SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999. ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 2. SBD: (180 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1 (5 điểm) Cho phương trình: cos 3 x + asinx.cosx + sin 3 x = 0. a/ Giải phương trình khi a = 2 . b/ Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm. Bài 2 (5 điểm) Giả sử phương trình x 3 + x 2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức: a 2 – 3b. Bài 3 (5 điểm) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: y = 1 x x (1 a )+ , (a > 0). Bài 4 (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c. K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC. a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK. b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD. Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc nhau. 1 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999. MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 2. Bài 1: ( 5điểm) cos 3 x + asinx.cosx + sin 3 x = 0. (0.5 đ) + Đặt t = sinx + cosx = 2 cos(x ), |t| 2. 4 π − ≤ cos 3 x + sin 3 x = (cosx + sinx)(sin 2 x + cos 2 x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) vì t 2 = 1 + 2sinxcosx nên sinxcosx = 2 t 1 2 − và cos 3 x + sin 3 x = 2 t (3 t ) 2 − . (0.5 đ) + Phương trình (1) trở thành: 2 t (3 t ) 2 − + a. 2 t 1 2 − = 0 ⇔ t 3 – at 2 – 3t + a = 0 (2). Câu a / (1 đ) + Với a = 2 : (2) trở thành: t 3 – 2 t 2 – 3t + 2 = 0 ⇔ (t + 2 )(t 2 - 2 2 t + 1) = 0 ⇔ (t + 2 )(t - 2 + 1)(t - 2 - 1) = 0 ⇔ t = - 2 hay t = 2 - 1 hay t = 2 + 1. (1 đ) + so lại điều kiện: | t | ≤ 2 nên phương trình (1) tương đương với: 5 cos(x ) 1 x k2 2 cos(x ) 2 4 4 4 ,k Z 2 1 2 1 2 cos(x ) 2 1 cos(x ) x ar cos k2 4 4 4 2 2 π π   π  − = − = + π − = −      ⇔ ⇔ ∈  π π − π −    − = − − = = ± + π       . Câu b / (0.25đ) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = t 3 – at 2 – 3t + a = 0 có nghiệm t ∈[- 2 ; 2 ] (1.25đ) + f(t) liên tục trên R f(- 2 ) = 2 - a ; f( 2 ) = - 2 - a; f(0) = a. • a = 0: f(t) có nghiệm t = 0 ∈ [- 2 ; 2 ] • a < 0: f(- 2 ).f(0) = a( 2 - a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(- 2 ;0). • a > 0: f(0).f( 2 ) = a(- 2 - a) < 0 ⇒ f(t) = 0 có nghiệm t ∈(0; 2 ). (0.25đ) + Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi a. Bài 2: ( 5điểm) y = f(x) = x 3 + x 2 + ax + b (0.5 đ) + Tập xác định: R. y’ = 3x 2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số ∆’ = 1 – 3a. (0.5 đ) + Pt: x 3 + x 2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và f(x 1 ).f(x 2 )< 0. (0.25 đ) + Suy ra: 1 2 1 3a 0 f (x ).f(x ) 0 − >   <  (x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 3x 2 + 2x + a = 0). 2 (1 ) + Thc hin phộp chia a thc ta c: f(x) = x 3 + x 2 + ax + b = [ ] 1 1 1 x y' (6a 2)x 9b a 3 9 9 + + + ữ . Suy ra f(x 1 ) = [ ] 1 1 (6a 2)x 9b a 9 + ; f(x 2 ) = [ ] 2 1 (6a 2)x 9b a 9 + (0.5 ) + f(x 1 ).f(x 2 ) < 0 (6a-2) 2 x 1 x 2 + (6a-2)(9b-a)(x 1 + x 2 ) + (9b-a) 2 < 0. (1 ) + Vỡ x 1 , x 2 l 2 nghim ca phng trỡnh: 3x 2 + 2x + a = 0 nờn x 1 + x 2 = 2 3 ; x 1 .x 2 = a 3 . Do ú: 2 2 a 2 (6a 2) (6a 2)(9b a) (9b a) 0 3 3 + < suy ra: 4(3a 1)(a 2 3b) + (9b a) 2 < 0 (1 ) + Vỡ (9b a) 2 0 v 3a 1 < 0 nờn a 2 3b > 0. Bi 3: ( 5im) + Tỗm tióỷm cỏỷn õổùng: Tỏỷp xaùc õởnh: R\{0}. x 0 + thỗ 1 x đ +Ơ vaỡ a x 1. Do õoù : 1 x x x 0 lim(1 a ) + đ + = +Ơ nón x = 0 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn õổùng. a/+ Xeùt trổồỡng hồỹp: 0 < a 1 + x (0; + ): 0 < 1 + a x 2 Do õoù: 1 x x 0 < (1 + a ) 2Ê ( vỗ 1 0 x > ) nón: 1 x x x + 1 lim (1 + a ) 1 x x lim 2 1 đ Ơ đ+Ơ Ê Ê = Do õoù: 1 x x x 0 lim(1 a ) 1 + đ + = nón y = 1 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh phaới. + x (- ; 0): x 1 0 < 1 + a 2 ổử ữ ỗ Ê ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Do õoù: 1 x x 1 1 > 1 + a 1 x 2 ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ ( vỗ 1 0 x < ) nón 1 x x x - x - 1 1 lim 1 + lim a 1 x 2 1 đ Ơ đ Ơ ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Do õoù: x x - 1 lim 1 + =1 a đ Ơ ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Suy ra x x - 1 lim 1 + = a a 1 x x x lim(1 a ) a đ- Ơ đ Ơ ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ + = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Vỏỷy y = a laỡ tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi. b/+ Xeùt trổồỡng hồỹp a > 1. + x (- ; 0) : 0 < 1 + a x < 2 Do õoù: 1 x x 1> (1 + a ) 1 x 2> ( vỗ 1 0 x < ) nón: 1 x x x 1 lim (1 + a ) 1 x x lim 2 1 đ- Ơ đ- Ơ = Do õoù: 1 x x x lim(1 a ) 1 đ- Ơ + = nón y = 1 laỡ õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi. + x (0; + ): x 1 1 < 1 + a 2 ổử ữ ỗ < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . 3 (1 õ) (1 õ) (1 õ) (1 õ) (1 õ) Do õoù: 1 x x 1 1 < 1 + < a 1 x 2 ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ ( vỗ 1 0 x > ) nón 1 x x x x 1 1 lim 1 + lim a 1 x 2 1 đ+Ơ đ+Ơ ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ Ê Ê = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Do õoù: 1 x x x 1 lim 1 + =1 a đ+Ơ ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ nón 1 x x x 1 lim 1 + = a a 1 x x x lim(1 a ) a đ+Ơ đ+Ơ ộ ự ổử ữ ỗ ờ ỳ + = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ờ ỳ ở ỷ Vỏỷy y = a laỡ õổồỡng tióỷm ngang nhaùnh phaới. Bi 4: ( 5im) Cõu a / (2.5 im) + Theo gi thit ta c: SO (ABCD) (SAC) (ABCD). M BK (SAC) v BK AC BK SA. + Gi H l hỡnh chiu ca K xung SA HK SA v HK BK ( vỡ HK (SAC)) HK l on vuụng gúc chung ca SA v BK. Suy ra c: BH SA v HBK vuụng ti K. + Do ABC vuụng nh A nờn: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b BK BK AB BC a b = + = + . + SAB cõn nh S, BH l ng cao nờn 2 2 a c .a SI.AB 4 HB SA c = = + Do HBK vuụng ti K nờn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4c a )a a b HK HB BK 4c a b = = + 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4c a b )a a (4c a b ) HK HK 4c (a b ) 2c (a b ) = = + + Cõu b (2.5 im) + 2BM BA BK= + uuuur uuur uuur ( vỡ M l trung im ca AK) + 1 1 MN MB BC CN (AB KB) BC BA 2 2 = + + = + + + uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur + 1 MN KB BC 2 = + uuuur uuur uuur . 4 _D _C _B _A _S _O _K _M _N (0.25 õ) (0.5 õ) (0.5 õ) (0.5 õ) (0.5 õ) (0.5 õ) (0.5 õ) (1.75 õ) + Do đó: 4BM.MN (BA BK).(KB 2BC) = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC = BA.KB BK.KB 2BK.BC = KB = + + + + + + + uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur u r .(BA BK 2.BC) = KB.(BA BC BK BC) = KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0 + − − + − + = + = uu uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vậy: BM ⊥ MN. ( Có thể tính và áp dụng định lý Pythagor).bv 5 . b HK HB BK 4c a b = = + 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4c a b )a a (4c a b ) HK HK 4c (a b ) 2c (a b ) = = + + Cõu b (2. 5 im) + 2BM BA BK= + uuuur. GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI B C PTTH THỪA THI N HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999. ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN B NG B VÒNG 2. SBD: (180 phút, không