1 MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình dao ñộng §1. Bài toán dao ñộng của dây với hai mút 0 x = và x ℓ = cột chặt 1. Dao ñộng tự do của dây với hai mút 0x = và x ℓ = cột chặt Phương trình dao ñộng : 2 (0 , 0) tt xx u a u x t ℓ = < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0u t u t ℓ = = (2) ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ) t u x x u x x= ϕ = ψ (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : ( , ) ( ) ( )u x t X x T t = . Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta ñược phương trình : 2 2 2 ''( ) ''( ) ( ) ''( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) X x T t X x T t a X x T t X x a T t = ⇒ = = −λ . Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm ( ) X x và ( ) T t như sau : 2 2 2 ''( ) ( ) 0 (4) ''( ) ( ) 0 (5) T t a T t X x X x  + λ =   + λ =   Từ ñiều kiện biên (2) ta có : (0, ) (0) ( ) 0 (0) 0u t X T t X = = ⇒ = ( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u t X T t X ℓ ℓ ℓ = = ⇒ = Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : 1 2 ( ) cos sinX x C x C x= λ + λ Từ ñiều kiện 1 (0) 0 0X C= ⇒ = ; Từ ñiều kiện 2 ( ) 0 sin 0 ( 1,2, )X C n n ℓ ℓ ℓ = ⇒ λ λ = ⇒ λ = π = . Từ ñó ta nhận ñược : n n ℓ π λ = λ = (6) ; chọn 2 1 C = , ta ñược : ( ) sin n n x X x ℓ π = (7) Khi n λ = λ , phương trình (4) trở thành : 2 2 ''( ) ( ) 0 n T t a T t+ λ = ; Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng : ( ) cos sin cos sin n n n n n n n n at n at T t a a t b a t a b ℓ ℓ π π = λ + λ = + (8). Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : 1 ( , ) cos sin sin n n n n at n at n x u x t a b ℓ ℓ ℓ ∞ = π π π   = +     ∑ (9) Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho ( , )u x t ta có : 1 ( ,0) sin ( ) n n n x u x a x ∞ = π = = ϕ ∑ ℓ (10) 0 ( ,0) sin ( ) t n n n a n x u x b x ∞ = π π = = ψ ∑ ℓ ℓ (11) Từ (10) và (11) ta tìm ñược : 0 2 ( )sin n n x a x dx π = ϕ ∫ ℓ ℓ ℓ 0 2 ( )sin n n x b x dx n a π = ψ π ∫ ℓ ℓ Thay các biểu thức tìm ñược của , n n a b vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm . Các bài tập áp dụng : 1. Tìm các dao ñộng ngang của dây gắn chặt tại hai mút 0, x x = = ℓ , nếu vận tốc ban ñầu bằng không và dạng ban ñầu của dây là một cung parabol ñối xứng với ñường vuông góc qua trung ñiểm của dây. ðS : 3 3 0 32 1 (2 1) (2 1) ( , ) cos sin (2 1) k h k at k x u x t k ∞ = + π + π = π + ∑ ℓ ℓ 2. Một dây chiều dài ℓ ñược gắn chặt tại các mút 0, x x = = ℓ . ðiểm x c = xủa nó ñược kéo lên 2 khỏi vị trí cân bằng một ñoạn h nhỏ và lúc 0 t = dây ñược thả ra không vận tốc ñầu. Tìm dao ñộng của dây ở thời ñiểm 0 t > . ðS : 2 2 2 1 2 1 ( , ) sin cos sin ( ) n h n c n at n x u x t c c n ∞ = π π π = π − ∑ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 3. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l ( 0 x ℓ ≤ ≤ ) với các mút gắn chặt nếu ở thời ñiểm ñầu tiên dây ở trạng thái yên nghỉ và một ñoạn (a,b) của nó ( 0 a b < < < ℓ ) ñược truyền cho một vận tốc ban ñầu không ñổi bằng v 0 4. Tìm các dao ñộng bé của dây chiều dài l ( 0 x ℓ ≤ ≤ ) với các mút gắn chặt nếu ñộ lệch ban ñầu của các ñiểm trên dây bằng không và ở thời ñiểm ñầu tiên dây ñược truyền cho một xung lực tập trung với cường ñộ I tại x 0 ( 0 0 x < < ℓ ). ðS : 0 1 2 1 ( , ) sin sin sin n n x I n at n x u x t a n l l l ∞ = π π π = π ρ ∑ 5. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài ℓ ( 0 x ℓ ≤ ≤ ) với các mút gắn chặt. Trước lúc t = 0 dây ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của lực F 0 ñặt tại x 0 trên dây và vuông góc với vị trí cân bằng của dây.Lúc t = 0, tác dụng của lực F 0 triệt tiêu. Tìm dao ñộng của dây lúc t >0 6. Một sợi dây ñàn hồi chiều dài (0 )x ℓ ℓ ≤ ≤ với các mút gắn chặt ñược kích thích dao ñộng bằng cách truyền cho nó một vận tốc ban ñầu có dạng : 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ,0) cos 2 0 t khi x x x x u x v khi x x x khi x x  ≤ ≤ −δ       π −     = −δ ≤ ≤ +δ     δ      −δ ≤ ≤    ℓ Tìm dao ñộng của dây lúc 0 t > nếu ñộ lệch ban ñầu của dây bằng 0 7. Xác ñịnh dao ñộng của dây hữu hạn gắn chặt tại các mút 0, x x = = ℓ biết rằng ñộ lệch ban ñầu của dây bằng 0 còn vận tốc ban ñầu của dây cho bởi : 0 cos( ) khi | | 2 ( ,0) 0 khi | - | 2 t v x c x c u x x c  π   − − <    =   π  >     ðS : 0 2 2 1 sin cos 4 2 ( , ) sin sin 1 n n c n v n at n x l l u x t a l l n n l ∞ = π π π π = π   π −     ∑ 8. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại mút 0 x = còn mút x = ℓ chuyển ñộng theo quy luật sin A t ω . Biết rằng ñộ lệch ban ñầu và vận tốc ban ñầu của dây bằng 0. ðS : 1 2 1 2 sin sin 2 ( 1) ( , ) sin sin sin n n x A t A a n at n x a u x t l l l l n a a l + ∞ = ω ω ω − π π = + ω π   ω −     ∑ 9. Giải phương trình : 2 + ( ) (0 , 0) tt xx u a u f x x t ℓ = < < > (0, ) , ( , ) ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0 t u t u t u x u x ℓ = α = β = = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng ( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x = + , trong ñó : ( )W x thoả mãn phương trình 2 ''( ) ( ) 0a W x f x+ = với ñiều kiện : (0) , ( )W W ℓ = α = β . Khi ñó , hàm ( , )v x t sẽ là nghiệm của bài toán biên sau : 2 (0 , 0) tt xx v a v x t ℓ = < < > (0, ) ( , ) 0;v t v t ℓ = = ( ,0) ( ), ( ,0) 0 t v x W x v x = − = 3 ðS : ( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x = + , trong ñó : 1 ( , ) cos sin n n n at n x v x t a l ℓ ∞ = π π = ∑ với : 0 2 ( )sin n n x a W x dx ℓ ℓ ℓ π = − ∫ và 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) y y x x W x x f d dy f d dy a a ℓ ℓ ℓ     β − α = + α − ξ ξ + ξ ξ         ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút 0x = và mút x ℓ = cột chặt Phương trình dao ñộng : 2 ( , ) (0 , 0) tt xx u a u f x t x t ℓ = + < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0u t u t ℓ = = (2) ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ,0) 0 t u x u x= = (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng : 1 ( , ) ( )sin n n n x u x t u t ℓ ∞ = π = ∑ (4). Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho ( ) n u t dưới dạng : 2 '' ( ) ( ) ( ) n n n n a u t u t f t ℓ π   + =     (5) Trong ñó : 0 2 ( ) ( , )sin n n f t f x t xdx ℓ ℓ = λ ∫ . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm ( ) n u t như sau : ' (0) (0) 0 n n u u= = (6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : 0 ( ) ( )sin ( ) t n n n a u t f t t d n a ℓ ℓ π   = − τ τ   π   ∫ (7) Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm. Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau : + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng : (0) ( ) cos sin n n n n at n at u t a b ℓ ℓ π π = + + Giả sử ( ) n u t là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng : (0) ( ) ( ) ( ) cos sin ( ) n n n n n n n at n at u t u t u t a b u t ℓ ℓ π π = + = + + + Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số , n n a b . Các bài tập áp dụng : 1. Giải phương trình : 2 + sin (0 , 0) t tt xx x u a u Ae x tℓ ℓ − π = < < > (0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0 t u t u t u x u x ℓ = = = = ðS : 2 ( , ) cos sin sin 1 t A a t a t x u x t e a a ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ − π π π   = − +   π   π   +     2. Giải phương trình : 2 + (0 , 0) t tt xx u a u Axe x t ℓ − = < < > (0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0 t u t u t u x u x ℓ = = = = ðS : 1 2 1 2 ( 1) ( , ) cos sin sin 1 n t n A n at n at n x u x t e n a n a ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ + ∞ − = − π π π   = − +   π π   π   +     ∑ 3. Giải phương trình : sin sin2 (0 1, 0) tt xx u u t x x t = + π < < > (0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0 t u t u t u x u x = = = = 4. Giải phương trình : 1 (0 1, 0) tt xx u u x t = + < < > (0, ) (1, ) 0; ( ,0) ( ,0) 0 t u t u t u x u x = = = = 4 5. Giải phương trình : 2 sh (0 , 0) tt xx u a u b x x t = + < < > ℓ (0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0 t u t u t u x u x = = = = ℓ 6. Giải phương trình : ( ) (0 , 0) tt xx u u bx x x t = + − < < > ℓ ℓ (0, ) ( , ) 0; ( ,0) ( ,0) 0 t u t u t u x u x = = = = ℓ 7. Giải phương trình : (0 , 0) tt xx u u x t= < < π > 2 3 (0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin , ( ,0) 0 t u t t u t t u x x u x= π = = = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : ( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t = + , trong ñó ( , )W x t chọn dưới dạng 2 3 2 2 3 ( , ) ( ) 1 x x x W x t t t t t t   = + − = − +   π π π   . Khi ñó ( , )v x t là nghiệm của bài toán biên sau : 2 ( , ) (0 , 0) tt xx v a v f x t x t= + < < π > (0, ) ( , ) 0 v t v t = π = ( ,0) sin , ( ,0) 0 t v x x v x= = với 6 ( , ) 2 1 tt x xt f x t W   = − = − − −   π π   ðS : 2 3 3 1 4 1 ( 1) 3 ( , ) 1 cos sin ( 1) 3 1 cos sin sin n n n x x u x t t t t x t nt nt nx n n ∞ =   −   = − + + + − − + −     π π π     ∑ 8. Giải phương trình : (0 , 0) tt xx u u x t= < < π > (0, ) , ( , ) ; ( ,0) sin cos , ( ,0) 1 t t u t e u t t u x x x u x − = π = = = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : ( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t = + , trong ñó ( , )W x t chọn dưới dạng ( , ) ( ) 1 t t t x x xt W x t e t e e − − −   = + − = − +   π π π   . Khi ñó ( , )v x t là nghiệm của bài toán biên sau : 2 ( , ) (0 , 0) tt xx v a v f x t x t= + < < π > (0, ) ( , ) 0v t v t = π = ( ,0) sin , ( ,0) 0 t v x x v x= = với ( , ) 1 t tt x f x t W e −   = − = − −   π   ðS : 2 2 1 1 2 1 1 ( , ) 1 cos 2 sin 2 cos 2 sin sin 2 ( 1) t t n x xt u x t e t x e n nt n nt nx n n n ∞ − − =       = − + + − + − +       π π π +       ∑ 9. Xác ñịnh dao ñộng của dây gắn chặt tại hai mút 0, x x = = ℓ trong môi trường có lực cản tỷ lệ với vận tốc, biết các ñiều kiện ñầu ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ) t u x x u x x = ϕ = ψ . §2. Bài toán dao ñộng của dây với mút 0x = cột chặt còn mút x l = ñể tự do 1. Dao ñộng tự do của dây với mút 0x = cột chặt còn mút x l = ñể tự do. Phương trình dao ñộng : 2 (0 , 0) tt xx u a u x l t= < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0 x u t u l t= = (2) ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ) t u x x u x x= ϕ = ψ (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : ( , ) ( ) ( )u x t X x T t = . Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta ñược phương trình : 2 2 2 ''( ) ''( ) ( ) ''( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) X x T t X x T t a X x T t X x a T t = ⇒ = = −λ . Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm ( )X x và ( )T t như sau : 2 2 2 ''( ) ( ) 0 (4) ''( ) ( ) 0 (5) T t a T t X x X x  + λ =   + λ =   Từ ñiều kiện biên (2) ta có : (0, ) (0) ( ) 0 (0) 0u t X T t X = = ⇒ = ( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0 x u l t X l T t X l= = ⇒ = 5 Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : 1 2 ( ) cos sinX x C x C x= λ + λ . Từ ñiều kiện 1 (0) 0 0X C= ⇒ = ; Từ ñiều kiện 2 (2 1) '( ) 0 cos 0 ( 0,1, ) 2 n X l C l l n + π = ⇒ λ λ = ⇒ λ = = . Từ ñó ta nhận ñược : (2 1) 2 n n l + π λ = λ = (6) ; chọn 2 1C = , ta ñược : (2 1) ( ) sin 2 n n x X x l + π = (7) Khi n λ = λ , phương trình (4) trở thành : 2 2 ''( ) ( ) 0 n T t a T t+ λ = ; Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng : (2 1) (2 1) ( ) cos sin cos sin 2 2 n n n n n n n n at n at T t a a t b a t a b l l + π + π = λ + λ = + (8). Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : 0 (2 1) (2 1) (2 1) ( , ) cos sin sin 2 2 2 n n n n at n at n x u x t a b l l l ∞ = + π + π + π   = +     ∑ (9) Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho ( , ) u x t ta có : 0 (2 1) ( ,0) sin ( ) 2 n n n x u x a x l ∞ = + π = = ϕ ∑ (10) 0 (2 1) (2 1) ( ,0) sin ( ) 2 2 t n n n a n x u x b x l l ∞ = + π + π = = ψ ∑ (11) Từ (10) và (11) ta tìm ñược : 0 2 (2 1) ( )sin 2 l n n x a x dx l l + π = ϕ ∫ 0 4 (2 1) ( )sin (2 1) 2 l n n x b x dx n a l + π = ψ + π ∫ Thay các biểu thức tìm ñược của , n n a b vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm . Các bài tập áp dụng : 1. Giải phương trình : 2 (0 , 0) tt xx u a u x l t= < < > 3 (0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) , ( ,0) sin sin 2 2 x t x x u t u l t u x x u x l l π π = = = = + ðS : 2 2 3 3 ( , ) sin sin sin sin 2 2 3 2 2 l a t x l a t x u x t a l l a l l π π π π = + π π 2. Giải phương trình : (0 , 0) tt xx u u x t= < < π > (0, ) , ( , ) 1 ; ( ,0) sin , ( ,0) 1 2 x t x u t t u t u x u x= π = = = Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : ( , ) ( , ) ( , )u x t v x t W x t = + , trong ñó ( , )W x t chọn sao cho : (0, ) , ( , ) 1 x W t t W t= π = . Ta có thể chọn : ( , )W x t x t = + . Khi ñó ( , )v x t là nghiệm của bài toán biên sau : 2 (0 , 0) tt xx v a v x t= < < π > (0, ) ( , ) 0 x v t v l t= = ( ,0) ( ,0) ( ,0) sin 2 x v x u x W x x = − = − , ( ,0) ( ,0) ( ,0) 0 t t t v x u x W x = − = ðS : 2 0 8 ( 1) (2 1) (2 1) ( , ) cos sin cos sin 2 2 (2 1) 2 2 k k t x k t k x u x t x t k ∞ = − + + = + + − π + ∑ 3. Một dây ñồng chất chiều dài ℓ ñược gắn chặt tại mút 0 x = , mút x = ℓ ñược nối với một vòng không khối lượng, vòng này có thể trượt theo một thanh nhẵn thẳng ñứng và nó lệch khỏi vị trí cân bằng một ñoạn h , vào lúc 0 t = nó ñược thả ra. Tìm dao ñộng của dây lúc 0 t > . 2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút 0x = cột chặt còn mút x l = ñể tự do. Phương trình dao ñộng : 2 ( , ) (0 , 0) tt xx u a u f x t x l t= + < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0 x u t u l t = = (2) 6 ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ,0) 0 t u x u x= = (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng : 0 ( , ) ( )sin n n n u x t u t x ∞ = = λ ∑ (4) với (2 1) 2 n n l + π λ = . Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho ( ) n u t dưới dạng : '' 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n u t a u t f t+ λ = (5) Trong ñó : 0 2 ( ) ( , )sin l n n f t f x t xdx l = λ ∫ . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm ( ) n u t như sau : ' (0) (0) 0 n n u u= = (6) . Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : [ ] 0 1 ( ) ( )sin ( ) t n n n n u t f t a t d a = λ − τ τ λ ∫ (7) Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm. Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau : + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng : (0) ( ) cos( ) sin( ) n n n n n u t a a t b a t= λ + λ + Giả sử ( ) n u t là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng : (0) ( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) n n n n n n n n u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ + + Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số , n n a b . Bài tập áp dụng : 1. Giải phương trình : 2 + sin (0 , 0) tt xx u a u A t x l t= < < > (0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0 x t u t u l t u x u x= = = = ðS : 2 0 4 1 2 (2 1) (2 1) ( , ) sin sin sin (2 1) 2 2 (2 1) (2 1) 1 2 k A l k at k x u x t t k a l l k a k l ∞ =   + π + π = −   π + π   + π       + −           ∑ §3. Bài toán dao ñộng của dây với mút x l = cột chặt còn mút 0x = ñể tự do 1. Dao ñộng tự do của dây với mút x l = cột chặt còn mút 0x = ñể tự do. Phương trình dao ñộng : 2 (0 , 0) tt xx u a u x l t = < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0 x u t u l t= = (2) ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ) t u x x u x x= ϕ = ψ (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : ( , ) ( ) ( )u x t X x T t = . Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta ñược phương trình : 2 2 2 ''( ) ''( ) ( ) ''( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) X x T t X x T t a X x T t X x a T t = ⇒ = = −λ . Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm ( )X x và ( )T t như sau : 2 2 2 ''( ) ( ) 0 (4) ''( ) ( ) 0 (5) T t a T t X x X x  + λ =   + λ =   Từ ñiều kiện biên (2) ta có : (0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0 x u t X T t X= = ⇒ = ( , ) ( ) ( ) 0 ( ) 0u l t X l T t X l = = ⇒ = Nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : 1 2 ( ) cos sinX x C x C x= λ + λ . Từ ñiều kiện 2 '(0) 0 0X C= ⇒ = ; Từ ñiều kiện 1 (2 1) ( ) 0 cos 0 ( 0,1, ) 2 n X l C l l n + π = ⇒ λ = ⇒ λ = = . Từ ñó ta nhận ñược : (2 1) 2 n n l + π λ = λ = (6) ; chọn 1 1C = , ta ñược : (2 1) ( ) cos 2 n n x X x l + π = (7) 7 Khi n λ = λ , phương trình (4) trở thành : 2 2 ''( ) ( ) 0 n T t a T t+ λ = ; Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng : (2 1) (2 1) ( ) cos sin cos sin 2 2 n n n n n n n n at n at T t a a t b a t a b l l + π + π = λ + λ = + (8). Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : 0 (2 1) (2 1) (2 1) ( , ) cos sin cos 2 2 2 n n n n at n at n x u x t a b l l l ∞ = + π + π + π   = +     ∑ (9) Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (9) cho ( , )u x t ta có : 0 (2 1) ( ,0) cos ( ) 2 n n n x u x a x l ∞ = + π = = ϕ ∑ (10) 0 (2 1) (2 1) ( ,0) cos ( ) 2 2 t n n n a n x u x b x l l ∞ = + π + π = = ψ ∑ (11) Từ (10) và (11) ta tìm ñược : 0 2 (2 1) ( )cos 2 l n n x a x dx l l + π = ϕ ∫ 0 4 (2 1) ( )cos (2 1) 2 l n n x b x dx k a l + π = ψ + π ∫ Thay các biểu thức tìm ñược của , n n a b vào (9) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm . Bài tập áp dụng 1. Giải phương trình : 2 (0 , 0) tt xx u a u x l t= < < > 3 5 (0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) cos , ( ,0) cos cos 2 2 2 x t x x x u t u l t u x u x l l l π π π = = = = + ðS : 2 3 3 2 5 5 ( , ) cos cos sin cos sin cos 2 2 3 2 2 5 2 2 at x l at x l at x u x t l l a l l a l l π π π π π π = + + π π 2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với mút x l = cột chặt còn mút 0x = ñể tự do. Phương trình dao ñộng : 2 ( , ) (0 , 0) tt xx u a u f x t x l t= + < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0 x u t u l t= = (2) ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ,0) 0 t u x u x= = (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng : 0 ( , ) ( )cos n n n u x t u t x ∞ = = λ ∑ (4) với (2 1) 2 n n l + π λ = . Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho ( ) n u t dưới dạng : '' 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n u t a u t f t+ λ = (5) Trong ñó : 0 2 ( ) ( , )cos l n n f t f x t xdx l = λ ∫ . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm ( ) n u t như sau : ' (0) (0) 0 n n u u= = (6) Nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : [ ] 0 1 ( ) ( )sin ( ) t n n n n u t f t a t d a = λ − τ τ λ ∫ (7) Thay (7) và0 (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm. Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau : + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng : (0) ( ) cos( ) sin( ) n n n n n u t a a t b a t= λ + λ + Giả sử ( ) n u t là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng : (0) ( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) n n n n n n n n u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ + + Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số , n n a b . 8 Bài tập áp dụng 1. Giải phương trình : 2 + cos (0 , 0) 2 t tt xx x u a u Ae x l t l − π = < < > (0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 0 x t u t u l t u x u x= = = = ðS : 2 2 ( , ) cos sin cos 2 2 2 1 2 t A a t l a t x u x t e l a l l a l − π π π   = − +   π   π   +     §4. Bài toán dao ñộng của dây với các mút 0x = và x l = ñể tự do 1. Dao ñộng tự do của dây với các mút 0x = và x l = ñể tự do. Phương trình dao ñộng : 2 (0 , 0) tt xx u a u x l t= < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0 x x u t u l t= = (2) ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ) t u x x u x x= ϕ = ψ (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) dưới dạng : ( , ) ( ) ( )u x t X x T t = . Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta ñược phương trình : 2 2 2 ''( ) ''( ) ( ) ''( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) X x T t X x T t a X x T t X x a T t = ⇒ = = −λ . Từ ñó ta tìm ñược các phương trình cho các hàm ( )X x và ( )T t như sau : 2 2 2 ''( ) ( ) 0 (4) ''( ) ( ) 0 (5) T t a T t X x X x  + λ =   + λ =   Từ ñiều kiện biên (2) ta có : (0, ) '(0) ( ) 0 '(0) 0 x u t X T t X = = ⇒ = ( , ) '( ) ( ) 0 '( ) 0 x u l t X l T t X l= = ⇒ = + Khi 0 λ = , phương trình (5) trở thành : ''( ) 0 ( )X x X x Ax B = ⇒ = + . Từ ñiều kiện '(0) '( ) 0X X l = = ta tìm ñược : 0 , 0A B = ≠ . Ta có thể chọn 1 B = . Như vậy khi 0 0λ = λ = , phương trình (5) có nghiệm : 0 ( ) 1X x = . Lúc này phương trình (4) trở thành 0 0 0 ''( ) 0 ( )T t T t a b t= ⇒ = + + Khi 0 λ ≠ , nghiệm tổng quát của phương trình (5) có dạng : 1 2 ( ) cos sinX x C x C x= λ + λ Từ ñiều kiện 2 '(0) 0 0X C= ⇒ = ; Từ ñiều kiện 1 '( ) 0 sin 0 ( ) n X l C l l n l π = ⇒ λ λ = ⇒ λ = ∈ℕ . Từ ñó ta nhận ñược : n n l π λ = λ = ; chọn 2 1C = , ta ñược : ( ) cos n n x X x l π = Khi n λ = λ , phương trình (4) trở thành : 2 2 ''( ) ( ) 0 n T t a T t+ λ = ; Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng : ( ) cos sin cos sin n n n n n n n n at n at T t a a t b a t a b l l π π = λ + λ = + Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) có dạng : 0 0 0 1 ( , ) ( ) ( ) cos sin cos n n n n n n n at n at n x u x t X x T t a b t a b l l l ∞ ∞ = = π π π   = = + + +     ∑ ∑ (6) Từ ñiều kiện ñầu (3) và biểu thức (6) cho ( , ) u x t ta có : 0 1 ( ,0) cos ( ) n n n x u x a a x l ∞ = π = + = ϕ ∑ (7) 0 0 ( ,0) cos ( ) t n n n a n x u x b b x l l ∞ = π π = + = ψ ∑ (8) Từ (7) và (8) ta tìm ñược : 0 0 0 1 2 ( ) , ( )cos ( 1) l l n n x a x dx a x dx n l l l π = ϕ = ϕ > ∫ ∫ 0 0 0 1 2 ( ) , ( )cos ( 1) l l n n x b x dx b x dx n l n a l π = ψ = ψ > π ∫ ∫ 9 Thay các biểu thức tìm ñược của , n n a b vào (6) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm . Bài tập áp dụng. 1. Giải phương trình : 2 (0 , 0) tt xx u a u x l t = < < > (0, ) ( , ) 0 ; ( ,0) , ( ,0) 1 x x t u t u l t u x x u x= = = = ðS : 2 2 0 4 1 (2 1) (2 1) ( , ) cos cos 2 (2 1) k l l k at k x u x t t k l l ∞ = + π + π = + − π + ∑ 2. Giải phương trình : 2 (0 , 0) tt xx u a u x l t= < < > ch ch (0, ) 0, ( , ) ; ( ,0) , ( ,0) sh sh t x x t x x Aa Aa a a u t u l t Ae u x u x l l a a − = = = = − Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng ( , ) ( , ) ( ) t u x t v x t e f x − = + . Trong ñó ( )f x chọn sao cho thoả mãn ñiều kiện sau : 2 ''( ) ( ) 0 , '(0) 0, '( )a f x f x f f l A− = = = . Khi ñó, ( , )v x t là nghiệm của bài toán biên sau : 2 (0 , 0) tt xx v a v x l t= < < > (0, ) ( , ) 0 , ( ,0) ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ,0) ( ) t t v t v l t v x u x f x v x u x f x= = = − = + ðS : ( , ) t Aa x u x t e ch l a sh a − = . 2. Dao ñộng cưỡng bức của dây với các mút 0 x = và x l = ñể tự do. Phương trình dao ñộng : 2 ( , ) (0 , 0) tt xx u a u f x t x l t= + < < > (1) ðiều kiện biên : (0, ) ( , ) 0 x x u t u l t= = (2) ðiều kiện ñầu : ( ,0) ( ,0) 0 t u x u x= = (3) Giải : Ta tìm nghiệm của phương trình (1) thoả mãn ñiều kiện biên (2) dưới dạng : 0 ( , ) ( )cos n n n u x t u t x ∞ = = λ ∑ (4) với n n l π λ = . Thay biểu thức này vào phương trình (1) ta tìm ñược phương trình cho ( ) n u t dưới dạng : '' 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n u t a u t f t + λ = (5) Trong ñó : 0 2 ( ) ( , )cos l n n f t f x t xdx l = λ ∫ . Từ ñiều kiện ñầu (3), ta tìm ñược ñiều kiện cho hàm ( ) n u t như sau : ' (0) (0) 0 n n u u= = (6) + Khi 0n = , phương trình (5) trở thành : '' 0 0 ( ) ( )u t f t= (7) với ñiều kiện ñầu (6) trở thành : ' 0 0 (0) (0) 0u u= = (8) Nghiệm của (7) thoả mãn ñiều kiện (8) có dạng : 0 0 0 ( ) ( ) t n u t d f d τ   = τ ξ ξ     ∫ ∫ (9) + Khi 0n > , nghiệm của (5) thoả mãn ñiều kiện ñầu (6) có dạng : [ ] 0 1 ( ) ( )sin ( ) t n n n n u t f t a t d a = λ − τ τ λ ∫ (10) Thay (9) và (10) vào (4) ta nhận ñược nghiệm của bài toán cần tìm dưới dạng : 0 1 ( , ) ( ) ( )cos n n n u x t u t u t x ∞ = = + λ ∑ Chú ý : Nghiệm của (5) khi 0n > có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau : + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với (5) có dạng : (0) ( ) cos( ) sin( ) n n n n n u t a a t b a t = λ + λ 10 + Giả sử ( ) n u t là một nghiệm riêng của (5), thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng : (0) ( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) ( ) n n n n n n n n u t u t u t a a t b a t u t= + = λ + λ + + Từ các ñiều kiện ñầu (6), ta có thể xác ñịnh các hệ số , n n a b . Bài tập áp dụng 1. Giải phương trình : 2 + ( ) (0 , 0) tt xx u a u f x x l t= < < > (0, ) , ( , ) ; ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ) x x t u t u l t u x x u x x= α = β = ϕ = ψ Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng : ( , ) ( , ) ( )u x t v x t W x = + với : 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( )W x a x b x a x b x= + α + + β , các hệ số 1 2 1 2 , , ,a a b b ñược chọn sao cho hàm ( )W x thoả mãn ñiều kiện biên '(0) , '( )W W l = α = β . ðS : 2 2 0 0 0 ( , ) 2 2 f u x t x x t t l β − α = + α + ϕ + ψ + + 2 2 1 1 cos sin cos n n n n n l n at l n at n x f f n a n a l n a l l ∞ =     π π π       + + ϕ − + ϕ         π π π             ∑ Trong ñó : 2 0 ( ) ( ) cos l n n a n x f f x dx l l l   δ β − α π = +     ∫ , 2 0 ( ) ( ) cos 2 l n n x n x x x dx l l l   δ β − α π ϕ = ϕ − − α     ∫ 0 0 ( )cos , 1, 2 ( 1,2, ) l n n k n x x dx k l l δ π ψ = ψ δ = δ = = ∫ 2. Giải phương trình : 2 sin 2 (0 , 0) tt xx u a u t x l t = + < < > 2 2 2 (0, ) 0, ( , ) sin sin 2 ; ( ,0) 0 , ( ,0) 2cos x x t l x u t u l t t u x u x a a a = = = = − Hướng dẫn : Tìm nghiệm dưới dạng ( , ) ( , ) ( )sin 2u x t v x t f x t = + . Trong ñó ( )f x ñược chọn sao cho thoả mãn ñiều kiện sau : 2 2 2 ''( ) 4 ( ) 1, '(0) 0, '( ) sin l a f x f x f f l a a + = − = = . Khi ñó ( , )v x t là nghiệm của bài toán biên sau : 2 (0 , 0) tt xx v a v x l t= < < > (0, ) ( , ) 0 , ( ,0) 0 , ( ,0) ( ,0) 2 ( ) x x t t v t v l t v x v x u x f x= = = = − ðS : 1 2 ( , ) cos sin 2 2 4 t x u x t t a   = − +     . [...]... thay vào (9) ta ñư c nghi m c a phương trình cho Bài t p áp d ng Bài 1 Gi i phương trình : ∆u = 0 (0 < x < p, 0 < y < s) u x (0, y ) = u x ( p, y ) = 0 ; u ( x, 0) = A, u ( x, s ) = Bx ðS : u (, y ) = ( pB − 2 A) y 4 pB ∞ 1 (2k + 1)πx (2k + 1)πy + A− 2 ∑ cos sh 2s π k =0 (2k + 1) 2 sh (2k + 1)πs p p p 23 Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên trong cho phương trình Laplace trong mi n hình tròn...  3r 4r r k =3 4 − k  r  Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên cho phương trình Laplace trong mi n hình vành khăn D = {( x, y ) : R1 < x 2 + y 2 < R 2 } Bài toán : Tìm hàm u ( x, y ) xác ñ nh và liên t c trong mi n D v i biên là các ñư ng tròn (C1 ), (C2 ) tâm O bán kính l n lư t b ng R1 , R2 ; tho mãn phương trình : ∆u ( x, y ) = 0 ; (x, y ) ∈ D (1) v i ñi u ki n biên : u C = fi ( P) P( x,.. .Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên cho phương trình truy n nhi t §1 Bài toán truy n nhi t trên thanh v i hai mút x = 0 và mút x = l ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0 1 Truy n nhi t t do trên thanh v i hai mút x = 0 và mút x = l ñư c gi nhi t ñ không ñ i b ng 0 Phương trình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u (0, t ) = u (l , t )... ñó : α (2k + 1)πϕ dϕ 2α Bài 3 Tìm phân b nhi t d ng trong m t t m m ng hình bán nguy t bán kính R n u nhi t ñ trên biên cong b ng U 0 và nhi t ñ trên biên th ng b ng 0 4U ðS : u (r , ϕ) = 0 π ∞ 1 r ∑ 2k + 1  R    k =0 2 k +1 sin(2k + 1)ϕ Phương pháp tách bi n gi i các bài toán biên ngoài cho phương trình Laplace trong mi n hình tròn D = {( x, y ) : x 2 + y 2 > R 2 } Bài toán : Tìm hàm u ( x, y... i các bài toán biên cho phương trình Laplace trong mi n hình ch nh t D = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ p, 0 ≤ y ≤ q} §1 D ng th nh t : ∆u ( x, y ) = 0 ( x, y ) ∈ D (1) u (0, y ) = u ( p, y) = 0 (2) u ( x, 0) = ϕ( x) , u( x, q) = ψ( x) (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, y ) = X ( x)Y ( y ) Thay bi u th c này X ''( x) Y ''( y ) =− = −λ 2 vào phương trình (1) ta ñư c phương trình. .. khi có ngu n nhi t Phương trình dao ñ ng : ut = a 2uxx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u (0, t ) = u x (l , t ) = 0 (2) ði u ki n ñ u : u ( x, 0) = 0 (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t )sin λ n x (4) v i λ n = n=0 (2n + 1)π 2l Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư... khi có ngu n nhi t Phương trình truy n nhi t : ut = a 2u xx + f ( x, t ) (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u x (0, t ) = ux (l , t ) = 0 (2) ði u ki n ñ u : u ( x, 0) = (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) tho mãn ñi u ki n biên (2) dư i d ng : ∞ u ( x, t ) = ∑ un (t ) cos λ n x (4) v i λ n = n =0 nπ l Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta tìm ñư c phương trình cho un (t ) dư... t Phương trình truy n nhi t : ut = a 2uxx (0 < x < l , t > 0) (1) ði u ki n biên : u (0, t ) = ux (l , t ) = 0 (2) ði u ki n ñ u : u ( x, 0) = ϕ( x) (3) Gi i : Ta tìm nghi m c a phương trình (1) dư i d ng : u ( x, t ) = X ( x)T (t ) Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta ñư c phương trình : X ( x)T '(t ) = a 2 X ''( x)T (t ) ⇒ X ''( x) T '(t ) = = −λ 2 T ñó ta X ( x) a 2T (t ) tìm ñư c các phương. .. Thay bi u th c này vào phương trình (1) ta ñư c phương trình : X "( x)Y ( y ) + X ( x )Y ''( y ) = 0 ⇒ X ''( x) Y ''( y ) =− = −λ 2 X ( x) Y ( y) T ñó ta tìm ñư c các phương trình cho các hàm X ( x) và Y ( y ) như sau : Y ''( y ) − λ 2Y ( y ) = 0 (4)   2 (5)  X ''( x) + λ X ( x) = 0  T ñi u ki n biên (2) ta tìm ñư c : X (0) = X '( p ) = 0 (6) Nghi m t ng quát c a phương trình (5) có d ng : X (... Gi i h (12), (13) ta tìm ñư c ak , bk ; thay vào (9) ta ñư c nghi m c a phương trình cho Chú ý : N u ñi u ki n biên ñư c cho theo y thì trong các công th c trên ta ch c n th c hi n vi c ñ i l n vai trò c a các ñ i lư ng như sau : x ↔ y ; X ↔ Y ; p ↔ q , ta s nh n ñư c nghi m c a bài toán tương ng Bài t p áp d ng Bài 1 Gi i phương trình : ∆u = 0 (0 < x < p, 0 < y < s) u (0, y ) = 0, u x ( p, y ) = 0 ; . 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÝ TOÁN Phương pháp tách biến giải các bài toán biên cho phương trình dao ñộng §1. Bài toán dao ñộng của. nghiệm của bài toán cần tìm. Chú ý : Nghiệm của (5) có thể ñược tìm bằng phương pháp hệ số bất ñịnh như sau : + Nghiệm tổng quát của phương trình thuần