BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ KIM OANH MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2016 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 1: TS Lê Văn Dũng Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất môn nghiên cứu tượng ngẫu nhiên đời vào cuối kỉ XVII Pháp Năm 1982, nhà toán học Laplace dự báo rằng: “Môn khoa học việc xem xét trò chơi may rủi hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức loài người” Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng, ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, mơi trường …Vì lý thuyết xác suất nói riêng mơn xác suất – thống kê nói chung vào giảng dạy hầu hết trường cao đẳng, đại học Trong lý thuyết xác suất hầu hết lĩnh vực việc xác định khả xảy kiện định quan trọng cần thiết Do nhiều phương pháp tính xác suất đời, cơng thức tính xác suất cơng cụ hiệu Các toán xác suất thường hay, thú vị trừu tượng nên giải toán xác suất người đọc cảm thấy khó, dễ nhầm lẫn, dễ bị sai thường lúng túng việc lựa chọn phương pháp hay công thức phù hợp người đọc không phân tích vấn đề cách chặt chẽ, xác Qua thực tiễn giảng dạy môn Xác suất – thống kê trường Cao đẳng công nghệ - kinh tế thủy lợi miền Trung, sinh viên làm quen với số quy tắc tính xác suất trường trung học phổ thông song đa số sinh viên thường thiếu kĩ năng, cảm thấy khó khăn vận dụng cơng thức tính xác suất vào việc giải toán xác suất cụ thể Ngồi việc tìm hiểu cơng thức tính xác suất nhu cầu cần thiết cho việc giảng dạy tác giả Chính lý mà tác giả nghiên cứu chọn đề tài:”Một số cơng thức tính xác suất ứng dụng” làm đề tài luận văn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích nghiên cứu hệ thống hóa cơng thức tính xác suất nhằm tạo điều kiện cho sinh viên học tập môn Xác suất – thống kê dễ dàng, thuận lợi Đồng thời giúp người đọc hiểu sâu sắc công thức xác suất vận dụng tốt vào việc giải toán xác suất từ đơn giản đến phức tạp Đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên nghiên cứu kiến thức liên quan đến đề tài Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tổng quan kiến thức liên quan đến công thức tính xác suất Phạm vi nghiên cứu: Cơng thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần, cơng thức Bayes, cơng thức Bernoulli, dạng tốn áp dụng Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu, giáo trình, sách tham khảo có liên quan đến luận văn Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan kiến thức bản, trọng tâm liên quan đến cơng thức tính xác suất áp dụng thơng qua ví dụ, tập cụ thể Chứng minh chi tiết định lý xây dựng hệ thống toán lời giải với mức độ khó dễ khác nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Đồng thời tạo tài liệu phù hợp cho việc học tập, nghiên cứu sinh viên tiếp cận với môn học Xác suất – thống kê Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chƣơng 1: Các khái niệm mở đầu Trong chương tơi trình bày khái niệm phép thử ngẫu nhiên biến cố, mối quan hệ biến cố, phép toán biến cố, hệ đầy đủ biến cố, số tính chất phép tốn biến cố, khơng gian xác suất Chƣơng 2: Một số cơng thức tính xác suất Trong chương tơi trình bày định nghĩa, tính chất, định lý, ví dụ cơng thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes, công thức Bernoulli Chƣơng 3: Một số dạng tốn áp dụng Trong chương tơi trình bày số dạng tốn liên quan đến cơng thức tính xác suất, ứng dụng để giải tốn liên quan đến cơng thức cộng xác suất, xác suất có điều kiện, cơng thức nhân xác suất, cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes, công thức Bernoulli CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu Phép thử khái niệm lý thuyết xác suất mà dựa vào người ta xây dựng định nghĩa xác suất Cũng giống khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng,… phép thử khái niệm khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử thí nghiệm, quan sát hay phép đo … để ta nghiên cứu đối tượng hay tượng Các phép thử xảy nhóm điều kiện xác định cho trước gắn liền với thực Nhóm phải rõ ràng, ổn định trình nghiên cứu lặp lại nhiều lần Do vậy, việc thực nhóm điều kiện xác định để nghiên cứu tượng có xảy hay khơng gọi thực phép thử Hay nói cách khác làm cho nhóm điều kiện thỏa mãn ta làm phép thử Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy phép thử, ký hiệu Ω Mỗi phần tử Ω gọi biến cố sơ cấp, ký hiệu  Do đó, khơng gian mẫu cịn gọi khơng gian biến cố sơ cấp 1.1.2 Biến cố ngẫu nhiên a Biến cố (hay gọi kiện) Kết phép thử gọi biến cố hay kiện Dùng chữ A, B, C, … để ký hiệu cho biến cố b Phân loại biến cố Biến cố chắn biến cố luôn xảy thực phép thử, biến cố tương ứng với không gian mẫu nên ký hiệu  Biến cố biến cố không xảy thực phép thử, ký hiệu ∅ Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy thực phép thử 1.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Cho A B hai biến cố phép thử 1.2.1 Biến cố kéo theo Biến cố A gọi kéo theo biến cố B , ký hiệu A ⊂ B , biến cố A xảy biến cố B xảy 1.2.2 Biến cố Hai biến cố A B gọi A kéo theo B B kéo theo A , ký hiệu A = B 1.2.3 Biến cố xung khắc Hai biến cố gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy thực phép thử 1.2.4 Biến cố đối lập Biến cố đối lập với biến cố A , ký hiệu A hay Ac , biến cố xảy biến cố A không xảy 1.2.5 Biến cố đồng khả Các biến cố gọi đồng khả thực phép thử chúng có khả xảy 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ Cho A B hai biến cố phép thử với không gian mẫu tương ứng Ω 1.3.1 Phép hợp Tổng (hay hợp) hai biến cố A B , ký hiệu A + B A ∪ B , biến cố xảy hai biến cố A B xảy Tổng quát: Tổng n biến cố A1 , A2 , …, An biến cố xảy n biến cố xảy Ký hiệu tổng n n biến cố A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak , An A1 + A2 + + An k =1  Ak n k= 1.3.2 Phép giao Tích (hay giao) hai biến cố A B , ký hiệu AB hay A ∩ B , biến cố xảy hai biến cố A B xảy Tổng quát: Tích n biến cố A1 , A2 , …, An biến cố n ∏ Ai , biến cố xảy tất n i =1 biến cố xảy Tích n biến cố cịn ký hiệu A1 ∩ A2 ∩ ∩ An n A1 A2 An Ak k= Đến ta thấy hai biến cố A∩B=∅ A B xung khắc Tương tự cho n biến cố A1 , A2 , …, An xung khắc Ai A j ( i , j 1, n ) = i ≠ j 1.3.3 Hiệu hai biến cố Hiệu hai biến cố A B, ký hiệu A \ B , biến cố xảy A xảy cịn B khơng xảy Với A ⊂ Ω , biến cố đối lập biến cố A A = Ω \ A 12 Định lý 2.8 Cho hai biến cố A B phép thử P ( A) > 0, P(B) > Khi ta có cơng thức nhân xác suất hai biến cố A B sau P(A∩B) = P( A)P(B / A) = P(B)P(A / B) Định lý 2.9 Cho biến cố A1 , A2 , An ( n ≥ 2) phép thử cho P( A1 , A2 , An−1) > Khi ta có (2.6) P ( A1 A2 An ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P ( A3 / A1 A2 ) × P ( An / A1 A2 An−1 ) 2.3 SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ Định nghĩa 2.2 Giả sử (Ω, , P) không gian xác suất Hai biến cố A B ( A∈ , B ∈ P(A∩B) = P(A)P(B) Định lý 2.10 Giả sử (Ω, ) gọi độc lập với Nếu dãy biến cố A1 , A2 , …, An ∈ độc lập với , P) khơng gian xác suất P( A1 A2 … An ) = P( A1 )P( A2 )…P ( An ) Hệ 2.2 Nếu A B độc lập với cặp biến cố A B , A B , A B độc lập với Định lý 2.11 Nếu biến cố A B1 độc lập, A B2 độc lập, B1 ∩ B2 = ∅ A ( B1 ∪ B2 ) độc lập Định nghĩa 2.3 Dãy biến cố A1 , A2 , …, An gọi độc lập (i , j1, n ) đôi với P ( Ai A j ) = P ( Ai ) P ( A j ) , ∀i ≠ = j, Định nghĩa 2.4 Dãy biến cố A1 , A2 , …, An , gọi độc lập toàn phần hay độc lập toàn thể P ( Ai Ai ) = P ( Ai ) P ( Ai ), k ≤ n với ≤ k ≤ n, ≤ i1 ≤ ≤ ik Định lý 2.12 [10] Cho n biến cố A1 , A2 , …, k không xung An khắc độc lập tồn phần Khi  13  n n P  ∑ Ai  = − ∏ P ( Ai ) i= i =1  Đặc biệt: Nếu P( A1 ) = P( A2 ) = = P( An ) = p cơng thức có dạng sau n  n = A P ∑ i  − ∏ P( Ai ) = − (1 − p)n i= i =1  2.4 CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC BAYES 2.4.1 Cơng thức xác suất tồn phần Định lý 2.13 Cho hệ đầy đủ biến cố B , B2 ,…, Bn A∈ biến cố Khi xác suất biến cố A tính theo cơng thức sau n P ( A) = ∑P (Bk )P ( A / Bk ) (2.7) k =1 Công thức gọi công thức xác suất tồn phần hay cơng thức xác suất đầy đủ 2.4.2 Công thức Bayes Định lý 2.14 (Công thức Bayes) Cho hệ đầy đủ biến cố B1 , B2 ,…, Bn A∈ biến cố ( P ( A) > 0) Khi (2.8) P(Bi )P( A / Bi ) P(Bi / A) n = ∑P(Bk )P( A / Bk ) k= 2.5 CÔNG THỨC BERNOULLI 2.5.1 Lƣợc đồ Bernoulli công thức Bernoulli Dãy phép thử gọi độc lập với xác suất để xảy biến cố phép thử khơng phụ thuộc vào việc biến cố có xảy phép thử khác hay không Lược đồ Bernoulli dãy n phép thử giống hệt thỏa mãn 14 điều kiện sau: - Dãy độc lập - Trong phép thử xảy hai biến cố A A - P ( A) = pkhông đổi n phép thử cho (do P( A) = q = − p ) Liên quan đến lược đồ Bernoulli người ta quan tâm đến tốn: “Tính xác suất để lược đồ Bernoulli biến cố A xuất k lần, ký hiệu xác suất Pn ( k) ” Bài toán nhà bác học người Thụy Sĩ Bernoulli giải từ kỉ XVII nên gọi toán Bernoulli Xác suất xác định sau P ( k ) = C k p k qn (với q = − p ) (2.9) −k n n Đặc biệt + Nếu k = n P ( H ) = Pn ( k ) = pn + Nếu k = P( H ) = Pn ( k ) = np (1 − p)n−1 Xét lược đồ Bernoulli với n phép thử Xác suất để biến cố A xuất với số lần nằm k1 k2 (0 ≤ k1 ≤ k2 ) xác định công thức k2 Pn (k1 , k2 ) = pk (1 k2 ∑ Pn (k ) = ∑Cnk k = k1 − p)n −k (2.10) k = k1 2.5.2 Số lần có khả lớn Xét lược đồ Bernuolli với số lần thử n xác suất xuất biến cố A P ( A) = p Gọi k0 số lần xuất lớn Pn ( k0 ) ≥ Pn ( k ) , ∀k = 0, n Đặt q = − p Để tìm k0 ta cần xét dãy Pn (0), Pn (1), , Pn ( k), xem số lớn k ứng với số số k0 cần tìm Tuy nhiên việc tìm tất số nhiều thời gian ta tìm k0 dựa vào cơng thức sau 15 =n − ⋅p P (k + = C k +1 p k +1q n −k −1 k 1) P (k ) k +1 q C k p k q n −k n n n n Suy Pn ( k + 1) ≥ Pn ( k ) ⇔ np − kp ≥ kq + q ⇔ np − q ≥ k ( p + q ) ⇔ np − q ≥ k Do • Nếu np • q k0 = np −q +1 Nếu np q có hai giá trị k0 k0 = np −q k0 = [ np − q]+1 có giá trị k0 16 CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN ÁP DỤNG 3.1 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT Bài tốn 3.1.1 Một lớp có 100 sinh viên có 40 sinh viên giỏi Tin học, 30 sinh viên giỏi Toán, 20 sinh viên giỏi Tin học lẫn Toán Sinh viên giỏi hai môn khen thưởng vào cuối học kỳ Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tính xác suất để sinh viên khen thưởng vào cuối học kỳ Bài toán 3.1.2 Trên giá sách có n sách (n ≥ 4) có sách tác giả Tìm xác suất để khơng có hai ba đứng cạnh Bài tốn 3.1.3 Một cơng ty sử dụng hai hình thức quảng cáo quảng cáo đài phát quảng cáo tivi Giả sử có 35% khách hàng biết thơng tin quảng cáo qua tivi 30% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua đài phát 20% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua hai hình thức quảng cáo Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên khách hàng người biết thơng tin quảng cáo cơng ty Bài tốn 3.1.4 Bốn máy bay ném bom vào mục tiêu Mỗi máy bay ném bom, xác suất ném trúng mục tiêu máy bay tương ứng 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 Việc máy bay ném trúng mục tiêu hồn tồn độc lập Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom Bài toán 3.1.5 Phải tung xúc sắc tối thiểu lần để với xác suất khơng nhỏ 0,5 hi vọng có lần mặt chấm 17 Bài toán 3.1.6 Một rạp hát có n chỗ ngồi bán hết vé Các khán giả vào ngồi ngẫu nhiên Tìm xác suất để khơng có khán giả ngồi vị trí ghi vé Bài tốn 3.1.7 [1] (Bài tốn Banach) Một nhà tốn học có bao diêm, bao diêm có n que diêm Ơng để bên túi áo bao diêm Khi cần ông rút ngẫu nhiên bao diêm lấy que diêm để đánh lửa Tìm xác suất để ơng phát bao diêm hết bao diêm k que diêm, (k = 0, n) 3.2 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC SUẤT CĨ ĐIỀU KIỆN VÀ CƠNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT Bài tốn 3.2.1 Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 có mở cửa kho Người thử ngẫu nhiên chìa khóa một, thử khơng thử lại Tính xác suất để người mở cửa kho lần thử thứ Bài toán 3.2.2 Một người quên số cuối 10 số số điện thoại quay cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để người quay số mà khơng phải lặp lại lần Bài toán 3.2.3 Hai em học sinh An Bình chơi trị chơi sau: Mỗi người rút viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen Bi rút không trả lại vào hộp Người rút bi trắng trước thắng Tính xác suất thắng người rút trước Bài toán 3.2.4 Xác suất để chuyến bay khởi hành 0,95, xác suất để đến 0,92, xác suất để khởi hành đến 0,9 Tìm xác suất để chuyến bay a Đến biết khởi hành b Khởi hành biết đến 18 c Đến biết khởi hành khơng Bài toán 3.2.5 Để thành lập đội tuyển quốc gia môn học, người ta tổ chức thi tuyển gồm vịng Vịng thứ lấy 80% thí sinh; vịng thứ hai lấy 70% thí sinh qua vịng thứ vịng thứ ba lấy 45% thí sinh qua vòng thứ hai Để vào đội tuyển, thí sinh phải vượt qua vịng thi Tính xác suất để thí sinh a Được vào đội tuyển b Bị loại vòng thứ ba 3.3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐ Bài toán 3.3.1 Một cầu thủ ném bóng vào rổ trúng rổ dừng Tính xác suất để cầu thủ dừng ném lần ném thứ 5, biết xác suất trúng rổ lần ném 0,7 Bài tốn 3.3.2 Để xem thi đậu thí sinh phải vượt qua ba vòng thi độc lập Xác suất để thí sinh vượt qua vịng thi tương ứng 0,9; 0,8; 0,8 Tính xác suất để thí sinh thi đậu Bài tốn 3.3.3 Hai xạ thủ A B bắn vào bia Xác suất bắn trượt xạ thủ A 0,2 xạ thủ B 0,3 Tính xác suất a Chỉ có người bắn trúng bia b Cả hai bắn trượt c Có người bắn trúng bia Bài tốn 3.3.4 Ba người chơi bóng rổ, ném độc lập người vào rổ Xác suất ném trúng rổ người 0,5; 0,6; 0,4 Tính xác suất để: 19 a Có người ném trúng rổ b Cả ba người ném trúng rổ c Có người ném trúng rổ Bài toán 3.3.5 Ba bác sĩ khám bệnh độc lập Xác suất chuẩn đoán sai bác sĩ tương ứng 0,01; 0,05 0,09 Ba người khám cho bệnh nhân Tìm xác suất để: a Khơng chuẩn đốn sai b Khơng chuẩn đốn c Có người chuẩn đốn 3.4 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC XÁC SUẤT TỒN PHẦN VÀ CƠNG THỨC BAYES Bài toán 3.4.1 Hai người sản xuất loại sản phẩm với số lượng Xác suất để người thứ người thứ hai sản xuất phế phẩm tương ứng 0,03 0,04 Rút ngẫu nhiên sản phẩm, tính xác suất để sản phẩm phế phẩm Bài tốn 3.4.2 Một cửa hàng máy tính chuyên kinh doanh loại nhãn hiệu IBM, Dell Toshiba Trong cấu hàng bán, máy IBM chiếm 50%; Dell 30% lại máy Toshiba Tất máy bán có thời hạn bảo hành 12 tháng Kinh nghiệm kinh doanh chủ cửa hàng cho thấy 2% máy IBM phải sửa chữa hạn bảo hành; tỷ lệ sản phẩm cần sửa chữa hai hiệu lại 4% 5% a Nếu có khách hàng mua máy tính, tìm khả để máy tính khách hàng phải đem lại sửa chữa hạn bảo hành b Có khách hàng mua máy tính tháng phải đem lại sửa chữa có trục trặc, tính xác suất mà máy khách thuộc hiệu Toshiba 20 Bài toán 3.4.3 Một nhà máy gồm phân xưởng Phân xưởng I đảm nhận sản xuất 50% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 5% Phân xưởng II đảm nhận sản xuất 30% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 3% Phân xưởng III đảm nhận sản xuất 20% sản phẩm nhà máy với tỉ lệ phế phẩm 1% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ kho hàng nhà máy Tính xác suất để sản phẩm lấy phế phẩm Từ suy tỉ lệ phế phẩm nhà máy Bài tốn 3.4.4 Có hai chuồng gà Chuồng I có gà trống gà mái Chuồng II có gà trống gà mái Bắt ngẫu nhiên gà từ chuồng I bỏ sang chuồng II Sau từ chuồng II bắt ngẫu nhiên gà Tính xác suất để gà gà mái Bài toán 3.4.5 Theo thống kê vùng có 65% đàn ơng bị béo phì 55% phụ nữ bị béo phì Số đàn ơng phụ nữ vùng coi Tỉ lệ người dân vùng bị béo phì bao nhiêu? Bài tốn 3.4.6 Ba kiện hàng có 20 sản phẩm với số sản phẩm tốt tương ứng 15, 10, 17 Lấy ngẫu nhiên kiện hàng từ lấy sản phẩm a Tính xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt b Giả sử sản phẩm lấy sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm thuộc kiện hàng thứ ba Bài tốn 3.4.7 Tại phịng khám chun khoa tỉ lệ người đến khám có bệnh 0,8 Người ta áp dụng phương pháp chuẩn đốn thấy khẳng định có bệnh 10 trường hợp; cịn khẳng định khơng có bệnh 10 trường hợp Hãy tìm xác suất: a Chuẩn đốn có bệnh 21 b Chuẩn đốn Bài toán 3.4.8 Trong hộp đựng bi xanh bi đỏ, lần thứ lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi quan sát bi đỏ bỏ viên bi vào hộp với viên bi đỏ khác nữa, viên bi xanh bỏ viên bi vào hộp viên bi xanh khác Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi a Tính xác suất bi lấy lần hai viên bi xanh b Giả sử bi lấy lần hai bi xanh, tính xác suất để bi xanh bi hộp lúc ban đầu (không phải bi bỏ vào) Bài tốn 3.4.9 Một hộp có bi xanh bi vàng Lần lấy ngẫu nhiên bi từ hộp, lần lấy ngẫu nhiên bi a Tìm xác suất để bi lấy lần bi xanh b Biết bi lần bi vàng, tìm xác suất để bi lấy lần bi xanh Bài toán 3.4.10 Trên tàu điện có n hành khách Đến ga người xuống ga với xác suất p Có hành khách lên với xác suất − p0 không lên thêm với xác suất p0 Tìm xác suất để sau lần dừng tàu có n hành khách Bài toán 3.4.11 (Bài toán người đánh bạc phá sản) Một niên mong muốn mua xe với giá n đơla Trong túi có k đôla ( < k < n ) Anh ta định kiếm n – k đơla cịn lại cách đánh bạc, chơi trò chơi sấp ngửa Ở ván chơi, đồng xu tung lên Nếu đồng xu xuất mặt sấp đơla, cịn đồng xu xuất mặt ngửa đôla Anh ta định chơi tới kiếm đủ n đôla k đơla (bị phá sản) Tìm xác suất để bị phá sản 22 3.5 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN CƠNG THỨC BERNOULLI Bài tốn 3.5.1 Xác suất thành công ca phẫu thuật tim 0,7 Tiến hành phẫu thuật tim cách độc lập cho 10 em bé Tính xác suất để 10 ca phẫu thuật đó: a Có ca thành cơng b Có từ đến ca thành cơng Bài tốn 3.5.2 Theo dõi kết điều tra bệnh lao vùng thấy tỉ lệ người bị lao 0,002 Tính xác suất để khám 15 người thấy: a Khơng có người bị lao b Có người bị lao c Ít người bị lao Bài toán 3.5.3 Hai người Minh Thanh thi đấu cờ Xác suất thắng Minh ván cờ 0,6 (khơng có hịa) Trận đấu bao gồm ván đấu Người thắng với số ván thắng lớn người thắng Tìm xác suất để Thanh thắng Bài tốn 3.5.4 Xác suất để chai bị bị vỡ trình vận chuyển từ nhà máy sản xuất đến nơi tiêu thụ 0,001 Tìm xác suất để vận chuyển 12000 chai bia có chai bị vỡ Bài toán 3.5.5 Thực 30 lần gieo liên tiếp đồng xu có xác suất xuất mặt sấp 0,52 Tính số mặt sấp có khả xác suất tương ứng Bài toán 3.5.6 Từ lơ trái có tỉ lệ trái hỏng 5% , người ta chọn ngẫu nhiên để kiểm tra a Hỏi phải kiểm tra trái để xác suất có trái hỏng không bé 90% ? 23 b Giả sử việc kiểm tra dừng lại phát trái bị hỏng Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại lần kiểm tra thứ 10 Bài tốn 3.5.7 Tỉ lệ phế phẩm lơ hàng 1% Hỏi cần chọn mẫu (chọn có hồn lại) sản phẩm cho xác suất để mẫu có phế phẩm lớn 0,95 24 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn TS Cao Văn Ni tơi hồn thành luận văn tiến độ đạt mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể luận văn đạt kết sau : Luận văn trình bày cách rõ ràng, có hệ thống tổng quan kiến thức liên quan đến công thức xác suất Luận văn lựa chọn phân loại hệ thống tập phong phú từ đến nâng cao Ở chương tơi nghiên cứu trình bày cách đa dạng dạng toán xác suất, ứng dụng cho kiến thức trình bày chương trước Kết luận văn nhằm giúp sinh viên học tập tốt môn Xác suất – thống kê tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy môn Xác suất – thống kê Tuy nhiên, hạn chế mặt thời gian, kinh nghiệm luận văn bước đầu cho việc nghiên cứu khoa học nên kết đạt luận văn cịn khiêm tốn số khía cạnh chưa nghiên cứu sâu Đó mục tiêu đề thực thời gian đến