x ) x∗ lý x φ( x... Định lý 2.1.11 Jφ x = ∂ψ ( x ) cho mỗi x trong không gian Banach thực X, với x ψ ( x ) = ∫ φ ( s )ds 0 Đầu tiên ta chứng minh bổ đề sau t Bổ đề 2.1.12 Cho φ là hàm định cỡ Khi đó hàm ψ (t ) = ∫ φ ( s )ds lồi trên ¡ + 0 Chứng minh Cho h > 0 và t > 0 chúng ta có ψ (t + h) −ψ (t ) h = 1 h t +h ∫ φ (s)ds ≥ t φ (t ) t + h h ∫ ds = φ (t ) t và ψ (t ) −ψ (t − h) t 1 = ∫ φ (s)ds ≤ φ (t ) h h t −h Cho 0... ≤ Đặt x = và y = cho bất kỳ u , v ∈ X ta thu được bất đẳng thức mong u+v u −v muốn Định lý 2.1.17 Cho p > 1 Hàm p là lồi đều trên không gian Banach thực X nếu và chỉ nếu X là p-lồi đều Nghĩa là, nếu và chỉ nếu có một hằng số c > 0 : δ X (ε ) ≥ cε p , ∀ε ∈ (0, 2] p Chứng minh Giả sử hàm Từ p lồi đều trên X Chúng ta chỉ ra rằng X là p-lồi đều là lồi đều trên X nên bởi định nghĩa 2.1.4 có hàm µ : ¡ thỏa... Dưới vi phân của hàm f là một hàm ∂f : X → 2 X được định nghĩa bởi ∂f ( x) = {x ∗ ∈ X ∗ : f ( y ) ≥ f ( x) + 〈 y − x, x∗ 〉 , ∀y ∈ X } Định nghĩa 2.1.6 Một hàm tăng ngặt và liên tục φ : ¡ φ (0) = 0 và lim φ (t ) = ∞ được gọi là hàm định cỡ t →∞ + →¡ + sao cho Trang 25 ∗ Định nghĩa 2.1.7 Cho một hàm định cỡ φ , hàm Jφ : X → 2 X được định nghĩa bởi J φ x := : x, u ∗ = u ∗ = nó được gọi là hàm đối ngẫu của... = 2 là tầm thường Bổ đề 2.1.15 Cho X là không gian Banach thực Thì, δ X (ε ) ≥ cε p với số c > 0 nếu và chỉ nếu ( 1 x+ y 2 p + x− y p )≥ x p + c y , ∀x, y ∈ X p Chứng minh Charles chidume [1] Định lý 2.1.16 Cho X là không gian Banach thực Thì với hằng số c > 0 , ( 1 x+ y 2 p + x− y p nếu và chỉ nếu p )≥ x p + c y , ∀x, y ∈ X p là lồi đều ở trung tâm trên X Chứng minh Giả sử với c > 0 , ( 1 x+ y 2 p . DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Văn Bình LẶP PICACRD CHO HÀM TĂNG MẠNH VÀ LIPSIT GIẢ CO MẠNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH TÙY. 1T3.1 Lặp Picard cho nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian Banach. 1T 44 1T3.2 Lặp Picard cho hàm tăng mạnh và hàm lipsit giả co mạnh1 T