Chuyên đề 1: Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A. biến đổi đẳng thức I. Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab +b 2 ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 b + + ab n-2 + b n-1 ), mọi n là số tự nhiên a n + b n = (a + b)(a n-1 - a n-2 b + - ab n-2 + b n-1 ), mọi n lẻ II. Bài tập Bài 1 So sánh hai số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005 2 Giải Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005 2 - 1 < 2005 2 =B. Vậy A < B. Bài 2 So sánh hai số A và B biết: A = (2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) và B = 2 32 Giải Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) = 2 32 -1 < 2 32 = B. Vậy A < B. Bài 3 So sánh hai số A và B biết: A =(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) và B =3 32 -1 Giải Ta có 2A = (3 - 1)(3 + 1)(3 2 +1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 16 +1) = 3 32 - 1 = B. Vậy A < B. Bài 4 Chứng minh rằng: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = (m 2 + m + 1) 2 , với mọi m. Giải VT: (m 2 + m - 1) 2 + 4m 2 + 4m = m 4 + m 2 + 1 + 2m 3 - 2m 2 - 2m + 4m 2 + 4m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 4m + 1. VP: (m 2 + m + 1) 2 = m 4 + m 2 + 1 +2m 3 + 2m 2 + 2m = m 4 + 2m 3 + 3m 2 + 2m +1. Bài 5 Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 -3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab -ac -bc). Giải Ta có a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) thay vào VT VT = (a + b) 3 - 3ab(a + b) + c 3 -3abc = [(a + b) 3 + c 3 ] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b) 2 + c 2 - c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a 2 + b 2 + c 2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc) = VP. Bài 6 Cho ab = 1. Chứng minh rằng: a 5 + b 5 = (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) Giải (a 3 + b 3 )(a 2 + b 2 ) - (a + b) = a 5 + a 3 b 2 + a 2 b 3 + b 5 - (a - b)= a 5 + b 5 +a 2 b 2 (a + b) - (a - b) = a 5 + b 5 Bài 7 Cho a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0. Chứng minh rằng: a = b = c Hỡng dẫn Từ: a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc = 0 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 (a - b) 2 +(a - c) 2 + (b - c) 2 = 0 a = b = c.(đpcm) Bài 8 Cho a, b, c đôi một khác nhau, thoả mãn: ab + bc + ca = 1. CMR + + + = + + + 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 1 (1 a )(1 b )(1 c ) Hỡng dẫn Ta có: 1 + a 2 = ab + bc + ca +a 2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b). Tơng tự: 1 + b 2 = (b + a)(b + c). 1 + c 2 = (c +a)(c + b). Thay vào trên suy ra (đpcm). Bài 9 Cho a > b > 0, thoả mãn: 3a 2 + 3b 2 =10ab. Chứng minh rằng: = + a b 1 a b 2 . Giải Đặt P = ba ba + thì P > 0 nên P = 2 P . Ta có P 2 = + + = = = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 1 a b 2ab 3a 3b 6ab 10ab 6ab 4 . Vậy P = 1/2. Bài 10 Cho a + b + c = 1 và + + = 1 1 1 0 a b c . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 =1. Giải Từ: a + b + c = 1 a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) = 1 a 2 + b 2 + c 2 = 1- 2(ab + ac + bc) . Mặt khác: + + + + = = + + = 1 1 1 ab ac bc 0 0 ab ac bc 0 a b c abc . Vậy: a 2 + b 2 + c 2 =1. Bài 11 Cho + + = 1 1 1 2 a b c (1) và a + b + c = abc. Chứng minh rằng: + + = 2 2 2 1 1 1 2 a b c Giải (1) + + + + + + + = + + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2( ) 4 2( ) 4 a b c ab ac bc a b c abc . Thay a + b + c = abc vào ta có + + + = + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 a b c a b c . Bài 12 Cho + + = x y z 1 a b c (1) , và + + = a b c 1 x y z (2) . CMR: = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z A 1 a b c Giải + + + + + + + = = + + = 2 2 2 2 2 2 x y z xy xz yz xy xz yz cxy bxz ayz 2( ) 1 A 1 2( ) 1 2( ) a b c ab ac bc ab ac bc abc (2) : + + = cxy bxz ayz 0 xyz . VËy A = 1. Bµi 13 Cho + + = 1 1 1 0 a b c . (1) Chøng minh r»ng: + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Gi¶i . (1) ⇔ = − + ⇔ = − + + + ⇔ = − + + − 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 3 ( ) [ 3 ( )] a b c a b c bc b c a b c bc a VËy + + = 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc . Bµi 14 Cho a + b + c = 0 vµ a 2 + b 2 + c 2 =14. Chøng minh r»ng: a 4 + b 4 + c 4 = 98. Gi¶i Tõ: a + b + c = 0 ⇔ a = -(b + c) ⇔ a 2 = (b + c) 2 ⇔ a 2 = b 2 + c 2 +2bc ⇔ a 2 - b 2 - c 2 = 2bc ⇔ (a 2 - b 2 - c 2 ) 2 = 4b 2 c 2 ⇔ a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 - 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 = 4b 2 c 2 ⇔ a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 ⇔ 2(a 4 + b 4 + c 4 ) = a 4 + b 4 + c 4 + 2a 2 b 2 - 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 ⇔2(a 4 + b 4 + c 4 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 14 2 =196. VËy a 4 + b 4 + c 4 = 98. Bµi 15 Cho xyz = 1, Chøng minh r»ng: + + = + + + + + + 1 1 1 1. 1 x xy 1 y yz 1 z zx Giải Ta có: + + = + + = + + + + + + + + + + + + 1 1 1 z x 1 1 x xy 1 y yz 1 z zx z xz xyz x yx xyz 1 z zx = + + + + = + = + + + + + + + + + + + + + + + z x 1 z 1 x z 1 xz z xz 1 x yx 1 1 z zx 1 x xz x xy 1 1 x xz xz xyz z + + + = + = = + + + + + + z 1 xz z 1 xz 1. 1 x xz xz 1 z 1 x xz B. Phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1 Phân tích tam thức bậc hai x 2 - 6x + 8 thành nhân tử. Giải Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu của hai bình phơng. x 2 - 6x + 8 =(x - 3) 2 - 1 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2). Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung. x 2 - 6x + 8 = x 2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4). Bài 2 Phân tích đa thức x 3 + 3x 2 - 4 thành nhân tử. Giải Nhẩm thấy x = 1 là nghiệm đa thức chứa nhân tử x - 1 ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử x - 1. C 1 : x 3 + 3x 2 - 4 =x 3 -x 2 +4x 2 - 4=x 2 (x - 1)+4(x 2 -1)=(x-1)(x 2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2) 2 . C 2 : x 3 +3x 2 - 4 =x 3 -1+3x 2 - 3 = (x-1)(x 2 +x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x 2 + 4x + 4). Bài 3 Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử. Giải (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x 2 +8x+7) (x 2 +8x +15) +15 Đặt: t = x 2 +8x+7 x 2 +8x+15 = t + 8 ta có: t(t + 8) +15 = t 2 + 8t +15 =(t + 4) 2 - 1 = (t + 4 + 1)(t + 4 - 1) = (t + 5)(t + 3). Vậy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x 2 + 8x + 12)(x 2 + 8x + 10) = (x 2 + 6x + 2x + 12)(x 2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x 2 + 8x + 10). BTVN. Bài 1 Cho x > y > 0 và 2x 2 + 2y 2 = 5xy, Tính: x y P x y + = . (tơng tự bài 9) Bài 2 Cho x + y + z = 0, Chứng minh rằng: x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. (tơng tự bài 13) Bài 3 Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 = 2 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 . (tơng tự bài 14) Bài 4 Cho a, b, c khác không và a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: + + = + − + − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0. a b c b c a a c b Tõ: a + b + c = 0 ⇔ a = - (b + c) ⇒ a 2 = (b + c) 2 ⇔ a 2 =b 2 + c 2 + 2bc ⇔ b 2 + c 2 - a 2 = - 2bc Bµi 5 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. a/ 4x 2 - 3x - 1 b/ x 3 + 6x 2 + 11x +6 c/ (x-y) 3 + (y-z) 3 + (z-x) 3 Hỡng dẫn: x + y + z = 0 x 3 + y 3 + z 3 = 3xyzChuyên đề 2: Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất A. Bất đẳng thức I. Một số tính chất của bất đẳng thức 1/ a > b và b > c a > c (t/c bắc cầu) 2/ a > b a + c > b + c (t/c cộng vào hai vế cùng một số) 3/ a > b > > < < ac bc nếu c 0 ac bc nếu c 0 (t/c nhân hai bđt với một số âm, dơng) 4/ a > b và c > d a + c > b + d (t/c cộng hai bất đẳng thức cùng chiều) 5/ > > > > > a b 0 ac bd c d 0 (t/c nhân hai bất đẳng thức dơng cùng chiều) 6/ a > b > 0 > > n n n n a b a b (n nguyên dơng) 7/ + > + + + a a a, b,c R a b a b c 8/ + + > > > + a c a a c c a, b,c,d R b d b b d d 9/ Nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì ta có: */ a > 0, b > 0, c > 0. */ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; a - b < c < a + b */ Nếu a > b > c thì A > B > C II. Bài tập Bài 1 Cho 5 số a, b, c, d, e bất kỳ. CMR: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a( b + c + d + e) (1) . Giải (1) 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0 (a - 2b) 2 + (a - 2c) 2 + (a - 2d) 2 + (a - 2e) 2 0. (đpcm) Bài 2 Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: a/ a 2 + b 2 1/2, b/ a 3 + b 3 1/4, c/ a 4 + b 4 1/8 Giải a/ Từ (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1. Vậy a 2 + b 2 1/2. b/ Ta có a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 2 - ab + b 2 2(a 3 + b 3 ) = 2a 2 - 2ab + 2b 2 = (a - b) 2 + a 2 + b 2 a 2 + b 2 mà a 2 + b 2 1/2 2(a 3 + b 3 ) 1/2 a 3 + b 3 1/4. (đpcm) c/ Từ (a 2 - b 2 ) 2 0 a 4 + b 4 2a 2 b 2 2(a 4 + b 4 ) a 4 + b 4 + 2a 2 b 2 = (a 2 + b 2 ) 2 a 4 + b 4 1 2 (a 2 + b 2 ) 2 (1) . Mặt khác: (a - b) 2 0 a 2 + b 2 2ab 2(a 2 + b 2 ) a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 = 1 [...]... phơng trình có dạng: ax + b = 0, trong đó a, b là các số thực, x là ẩn Cách giải: Phơng trình ax = -b Nếu a 0 x = -b/a Nếu a = 0 0x = -b Nếu b = 0 PT vô số nghiệm Nếu b 0 PT vô nghiệm II/ Bài tập Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau: a/ mx + 2(x - m) = (m + 1)2 + 3 5(m + 1) (2) c/ m2(x + 1) = x + m (4) (1) b/ 3(m + 1)x + 4 = 2x + (3) d/ Giải a/ (1) (m + 2)x = m2 + 4m + 4 (m + 2)x = (m... my = 1 (1) mx + 2y = 1 (2) a/ Giải hệ khi m = 1 b/ Giải và biện luận hệ phơng trình c/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) với x, y là các số nguyên d/ Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng Giải a/ khi m = 1 ta có hệ 2x + y = 1 4x + 2y = 2 3x = 1 x = 1 3 x + 2y = 1 x + 2y = 1 x + 2y = 1 y = 1 3 b/ Từ (1) và (2) 2x + my = mx + 2y (m -... -1/3 phơng trình có dạng: 0x = -2/3 PTVN c/ (3) (m2 - 1)x = m - m2 (m2 - 1)x = m(1 - m) x= Nếu m2 - 1 0 phơng trình có nghiệm: m m +1 Nếu m2 - 1 = 0 m = 1 Nếu m = 1 PT có dạng: 0x = 0 PT có VSN Nếu m = -1 PT có dạng: 0x = -2 PTVN d/ ĐK: x 0 và x 2 (4) x(x - m) + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 2) (m + 1)x = 6 Nếu m + 1 = 0 m = -1 (4) có dạng: 0x = 6 PTVN x= Nếu m + 1 0 m 6 2m 2 m +1 )... d/ / khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2) Nghiệm này là số nguyên dơng 1/(m + 2) là số nguyên dơng m + 2 là ớc số nguyên dơng của 1 m + 2 = 1 m = -1 BTVN Bài 1 Giải và biện luận các phơng trình sau: a/ m2x = 9x + m2 - 4m + 3 x +m x 2 + =2 x +1 x b/ CHUYEN DE 5 : TON RT GN BIEU THC Bi 1: Cho biu thc K = a 1 1 2 : + a 1 a a a + 1 a 1 a Rỳt gn biu thc K... a2 + b2 1/2 (a2 + b2)2 1/4 thay vào (1) ta có a4 + b4 1 8 Bài 3 Cho a,b > 0, và a + b = 1 Chứng minh rằng: a/ 1 1 (1 + )(1 + ) 9 a b ; b/ 1 1 4 + a +1 b +1 3 Giải a/ 1 1 a +1 b +1 ab + a + b + 1 2 (1 + )(1 + ) 9 ( )( )9 9 1+ 9 a b a b ab ab 1 4ab (a + b)2 4ab đúng (đpcm) b/ 1 1 4 + a... 4x + 5 x 2 2x + 2 Giải Ta có: P= 2x 2 4x + 5 2(x 2 2x + 2) + 1 1 1 = = 2+ 2 = 2+ 2 2 x 2x + 2 x 2x + 2 x 2x + 2 (x 1) 2 + 1 2+ P lớn nhất 1 (x 1)2 + 1 lớn nhất, muốn vậy (x - 1)2 + 1 phải nhỏ nhất mà (x - 1)2 + 1 1 (x - 1)2 + 1 nhỏ nhất bằng 1 x = 1 Khi đó P = 3 Vậy Pmax = 3 x = 1 Bài 2 Cho x2 + y2 = 1, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: p = x + y Giải Từ (x - y)2 ... = 1/2 Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: P = (x 2 + 1)2 x4 + 1 Giải P= (x 2 + 1)2 x 4 + 2x 2 + 1 2x 2 = = 1+ 4 x4 + 1 x4 + 1 x +1 Do (x2 - 1)2 0 x4 + 1 2x2 Do 2x2 0, x4 + 1 1 2x 2 0 x4 + 1 2x 2 1 x4 + 1 P 2 Pmax= 2 x = 1 P 1 Pmin = 1 2x 2 =0 x4 + 1 x = 0 Bài 5 Cho a, b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của; P = (x + a)(x + b) x , với x > 0 Giải Ta có: P= (x + a)(x + b) x 2... - y) = 0 Nếu m = 2 hệ vô số nghiệm Nếu m 2 x = y thay vào phơng trình (1) ta có: (m + 2)x = 1 Nếu m = -2 hệ vô nghiệm Nếu m -2 hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2) c/ khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2) Nghiệm này là số nguyên 1/(m + 2) là số nguyên m + 2 = 1 m = 1 m + 2 = 1 m = 3 d/ / khi m 2 và m -2 thì hệ có nghiệm duy nhất: x = y = 1/(m + 2) Nghiệm... ( x 1 + x )2 + ( x 1 x )2 = x 1 + x + x x 1 = 2 x = Bài 5 Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa và rút gọn: x 2 x 1 + x + 2 x 1 x 4(x 1) 2 a/ 1 x + x 1 b/ 1 x x 1 (1 1 ) x 1 x3 x 1 x 1 x +1 : x x x x +x+ x 2 c/ ( d/ ( e/ 2 x +x x x 1 1 x 1 ): x +2 x + x +1 x+2 x 1 x 1 + + ): 2 x x 1 x + x +1 1 x Giải a/ ĐK: x > 1 x > 1 x > 1 2 2 x 2 x 4x + 4 > 0 (x 2) > 0 x 2 x 1 + x +... + a + 1) 2 a 2 2a + 1 2 2 2 = = 2 = 2 2 (a 1)(a + a + 1) a 1 (a 1)(a + a + 1) a 1 a + a + 1 x + x + 1 Bài 6 Chứng minh rằng các biểu thức sau là một số nguyên 4 + 5 3 + 5 48 10 7 + 4 3 a/ A = ( 3 1) 6 + 2 2 3 2 + 12 + 18 128 b/ B = 2 3 + 5 13 + 48 c/ C = 6 2 Giải a/ Ta có: 7 + 4 3 = (2 + 3)2 10 7 + 4 3 = 10(2 + 3) = 20 10 3 48 10 7 + 4 3 = 48 20 10 3 = 28 10 3 = (5 3) 2 5 48 10 . số A và B biết: A = 2004.2006 và B = 2005 2 Giải Ta có A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 2005 2 - 1 < 2005 2 =B. Vậy A < B. Bài 2 So sánh hai số A và B. 1) và B = 2 32 Giải Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) = 2 32 -1 < 2 32 = B. Vậy A < B. Bài 3 So sánh hai số A và