Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng - Đại số tuyến tính Chương 8: Dạng tồn phương • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (1/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn 7.6 Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương Rn hàm thực f : R n  R x  (x 1, x , , x n )T  R n : f (x )  x T  A  X A ma trận đối xứng thực gọi ma trận dạng tồn phương (trong sở tắc) Ví dụ Cho  x1  x   x2   3  A 3    Khi ta có dạng tồn phương R2 T x Ax   x1  3  x1  2 x2    x1  x1 x2  x2 3   x2     7.6 Dạng Toàn phương - Dạng toàn phương R3 thường ghi dạng f (x )  f ( x , x , x )  2  A x1  B x  C x3  Dx 1x  Ex 1x  2Fx 2x Ma trận dạng toàn phương lúc ma trận đối xứng A M  D  E  Khi f(x) viết lại A  (x , x , x )  D  E  D B F D E B F  F C  f (x )  f ( x , x , x )  E  x  F  x   x T  M  x   C  x    7.6 Dạng Toàn phương - Ví dụ  x1  x   x   R :   x   3 2 f ( x)  3x1  x2  x3  x1x2  x1x3  x2 x3 Viết ma trận dạng toàn phương Giải  3  A 2     3 4     f ( x)  xT Ax   x1 x2  3   x1  x3   2   x2      3 4  x     7.6 Dạng Toàn phương - Cho dạng toàn phương f ( x)  xT Ax, với x  (x , x , x )T Vì A ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa ma trận trực giao P ma trận chéo D: A  PDP T Khi đó: Đặt Ta có f (x )  x T PDP T x  (P T x )T D (P T x ) y  P T x  x  Py f ( y )  y T Dy  1  f ( y )  ( y 1, y , y )  2  0   y   y    3  y    2  f ( y )  f ( y 1, y , y )  1 y  2 y  3 y 7.6 Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương f ( y )  y T Dy gọi dạng tắc dạng tồn phương f (x )  x T A x Dạng tắc dạng tồn phương có số hạng bình phương Ma trận A ma trận dạng toàn phương f (x )  x T A x sở tắc Ma trận D ma trận dạng toàn phương f (x )  x T A x sở tạo nên từ cột ma trận trực giao P Khi làm việc với dạng tồn phương ta làm việc với ma trận A, làm việc với ma trận D Tất nhiên ma trận D có cấu trúc đơn giản 7.6 Dạng Toàn phương - Dạng toàn phương f (x )  x T A x ln ln đưa dạng tắc f ( y )  y T Dy cách chéo hóa trực giao ma trận A dạng toàn phương Phép biến đổi gọi phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương dạng tắc Cịn có nhiều phương pháp đưa dạng tồn phương tắc khác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay phép biến đổi sơ cấp) Phép biến đổi trực giao phức tạp có ưu điểm ta làm việc với sở trực chuẩn (cơ sở từ cột ma trận P) 7.6 Dạng Toàn phương - Đưa dạng toàn phương dạng tắc biến đổi trực giao Bước Viết ma trận A dạng toàn phương (trong tắc) Bước Chéo hóa A ma trận trực giao P ma trận chéo D Bước Kết luận Dạng tắc cần tìm là: f ( y )  y T Dy Với D ma trận dạng toàn phương ban đầu sở trực chuẩn từ cột ma trận trực giao P Phép biến đổi cần tìm: x = Py 7.6 Dạng Toàn phương - Ví dụ Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao Nêu rõ phép biến đổi 2 f ( x1, x2 , x3 )  3x1  6x2  3x3  4x1x2  8x1x3  4x2 x3 Ma trận dạng toàn phương ma trận đối xứng:  2  A   2     3   7.6 Dạng Toàn phương - Chéo hóa A ma trận trực giao P (đã làm ví dụ trước)    P      2 1  18   1/   18  2    18 7 0  D  0     0 2    2 f ( y 1, y , y )  y  y  y 3 Dạng tắc cần tìm là: Phép biến đổi cần tìm: x  Py  x1   y1   x2   P  y      x  y   3  3 7.6 Dạng Toàn phương - Định nghĩa Cho ma trận thực A vuông cấp n Tất định thức tạo nên dọc theo đường chéo gọi định thức cấp 1, 2,…, n  a11 a12 a13  a1n  a a22 a23  a2 n   21  A   a31 a32 a33  a3n          a an an  ann   n1  1 2 3  n 7.6 Dạng Toàn phương - Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester) Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx   f (x ) xác định dương (i  1, n ) :  i    f (x ) xác định âm (i  1, n ) : (1)i  i  7.6 Dạng Toàn phương Ví dụ Với giá trị m dạng tồn phương sau xác định dương 2 f ( x1, x2 , x3 )  x1  x2  mx3  2x1x2  8x1x3  4x2 x3  1  Ma trận dạng toàn phương là: A   1     m   Dạng toàn phương xác định dương định thức dương 1  a11   3  1 1 2  30 1 1 4 2 0 m  m  28 7.6 Dạng Toàn phương Ví dụ Tìm m để dạng tồn phương không xác định dấu 2 f ( x1, x2 , x3 )  x1  5x2  mx3  4x1x2  6x1x3  2x2 x3 Đưa dạng tồn phương tắc biến đổi Lagrange 2 f  (x  4x 1x  6x 1x )  (5x  mx  2x x ) 2  f  (x  2x  3x )2  x  14x x  (m  9)x  f  (x  2x  3x )2  (x  7x )2  (m  58)x Dạng tồn phương khơng xác định dấu có hệ số âm hệ số dương  m  58 7.6 Dạng Toàn phương Ví dụ Trong hệ trục tọa độ 0xy cho đường cong có phương trình 3x2  2xy  y  2x   Nhận dạng vẽ đường cong y Xét dạng toàn phương f ( x, y )  x  xy  y Vẽ đường cong hệ trục 0xy làm việc với sở tắc R2 o x Đưa dạng toàn phương dạng tắc để khử hệ số 2xy Nếu đưa dạng tồn phương tắc biến đổi Lagrange ta nhận dạng đường cong này, cịn khó vẽ hình lúc ta làm việc với sở (thường là) không trực chuẩn Có nghĩa vẽ hình hệ trục tọa độ khơng vng góc! 7.6 Dạng Tồn phương Vì ta cần phép biến đổi trực giao để có sở trực chuẩn: 3 1 A 3   Phương trình đặc trưng:   6    1  2; 2  Cơ sở trực chuẩn không gian riêng:  1/  1  : x1    1/     Phép biến đổi: hay x y  u v x   2  1/  1  : x    1/       u   1/ 1/   u    P v     1/ 1/  v         u v y   2 7.6 Dạng Toàn phương Đường cong cho có phương trình hệ trục tọa độ 0uv là: x  xy  y  2x   v   u  2u  4v    2 0  2 2  2u  4u  4(v  v )    2(u  1)2  4(v  )2  y v   M  ,    2 N x o  1  N  ,   2 M u Nội dung ôn tập I) Số phức: Dạng đại số; dạng lượng giác; nâng lên lũy thừa; khai số phức; giải phương trình C II) Ma trận: 1) Các phép toán: nhau, cộng, trừ, nhân, biến đổi sơ cấp; nâng lên lũy thừa 2) Tìm hạng ma trận; 3) Tìm ma trận nghịch đảo III) Định thức: 1) Cách tính định thức cấp 4,5 (dùng BĐSC) 2) Tính định thức cấp n đệ qui; 3) Khai triển Laplace IV) Hệ phương trình: Cách giải hệ phương trình AX = b V) Khơng gian véctơ: 1) Tìm sở chiều khơng gian 2) Tìm tổng, giao hai khơng gian con, tổng trực tiếp 3) Tìm sở chiều khơng gian nghiệm hệ Nội dung ôn tập VI) Ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f :V  W Có cách cho: 1) biết f(x) 2) biết ảnh sở (tập sinh) V 3) biết ma trận f cặp sở E, F Trong ôn tập phải biết cách làm câu hỏi sau: 1) Tìm ảnh phần tử cho trước f (v ) 2) Tìm f (x ) 3) Tìm sở chiều nhân ker f ánh xạ tuyến tính 4) Tìm sở chiều ảnh Im f ánh xạ tuyến tính 5) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở cho trước 6) Giả sử V = W Tìm trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính 7) Giả sử V = W Chéo hóa ánh xạ tuyến tính (nếu được) Nội dung ôn tập VII) Dạng toàn phương: 1) Đưa dạng tồn phương dạng tắc hai cách: a) Biến đổi trực giao; b) Biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp) 2) Phân loại dạng tồn phương: có loại Cách phân loại: đưa dạng tắc dùng tiêu chuẩn Sylvester 3) Sử dụng vẽ đường cong bậc hai, mặt cong bậc hai Chú ý: Trên phần Ngồi em phải biết cách giải số tốn dạng khác Nói chung phần toàn kiến thức yêu cầu mơn học tốn Tuy nhiên để điểm tối đa em phải biết cách giải thêm số dạng tập khác Đề mẫu cuối kỳ Hình thức thi Tự luận, thời gian: 90phút Câu Tính Câu 10 1 i z , biết z  1 i Tính A2008,  2 biết A   3   Câu Trong không gian R3 cho hai không gian F  {(x 1, x , x ) | x  2x - x  }; G  (1,1,1);(1,0,1)  Tìm sở chiều (F  G ) Đề mẫu cuối kỳ Câu Trong khơng gian P2 [x] , với tích vơ hướng ( p ,q )   p (x )q (x )dx cho khgian F  {p (x ) | p (1)  0} Tìm sở chiều F  Câu Cho ánh xạ tuyến tính f : R  R , biết f (1,1,1)  (2,1,3); f (1,0,1)  (3,0,5); f (1,1,0)  (40, 41, 2) Với giá trị m véctơ x  (2,1, m ) VTR f Đề mẫu cuối kỳ Câu Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 [x]  P2 [x] p (x )  P2 [x ]: f ( p (x ))  p ' (x ) biết Tìm trị riêng sở không gian riêng  34 14  Câu Tìm ma trận vng B cấp 2, cho B   105 43    Câu Trong hệ trục tọa độ 0xy cho đường cong có phương trình 5x  8xy  y  2x  y   Nhận dạng vẽ đường cong Đáp án 7 7  -  2k  -  2k     12 10 cos 12  i sin Câu z k    ; k  0, ,9 10 10     2008   / 1/   1  2008  Câu A    2008   1/ 1   1/     Câu Cơ sở: {(1,0,-1); (0,1,0)}; chiều: Câu Cơ sở:{p(x) = 10x2 - 8x + 1}; chiều: Câu m = HD f (2,1,0)   (2,1,0) suy hệ pt Câu TR: 1  2  3  Cơ sở E  : {p (x )  1} Đáp án  34 14  Câu Đặt A   105 43     14   / 1/  Chéo hóa A ta được: A   35   35 / 14 /      Khi ma trận B cần tìm là:  14   / 1/  B  35   35 / 14 /      Câu Giải tương tự ví dụ vẽ đường cong giảng! ... Dạng Toàn phương - Định nghĩa Dạng toàn phương f ( y )  y T Dy gọi dạng tắc dạng toàn phương f (x )  x T A x Dạng tắc dạng tồn phương. .. lập thành tổng bình phương Ta có tổng bình phương dạng tồn phương khơng chứa hệ số x k Bước Sử dụng bước 1, cho dạng toàn phương không chứa hệ số x k Chú ý: Nếu dạng toàn phương ban đầu tất... 7.6 Dạng Toàn phương - Dạng toàn phương f (x )  x T A x ln ln đưa dạng tắc f ( y )  y T Dy cách chéo hóa trực giao ma trận A dạng toàn