Đồ án tốt nghiệp Lời nói đầu Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu trong cuộc sống con nguời. Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phơng trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối u. Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số dới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hoặc một hàm số dới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung bình phơng. Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung bình phơng hay còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn Bằng - 1 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp Chơng I PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểU LậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM 1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Đặt vấn đề Có rất nhiều phơng pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm mà ta đã biết đến nh phép nội suy để lập đa thức cấp n: ( )x (đại số hoặc l- ợng giác) xấp xỉ hàm số ( )y f x= mà ta đã biết các giá trị của hàm này là i y y= tại các điểm i x x= . Phơng pháp nội suy nói trên khi sử dụng trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là: 1. Trong các đa thức nội suy ( )x ta đòi hỏi i x( ) = i y . Tuy nhiên sự đòi hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số i y là giá trị của hàm ( )y f x= tại các điểm i x x= , trong thực tế chúng ta cho dới dạng bảng và thờng thu đợc từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán trong thực hành. Những số y i này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị đúng ( ) i f x của hàm ( )y f x= tại i x x= . Sai số mắc phải ( ) i i i y f x = nói chung khác không. Nếu buộc ( ) i i x y = thì thực chất đã đem vào bài toán các sai số i của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy )(x và hàm ( )f x trùng nhau tại các điểm i x x= ). 2. Để cho đa thức nội suy )(x biểu diễn xấp xỉ hàm ( )f x một cách sát thực đơng nhiên cần tăng số mốc nội suy i x (nghĩa là làm giảm sai số của công thức nội suy). Nhng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu đợc khá cồng kềnh gây khó khăn cho việc thiết lập cũng nh dựa vào đó để tính giá trị gần đúng hoặc khảo sát hàm ( )f x . - 2 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp 1.1.2 Bài toán đặt ra Chính vì những lý trên nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực hơn thông qua hai bài toán: Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ). Giả sử đã biết giá trị i y ( 1,2, , )=i n của hàm ( )=y f x tại các điểm tơng ứng i x x= . Tìm hàm ( ) m x xấp xỉ với hàm f(x) trong đó 0 ( ) ( ). = = m m i i i x a x (1 - 1) với )(x i là những hàm đã biết, i a là những hệ số hằng số. Trong khi giải quyết bài toán này cần chọn hàm )(x m sao cho quá trình tính toán đơn giản đồng thời nhng sai số i có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi thu đợc các số liệu i y ) cần phải đợc chỉnh lý trong quá trình tính toán. Trong bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ )(x m là tùy thuộc ý nghĩa thực tiễn của hàm f(x) . Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết). Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm 0 1 ( , , , , ) m Y f x a a a= (1 2) Trong đó: i a ( 1,2, , )=i m là những hằng số. Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị của hàm = i y y ( 1,2, , )=i m ứng với các giá trị i x x= của đối. Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệm thu đợc cần xác định các giá trị của tham số 0 1 , , , m a a a để tìm đợc dạng cụ thể của biểu thức (1 2): ( )=y f x về sự phụ thuộc hàm số giữa y và x . 1.2 Sai số trung bình phơng và phơng pháp bình phơng tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm 1.2.1 Sai số trung bình phơng - 3 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp Những hàm trong thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải những sai số có tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu đợc các giá trị của hàm. Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực nghiệm ta cần đa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận đợc trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên (nghĩa là gạt bỏ đợc những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đa ra phải khá bé trên miền đang xét. Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên đợc gọi là sai số trung bình ph- ơng. 1.2.2 Định nghĩa Theo định nghĩa ta sẽ gọi n là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phơng của hai hàm ( )f x và ( ) x trên tập 1 2 ( , , , )= n X x x x , nếu n = = n i ii xxf n 1 2 )]()([ 1 . (2 1) 1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phơng Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phơng ta giả thiết ( )f x , (x) là những hàm liên tục trên đoạn [ ] ,a b và 1 2 ( , , , )= n X x x x là tập hợp các điểm cách đều trên [ ] ,a b 1 2 = < < < = n a x x x b Theo định nghĩa fích phân xác định ta có lim n n = (2 2) Trong đó: - 4 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp 2 = ab 1 dxxxf b a 2 )]()([ . (2 3) Giả sử ( ) ( )f x x có trên [ ] ,a b một số hữu hạn cực trị và là một số d- ơng nào đó cho trớc. Khi đó trên [ ] ,a b sẽ có k đoạn riêng biệt [ ] , i i a b ( 1,2, , )=i k sao cho ( ) ( )f x x (với [ ] , i i x a b , ( 1,2, , )=i k ) Gọi là tổng các độ dài của k đoạn nói trên. Với n đủ lớn và n đủ bé, từ (2 2) ta suy ra < ( bé tùy ý). Từ (2 3) suy ra )( 2 ab > b a dxxxf 2 )]()([ = k i b a i i dxxxf 1 2 )]()([ 2 . Do đó 2 ( ) < ữ b a . Nghĩa là tổng độ dài của các đoạn [ ] , i i a b sẽ bé tùy ý. Tóm lại: với n đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn [ ] ,a b (trừ tại những điểm của những đoạn [ ] , i i a b mà có tổng độ dài bé tùy ý), ta có ( ) ( )f x x < . Trong đó là một số dơng tùy ý cho trớc. Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình phơng nh sau: Nếu sai số trung bình phơng n của hai hàm f(x) và )(x trên tập hợp n điểm [ ] ,a b X (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên [a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và )(x khá bé. 1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng - 5 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp Từ ý nghĩa của sai số trung bình phơng nói trên Ta nhận thấy nếu các giá trị i y ( 1,2, , )=i n của hàm ( )f x tại các điểm i x và nếu sai số trung bình phơng n = = n i ii xy n 1 2 )]([ 1 khá bé thì hàm )(x sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm ( )f x . Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phơng làm tiêu chuẩn đánh giá nh trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng. Rõ ràng: Nếu hàm ( )f x thu đợc bằng thực nghiệm (nghĩa là ( ) i i y f x ) thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rãi trong thực tiễn. Ta xét trờng hợp ( ) x là phụ thuộc các tham số 0 1 , , , m a a a 0 1 ( ) ( ; , , , ) = m x x a a a . (2 4) Trong số những hàm ( ) x có dạng (2 4) ta sẽ gọi hàm 0 1 ( ) ( ; , , , ) = m x x a a a (2 5) là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng với hàm ( )f x nếu sai số trung bình phơng ( ) x với ( )f x là bé nhất. Cụ thể là 0 1 0 1 ( , , , ) min ( , , , ) = m n n m a a a a a a trong đó [ ] 2 0 1 0 1 1 1 ( , , , ) ( ; , , , ) = = n n m i m i a a a y x a a a n . (2 6) Từ (2 6) ta nhận thấy (2 5) tơng đơng với đẳng thức: - 6 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp [ ] [ ] 2 2 0 1 0 1 1 1 ( ; , , , ) min ( ; , , , ) = = = n n i m i m i i y x a a a y x a a a . (2 7) Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 4) với hàm ( )f x ) sẽ đa về tìm cực tiểu của tổng bình phơng 2 1 = n i i trong đó 0 1 ( ; , , , ) = i i m y x a a a . Bởi vậy phơng pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Chơng II Các phơng pháp xấp xỉ 2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử cho hệ hàm: 0 1 ( ), ( ), , ( ), m x x x Ta sẽ gọi hàm ( ) m x là đa thức suy rộng cấp m nếu ( ) m x có dạng 0 ( ) ( ) = = m m i i i x a x . (3 1) - 7 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp Trong đó 0 1 , , , m a a a là các hệ số hằng số. Hệ hàm { ( )} m x đã cho gọi là hệ cơ bản. 2.1.2 Nội dung Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm i y ( 1,2, , )=i n của hàm ( )=y f x tại các điểm tơng ứng i x . Khi đó việc tìm một đa thức suy rộng có dạng (3 1) mà xấp xỉ với hàm ( )f x nói trên { } [ ] 1 2 , , , , n x x x a b sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số i a trong (3 1). Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng ( ) m x với cấp m không lớn lắm. Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết n m+1. Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1 giá trị i a từ n phơng trình: ( ) = i m i y x ( 1,2, , )=i n (vì số phơng trình thờng nhiều hơn số ẩn). Ta sẽ áp dụng phơng pháp bình phơng tối thiểu để tìm đa thức suy rộng 0 ( ) ( ) = = m m i i i x a x xấp xỉ tốt nhất với hàm ( )f x trên [ ] ,a b . Trong (2 7) ta coi 0 1 ( ; , , , ) m x a a a = )(x m = = m i ii xa 0 )( . Từ đó ta suy ra: ( ) 0 1 , , , m a a a là điểm cực tiểu của hàm m+1 biến 0 1 ( , , , ) m F a a a = = n i mimiii axaxaxy 1 2 1100 ])( )()([ . (3 2) Do đó ( ) 0 1 , , , m a a a là nghiệm của hệ phơng trình 0 a F = 0 ; 1 a F = 0 ; ; m a F = 0. Hoặc dạng tơng đơng với nó - 8 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) n i i i m i m i i n i i i m i m i i i i i y x a x a x a x y x a x a x a x y x a x a = = = = [ ] [ ] 1 ( ) ( ) 0 n m i m m i i x a x = = (3 - 3) Gọi r là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là )( ir x . Gọi y là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là i y . Theo định nghĩa tích vô hớng các véc tơ ta có [ ] 1 , ( ) = = m r i r i i y y x ; [ ] 1 , ( ) ( ) = = n r s r i s i i x x (3 4) Do đó (3 3) đợc chuyển về dạng [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 , , , , , , , , , , , , m m m m m m m a a y a a y a a y + + + = + + + = + + + = (3 - 5) Ta nhận thấy (3 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: 0 1 , , , m a a a trong đa thức xấp xỉ )(x m . Ma trận của hệ ph- ơng trình tuyến tính (3 5) có các phần tử là ],[ ji , do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hớng). Ta sẽ gọi hệ phơng trình (3 5) là hệ phơng trình chuẩn. Định thức của hệ phơng trình chuẩn có dạng G( ), ,, 10 m = ],] [,][,[ ],] [,][,[ ],] [,][,[ 10 11101 01000 mmmm m m (3 6) - 9 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp Ta gọi định thức 0 1 ( , , , ) = m G là định thức Gram của hệ véc tơ m , , 10 trên tập điểm { } 1 2 , , , n X x x x= . Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở )(), ,(),( 10 xxx m là hệ hàm độc lập tuyến tính trên { } [ ] 1 2 , , , , n X x x x a b= thì trong số những đa thức suy rộng cấp m có dạng (3 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng )()( 0 xax i m i im = = . (3 1) Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng đối với hàm ( )f x . Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở )(), ,(),( 10 xxx m là những độc lập tuyến tính trên { } [ ] 1 2 , , , , n x x x a b thì 0 1 ( , , , ) 0 = > m G . Nghĩa là trong trờng hợp này hệ phơng trình chuẩn (3 5) có và duy nhất nghiệm 0 1 , , , m a a a ứng với các hệ số của đa thức (3 1) xấp xỉ tốt nhất với hàm ( )f x (theo nghĩa trung bình phơng). Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tính trên đoạn [ ] ,a b . 2.1.3 Sai số của phơng pháp. Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ )(x m cho hàm ( )f x ta cần đánh giá sai số hoặc độ lệch của nó đối với hàm ( )f x . Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung bình phơng. Cụ thể là ta đi tìm đại lợng 2 1 )]([ 1 xy n n i mim = = . (3 7) Từ (3 1) ta có = n i imi xy 1 2 )]([ = = = n i m j ijji xay 1 2 0 )( - 10 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 [...]... m c a đa th c xấp xỉ (3 1) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ c n thêm số a m+1 từ c ng th c (3 14) C n c c hệ số a 0 , a1 , , a m đã thu đ c cho đa th c m ( x) vẫn dùng đ c cho đa th c m +1 m+1 ( x) = a ii ( x) i =0 Nhận xét trên rất bổ ích về mặt th c hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một hàm th c nghiệm bằng một đa th c suy rộng c p m (3 1): do khuôn khổ c a sự tính toán ta không c n chọn... tính tr c giao c a hàm c sở (5 1) nên kh c với phần 2.4 ở đây ta không c n giải hệ phơng trình chuẩn mà tìm c c hệ số c a đa th c (5 4) tr c tiếp từ c ng th c (5 5) đã chỉ ra ở trên Ngoài ra do những đ c điểm c a hệ hàm tr c giao ta c thể tăng dần c p c a M m ( x) mà không c n phải làm lại từ đầu quá trình tính toán Đó chính là u điểm c a phơng pháp xấp xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu đ c trong... 7) và (3 11) ta suy ra sai số trung bình c a đa th c xấp xỉ c dạng (4 4) là: 1 n 2 [ yi Pm ( xi )] = n i =1 n = n 1 n 2 m y i a j y i xij n i =1 j =0 i =1 (4 5) Về mặt th c hành, để tìm c c hệ số c a phơng trình chuẩn (4 4) ta làm theo l c đồ trong bảng 1 C c hệ số vế trái c a phơng trình đầu tiên cho bởi c c tổng ô lần lợt từ c t (1) đến c t (m), c a phơng trình thứ 2 cho bởi c c tổng... giao) c ng lớn thì đa th c xấp xỉ f ( x) c ng tốt 2.1.4.4 Chú ý Một đ c điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp chung khi c n thay đổi c p m c a đa th c xấp xỉ (3 1) thì hệ phơng trình chuẩn (3 5) dùng để x c định c c hệ số a 0 , a1 , , a m c a đa th c hoàn toàn thay đổi Do đó quá trình tình toán (giải hệ phơng trình chuẩn) c n làm lại từ đầu Tuy nhiên khi hệ hàm c sở là tr c giao thì muốn thay đổi c p... j chẵn) chỉ phụ thu c vào n (vì u j nhận i =1 c c giá trị nguyên) Do đó c thể lập những bảng tính sẵn c c hệ số này (tùy thu c vào n) Cuối c ng, sau vi c giải phơng trình (4 10) ta thu đ c Qm (u ) dới dạng (4 9) Để trở lại Pm ( x) dới dạng (4 1) ta c n làm phép đổi biến ng c lại để chuyển biến u về biến x ban đầu C thể trong Qm (u ) thu đ c ta sẽ dùng c ng th c đổi biến (4 8) nếu n lẻ, dùng c ng... Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -2.3.3 Nội dung c a phơng pháp Nội dung chủ yếu c a vi c tìm đa th c xấp xỉ (5 4) th c chất là tìm hệ th c tr c giao (5 1) Để làm đ c điều này ta tìm c ng th c truy hồi để x c định lần lợt c c đa th c tr c giao c a hệ (5 1) Tr c hết ta đi tìm những hàm đầu tiên: R0 ( x), R1 ( x ) c a hệ (5... (5 34), (5 35) vào (5 33) ta thu đ c (5 22) t c là n n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 xi [ Rr ( xi )]2 = xi2r +1 + r(1) xi2r + + r( r ) xir +1 + r(1) xir Rr ( xi ) Từ đó bổ đề 2 hoàn toàn đ c chứng minh Từ bổ đề 1 và bổ đề 2 ta nhận thấy rằng: Để thu đ c c c đa th c tr c giao c a hệ (5 1), từ c c công th c (5 10) và (5 12) ta c n tính tất c c c tổng những lũy thừa c dạng n S = x... viờn thc hin: Bựi Vn Bng Lp: Toỏn Tin_2 K48 Đồ án tốt nghiệp -Ngoài ra khi áp dụng c ng th c (5 5) để tìm c c hệ số a0 , a1 , , am c a (5 4) lại c n tính c c tổng n [ R1 ( xi )]2 , , i =1 n [R i =1 m ( xi )] 2 ở mẫu số c a c ng th c Nghĩa là dựa trên (5 20) c n tính c c tổng những lũy thừa n S = x i ( = 1,2, ,2m) i =1 C n c c tử số c a c ng th c (5... K48 Đồ án tốt nghiệp -Tuy nhiên để đơn giản c c tử số và mẫu số c a c c công th c r +1 và r +1 ta sẽ chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2: C c tử và mẫu số c a c c công th c (5 11) và (5 12) c thể khai triển thành tổng những lũy thừa c dạng: n S = xiv (5 i =1 19) C thể là n n i =1 + i =1 2 [ Rr ( xi )] = xir Rr ( xi ) = n = x + i =1 2r i (1) r n x i... (6 16) Trong đó x là một số th c còn i là đơn vị ảo (nghĩa là i 2 =-1) Bằng c ch đồng nhất th c c c phần th c và c c phần ảo với nhau ta nhận thấy eix = 1 khi và chỉ khi x = 2 p (p là một số nguyên) Từ đó ta nhận thấy khi q = 2k, , 2, 1,1,2, ,2 k (2 k + 1 n) thì e =e iqh h i 2 n 1 Và áp dụng c ng th c tính tổng n từ một chuỗi số nhân (c ng bội là eiqh 1 ) ta c n e i =1 iqxi n = e i =1 iqih eiq . h c thu c lĩnh v c toán ứng dụng nghiên c u c ch giải gần đúng c c phơng trình, c c bài toán xấp xỉ hàm số và c c bài toán tối u. Vi c giải một bài toán. c t (1) đến c t (m), c a phơng trình thứ 2 cho bởi c c tổng lần lợt từ c t 2 đến c t (m+1), c n c c vế phải c a (4 4) cho bởi c c tổng ở lần lợt từ c t