TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ CÁC BÀI TỐN VỀ TƠ MÀU ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG  Bài tốn   Tìm cách làm cho đường dẫn từ ngơi nhà tới giếng cho khơng có đường cắt nhau? Mơ hình tốn  Đỉnh: gia đình giếng nước  Cạnh: đường từ nhà đến giếng  Có thể vẽ đồ thị mà khơng có cạnh cắt nhau? Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng  Một đồ thị gọi phẳng vẽ mặt phẳng mà khơng có cạnh cắt điểm khơng phải điểm mút cạnh  Hình vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Chương Đồ thị phẳng toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng  Ví dụ  Đồ thị sau có phải đồ thị phẳng không? Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng  Ví dụ  Đồ thị sau có phải đồ thị phẳng khơng? Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng v1 Ví dụ  v2 v3 v4  v5 v6 Chứng minh K3,3 không phẳng v1 v5 R2 R v4 v2 Chương Đồ thị phẳng toán tô màu đồ thị v1 R21 v4 v5 v3 R1 R22 v2 ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng  Công thức Euler   Tất biểu diễn phẳng đồ thị có số miền Định lý  Trong đơn đồ thị phẳng, liên thơng r=e–v+2    r: số miền e: số cạnh v: số đỉnh Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Công thức Euler  Chứng minh  Xây dựng dãy đồ thị G     G1 ≡ e1 Gi = Gi-1 ∪ ei (i = 2,3, …, e) G ≡ Ge Quy nạp    Định lý với G1 Giả sử Gn phẳng thỏa rn = en − + Xét đồ thị phẳng Gn+1  Gn+1 = Gn ∪ (an+1, bn+1) Chương Đồ thị phẳng toán tô màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Công thức Euler  Chứng minh  Xét đồ thị phẳng Gn+1 Gn+1 = Gn ∪ (an+1, bn+1)  Nếu an+1, bn+1 thuộc Gn  an+1, bn+1 nằm miền biên miền chung  rn+1 = rn + an+1  en+1 = en +  vn+1 = ⇒ rn+1 = en+1 − vn+1 +  bn+1 Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Công thức Euler  Chứng minh  Xét đồ thị phẳng Gn+1 Gn+1 = Gn ∪ (an+1, bn+1)  Nếu bn+1 (hoặc an+1) khơng thuộc Gn  Chỉ có an+1 nằm miền biên miền chung  rn+1 = rn  en+1 = en +  vn+1 = + bn+1 ⇒ rn+1 = en+1 − vn+1 + a  n+1 Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 10 ĐỒ THỊ PHẲNG  Định lý Kuratowski   Đồ thị G không phẳng G chứa đồ thị đồng phơi với K3,3 K5 Ví dụ:  Chứng minh đồ thị sau không phẳng a b a d f h b c g c e Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị d f e 16 Tô màu đồ thị  Bài tốn  Tơ màu đồ  miền có chung biên giới tơ màu tùy ý, miễn khác  Xác định số màu tối thiểu cần có để tơ màu đồ cho hai miền kề có màu khác Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 17 Tô màu đồ thị  Bài tốn  Tơ màu đồ  Mơ hình hóa tốn    Đỉnh: miền có đồ Cạnh: nối hai đỉnh miền biểu diễn hai đỉnh có biên giới chung Yêu cầu: Gắn màu cho đỉnh đồ thị cho không tồn đỉnh kề có màu Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị B A E D C G F B A C E D G F 18 Tô màu đồ thị  Định nghĩa  Tô màu đơn đồ thị việc gán màu cho đỉnh cho hai đỉnh liền kề có màu khác  Sắc số (Chromatic number)   Số màu tối thiểu cần thiết để tô màu G Ký hiệu: χ (G) Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 19 Tơ màu đồ thị  Định nghĩa  Ví dụ  Tìm sắc số đồ thị sau:   Số màu cần tô: v1v3v6v4 đôi kề v1 v2 ⇒χ(G) = v3 v4 v6 Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị v5 v7 20 Tô màu đồ thị  Định lý   Mọi đơn đồ thị đầy đủ có: χ(Kn) = n Chứng minh  Quy nạp theo n n = 1: Thỏa  Giả sử χ(Kn) = n  Xét Kn+1 = (V, E)  V’ = V \ {vn+1}, E’ ⊂ E  G (V’, E’) ≡ Kn  vn+1vi ∈ E ⇒ χ(Kn+1) = n +  Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 21 Tô màu đồ thị  Một số định lý tô màu đồ thị  Định lý   Mọi chu trình độ dài lẻ có sắc số Chứng minh  Quy nạp Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 22 Tô màu đồ thị  Một số định lý tô màu đồ thị  Định lý   Nếu G có chứa đồ thị đẳng cấu với Kn χ (G) ≥ n A Ví dụ: Tìm sắc số đồ thị sau E  B F Chú ý  Nếu G’ ⊂ G χ(G) ≥ χ(G’) Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị D C 23 Tô màu đồ thị  Một số định lý tô màu đồ thị  Định lý    Một đơn đồ thị G = (V, E) tơ màu khơng có chu trình độ dài lẻ Chứng minh Nhận xét   χ (Cn) = n chẵn (n≥ 3) χ (Cn) = n lẻ (n≥ 3) Chương Đồ thị phẳng toán tô màu đồ thị 24 Tô màu đồ thị  Một số định lý tô màu đồ thị  Định lý (Định lý màu)  Mọi đồ thị phẳng có sắc số khơng lớn    Định lý chứng minh Appel Haken Đây định lý chứng minh với trợ giúp máy tính Ta chứng minh định lý yếu hơn:  Mọi đồ thị phẳng có sắc số khơng lớn Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 25 Tơ màu đồ thị  Thuật tốn Welch Powell    Sắp xếp đỉnh G theo bậc giảm dần Dùng màu để tô đỉnh dùng màu để tô màu đỉnh liên tiếp danh sách mà không kề với đỉnh Bắt đầu trở lại đầu danh sách, tô màu thứ hai cho đỉnh chưa tô lập lại trình tất đỉnh tô màu Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 26 Tơ màu đồ thị  Thuật tốn Welch Powell  Chú ý    Kết thuật toán khơng sắc số Thuật tốn cho ta kết chấp nhận Bài tốn tìm sắc số tốn khó! Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 27 Tơ màu đồ thị  Thuật tốn Welch Powell  Ví dụ 1: Tô màu cho đồ thị sau với số màu v1 v6 v5 v2 v3 v4 G Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 28 Tơ màu đồ thị  Thuật tốn Welch Powell  Ví dụ 2: Tơ màu cho đồ thị sau với số màu Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 29 Tơ màu đồ thị  Ứng dụng  Hãy lập lịch thi cho sinh viên trường đại học cho sinh viên phải thi 02 mơn buổi thi Cho biết mơn thi có chung sinh viên dự thi môn thi Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 30 ... Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng  Ví dụ  Đồ thị sau có phải đồ thị phẳng không? Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng  Ví dụ  Đồ thị. .. Chương Đồ thị phẳng toán tô màu đồ thị 10 ĐỒ THỊ PHẲNG  Công thức Euler  Ví dụ  Tính số miền đơn đồ thị phẳng liên thơng có đỉnh đỉnh có bậc Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị 11 ĐỒ THỊ PHẲNG... đồ thị phẳng khơng? Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị ĐỒ THỊ PHẲNG  Đồ thị phẳng v1 Ví dụ  v2 v3 v4  v5 v6 Chứng minh K3,3 không phẳng v1 v5 R2 R v4 v2 Chương Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ