Đang tải... (xem toàn văn)
(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - LÊ HỒNG LINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN ĐƠN TRỊ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phƣơng Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Danh mục ký hi u viet tat ii LỜi mƠ đau Chương M t so kien th c chuan bị 1.1 M t so khái ni m ket không gian xác suat 1.1.1 Không gian xác suat 1.1.2 Bien ngȁu nhiên 1.1.3 M t so dạng h i tụ dãy bien ngȁu nhiên 11 1.2 M t so ket ve ánh xạ đa trị toán tử ngȁu nhiên 13 1.3 M t so ket ve điem bat đ ng cho toán tử tat định 17 Chương Điem bat đ ng cua toán t ngȁu nhiên đơn trị 21 2.1 Phương trình tốn tử ngȁu nhiên 21 2.2 Điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên đơn trị 34 Ket lu n 42 Tài li u tham khao 43 i Danh mục ký hi u viet tat N T p hop so tụ nhiên R T p hop so thục R+ T p hop so thục dương C[a, b] Không gian hàm so liên tục [a, b] L(X) Không gian tốn tử tuyen tính liên tục từ X vào X0LX(Ω) T p hop bien ngȁu nhiên X-giá trị A, F B(X) A⊗F σ-đại so σ-đại so Borel X σ-đại so tích σ-đại so A F 2X Ho t p hop khác rőng X C(X) Ho t p hop đóng khác rőng X CB(X) Ho t p hop đóng khác rőng bị ch n X d(a, B) Khoảng cách từ điem a đen t p hop B d(A, B) Khoảng cách hai t p hop khác rőng A, B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai t p hop đóng A, B Gr(F) Đo thị ánh xạ F µ Đ đo Lebesgue P Đ đo xác suat p-lim Giói hạn sụ h i tụ theo xác suat h.c.c Hau chac chan LỜi mƠ đau Các nghiên cứu ve định lý điem bat đ ng cho toán tử ngȁu nhiên đưoc khỏi đau bỏi O Hans A Spacek năm 1950 (xem [8]) Ho chứng minh định lý điem bat đ ng cho ánh xạ co ngȁu nhiên, phiên ngȁu nhiên nguyên lý ánh xạ co Banach Sau cơng trình Spacek Hans, phiên ngȁu nhiên định lý điem bat đ ng noi tieng khác đưoc chứng minh Lý thuyet phương trình tốn tử ngȁu nhiên điem bat đ ng ngȁu nhiên thục sụ đưoc tiep thêm sức mạnh sau sụ đòi cuon sách Random integral equations (1972) báo tong ket Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) A T Bharucha-Reid (xem [6]) Nhieu tác giả thành công vi c mỏ r ng ket ve điem bat đ ng ngȁu nhiên có ho c chứng minh phiên ngȁu nhiên định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định (chȁng hạn, xem [9, 13]) Vào năm 1990, m t so tác giả như: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan chứng minh định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát, tác giả rang vói m t so đieu ki n đó, neu quỹ đạo tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng tat định tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên (chȁng hạn, xem [10, 13]) Gan đây, m t so tác N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa m t so định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát mỏ r ng ket tác giả trưóc sỏ phiên ngȁu nhiên nhieu định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định đưoc chứng minh Neu lóp tốn tử ngȁu nhiên thỏa mãn đieu ki n định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát r ng rãi vi c ngȁu nhiên hóa định lý điem bat đ ng cho tốn tử tat định khơng cịn nhieu thú vị, vi c chứng minh sụ ton điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên thục sụ trỏ thành vi c chứng minh sụ ton điem bat đ ng m t toán tử tat định Tốn tử ngȁu nhiên có the đưoc xem m t ánh xạ bien mői phan tử không gian metric thành m t bien ngȁu nhiên Mői phan tử khơng gian metric có the đưoc xem m t bien ngȁu nhiên suy bien nh n giá trị phan tử vói xác suat Từ cách quan ni m v y ta coi không gian metric X t p (gom bien ngȁu nhiên suy bien) không gian bien ngȁu nhiên X-giá trị LX(Ω) Vói f m t tốn tử ngȁu nhiên liên tục từ X vào X có the xây dụng đưoc m t ánh xạ Φ từ LX(Ω) vào LX(Ω) mà hạn 0 che Φ X trùng vói f f có điem bat đ ng ngȁu nhiên Φ có điem bat đ ng Dụa thục tien vói ket ve điem bat đ ng ánh xạ không gian metric xác suat, O Hadzic E Pap có liên h ứng dụng sang lý thuyet điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên (xem [7]) Trong phạm vi lu n văn thạc sĩ Toán hoc, tác giả t p trung trình bày lại ket nghiên cứu ve điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên đơn trị N i dung lu n văn bao gom phương trình tốn tử ngȁu nhiên điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên Cau trúc lu n văn gom chương Chương Tác giả trình bày m t so khái ni m ve không gian xác suat: bien ngȁu nhiên sụ h i tụ dãy bien ngȁu nhiên; toán tử ngȁu nhiên điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên Những ket đưoc trích dȁn khơng có chứng minh chi tiet Chương Tác giả trình bày ket nghiên cứu tác giả ve phương trình tốn tử ngȁu nhiên N i dung chương định lý ve sụ ton nghi m ngȁu nhiên phương trình toán tử ngȁu nhiên M t so ket liên quan đen toán điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên Áp dụng ket ve phương trình tốn tử ngȁu nhiên cho tốn điem bat đ ng ngȁu nhiên mỏ r ng m t so định lý điem bat đ ng cho toán tử ngȁu nhiên Phiên ngȁu nhiên m t so định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định đưoc trình bày Đe hồn thành đưoc lu n văn m t cách hoàn chỉnh, sụ nő lục hoc hỏi thân, em nh n đưoc sụ hưóng dȁn giúp đõ nhi t tình TS Tran Xuân Quý TS Đő Thị Phương Quỳnh Em xin chân thành bày tỏ lòng biet ơn sâu sac đen thay xin gửi lòi tri ân nhat em đoi vói đieu thay dành cho em Em xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thay giảng dạy lóp Cao hoc Tốn K13 (2019 - 2021) Trưịng Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái Nguyên t n tình truyen đạt kien thức quý báu tạo đieu ki n cho em hoàn thành khóa hoc Tơi xin cảm ơn Ban Giám hi u Trưòng THPT Tran Hưng Đạo, Que Võ, Bac Ninh tạo đieu ki n cho tơi suot q trình hoc t p Tơi xin gửi lịi cảm ơn chân thành nhat tói gia đình, bạn bè đong nghi p, ngưòi đ ng viên, hő tro tạo đieu ki n cho tơi suot q trình hoc t p thục hi n lu n văn Thái Nguyên, ngày 21 tháng 05 năm 2021 Hoc viên Lê Hong Linh Chương M t so kien th c chuan bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái ni m ket liên quan tói phan lu n văn Bao gom, khơng gian xác suat, ánh xạ đa trị, tốn tử ngȁu nhiên m t so ket ve điem bat đ ng toán tử tat định Hau het khȁng định chương đưa mà khơng trình bày chứng minh chi tiet, ket đưoc trích dȁn rõ nguon tài li u 1.1 M t so khái ni m ket qua không gian xác suat Trong chương nhac lại m t vài định nghĩa ve lý thuyet xác suat: bien ngȁu nhiên, m t so dạng h i tụ dãy bien ngȁu nhiên 1.1.1 Không gian xác suat Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω t p khác rőng M t σ− đại so F Ω ho t p hop Ω thỏa mãn (i) T p ∅ ∈ F ; (ii) Neu A ∈ F phan bù A ∈ F ; (iii) Neu A1, A2, dãy đem đưoc t p hop F hop chúng A1 ∪ A2 ∪ · · · thu c F Ví dụ 1.1.2 R đưoc định nghĩa t p hop so thục Ho t p Borel F = B(R) σ− đại so R B(R) σ− đại so chứa tat đoạn R Định nghĩa 1.1.3 Cho F m t σ− đại so Ω Đ đo xác suat P ánh xạ P : F −→ [0, 1] thỏa mãn (i) P(Ω) = 1; (ii) Neu A1, A2, t p rịi đơi m t (nghĩa Ai ∩ A j = ∅ vói i ≠ j) ⊂ F P(A1 ∪ A2 ∪ ) = P(A1) + P(A2) + · · · (Ω, F , P) đưoc goi không gian xác suat T p hop thu c F đưoc goi bien co Bien co A xảy hau chac chan P(A) = Ví dụ 1.1.4 Chúng ta đưa khoảng cách có đ dài bang m t đơn vị Ω = [0, 1] vói σ− đại so F = B([0, 1]) t p hop t p Borel B ⊂ [0, 1] đ đo Lebesgue P = Leb [0, 1] Khi (Ω, F , P) m t không gian xác suat Nhac lại rang Leb đ đo nhat đưoc định nghĩa t p Borel cho vói bat kì [a, b] Leb[a, b] = b − a Định lý 1.1.5 Neu A1, A2, dãy tăng bien co, nghĩa A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = lim P(An) n→∞ Tương tụ, neu A1, A2, dãy giảm bien co, nghĩa A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , P(A1 ∩ A2 ∩ ) = lim P(An) n→∞ Chŕng minh Neu A1 ⊂ A2 ⊂ A1 ∪ A2 ∪ = A1 ∪ (A2 \ A1) ∪ (A3 \ A2) ∪ Trong đó, t p A1, A2 \ A1, A3 \ A2, ròi đơi m t Do đó, theo định nghĩa đ đo xác suat P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1 ∪ (A2 \ A1) ∪ (A3 \ A2) ∪········) = P(A1) + P(A2 \ A1) + P(A3 \ A2) + · · · = lim P(An) n→∞ Ta có P(A1 ∪ A2 ∪ · · · + An) = P(A1 ∪ (A2 \ A1) ∪ (A3 \ A2) ∪ · · · + P(An \ An−1) = P(A1) + P(A2) − P(A1) + · · · + P(An) − P(An−1) = P(An) Neu A1 ⊃ A2 ⊃ · · · P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = lim P(An) n→∞ Áp dụng lu t De Morgan ta có Ω \ (A1 ∩ A2 ∩ · · · ) = (Ω \ A1) ∪ (Ω \ A2) ∪ · · · □ Bo đe 1.1.6 (Borel- Cantelli) Cho A1, A2, dãy bien co cho P(A1) + P(A2) + · · · < ∞ đ t Bn = An ∪ An+1 ∪ · · · P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = Chŕng minh Vì Bn dãy giảm bien co, theo ket Định lý 1.1.5 suy rang P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = lim P(Bn) = lim P(An ∪ An+1 ∪ · · · ) n→∞ n→∞ “ lim P(An) + P(An+1) + · · · = n→∞ ∞ Đȁng thức cuoi chuői n P(An ) h i tụ Bat đȁng thức = tính chat c ng tính dưói P(An ∪ An+1 ∪ ) “ P(An) + P(An+1) + · · · Suy P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = □ ton nghi m tat định vói hau het ω Trong trưịng hop phương trình tốn tử ngȁu nhiên đa trị, Định lý 2.1.14 sau rang đieu ki n đo đưoc toán tử ngȁu nhiên vȁn nguyên ý nghĩa Định lý 2.1.14 Cho X, Y không gian Polish S , T : Ω × X → C(Y) toán tr ngȁu nhiên đa trị đo Khi đó, phương trình ngȁu nhiên S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅ có nghi m ngȁu nhiên có nghi m tat định với hau het ω Hơn nra, cho Tn : Ω × X → C(Y) toán tr ngȁu nhiên đa trị đo (n = 1, 2, ) Khi đó, phương trình ngȁu nhiên ∩∞n=1 T n (ω, x) ≠ ∅ có nghi m ngȁu nhiên có nghi m tat định với hau het ω Chŕng minh Neu phương trình (2.10) có nghi m ngȁu nhiên ξ ξ(ω) nghi m tat định (2.10) vói hau het ω Ngưoc lại, giả sử (2.10) có nghi m tat định vói hau het ω Khơng giảm tong qt ta có the coi phương trình (2.10) có nghi m u(ω) vói moi ω Xét ánh xạ F : Ω → 2X×Y đưoc xác định bỏi F(ω) = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ S (ω, x) ∩ T (ω, x)} Do phương trình (2.10) có nghi m u(ω) vói moi ω nên F(ω) khác rőng vói moi ω Ta rang F có đo thị đo đưoc Gr(S ) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S (ω, x)} Gr(T ) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ T (ω, x)} Gr(F) = {(ω, x, y)| ω ∈ Ω, x ∈ X, y ∈ S (ω, x) ∩ T (ω, x)} Do đó, Gr(F) = Gr(S ) ∩ Gr(T ) Từ Định lý 1.2.1 suy S T có đo thị đo đưoc, tức Gr(S ), Gr(T ) ∈ (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y) Do đó, Gr(F) ∈ (A ⊗ B(X)) ⊗ B(Y) = A ⊗ B(X × Y) Theo Định lý 1.2.2, ton hàm đo đưoc ξ : Ω → X × Y cho ξ(ω) ∈ F(ω) h.c.c Đ t ξ(ω) = (ξ1(ω), ξ2(ω)) Ta có ξ2(ω) ∈ S (ω, ξ1(ω)) ∩ T (ω, ξ1(ω)) h.c.c Do ξ đo đưoc nên ξ1 : Ω → X đo đưoc Từ suy ξ1 nghi m ngȁu nhiên phương trình S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅ Sử dụng l p lu n tương tụ nh n đưoc ket vói T ∞ phương trình T n (ω, x) ≠ ∅ n=1 □ Định lý 2.1.14 rang tính đo đưoc tốn tử ngȁu nhiên S , T vói sụ ton nghi m tat định vói hau het ω kéo theo sụ ton nghi m ngȁu nhiên phương trình (2.10) Tuy nhiên, ví dụ 2.1.15 sau rang đieu ngưoc lại không đúng, nghĩa đieu ki n đo đưoc S T đieu ki n đủ cho sụ ton nghi m ngȁu nhiên phương trình (2.10) Ví dụ 2.1.15 Cho Ω = {0, 1}, A = {∅, Ω}, X = [0; 1], Y = [2; 3] T : Ω×X → C(Y) ánh xạ xác định bỏi T (0, x) = T (1, x) = Y vói moi x ∈ X Lay D m t t p X khơng t p Borel Ta xác định tốn tử S : Ω × X → C(Y) bỏi Y neu x ∈ D S (0, x) = S (1, x) = {2} neu x ∈ X \ D De dàng kiem tra đưoc rang vói mői x ∈ X co định, ánh xạ đa trị ω ›→ S (ω, x) ω ›→ T (ω, x) A-đo đưoc Do đó, S T toán tử ngȁu nhiên đa trị Lay t p mỏ B = (2; 3) Do S −1(B) = {(ω, x)|S (ω, x) ∩ B ≠ ∅} = Ω × D g A ⊗ B(X) nên S toán tử ngȁu nhiên không đo đưoc Tuy nhiên, bien ngȁu nhiên X-giá trị ξ xác định bỏi ξ(ω) = c vói moi ω, c m t phan tử bat kỳ X, m t nghi m ngȁu nhiên phương trình S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅ H qua 2.1.16 Cho X Y khơng gian Polish, Tn : Ω × X → C(Y) toán tr ngȁu nhiên đa trị liên tnc (n = 1, 2, ) Khi đó, phương trình ngȁu nhiên T∞ n=1 T n (ω, x) ≠ ∅ có nghi m ngȁu nhiên có nghi m tat định với hau het ω Chŕng minh Theo Định lý 2.1.14, ta can rang neu T : Ω× X → C(Y) tốn tử ngȁu nhiên đa trị liên tục T toán tử ngȁu nhiên đa trị đo đưoc Theo Định lý 1.2.1, đe chứng minh tính đo đưoc T , ta chứng minh tính đo đưoc ánh xạ (ω, x) ›→ d(y, T (ω, x)) vói mői y ∈ Y Xét ϕy : Ω × X → R ánh xạ xác định bỏi ϕy(ω, x) = d(y, T (ω, x)) Từ tính liên tục ánh xạ x ›→ T (ω, x) suy ánh xạ ϕy(ω, x) liên tục theo bien x Ta chứng minh tính đo đưoc ϕy(ω, x) theo ω Th t v y, vói mői x co định, ω ›→ T (ω, x) ánh xạ đo đưoc nên theo Định lý 1.2.1 ánh xạ ω ›→ d(y, T (ω, x)) đo đưoc Do đó, ϕy ánh xạ liên tục theo bien x, đo đưoc theo bien ω hay nói cách khác ϕy tốn tử ngȁu nhiên liên tục Từ Định lý 1.2.13 suy ϕy toán tử ngȁu nhiên đo đưoc Từ suy ánh xạ (ω, x) ›→ d(y, T (ω, x)) đo đưoc vói mői y ∈ Y □ 2.2 Điem bat đ ng cua toán t ngȁu nhiên đơn trị Khái ni m điem bat đ ng ngȁu nhiên sụ mỏ r ng, ngȁu nhiên hóa khái ni m điem bat đ ng toán tử tat định cho toán tử ngȁu nhiên Trong năm gan đây, toán điem bat đ ng ngȁu nhiên nh n đưoc sụ quan tâm nhieu tác giả Phiên ngȁu nhiên nhieu định lý điem bat đ ng noi tieng cho toán tử tat định đưoc chứng minh M t so tác H K Xu, K K Tan, X Z Yuan, N Shahzad đưa định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát, khȁng định rang vói m t so đieu ki n neu hau het quỹ đạo tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng tat định tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên (chȁng hạn, xem [13]) Theo đó, vói m t so m t so giả thiet, có the ngȁu nhiên hóa định lý điem bat đ ng cho ánh xạ tat định Tuy nhiên, đieu ki n đe có the ngȁu nhiên hóa đưoc định lý điem bat đ ng ánh xạ tat định mà tác giả trưóc đưa thưịng phức tạp, nhieu khó ví dụ ve toán tử ngȁu nhiên thỏa mãn đieu ki n Trong mục tiep theo, chúng tơi trình bày ket ve toán điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên Các ket ve toán điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên trưòng hop đ c bi t phương trình tốn tử ngȁu nhiên mà đưoc trình bày mục Vói đieu ki n tốn tr ngȁu nhiên đo xác định không gian Polish, neu quỹ đạo tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên Từ đó, nh n đưoc ket tác giả trưóc trưịng hop đ c bi t Ngồi ra, khái ni m tốn tr hồn tồn ngȁu nhiên đưoc trình bày Vói khái ni m đó, chúng tơi trình bày tốn tử ngȁu nhiên m t cách tồn cục (khơng theo quỹ đạo) Trong phan này, chúng tơi trình bày định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát cho toán tử ngȁu nhiên đơn trị Như minh hoa cho định lý đó, phiên ngȁu nhiên m t so định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định đưoc đưa Trong năm gan đây, toán điem xap xỉ tot nhat ánh xạ tat định m t hưóng nghiên cứu thu hút đưoc sụ quan tâm nhieu tác giả, nhieu ket ve sụ ton thu t toán tìm điem xap xỉ tot nhat đưoc đưa Trong phan này, đưa khái ni m điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat, phiên ngȁu nhiên khái ni m điem xap xỉ tot nhat Dụa vào ket ve phương trình tốn tử ngȁu nhiên, chúng tơi trình bày m t so đieu ki n đủ đe m t toán tử ngȁu nhiên có điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat Định nghĩa 2.2.1 Cho X không gian metric, C t p đóng X f : Ω × C → X toán tử ngȁu nhiên (a) Ta nói với hau het ω, f (ω, ) có điem bat đ ng neu ton t p D có xác suat cho vói mői ω ∈ D ánh xạ tat định x ›→ f (ω, x) có điem bat đ ng (b) Bien ngȁu nhiên ξ : Ω → C đưoc goi điem bat đ ng ngȁu nhiên f neu f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c Neu tốn tử ngȁu nhiên f có điem bat đ ng ngȁu nhiên ξ vói hau het ω, ξ(ω) điem bat đ ng toán tử tat định x ›→ f (ω, x) Do đó, neu tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên vói hau het ω, quỹ đạo x ›→ f (ω, x) có điem bat đ ng tat định Tuy nhiên, ngưoc lại chưa chac Chȁng hạn, vói f đưoc định nghĩa Ví dụ 2.1.3, vói mői ω, u(ω) = ω điem bat đ ng tat định nhat quỹ đạo x ›→ f (ω, x) Tuy nhiên toán tử ngȁu nhiên f khơng có điem bat đ ng ngȁu nhiên, u(ω) = ω khơng ánh xạ đo đưoc vói σ-đại so ví dụ Định nghĩa 2.2.2 Cho X không gian metric, C t p đóng X f , h : Ω × C → X toán tử ngȁu nhiên (a) Ta nói với hau het ω, f (ω, ) h(ω, ) có điem bat đ ng chung neu ton t p D có xác suat cho vói mői ω ∈ D ánh xạ tat định x ›→ f (ω, x) x ›→ h(ω, x) có điem bat đ ng chung (b) Bien ngȁu nhiên ξ : Ω → C đưoc goi điem bat đ ng ngȁu nhiên chung f h neu f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) = h(ω, ξ(ω)) h.c.c Định lý sau cho m t đieu ki n đủ đe đảm bảo neu quỹ đạo tốn tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng tốn tử có điem bat đ ng ngȁu nhiên Định lý 2.2.3 Cho X không gian Polish, C t p đóng X f , h : Ω × C → X tốn tr ngȁu nhiên đo Khi đó: (1) Tốn tr ngȁu nhiên f có điem bat đ ng ngȁu nhiên với hau het ω, toán tr tat định f (ω, ) có điem bat đ ng (2) Hai tốn tr ngȁu nhiên f h có điem bat đ ng ngȁu nhiên chung với hau het ω, toán tr tat định f (ω, ) h(ω, ) có điem bat đ ng chung Chŕng minh (1) Áp dụng Định lý 2.1.4 cho phương trình ngȁu nhiên f (ω, x) = g(ω, x), vói g : Ω × C → X toán tử ngȁu nhiên xác định bỏi g(ω, x) = x vói moi ω ∈ Ω, x ∈ C (2) Áp dụng Định lý 2.1.14 cho phương trình ngȁu nhiên R(ω, x) ∩ S (ω, x) ∩ T (ω, x) ≠ ∅, vói R, S , T : Ω × C → C(X) toán tử ngȁu nhiên đa trị xác định bỏi R(ω, x) = { f (ω, x)}, S (ω, x) = {x} T (ω, x) = {h(ω, x)} vói moi ω ∈ Ω, x ∈ C □ Đ c bi t, vói tốn tử ngȁu nhiên liên tục ta có: H qua 2.2.4 Cho X không gian Polish, C t p đóng X f , h : Ω × C → X toán tr ngȁu nhiên liên tnc Khi đó: (1) Tốn tr ngȁu nhiên f có điem bat đ ng ngȁu nhiên với hau het ω, toán tr tat định f (ω, ) có điem bat đ ng (2 ) Hai tốn tr ngȁu nhiên f h có điem bat đ ng ngȁu nhiên chung với hau het ω, toán tr tat định f (ω, ) h(ω, ) có điem bat đ ng chung Chŕng minh Vì f , h tốn tử ngȁu nhiên liên tục nên từ Định lý 1.2.13 suy f , h toán tử ngȁu nhiên đo đưoc Theo Định lý 2.2.3 ta có đieu phải chứng minh □ Nh n xét 2.2.5 Khȁng định Định lý 2.2.3 mỏ r ng [13, Định lý 1], theo hưóng loại bỏ bót đieu ki n ve khơng gian tốn tử ngȁu nhiên f Theo Định lý 2.2.3, mői định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định đơn trị sinh m t định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên cho toán tử ngȁu nhiên đơn trị Các định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên sau minh hoa cho Định lý 2.2.3, chúng phiên ngȁu nhiên định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định tương ứng Định lý 2.2.6 Cho X không gian Polish f : Ω × X → X tốn tr ngȁu nhiên đo thóa mãn đieu ki n co sau: Với mői ω ∈ Ω d( f (ω, x), f (ω, y)) ≤ α(ω) max{d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y)} +β(ω) max d(x, y), d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y)), [d(x, f (ω, y)) + d(y, f (ω, x))] +γ(ω)[d(x,>f (ω, y)) + d(y, f (ω, x)] với moi x, y ∈ X α, β, γ : Ω → (0; 1) ánh xạ thóa mãn α(ω) + β(ω) + 2γ(ω) = với moi ω ∈ Ω Khi f có điem bat đ ng ngȁu nhiên nhat Chŕng minh Vói mői ω, theo Định lý 1.3.2, f (ω, ) có điem bat đ ng nhat Theo Định lý 2.2.3, f có điem bat đ ng ngȁu nhiên nhat □ Định lý 2.2.7 Cho K t p khác rőng, compact loi không gian Banach ly X; f , g : Ω × K → K toán tr ngȁu nhiên tr K vào K, f tốn tr liên tnc, g tốn tr khơng giãn theo nghĩa: Với mői ω ta có ǁg(ω, x) − g(ω, y)ǁ ≤ ǁx − yǁ với moi x, y ∈ K Neu với mői ω ánh xạ f (ω, ) g(ω, ) giao hốn tốn tr ngȁu nhiên f g có điem bat đ ng ngȁu nhiên chung Chŕng minh Vói mői ω, theo Định lý 1.3.4, f (ω, ) g(ω, ) có điem bat đ ng chung z(ω) ∈ K Theo Định lý 2.2.3, tốn tử ngȁu nhiên f g có điem bat đ ng ngȁu nhiên chung ξ = ξ(ω) □ Trong phan cịn lại mục này, trình bày khái ni m điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat , m t mỏ r ng khái ni m điem bat đ ng ngȁu nhiên phiên ngȁu nhiên khái ni m điem xap xỉ tot nhat giải tích tat định Các ket ve điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat đưoc tác giả công bo báo [4] Cho A, B hai t p đóng khác rőng khơng gian metric (X, d) Vói ánh xạ f : A → B nhìn chung ta có inf d(x, f (x)) ≥ d(A, B) x∈A Giả sử ton x0 ∈ A cho d(x0, f (x0)) = d(A, B) Khi đó, x0 m t điem xap xỉ tot nhat ánh xạ f Neu A ∩ B ≠ ∅ d(A, B) = nên điem xap xỉ tot nhat x0 trỏ thành điem bat đ ng f Như v y, khái ni m điem xap xỉ tot nhat m t mỏ r ng khái ni m điem bat đ ng Bây giò đưa khái ni m điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat cho trưịng hop tốn tử ngȁu nhiên Định nghĩa 2.2.8 Cho A, B hai t p đóng khác rőng khơng gian metric (X, d) f : Ω × A → B toán tử ngȁu nhiên từ A vào B Bien ngȁu nhiên ξ : Ω → A đưoc goi điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat toán tử f neu d(ξ(ω), f (ω, ξ(ω))) = d(A, B) h.c.c Tương tụ trưòng hop tat định, điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat toán tử ngȁu nhiên f trỏ thành điem bat đ ng ngȁu nhiên f neu A ∩ B ≠ ∅ Nhìn chung, quỹ đạo tốn tử ngȁu nhiên f có điem xap xỉ tot nhat khơng kéo theo tốn tử ngȁu nhiên f có điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat Định lý 2.2.9 sau cho m t đieu ki n đủ đe đảm bảo sụ ton điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat quỹ đạo tốn tử ngȁu nhiên có điem xap xỉ tot nhat Định lý 2.2.9 Cho A, B hai t p đóng khác rőng khơng gian Polish X f : Ω × A → B toán tr ngȁu nhiên đo Neu ton t p D có xác suat cho với mői ω ∈ D ánh xạ f (ω, ) : A → B có điem xap xỉ tot nhat tốn tr ngȁu nhiên f có điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat Chŕng minh Ta xác định ánh xạ ϕ : Ω × A → R theo cơng thức ϕ(ω, x) = d(x, f (ω, x)) vói mői x ∈ A, ω ∈ Ω Do f toán tử ngȁu nhiên đo đưoc nên theo Bo đe 1.2.3 ϕ tốn tử ngȁu nhiên đo đưoc Do vói mői ω ∈ D ánh xạ f (ω, ) : A → B có điem xap xỉ tot nhat nên phương trình ngȁu nhiên f (ω, x) = d(A, B) có nghi m tat định vói hau het ω Theo Định lý 2.1.4, ton bien ngȁu nhiên ξ : Ω → A nghi m ngȁu nhiên phương trình f (ω, x) = d(A, B); nghĩa d(ξ(ω), f (ω, ξ(ω))) = d(A, B) h.c.c Do v y, ξ điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat toán tử ngȁu nhiên f □ H qua 2.2.10 Cho A, B hai t p đóng khác rőng khơng gian Polish X f : Ω × A → B toán tr ngȁu nhiên liên tnc Neu ton t p D có xác suat cho với mői ω ∈ D ánh xạ f (ω, ) : A → B có điem xap xỉ tot nhat tốn tr ngȁu nhiên f có điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat Chŕng minh Vì f toán tử ngȁu nhiên liên tục nên theo Định lý 1.2.13 f toán tử ngȁu nhiên đo đưoc Từ Định lý 2.2.9 ta có đieu phải chứng minh □ Sau đây, m t minh hoa cho Định lý 2.2.9, ta đưa phiên ngȁu nhiên Định lý 1.3.11 Định lý 2.2.11 Cho A, B hai t p compact khác rőng không gian Polish (X, d); f : Ω × A → B g : Ω × B → A toán tr ngȁu nhiên cho: Với mői ω ∈ Ω (1) ánh xạ tat định x ›→ f (ω, x) y ›→ g(ω, y) có tính co (2) với x ∈ A y ∈ B, neu d(x, y) > d(A, B) d( f (ω, x), g(ω, y)) < d(x, y) Khi đó, tốn tr ngȁu nhiên f g có điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat Hơn nra, với mői x0 co định thu c L0A(Ω), đ t x2n+1 = f (ω, x2n), x2n = g(ω, x2n−1) (n ≥ 0) Khi đó, dãy bien ngȁu nhiên (x2n) h i tn h.c.c ve điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat f dãy bien ngȁu nhiên (x2n+1) h i tn h.c.c ve điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat g Chŕng minh Từ giả thiet suy f g toán tử ngȁu nhiên liên tục Vói mői ω ∈ Ω, theo Định lý 1.3.11, ánh xạ x ›→ f (ω, x) y ›→ g(ω, y) có điem xap xỉ tot nhat Do đó, theo H 2.2.10, toán tử ngȁu nhiên f g có điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat Theo Định lý 1.2.13, x2n x2n+1 bien ngȁu nhiên Vói mői ω ∈ Ω, theo Định lý 1.3.11, dãy (x2n(ω)) h i tụ ve điem xap xỉ tot nhat f (ω, ), dãy (x2n+1(ω)) h i tụ ve điem xap xỉ tot nhat g(ω, ) Do đó, dãy bien ngȁu nhiên (x2n) h i tụ h.c.c ve điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat f dãy bien ngȁu nhiên (x2n+1) h i tụ h.c.c ve điem xap xỉ ngȁu nhiên tot nhat g □ Ket lu n Lu n văn “M t so ket ve điem bat đ ng toán tr ngȁu nhiên đơn trị” t p trung vào vi c trình bày n i dung sau: • M t so ket ve khơng gian xác suat: bien ngȁu nhiên, m t so dạng h i tụ dãy bien ngȁu nhiên M t so ket ve ánh xạ đa trị, toán tử ngȁu nhiên M t so ket ve điem bat đ ng tốn tử tat định • Đưa đieu ki n đảm bảo m t phương trình ngȁu nhiên có nghi m tat định vói hau het ω có nghi m ngȁu nhiên Trình bày m t so đieu ki n đủ đe phương trình ngȁu nhiên có nghi m ngȁu nhiên • Định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong quát mỏ r ng nhieu định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên tong qt tác giả trưóc Trình bày phiên ngȁu nhiên m t so định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định Tài li u tham khao Tieng Vi t [1] Đ ng Hùng Thang (2006), Q trình ngȁu nhiên tính toán ngȁu nhiên, Nhà xuat Đại hoc Quoc gia Hà N i [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giái tích hàm, NXB ĐH Quoc gia HN Tieng Anh [3] Anh T N (2010), "Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations", Vietnam J Math 38 (2), pp 227–235 [4] Anh T N (2011), "Common random fixed points of random operators", submitted [5] Anh T N (2011), "Random equations and applications to general random fixed point theorems", New Zealand J Math 41, 17–24 [6] Bharucha Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York and London [7] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers [8] Hans O (1957), "Random fixed point theorems", Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 [9] Sehgal V M., Waters C (1984), "Some random fixed point theorems for condensing operators", Proc Amer Math Soc 90 (3), pp 425–429 [10] Tan K K., Yuan X Z (1993), "On deterministic and random fixed points", Proc Amer Math Soc 119 (3), pp 849–856 [11] Thang D H., Anh T N (2010), "On random equations and applications to random fixed point theorems," Random Oper Stoch Equ 18, pp 199– 212 [12] Thang D H., Anh T N (2010), "Some results on random equations", Vietnam J Math 38 (1), pp 35–44 [13] Xu H K (1990), "Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators", Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395–400 [14] Yuan X Z., Lou X., Li G (1996), "Random approximations and fixed point theorems", J Approx Theory, 84, pp 172–187 ... n văn thạc sĩ Toán hoc, tác giả t p trung trình bày lại ket nghiên cứu ve điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên đơn trị N i dung lu n văn bao gom phương trình tốn tử ngȁu nhiên điem bat đ ng toán tử. .. đưoc goi toán tr ngȁu nhiên từ X vào Y neu vói mői phan tử x ∈ X ánh xạ ω ›→ f (ω, x) m t bien ngȁu nhiên Y-giá trị Toán tử ngȁu nhiên từ X vào X đưoc goi toán tr ngȁu nhiên X Toán tử ngȁu nhiên. .. khơng gian tốn tử ngȁu nhiên f Theo Định lý 2.2.3, mői định lý điem bat đ ng cho toán tử tat định đơn trị sinh m t định lý điem bat đ ng ngȁu nhiên cho toán tử ngȁu nhiên đơn trị Các định lý