HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG PGS.TS Lê Bá Long Giáo trình XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Dành cho sinh viên hệ đại học chuyên ngành Điện tử-Viễn thông-Công nghệ thông tin) Hà Nội, 2008 MỤC LỤC CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT …………………………………… 11 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ ………………………………………………………………………………… 11 1.1.1 Phép thử ……………………………………………………………………………………………………… 11 1.1.2 Biến cố ……………………………………………………………………………………………………… 12 1.1.3 Quan hệ biến cố …………………………………………………………………………… 12 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT VÀ CÁC TÍNH CHẤT …………………………………………… 15 1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất ………………………………………………………………… 15 1.2.2 Các qui tắc đếm ………………………………………………………………………………………… 17 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo thống kê …………………………………………………………… 20 1.2.4 Định nghĩa xác suất theo hình học …………………………………………………………… 21 1.2.5 Các tính chất định lý xác suất ……………………………………………………………… 22 1.2.5.1 Các tính chất xác suất ………………………………………………………………… 22 1.2.5.2 Qui tắc cộng xác suất ………………………………………………………………………… 22 1.2.5.3 Quy tắc xác suất biến cố đối ……………………………………………………… 23 1.2.6 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ ………………………………………………………… 26 1.3 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN ……………………………………………………………………………… 26 1.3.1 Định nghĩa tính chất xác suất có điều kiện ……………………………… 26 1.3.2 Quy tắc nhân xác suất ………………………………………………………………………………… 29 1.3.2.1 Trường hợp độc lập …………………………………………………………………………… 29 1.3.2.2 Trường hợp tổng quát ……………………………………………………………………… 29 1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ ………………………………………………………………………… 32 1.3.4 Công thức Bayes ………………………………………………………………………………………… 33 1.4 DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI ………………………………………………………………………… 36 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP ……………………………………………………………………… 39 CHƯƠNG II: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG ……… 43 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN …………………………………… 43 2.1.1 Đinh nghĩa biến ngẫu nhiên ……………………………………………………………………… 43 2.1.2 Hàm phân bố xác suất ………………………………………………………………………………… 44 2.1.3 Phân loại …………………………………………………………………………………………………… 47 2.2 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC ………………………………………………………………………… 48 2.2.1 Hàm khối lượng xác suất bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc ………………………………………………………………………………………………………………… 48 2.2.2 Các phân bố rời rạc thường gặp ………………………………………………………………… 52 2.2.2.1 Phân bố Bernoulli ……………………………………………………………………………… 52 2.2.2.2 Phân bố nhị thức ……………………………………………………………………………… 52 2.2.2.3 Phân bố Poisson ……………………………………………………………………………… 54 2.3 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC ………………………………………………………………………… 56 2.3.1 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục …………………………………… 56 2.3.2 Các phân bố liên tục thường gặp ……………………………………………………………… 58 2.3.2.1 Phân bố ……………………………………………………………………………………… 58 2.3.2.2 Phân bố mũ ……………………………………………………………………………………… 59 2.3.2.3 Phân bố Erlang ………………………………………………………………………………… 61 2.3.2.4 Phân bố chuẩn …………………………………………………………………………………… 61 2.3.2.5 Phân bố “khi bình phương” ……………………………………………………………… 65 2.3.2.6 Phân bố Student ………………………………………………………………………………… 67 2.4 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN ……………………………… 68 2.4.1 Kỳ vọng toán ……………………………………………………………………………………………… 68 2.4.1.1 Định nghĩa ………………………………………………………………………………………… 68 2.4.1.2 Ý nghĩa kỳ vọng ………………………………………………………………………… 69 2.4.1.3 Tính chất …………………………………………………………………………………………… 69 2.4.2 Phương sai ………………………………………………………………………………………………… 71 2.4.2.1 Định nghĩa ………………………………………………………………………………………… 71 2.4.2.2 Tính chất …………………………………………………………………………………………… 72 2.4.3 Phân vị, trung vị ………………………………………………………………………………………… 73 2.4.3.1 Phân vị ……………………………………………………………………………………………… 73 2.4.3.2 Trung vị …………………………………………………………………………………………… 74 2.4.4 Mốt …………………………………………………………………………………………………………… 74 2.4.5 Moment, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn …………………………………………………… 76 2.4.6 Các đặc trưng quy luật phân bố xác suất thường gặp …………………… 77 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP ………………………………………………………………………… 79 CHƯƠNG III: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN …………………………………………………………………… 84 3.1 KHÁI NIỆM VÉC TƠ NGẪU NHIÊN ………………………………………………………………… 84 3.1.1 Định nghĩa véc tơ ngẫu nhiên …………………………………………………………………… 84 3.1.2 Hàm phân bố xác suất ……………………………………………………………………………… 84 3.2 BẢNG PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC HAI CHIỀU ……………………………………………………………………………………………………………… 86 3.2.1 Bảng phân bố xác suất đồng thời ……………………………………………………………… 86 3.2.2 Bảng phân bố xác suất biên ……………………………………………………………………… 87 3.3 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC ………… 90 3.3.1 Hàm mật độ xác suất đồng thời ………………………………………………………………… 90 3.3.2 Hàm mật độ xác suất biên ………………………………………………………………………… 91 3.4 TÍNH ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN …………………………………………… 93 3.5 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN …………………………… 94 3.5.1 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên thành phần …………………… 94 3.5.2 Hiệp phương sai ………………………………………………………………………………………… 95 3.5.3 Ma trận hiệp phương sai …………………………………………………………………………… 96 3.5.4 Hệ số tương quan ……………………………………………………………………………………… 96 3.6 HÀM CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN ……………………………………………………………… 99 3.6.1 Hàm biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………… 99 3.6.2 Hàm hai biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………… 102 3.6.3 Hàm phân bố tổng hai biến ngẫu nhiên ……………………………………………… 103 3.6.4 Hai hàm hai biến ngẫu nhiên liên tục ………………………………………………… 106 3.6.5 Kỳ vọng hàm biến ngẫu nhiên ……………………………………………………… 110 3.7 PHÂN BỐ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN …………………………… 112 3.7.1 Phân bố có điều kiện kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên rời rạc với điều kiện ……………………………………………………………………………………………………… 112 3.7.2 Phân bố có điều kiện kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên liên tục ………………………………………………………………………………………………………………… 115 3.7.3 Biến ngẫu nhiên kỳ vọng có điều kiện ……………………………………………………… 117 3.8 PHÂN BỐ CHUẨN NHIỀU CHIỀU ………………………………………………………………… 118 3.8.1 Khai niệm phân bố chuẩn chiều ………………………………………………………………… 118 3.8.2 Phân bố chuẩn hai chiều …………………………………………………………………………… 119 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP …………………………………………………………………………… 120 CHƯƠNG IV: LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN ……………………………………… 125 4.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN …………………………… 125 4.1.1 Hội tụ theo xác suất …………………………………………………………………………………… 125 4.1.2 Hội tụ theo phân bố …………………………………………………………………………………… 125 4.2 LUẬT SỐ LỚN …………………………………………………………………………………………………… 125 4.2.1 Bất đẳng thức Markov ……………………………………………………………………………… 125 4.2.2 Bất đẳng thức Trêbưsép ……………………………………………………………………………… 126 4.2.3 Luật số lớn Trêbưsép ………………………………………………………………………………… 127 4.2.4 Luật số lớn Bernoulli ………………………………………………………………………………… 128 4.3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM ………………………………………………………………… 130 4.4 XẤP XỈ PHÂN BỐ NHỊ THỨC …………………………………………………………………………… 131 4.4.1 Xấp xỉ phân bố nhị thức phân bố chuẩn …………………………………………… 131 4.4.2 Xấp xỉ phân bố nhị thức phân bố Poisson ………………………………………… 133 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP …………………………………………………………………………… 134 CHƯƠNG V: LÝ THUYẾT MẪU ……………………………………………………………………………… 137 5.1 MẪU NGẪU NHIÊN …………………………………………………………………………………………… 137 5.1.1 Sự cần thiết phải lấy mẫu …………………………………………………………………………… 137 5.1.2 Tổng thể nghiên cứu, dấu hiệu nghiên cứu ………………………………………………… 138 5.1.3 Mô hình hóa mẫu ngẫu nhiên ………………………………………………………………….… 138 5.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ MẪU NGẪU NHIÊN ………………………………… …… 139 5.2.1 Bảng phân bố tần số thực nghiệm …………………………………………………… ……… 139 5.2.2 Bảng phân bố tần suất thực nghiệm ………………………………………………….……… 139 5.2.3 Hàm phân bố thực nghiệm mẫu ………………………………………………………… 140 5.2.4 Bảng phân bố ghép lớp …………………………………………………………………………… … 140 5.2.5 Biểu diễn biểu đồ ………………………………………………………………………… …… 141 5.2.6 Tổ chức đồ ………………………………………………………………………………………………… 5.3 THỐNG KÊ VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU NGẪU NHIÊN 142 …………………… 143 5.3.1 Định nghĩa thống kê ………………………………………………………………………………… 143 5.3.2 Trung bình mẫu ……………………………………………………………………………………….… 143 5.3.3 Phương sai mẫu ………………………………………………………………………………………… 144 5.3.4 Độ lệch chuẩn mẫu …………………………………………………………………… ……………… 144 5.3.5 Tần suất mẫu …………………………………………………………………………………………….… 145 5.3.6 Cách tính giá trị cụ thể trung bình mẫu phương sai mẫu ……….……… 145 5.4 PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ THỐNG KÊ ĐẶC TRƯNG MẪU ……… 146 5.4.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên gốc có phân bố chuẩn ………………………………… 146 5.4.1.1 Phân bố thống kê trung bình mẫu …………………………………………… … 147 5.4.1.2 Phân bố thống kê phương sai mẫu …………………………………………… 147 5.4.1.3 Phân bố thống kê phương sai mẫu ………………………………………… … 147 ……………………………………………………………………… … 148 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP …………………………………………………………………………… 149 CHƯƠNG VI: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG …………………………………………………………… 151 151 5.4.2 Phân bố tần suất mẫu 6.1 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM …………………………………………………………… 6.1.1 Khái niệm ước lượng điểm ………………………………………………………………………… 151 6.1.2 Một số loại ước lượng điểm ……………………………………………………………………… 151 6.1.2.1 Ước lượng không chệch ………………………….……………………………………… 151 6.1.2.2 Ước lượng hiệu ………………………………………………………………………… 152 6.1.2.3 Ước lượng vững ……………………………………………………………………………… 153 6.1.3 Một số phương pháp tìm ước lượng điểm ………………………………………………… 153 6.1.3.1 Phương pháp hợp lý cực đại …………………………………………………………… 153 6.1.3.2 Phương pháp mô men ……………………………………………………………………… 156 6.2 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY ………………………… 158 6.2.1 Khoảng tin cậy kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn …………… 158 6.2.1.1 Trường hợp phương sai biết ……………………………………………………… 158 6.2.1.2 Trường hợp phương sai chưa biết, kích thước mẫu n ≥ 30 …………… 160 6.2.1.3 Trường hợp phương sai chưa biết, kích thước mẫu n < 30 …………… 161 6.2.2 Khoảng tin cậy cho xác suất ……………………………………………………………………… 162 6.2.3 Ước lượng phương sai biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn ………………… 163 6.2.3.1 Đã biết kỳ vọng ……………………………………………………………………………… 163 6.2.3.2 Chưa biết kỳ vọng …………………………………………………………………………… 165 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP …………………………………………………………………………… 166 CHƯƠNG VII: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ ………………………………………… 169 169 7.1 KHÁI NIỆM CHUNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ ……………………… 7.1.1 Giả thiết thống kê ……………………………………………………………………………………… 169 7.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định giả thiết thống kê …………………………………………………… 169 7.1.3 Miền bác bỏ giả thiết ………………………………………………………………………………… 170 7.1.4 Giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định ………………………………………………… 170 7.1.5 Quy tắc kiểm định giả thiết thống kê ………………………………………………………… 170 7.1.6 Sai lầm loại sai lầm loại hai …………………………………………………………… 170 7.1.7 Thủ tục kiểm định giả thiết thống kê ………………………………………………………… 171 7.2 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN BỐ CHUẨN …………………………………………………………………………………………… 7.2.1 Trường hợp biết phương sai ………………………………………….……………………… 172 7.2.2 Trường hợp chưa biết phương sai, kích thước mẫu n ≥ 30 ……………………… 173 7.2.3 Trường hợp chưa biết phương sai, kích thước mẫu n < 30 ……………………… 174 7.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ XÁC SUẤT ……………………………………………………… 175 CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP …………………………………………………………………………… 178 172 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP …………………………………………………………………………………… 180 ĐÁP ÁN CHƯƠNG I ………………………………………………………………………………………… 180 ĐÁP ÁN CHƯƠNG II ……………………………………………………………………………………… 182 ĐÁP ÁN CHƯƠNG III ……………………………………………………………………………………… 187 ĐÁP ÁN CHƯƠNG IV ……………………………………………………………………………………… 191 ĐÁP ÁN CHƯƠNG V ……………………………………………………………………………………… 193 ĐÁP ÁN CHƯƠNG VI ……………………………………………………………………………………… 194 ĐÁP ÁN CHƯƠNG VII …………………………………………………………………………………… 197 PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………………………………………………… 200 PHỤ LỤC I: GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC 200 PHỤ LỤC II: GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC ………………………………… 201 PHỤ LỤC III: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ STUDENT …………………… 202 PHỤ LỤC IV: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ KHI BÌNH PHƯƠNG …… 203 PHỤ LỤC V: GIÁ TRỊ HÀM KHỐI LƯỢNG XÁC SUẤT POISSON …………… 204 PHỤ LỤC VI: GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ POISSON ……………………………………… 206 BẢNG CHỈ DẪN THUẬT NGỮ ………………………………………………………………………………… 208 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………………………………………… 210 10 BẢNG CHỈ DẪN THUẬT NGỮ Bản phân bố xác suất biên 73 Độ xác ước lượng 140 Bảng phân bố ghép lớp 125 Độ lệch chuẩn mẫu 130 Bảng phân bố tần số thực nghiệm 124 Giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định149 Bảng phân bố tần suất thực nghiệm 124 Giả thiết thống kê 148 Bất đẳng thức Markov 111 Hàm phân bố xác suất 32 Bất đẳng thức Trêbưsép 112 Hàm khối lượng xác suất 35 Biểu đồ tần số hình gậy 126 Hàm mật độ xác suất 42 Biểu đồ đa giác tần suất 126 Hệ số bất đối xứng 60 Biến cố sơ cấp Hàm khối lượng xác suất đồng thời 72 Biến cố Hàm mật độ xác suất đồng thời 76 Biến cố chắn Hàm mật độ xác suất biên 76 Biến cố Hàm đặc trưng 61 Biến cố đối Hàm phân bố xác suất đồng thời 70 Biến cố xung khắc Hàm biến ngẫu nhiên 84 Biến cố độc lập Hàm hai biến ngẫu nhiên 87 Biến ngẫu nhiên 31 Hàm hợp lý 136 Biến ngẫu nhiên kỳ vọng có điều kiện 101 Hàm phân bố thực nghiệm mẫu 124 Biểu đồ chuyển trạng thái 178 Hàm mẫu trình ngẫu nhiên 162 Cá thể 122 Hệ số nhọn 60 Các trạng thái liên thông 177 Hiệp phương sai 80 Chỉnh hợp 10 Hệ đầy đủ biến cố Chu kỳ trạng thái 178 Hệ số tương quan Chuỗi Markov thời gian rời rạc nhất165 Hốn vị 10 Cơng thức xác suất đầy đủ 21 Hội tụ theo xác suất 110 Công thức Bayes 21 Hội tụ theo phân bố 111 Dấu hiệu nghiên cứu 122 Khoảng tin cậy 139 Di động ngẫu nhiên đường thẳng185 Không gian mẫu Định lý giới hạn trung tâm Không gian trạng thái 162 115 233 Kỳ vọng 52, 80 Phân bố chuẩn nhiều chiều Kỳ vọng có điều kiện 97 Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại136 Luật số lớn Trêbưsép 113 Phương pháp ước lương moment 138 Luật số lớn Bernoulli 114 Phương sai mẫu 129 Ma trận hiệp phương sai 81 Phương trình Chapman-Kolmogorov 167 Ma trận xác suất chuyển 166 Quá trình ngẫu nhiên 161 Mẫu ngẫu nhiên 123 Quá trình độc lập 162 Miền bác bỏ 149 Quá trình Bernoulli 163 Mốt 59 Quá trình gia số độc lập 163 Moment 60 Quá trình gia số độc lập dừng 164 Mức ý nghĩa kiểm định 149 Quá trình Martingal 164 Phép thử Quá trình Markov 164 Phép thử Bernoulli 24 Quá trình dừng 165 Phân bố Bernoulli 38 Quy tắc hai xích ma,ba xích ma 50 Phân bố nhị thức 38 Sai lầm loại sai lầm loại hai 150 Phân bố Poission 40 Tần suất mẫu 130 Phân bố 44 Tính độc lập biến ngẫu nhiên 79 Phân bố mũ 45 Thủ tục kiểm định giả thiết thống kê 151 Phân bố Erlang 46 Tích biến cố Phân bố chuẩn 47 Tổ hợp 11 Phân bố “khi bình phương” 50 Tổ chức đồ 127 Phân bố Student 51 Tổng thể 122 Tổng biến cố Phân bố xác suất hệ thời 102 điểm thứ n 168 Trạng thái tuần hoàn 178 Phân bố dừng 172 Trạng thái hồi quy 181 Phân bố giới hạn 172 Trạng thái không hồi quy 181 Phân bố ergodic 172 Trạng thái hồi quy dương 182 Phương sai 56, 80 Trạng thái hồi quy âm 182 Phân vị 57 Trung bình mẫu 128 Phân bố có điều kiện 97 Trung vị 58 234 Ước lượng điểm 133 Ước lượng vững 135 Ước lượng không chệch 134 Véc tơ ngẫu nhiên 70 Ước lượng hiệu 134 Xác suất có điều kiện 18 235 Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê Miền bác bỏ ⎧⎪ ⎫⎪ ( X − μ0 ) n Wα = ⎨T = ; − T > Uα ⎬ σ ⎪⎩ ⎪⎭ U α / , U α giá trị tới hạn mức α (7.8) mức α phân bố chuẩn tắc N(0;1) Lập mẫu cụ thể w = ( x1 , x , , x n ) tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định Tqs = ( x − μ0 ) n so sánh với miền bác bỏ Wα để kết luận σ 7.2.2 Trường hợp chưa biết phương sai, kích thước mẫu n ≥ 30 Trường hợp phương sai σ chưa biết: Với kích thước n đủ lớn ( n ≥ 30 ) giả thiết H0 đúng, tương tự mục 6.2.1.2 ta có thống kê T= ( X − μ0 ) n S (7.9) xấp xỉ phân bố chuẩn tắc N(0;1) Ta xây dựng miền bác bỏ dựa vào đối thiết H1 a) Bài toán 1: H0: μ = μ ; H1: μ ≠ μ Ta nói tốn kiểm định hai phía Miền bác bỏ ⎧⎪ ⎫⎪ ( X − μ0 ) n ; T > Uα/2 ⎬ Wα = ⎨T = S ⎪⎩ ⎪⎭ (7.10) b) Bài toán 2: H0: μ = μ ; H1: μ > μ Đây toán kiểm định phía Miền bác bỏ ⎧⎪ ⎫⎪ ( X − μ0 ) n Wα = ⎨T = ; T > Uα ⎬ S ⎪⎩ ⎪⎭ (7.11) c) Bài toán 3: H0: μ = μ ; H1: μ < μ Đây tốn kiểm định phía Miền bác bỏ ⎧⎪ ⎫⎪ (X − μ0 ) n Wα = ⎨T = ; − T >Uα ⎬ S ⎪⎩ ⎪⎭ (7.12) Ví dụ 7.14: Một hãng bn muốn biết xem phải có khơng ổn định trung bình lượng hàng bán trung bình nhân viên bán hàng so với năm trước (lượng 7,4) Một mẫu ngẫu nhiên gồm 40 nhân viên bán hàng lựa chọn tìm thấy lượng hàng trung bình họ x = 6,1 với độ lệch chuẩn s = 2,5 Với mức ý nghĩa α = 1% nói lượng hàng bán trung bình đầu người có thay đổi không? Giải: Gọi μ lượng hàng bán trung bình nhân viên bán hàng hãng buôn Ta kiểm định giả thiết H0 : μ = 7,4 ; đối thiết H1 : μ ≠ 7,4 Tiêu chuẩn kiểm định: T= ( X − 7,4) n S 173 Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê Miền bác bỏ: ⎧ ⎫ ( X − 7,4) n α = 0,01 ⇒ U α = 2,575 ; Wα = ⎨T = ; T > 2,575⎬ S ⎩ ⎭ Từ mẫu cụ thể ta có Tqs = (6,1 − 7,4) 40 = −3,289 2,5 Với mẫu cụ thể giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định rơi vào miền bác bỏ, ta kết luận số lượng hàng bán trung bình nhân viên bán hàng có thay đổi Ví dụ 7.15: Một cơng ti có hệ thống máy tính xử lí 1200 hóa đơn Công ti nhập hệ thống máy tính Hệ thống chạy kiểm tra 40 cho thấy số hóa đơn xử lí trung bình 1260 với độ lệch chuẩn 215 Với mức ý nghĩa 5% nhận định xem hệ thống có tốt hệ thống cũ hay khơng? Giải: Gọi μ số hóa đơn trung bình mà hệ thống máy tính xử lí Ta kiểm định: Giả thiết H0 : μ = 1200; đối thiết H1: μ > 1200 Tiêu chuẩn kiểm định Miền bác bỏ: T= ( X − 1200) n S ⎧ ⎫ ( X − 1200) n α = 0,05 ⇒ U α = 1,64 ; Wα = ⎨T = ; T > 1,64⎬ S ⎩ ⎭ (1260 − 1200) 40 = 1,76 215 Với mẫu cụ thể giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định rơi vào miền bác bỏ, ta kết luận hệ thống máy tính tốt hệ thống cũ Thay giá trị cụ thể mẫu vào công thức (7.9) ta Tqs = 7.2.3 Trường hợp chưa biết phương sai, kích thước mẫu n < 30 Giả sử giả thiết H0 đúng, xét thống kê T= ( X − μ0 ) n S (7.13) theo cơng thức (5.25) thống kê T có phân bố Student n − bậc tự Ta xây dựng miền bác bỏ dựa vào đối thiết H1 a) Bài toán 1: H0: μ = μ ; H1: μ ≠ μ Miền bác bỏ: ⎧⎪ ⎫⎪ ( X − μ0 ) n ; T > tα / (n − 1) ⎬ Wα = ⎨T = S ⎩⎪ ⎭⎪ tα / (n − 1) giá trị tới hạn mức α phân bố Student n − bậc tự b) Bài toán 2: H0: μ = μ ; H1: μ > μ 174 (7.14) Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê Miền bác bỏ: ⎧⎪ ⎫⎪ ( X − μ0 ) n ; T > tα (n − 1) ⎬ Wα = ⎨T = S ⎩⎪ ⎭⎪ (7.15) tα (n − 1) giá trị tới hạn mức α phân bố Student n − bậc tự c) Bài toán 3: H0: μ = μ ; H1: μ < μ Miền bác bỏ: ( X − μ0 ) n ⎪⎧ ⎪⎫ Wα = ⎨T = ; − T > tα (n − 1) ⎬ S ⎪⎩ ⎭⎪ (7.16) Ví dụ 7.16: Một cơng ty sản xuất hạt giống tuyên bố loại giống họ có suất trung bình 21,5 tạ/ha Gieo thử hạt giống 16 vườn thí nghiệm thu kết quả: 19,2; 18,7; 22,4; 20,3; 16,8; 25,1; 17,0; 15,8; 21,0; 18,6; 23,7; 24,1; 23,4; 19,8; 21,7; 18,9 Dựa vào kết xác nhận xem quảng cáo cơng ty có khơng Mức ý nghĩa lựa chọn α = 0,05 Biết suất giống trồng biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn N (μ; σ ) Giải: Gọi μ suất trung bình loại giống Ta cần kiểm định giả thiết H0: μ = 21,5; đối thiết H1: μ ≠ 21,5 Tiêu chuẩn kiểm định T= Tra bảng ta tính giá trị tới hạn mức Do miền bác bỏ ( X − 21,5) n S α = 0,025 phân bố Student 15 bậc tự 2,131 ( X − 21,5) n ⎪⎧ ⎪⎫ ; T > 2,131⎬ Wα = ⎨T = S ⎪⎩ ⎭⎪ Từ mẫu cụ thể tính được: x = 20,406 , s = 3,038 ⇒ Tqs = (20,406 − 21,5) 16 = −1,44 3,038 Vì Tqs = 1, 44 < 2,131 nên chưa có sở để bác bỏ H0 Có nghĩa với số liệu chấp nhận lời quảng cáo công ty 7.3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ XÁC SUẤT Giả sử ta để ý đến đặc trưng A mà cá thể tổng thể có tính chất khơng Gọi p tần suất có đặc trưng A tổng thể ( p xác suất cá thể có đặc trưng A tổng thể), thấy mục 5.1.5.5 mục 6.2.2, dấu hiệu nghiên cứu biến ngẫu nhiên X có phân bố Bernoulli với kỳ vọng p Nếu p chưa biết, song có sở để giả thiết giá trị p 175 Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê Ta kiểm định giả thiết H0: p = p Từ tổng thể rút mẫu ngẫu nhiên kích thước n , gọi f tần suất mẫu (công thức (5.14)-(5.15)) Với giả thiết H0 đúng, xét thống kê T= ( f − p0 ) n p0 (1 − p ) (7.17) Áp dụng định lý 4.6 (Định lý Moivre-Laplace)) n đủ lớn thống kê (7.17) xấp xỉ phân bố chuẩn tắc N(0;1) Trong thực tế ⎧np0 > ⎨ ⎩n(1 − p0 ) > (7.18) xem thống kê (7.17) có phân bố chuẩn tắc N(0;1) Do với mức ý nghĩa α tùy thuộc đối thiết H1 ta xây dựng miền bác bỏ tương ứng a) H0: p = p ; H1: p ≠ p0 Miền bác bỏ ⎧⎪ ⎫⎪ ( f − p0 ) n Wα = ⎨T = ; T >Uα ⎬ p0 (1 − p0 ) ⎪ 2⎭ ⎩⎪ (7.19) b) H0: p = p ; H1: p > p0 Miền bác bỏ ⎧⎪ ⎫⎪ ( f − p0 ) n ; T > Uα ⎬ Wα = ⎨T = p0 (1 − p0 ) ⎪⎩ ⎭⎪ (7.20) c) H0: p = p ; H1: p < p0 Miền bác bỏ ⎧⎪ ⎫⎪ ( f − p0 ) n Wα = ⎨T = ; −T > Uα ⎬ p0 (1 − p ) ⎪⎩ ⎪⎭ (7.21) Với mẫu cụ thể tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định Tqs , so sánh với Wα kết luận Ví dụ 7.17: Một đảng trị bầu cử tổng thống nước tuyên bố có 45% cử tri bỏ phiếu cho ứng cử viên A đảng Chọn ngẫu nhiên 2000 cử tri để thăm dò ý kiến cho thấy có 862 cử tri tuyên bố bỏ phiếu cho A Với mức α = 5%, kiểm định xem dự đốn đảng có không Giải: Gọi p tỉ lệ cử tri bỏ phiếu cho ứng cử viên A Ta cần kiểm định: Giả thiết H0: p = 0,45 ; Đối thiết H1: p ≠ 0,45 (Bởi ta khơng có sở dự đoán đảng cao 0,45 hay thấp 0,45) 176 Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê ⎧np0 = 2000 ⋅ 0,45 = 900 > Vì điều kiện ⎨ thỏa mãn điều kiện (7.18) nên tiêu ⎩n(1 − p0 ) = 2000 ⋅ 0,55 = 1100 > chuẩn kiểm định theo cơng thức (7.17) có xấp xỉ phân bố chuẩn tắc Thay mẫu cụ thể với f = (0,431 − 0,45) 2000 Tqs = 0,45 ⋅ 0,55 862 = 0,431 ta giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định 2000 = −1,708 Với mức ý nghĩa α = 0,05 ⇒ U α = 1,96 Ta thấy Tqs < 1,96 Vậy khơng có sở để bác bỏ H0 TÓM TẮT Một thủ tục kiểm định giả thiết thống kê bao gồm bước sau: Phát biểu giả thiết H0 đối thiết H1 Từ tổng thể nghiên cứu lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n Chọn tiêu chuẩn kiểm định T xác định quy luật phân bố xác suất T với điều kiện giả thiết H0 Với mức ý nghĩa α , xác định miền bác bỏ Wα tốt tùy thuộc vào đối thiết H1 Từ mẫu cụ thể tính giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định Tqs So sánh giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định Tqs với miền bác bỏ Wα kết luận Kiểm định kỳ vọng biến ngẫu nhiên gốc có phân bố chuẩn N (μ; σ2 ) Giả thiết H0 : μ = μ0 Tiêu chuẩn kiểm định σ biết σ chưa biết, n ≥ 30 σ chưa biết, n < 30 Miền bác bỏ H1: μ ≠ μ ( X − μ0 ) n Wα = { T > Uα / } T= ( X − μ0 ) n S Wα = { T > Uα / } T= ( X − μ0 ) n S T= σ H1 : μ > μ Wα = { T > Uα } Wα = { T > Uα } H1: μ < μ0 Wα = { − T > Uα } Wα = { − T > Uα } Wα = { T > tα / (n − 1)} Wα = { T > tα (n − 1)} Wα = { − T > tα ( n − 1)} Kiểm định giả thiết xác suất Giả thiết H0 : p = p 177 Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê Tiêu chuẩn kiểm định T = ⎧np0 > , với điều kiện ⎨ p (1 − p0 ) ⎩n(1 − p0 ) > ( f − p0 ) n p ≠ p0 Đối thiết H1: Wα = { T > Uα / } Miền bác bỏ p > p0 p < p0 Wα = { T > Uα } Wα = { − T > Uα } CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP 7.1 Giả thiết thống kê giả thiết nhà thống kê đặt cho mẫu ngẫu nhiên Đúng Sai 7.2 Bác bỏ giả thiết dẫn đến chấp nhận đối thiết ngược lại đối thiết phủ định giả thiết Đúng Sai 7.3 Qui tắc kiểm định dựa nguyên lý xác suất nhỏ phép chứng minh phản chứng Đúng Sai 7.4 Sai lầm loại sai lầm gặp phải thực tế giả thiết ta bác bỏ Đúng Sai 7.5 Sai lầm loại luôn lớn sai lầm loại Đúng Sai 7.6 Miền bác bỏ miền có xác suất bé nên ta bỏ qua phép kiểm định Đúng Sai 7.7 Khi xây dựng tiêu chuẩn kiểm định T ta giả sử giả thiết H0 sai giả thiết H0 điều ta nghi ngờ muốn bác bỏ Đúng Sai 7.8 Kiểm định hai phía kiểm định tham số nhận giá trị âm dương bất kỳ, cịn kiểm định phía tham số cần kiểm định nhận giá trị dương âm Đúng Sai 7.9 Trọng lượng đóng bao loại sản phẩm X biến ngẫu nhiên có phân bố theo quy luật chuẩn với trọng lượng trung bình theo quy định 100kg Nghi ngờ sản phẩm bị đóng thiếu, người ta cân thử 29 bao loại ta thu kết quả: Trọng lượng (kg) 98,0 -98,5 Số bao tương ứng 98,5– 99,0 99,0 - 99,5 99,5 - 100 10 Với mức ý nghĩa α = 0, 025 kết luận điều nghi ngờ nói 178 100 -100,5 100,5-101 Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê 7.10 Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm 14 phút Liệu có cần thay đổi định mức khơng, theo dõi thời gian hồn thành sản phẩm 250 công nhân ta thu kết sau: X (phút) 10 - 12 12 - 14 14 - 16 16 - 18 18 - 20 20 60 100 40 30 Số công nhân Với mức ý nghĩa α = 0, 025 kết luận ý định nói 7.11 Mức hao phí xăng loại ô tô chạy từ A đến B biến ngẫu nhiên có quy luật chuẩn với kỳ vọng 50 lít Đoạn đường sửa chữa lại Người ta cho mức hao phí xăng trung bình giảm xuống Quan sát 28 ô tô loại thu X hao phí (lít) Số tơ tương ứng 48,5 - 49,0 49,0 - 49,5 49,5 - 50,0 50,0 - 50,5 50,5-51 10 Với mức ý nghĩa α = 0, 025 kết luận điều nghi ngờ nói 7.12 Một cơng ty có hệ thống máy tính xử lý 1300 hố đơn Cơng ty nhập hệ thống máy tính mới, hệ thống chạy kiểm tra 40 cho thấy số hoá đơn xử lý trung bình 1378 với độ lệch tiêu chuẩn 215 Với mức ý nghĩa 2,5% nhận định xem hệ thống có tốt hệ thống cũ hay không? 179 PHỤ LỤC PHỤ LỤC I: GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC ϕ( x) = 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 200 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0005 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2370 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 00080 0005 0004 0003 0002 2π − e 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2320 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 x2 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 000065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 PHỤ LỤC II: GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC t ∫e 2π −∞ Φ (t ) = − 2π x2 dx Φ (t ) t t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,5000 5398 5793 6179 6554 0,6915 7257 7580 7881 8159 0,8413 8643 8849 9032 9192 0,9332 9452 9554 9641 9712 0,9773 9821 9861 9893 9918 0,9938 9953 9965 9974 9981 5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 9871 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7703 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 9131 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 5279 5675 6064 6443 6808 7156 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 5319 5714 6103 6480 6844 7190 7517 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 9812 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8132 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 Φ (t ) 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 201 PHỤ LỤC III: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ STUDENT α t α (n) 202 Bậc tự α = 0, 05 α = 0,025 α = 0,01 α = 0,005 α = 0, 002 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 inf 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,796 1,703 1,701 1,699 1,645 12,706 4,303 3,128 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 1,960 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,606 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,326 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,576 318,309 22,327 10,215 7,173 5,893 5,208 4,705 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,090 PHỤ LỤC IV: GIÁ TRỊ TỚI HẠN CỦA PHÂN BỐ KHI BÌNH PHƯƠNG χ α χ α2 (n) Bậc tự χ 02,995 χ 02,99 χ 02,97 χ 02,95 χ 02,05 χ 02,025 χ 02,01 χ 02,005 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 5,001 5,142 5,697 6,265 6,844 7,343 8,034 8,543 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,256 14,930 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,982 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,388 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,625 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,524 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 30,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,993 48,278 49,588 50,892 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 28,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 46,645 50,993 52,336 53,672 203 PHỤ LỤC V: GIÁ TRỊ HÀM KHỐI LƯỢNG XÁC SUẤT POISSON e −λ λ k P { X = k} = k! λ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812 0,090484 0,163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,329287 0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,075817 0,098786 0,000151 0,001091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757 0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964 0,000002 0,000015 0,000057 0,000158 0,000356 0,000001 0,000004 0,000013 0,000035 0,000001 0,000003 k λ 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367877 0,135335 0,049787 0,347610 0,359463 0,365913 0,367789 0,270671 0,149361 0,121663 0,143785 0,164661 0,183940 0,270671 0,224042 0,028388 0,038343 0,049398 0,061313 0,180447 0,224042 0,004968 0,007669 0,011115 0,015328 0,090224 0,168031 0,000695 0,001227 0,002001 0,003066 0,036089 0,100819 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409 0,000008 0,000019 0,000039 0,000073 0,003437 0,021604 0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008101 0,000001 0,000191 0,002701 10 0,000038 0,000810 11 0,000007 0,000221 12 0,000001 0,000055 k 204 13 0,000013 14 0,000003 15 0,000001 λ 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,073263 0,033690 0,014873 0,006383 0,002684 0,001111 0,146525 0,084224 0,044618 0,022341 0,010735 0,004998 0,195367 0,140374 0,089235 0,052129 0,028626 0,014994 0,195367 0,175467 0,133853 0,191226 0,057252 0,033737 0,156293 0,175467 0,160623 0,127717 0,091604 0,060727 0,104194 0,146223 0,160623 0,149003 0,122138 0,091090 0,059540 0,104445 0,137677 0,149003 0,139587 0,117116 0,029770 0,065278 0,103258 0,130377 0,139587 0,131756 0,013231 0,036266 0,068838 0,011405 0,120477 0,131756 10 0,005292 0,018133 0,041303 0,070983 0,099262 0,118580 11 0,001925 0,008242 0,022529 0,045171 0,072190 0,097020 12 0,000642 0,003434 0,011262 0,026350 0,048127 0,072765 13 0,000197 0,001321 0,005199 0,014188 0,029616 0,050376 14 0,000056 0,000472 0,002228 0,007094 0,013924 0,032384 15 0,000015 0,000157 0,000891 0,003311 0,009026 0,019431 16 0,000004 0,000049 0,000334 0,001448 0,004513 0,010930 17 0,000001 0,000014 0,000118 0,000596 0,002124 0,005786 18 0,000004 0,000039 0,000232 0,000944 0,002893 19 0,000001 0,000012 0,000085 0,000397 0,001370 20 0,000004 0,000030 0,000159 0,000617 21 0,000001 0,000010 0,000061 0,000264 22 0,000003 0,000022 0,000108 23 0,000001 0,000008 0,000042 24 0,000003 0,000016 25 0,000001 0,000006 k 26 0,000002 27 0,000001 205 PHỤ LỤC VI: GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ POISSON P { X ≤ k} = λ ∑ e−λ λ i i =0 i ! k 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,904837 0,818731 0,740818 0,670320 0,606531 0,548812 0,995321 0,982477 0,963063 0,938448 0,909796 0,878099 0,999845 0,998853 0,996400 0,992074 0,985612 0,976885 0,999996 0,999943 0,999734 0,999224 0,998248 0,996642 1,000000 0,999998 0,999984 0,999939 0,999828 0,999606 1,000000 0,999999 0,999996 0,999986 0,999962 1,000000 0,999999 0,999997 k 1,000000 λ 0,7 0,8 0,9 1,0 2,0 3,0 0,496585 0,449329 0,406570 0,367877 0,135335 0,049787 0,844195 0,808792 0,772483 0,735759 0,406006 0,199148 0,965858 0,952577 0,937144 0,919699 0,676677 0,423190 0,994246 0,990920 0,986542 0,981012 0,857124 0,647232 0,999214 0,998589 0,997657 0,996340 0,947348 0,815263 0,999909 0,999816 0,999658 0,999403 0,983437 0,916082 0,999990 0,999980 0,999958 0,999917 0,995467 0,966491 0,999999 0,999998 0,999997 0,999990 0,998904 0,988095 1,000000 0,999999 0,999753 0,996196 1,000000 0,999954 0,998897 10 0,999992 0,999707 11 0,999999 0,999928 12 1,000000 0,999983 k 206 13 0,999996 14 0,999999 15 1,000000 λ 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,018316 0,006738 0,002479 0,000912 0,000335 0,000123 0,091579 0,040428 0,017352 0,007295 0,003019 0,001234 0,238105 0,124652 0,061970 0,029636 0,013754 0,006232 0,433472 0,265026 0,151205 0,081765 0,042380 0,021228 0,785132 0,615960 0,445681 0,300708 0,191236 0,115690 0,889326 0,762183 0,606304 0,449711 0,313374 0,206780 0,948866 0,866628 0,743981 0,598711 0,452961 0,323896 0,978636 0,931806 0,847239 0,729091 0,592548 0,455652 0,991867 0,968172 0,916077 0,830496 0,716625 0,587408 0,997159 0,986305 0,957380 0,901479 0,815887 0,705988 10 0,999084 0,984547 0,979909 0,946650 0,888077 0,803008 11 0,999726 0,997981 0,991173 0,973000 0,936204 0,875773 12 0,999923 0,999202 0,996372 0,987188 0,965820 0,926149 13 0,999979 0,999774 0,998600 0,994282 0,982744 0,958533 14 0,999994 0,999931 0,999491 0,997593 0,991770 0,977964 15 0,999998 0,999980 0,999825 0,999041 0,996283 0,988894 16 0,999999 0,999994 0,999943 0,999637 0,998407 0,994680 17 0,999999 0,999998 0,999982 0,999869 0,999351 0,997573 18 0,999999 0,999999 0,999994 0,999955 0,999748 0,998943 19 1,000000 0,999999 0,999998 0,999985 0,999907 0,999560 1,000000 0,999999 0,999995 0,999967 0,999824 21 0,999999 0,999998 0,999989 0,999932 22 1,000000 0,999999 0,999997 0,999974 23 0,999999 0,999998 0,999990 24 1,000000 0,999999 0,999996 1,000000 0,999998 k 20 25 26 0,999999 27 1,000000 207 ... (hai tín hiệu 0, đầu vào đồng khả năng), p0 = 0,1 p1 = 0, a Tìm xác suất đầu kênh xác suất đầu kênh b Giả sử đầu kênh nhận Tìm xác suất nhận tín hiệu đầu vào c Tính xác suất lỗi Pe P ( X1 )... sau Vậy xác suất cần tìm xấp xỉ 0,008 Ví dụ 1.19: Thống kê cho thấy tần suất sinh trai xấp xỉ 0,513 Vậy xác suất để bé trai đời lớn bé gái Nhận xét 1.4: Định nghĩa xác suất theo thống kê khắc... Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ Biến cố khơng thể có xác suất 0, biến cố có xác suất gần xảy thức số lớn phép thử Tuy nhiên qua thực nghiệm quan sát thực tế, người ta thấy biến cố có xác suất