Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thơng qua dạy học giải tốn bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki Practice creative thinking for high school students teaching through solving the inequality Cauchy and Bunhiacoxk NXB H : ĐHKT, 2012 Số trang 77 tr + Ngô Thị Chung Trường Đại học Quốc gia Hà Nội; Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận phương pháp dạy học (bộ mơn Tốn); Mã số: 60 14 10 Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Thành Văn Năm bảo vệ: 2012 Abstract Làm rõ sở lí luận tư duy, tư sáng tạo rèn tư Xây dựng hệ thống tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải số tốn bất đẳng thức Cơ si bất đẳng thức Bunhiacopxki Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Keywords: Toán học; Phương pháp giảng dạy; Tư sáng tạo; Bất đẳng thức côsi; Bất đẳng thức Bunhiacopxki Content MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nước ta giai đoạn cơng nghiệp hóa, đại hóa hội nhập với cộng đồng quốc tế Trong nghiệp đổi toàn diện đất nước, đổi giáo dục trọng tâm phát triển Nhân tố định thắng lợi cơng cơng nghiệp hóa, đại hóa hội nhập quốc tế người Cơng đổi địi hỏi nhà trường phải tạo người lao động động, sáng tạo để làm chủ đất nước, tạo nguồn nhân lực cho xã hội phát triển Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 quy định “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học, bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên.” [13] Vấn đề rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh nhiều người quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, việc khai thác ứng dụng lí luận vào thực tế giảng dạy mơn tốn trường phổ thơng nước ta cịn nhiều hạn chế Bất đẳng thức lĩnh vực khó chương trình tốn phổ thơng phần tốn sơ cấp đẹp thú vị Trong kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, toán bất đẳng thức hay đề cập thử thách thực với thí sinh Xuất phát từ lí trên, tơi chọn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải toán bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức Bunhiacopxki” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận việc rèn tư - Nghiên cứu số kỹ áp dụng bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki vào chứng minh bất đẳng thức - Xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki - Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi đề tài, sở đưa giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ sở lí luận tư duy, tư sáng tạo rèn tư duy,xây dựng hệ thống tập có nội dung thuận lợi cho việc rèn tư duy, thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nội dung bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức Bunhiacopxki chương trình Tốn THPT Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki với nội dung kiến thức phong phú, sâu sắc GV biết khai thác triệt để tập để rèn luyện tư cho HS (rèn lực quan sát, rèn thao tác tư duy, rèn lực tư độc lập, sáng tạo,… ) lực tư HS phát triển Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu tài lí luận tư duy, tư sáng tạo tư toán học - Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan đến bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki Nghiên cứu thực tiễn - Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm dạy theo chủ đề - Phỏng vấn, điều tra ý kiến học sinh, giáo viên việc dạy học phần - Thực nghiệm sư phạm thống kê Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Cơ sở lí luận thực tiễn Chương Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải số tốn bất đẳng thức Cơ si bất đẳng thức Bunhiacopxki Chương Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tƣ tƣ sáng tạo 1.1.1 Tư 1.1.1.1 Định nghĩa Tư trình tâm lý phản ánh thuộc tính, chất mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật hiên tượng thực khách quan mà trước ta chưa biết [11] Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lí luận Tư xuất q trình hoạt động sản xuất xã hội người đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật Tư tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người tư người thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết tư ghi nhận ngơn ngữ Tiêu biểu cho tư q trình trừu tượng hóa, phân tích tổng hợp Kết trình tư ý nghĩ đó.” 1.1.1.2 Các thao tác tư a Phân tích: q trình tách vật, tượng tự nhiên thực với dấu hiệu thuộc tính chúng mối liên hệ quan hệ chúng theo hướng xác định b Tổng hợp: hoạt động nhận thức phản ánh tư biểu việc xác lập tính thống phẩm chất, thuộc tính yếu tố vật nguyên vẹn có việc xác định phương hướng thống xác định mối liên hệ, mối quan hệ yếu tố vật nguyên vẹn việc liên kết liên hệ chúng thu vật tượng nguyên vẹn c So sánh: q trình dùng trí óc để xác định giống hay khác nhau, đồng hay không đồng nhất, hay không vật, tượng thực Trong hoạt động tư học sinh so sánh giữ vai trị tích cực d Trừu tượng hóa khái qt hóa: trừu tượng hóa q trình dùng trí óc để gạt bỏ mặt, thuộc tính, mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, khơng cần thiết phương diện giữ lại yếu tố cần thiết để tư Khái qt hóa q trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác thành nhóm, loại theo thuộc tính, mối liên hệ, quan hệ chung dịnh Những thuộc tính bao gồm hai loại: thuộc tính giống thuộc tính chung chất 1.1.2 Tư sáng tạo 1.1.2.1 Khái niệm tư sáng tạo Theo định nghĩa từ điển sáng tạo tìm mới, cách giải vấn đề khơng gị bó phụ thuộc vào có Nội dung sáng tạo gồm hai ý có tính (khác cũ, biết) có lợi ích (giá trị cũ) Có nhiều quan điểm khác tư sáng tạo qua định nghĩa tác giả nhận thấy nét phổ biến tư sáng tạo tư sáng tạo Có thể nói đến tư sáng tạo học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh chưa biết đến Bắt đầu từ tình gợi vấn đề, tư sáng tạo giải mâu thuẫn tồn tình với hiệu cao, thể tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi vẻ đẹp giải pháp 1.1.2.2 Một số yếu tố đặc trưng tư sáng tạo Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo tư lực dễ dàng từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư sang thao tác tư khác, vận dụng linh hoạt hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa phương pháp suy luận để dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ gặp trở ngại Tính nhuần nhuyễn Tính nhuần nhuyễn tư thể lực tạo cách nhanh chóng tổ hợp yếu tố riêng lẻ tình huống, hồn cảnh, đưa giả thuyết Tính nhuần nhuyễn đặc trưng khả tạo số lượng định ý tưởng Số ý tưởng nghĩ xàng nhiều có nhiều khả xuất ý tưởng độc đáo, trường hợp số lượng làm nảy sinh chất lượng Tính độc đáo Tính độc đáo tư đặc trưng khả năng: khả tìm tượng kết hợp mới, khả nhìn mối liên hệ kiện mà bên ngồi liên tưởng khơng có liên hệ với nhau, khả tìm giải pháp lạ biết giải pháp khác Tính hồn thiện Tính hoàn thiện khả lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩ hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra kiểm chứng ý tưởng Tính nhạy cảm vấn đề Tính nhạy cảm vấn đề có đặc trưng sau: khả nhanh chóng phát vấn đề, khả phát mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu từ có nhu cầu cấu trúc lại, tạo 1.1.2.3 Một số việc cần làm để phát triển tư toán học cho học sinh Chú trọng bồi dưỡng yếu tố cụ thể tư sáng tạo Sử dụng loại câu hỏi tập tác động đến yếu tố tư sáng tạo như: tập có cách giải riêng đơn giản việc áp dụng cơng thức tổng qt, tập có nhiều lời giải khác đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp sang phương pháp khác, tập có vấn đề thuận nghịch liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành liên tưởng ngược xảy đồng thời với việc hình thành liên tưởng thuận, tốn khơng theo mẫu, khơng đưa loại giải tốn cách áp dụng định lí, quy tắc chương trình… Bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả phát vấn đề, khơi dậy ý tưởng Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, giáo viên đưa tình có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tịi, dự đốn quy luật giới khách quan, tự phát phát biểu vấn đề, dự đốn kết quả, tìm hướng giải toán, hướng chứng minh định lý Về thực hành giải toán, cần coi trọng tập chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát vấn đề giải vấn đề Bồi dưỡng tư sáng tạo cần kết hợp hữu với hoạt động trí tuệ khác Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn tư duy, học sinh cần luyện tập thường xuyên lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng nhiều khía cạnh khác mối quan hệ khác Ta luyện tập cho học sinh khái quát hóa tài liệu tốn học, tạo khả tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác nhau, khả tìm mối liên hệ kiện bên ngồi tưởng khơng có liên hệ với nhau, khả tìm giải pháp lạ 1.1.3 Vị trí chức vai trị tập tốn học 1.1.3.1 Vị trí Bài tập tốn học có vai trị đặc biệt quan trọng mơn Tốn trường phổ thơng Giải tập tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Thông qua giải tập, HS phải thực hoạt động nhận dạng, thể khái niệm, định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ chung, hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học 1.1.3.2 Chức vai trị tập toán học Chức tập toán học là: dạy học, giáo dục, phát triển kiểm tra Vai trị tập tốn thể ba mặt: mục đích, nội dung phương pháp trình dạy học Cụ thể là: mặt mục đích dạy học: tập tốn thể chức khác hướng đến việc thực mục đích dạy học mơn tốn hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ ứng dụng toán học giai đoạn khác q trình dạy học, phát triển lực trí tuệ chung, hình thành, bồi dưỡng giới quan vật biện chứng phẩm chất đạo đức người lao động Về mặt nội dung dạy học, tập toán phương tiện để cài đặt nội dung dạng tri thức hoàn chỉnh hay yếu tố bổ sung cho tri thức học phần lý thuyết Về mặt phương pháp dạy học, tập toán giá mang hoạt động để HS kiến tạo nội dung định sở thực mục đích dạy học khác 1.1.4 Các quy trình giải tốn theo bốn bước Polya Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung tốn Bƣớc 2: Tìm cách giải Bƣớc 3: Trình bày lời giải Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải Tóm tắt chƣơng Chương trình bày số vấn đề thuộc lí luận tư duy, tư sáng tạo, yếu tố đặc trưng tư sáng tạo phương pháp giải tập toán Dựa lí luận trên, tơi xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh dạy học bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki trường THPT trình bày chương CHƢƠNG RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 2.1 Bất đẳng thức Côsi 2.1.1 Bất đẳng thức Côsi: Với n số không âm a1 , a2 , , an (n  2) , ta có: a1  a2   an n  a1.a2 an Đẳng thức xảy n Trong trường hợp n  , bất đẳng thức Cơsi có dạng:  a1  a2   an ab  ab , a  0, b  Một số hệ thường sử dụng: 1, 2, 1   , a  0, b  a b ab ab  ab  , a  0, b  1  a b 3,  a  b2    a  b  , a  0, b  Trong trường hợp n  , bất đẳng thức Cơsi có dạng: abc  abc , a  0, b  0, c  Một số hệ thường sử dụng:  1, Cho a, b, c   ,  a  b  b  c  c  a   8abc  2, Cho a, b, c   , a  b  c  ab  bc  ca 2  3, Cho a, b, c   , ab  bc  ca  a bc  b ca  c ab 1 a b c 1   ab ca bc  4, Cho a, b, c   ,    1 1 a b c  5, Cho a, b, c   ,  a  b  c       2.1.2 Một số kĩ thuật thường sử dụng 2.1.2.1 Kĩ thuật cân hệ số 3 Ví dụ 1: Với a, b, c  thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a  b  c  Chứng minh: Ta có: a3  b3  3 Tương tự: b  c  3 3  3 a3b3  3bc, c3  a  3 3  3ab  3ab  3ca Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:  a  b3  c   1   ab  bc  ca     a3  b3  c3      a  b3  c  3 3 Dấu xảy a  b  c  Ví dụ 2: Với a, b, c  Chứng minh 3 ab  bc  ac   2a  b  c Phân tích định hướng lời giải Biểu thức dấu bậc tích thừa số Để sử dụng BĐT Côsi ta cần viết: ab  ab.1, bc  bc.1, ca  ca.1 Nói khác đi, ta thêm vào thừa số ( số ) Khi đó, theo BĐT Cơsi, ta có: a  b 1 b  c 1 c  a 1 , bc  , ca  Cộng vế với vế BĐT trên, ta được: 3 3 ab  ab.1  ab  bc  ca  2a  b  c  Từ ta điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Từ hai ví dụ trên, ta xây dựng phương pháp giải cho dạng toán sau: Bước 1: Cho a  b  c , thay vào điều kiện để xác định a, b, c Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi với n  2,3, 4,5 với số hạng số xác định bước để mô tả điều kiện biểu thức cần chứng minh Ví dụ 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c3 Phân tích định hướng lời giải Giả sử a  b  x  0, c  y  P đạt giá trị nhỏ Khi x  y  Đến đây, sử dụng BĐT Cơsi, ta có: a  x  2ax, b  x  2bx, c  y  y  y c 2 2 3 Cộng BĐT lại, ta được: a  b  c3   x  y  x  a  b   y c  P   x  a  b   y 2c   x  y   Khi đứng trước toán, điều mà ta mong muốn để tận dụng tối đa giả thiết đề Do đó, ý tưởng toán chọn số x, y thích hợp cho ta sử dụng giả thiết Muốn hệ số a  b c phải nhau, tức x  y Vậy điểm rơi thật tốn nghiệm hệ phương trình 2 x  y   2 x  y Giải hệ này, ta x  19  37 37 1 ,y 12 Khi đó: P   x  a  b   y 2c   x  y  x  x  y    19  37   19  37   37   541  37 37  6   2   2  12   12      108       Đẳng thức xảy a  b  x  19  37 37  ,c  y  12 BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN Bài Với a, b, c thỏa mãn a3  b3  c3  Chứng minh P  a5  b5  c5  Hướng dẫn: Ta có a5  a5  a5    5a3 , b5  b5  b5    5b3 , c5  c5  c5    5c3   a5  b5  c5     a3  b3  c3   P  Bài Với a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b4  c4  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab3  bc3  ca3 Hướng dẫn a  b4  b4  b4  4ab3 , b4  c  c  c  4bc3 , c  a  a  a  4ca3  4P   P  Bài Với a  10, b  100, c  1000 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a Hướng dẫn: a  Tương tự b  1 b c a b c 99a  a  99a 99.10 101         a 100  100 a  100 100 10 1 1  100  , c   1000  b 100 c 1000 Vậy P  1110  111 đạt a  10, b  100, c  1000 1000 2.1.2.2 Kĩ thuật Côsi ngược dấu Kĩ thuật Côsi ngược dấu áp dụng dựa vào tính chất: 0 A B Khi đó, a, b  0, a  b  ab  1 1    A B A B 1 1    a  b ab a b ab Ví dụ 1: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    2 1 b 1 c 1 a Phân tích định hướng lời giải Ở tốn này, sử dụng BĐT Côsi kiểu a a ta bị ngược dấu với BĐT cần chứng  1 b 2b minh Hãy xét cách tách sau để thấy hiệu kĩ thuật Theo BĐT Côsi a ab2 ab2 ab a a a 2 1 b 1 b 2b Hoàn toàn tương tự, ta có b bc c ca b , c 2 1 c 1 a Cộng BĐT lại theo vế, ta dược: a b c ab  bc  ca ab  bc  ca    abc  3 2 1 b 1 c 1 a 2 Nếu ta ab  bc  ca  có điều cần chứng minh Điều hiển nhiên a  b  c ab  bc  ca   Vậy toán chứng minh xong Dấu xảy a  b  c  Ví dụ 2: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 a bc  2 2 2 a b b c a c Phân tích định hướng lời giải a3 ab2 ab2 b a Sử dụng BĐT Cơsi, ta có: 2  a  2  a  a b a b 2ab b3 c c3 a b , 2 c Hồn tồn tương tự, ta có BĐT sau: 2 b c c a Cộng BĐT lại ta có điều phải chứng minh BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN Bài Với x, y, z  0, xyz  Chứng minh x4 y y4 z z4x    x 1 y 1 z 1 x4 y x2 y x2 y xy  x2 y   x2 y   x2 y  x 1 x 1 2x Hướng dẫn: Sử dụng Côsi ngược dấu y4 z yz z x zx  y z ,  z2x  Tương tự, y 1 z 1 Ta cần chứng minh x y  y z  z x  xy  yz  zx Lại sử dụng Côsi kết hợp với giả thiết, ta có:  2 x2 y  x2 y  y z  3xy, y z  y z  z x  yz, z x  z x  x y  3zx Cộng BĐT theo vế ta thu điều phải chứng minh Bài Với a, b, c  0, abc  Chứng minh rằng: a  b  c  Hướng dẫn: Sử dụng phép tách 1 a 1 b 1 c   1 b 1 c 1 a b 1  a  1 a  1 a  Ta quy toán chứng minh 1 b 1 b b 1  a  c 1  b  a 1  c     1 b 1 c 1 a Điều theo BĐT Cơsi hiển nhiên Từ suy điều phải chứng minh Bài Với a, b, c  0, a  b  c  Chứng minh a b c    b  16 c  16 a  16 Hướng dẫn: Sử dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu, ta có:  1 a 1 ab3   ab3 ab3   ab   a   a   a   a     b3  16 16  b  16  16  b  23  23  16  12b  16  12  Tương tự b 1 bc  c 1 ca   b  ,  c    c3  16 16  12  a  16 16  12  Khi đó, toán quy chứng minh 1 ab  bc  ca  2 3    ab  bc  ca  16  12  Ta chứng minh BĐT mạnh ab2  bc2  ca  abc  Giả sử a  b  c Khi đó, ab2  bc2  ca  abc  b  a  c   a  b  a  b  c   b  a  c  2 1  2b   c  a    c  a   Theo BĐT Cơsi b  a  c   2b  c  a   c  a      2  Từ ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy  a, b, c    0,1,  hoán vị tương ứng 2.1.2.3 Kĩ thuật đặt ẩn phụ x2 y Ví dụ 1: Cho x, y số thực khác Chứng minh x  y2   x2 y   y x2 (ĐTTS lớp 10 phổ thông chuyên, ĐHKHTN – ĐHQGHN 2000 – 2001) Phân tích định hướng lời giải Nhìn vào tốn nhiều người nghĩ tới việc áp dụng BĐT Côsi dạng: x  y  xy   x  y   x y  x2 y x  y2  x2 y   y x2  1, Như sử dụng BĐT Cơsi tốn đánh giá mối liên hệ biểu thức cần chứng minh Để ý rằng, biểu thức cần chứng minh viết lại thành: x Đặt t   y2  x y 4x2 y x y  2 x   y2  x2 y 2  2 , toán đưa dạng biến đơn giản t   t t  5t   t  1 t    Ta có phân tích sau: t    t t t Do đó, BĐT tương đương với  t  1 t  4  t Theo BĐT Côsi, dễ thấy t   t   0, t   Từ ta  t  1 t  4  t Bài toán giải phương pháp đặt ẩn phụ Dấu đẳng thức xảy x2  y  x   y Ví dụ 2: Với x, y, z  0, x  y  z  Chứng minh  2  14 xy  yz  zx x  y  z (ĐTTS lớp 10 chuyên Trần Phú, Hải Phịng 2003 - 2004) Phân tích định hướng lời giải Để ý x2  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  Đặt t  xy  yz  zx  x  y  z   2t 2 Mặt khác, theo BĐT Cơsi xy  yz  zx  x2  y y  z z  x2    x2  y  z 2 Suy  xy  yz  zx   xy  yz  zx  xy  yz  zx   x  y  z  x  y  z  t  xy  yz  zx     3 3 Vậy với phép đặt ẩn phụ này, ta quy toán biến dạng biến đơn giản là, chứng minh   14,  t  t  2t Ta chứng minh BĐT phép biến đổi tương đương Thật vậy, BDDT tương đương với 1  2t   2t  14t 1  2t    4t  14t  28t  1  3t   t  BĐT cuối Vậy phép chứng minh hoàn tất BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN Bài Với a, b, c, d  0, ab  cd  Chứng minh  a  b  c  d     a  b  c  d  (ĐTTS lớp 10 phổ thông khiếu, ĐHQG, TP Hồ Chí Minh 2007) Hướng dẫn: Đặt x  a  b, y  c  d Bài toán quy chứng minh xy    x  y    x  2 y    Sử dụng BĐT Côsi ta dễ dàng chứng minh điều Bài Chứng minh với số thực dương a, b, c, d ta ln có: a  bc b2  ca c  ab    abc bc ca ab Hướng dẫn: Cộng vế BĐT cần chứng minh với a  b  c , ta thu được:  a  b  a  c   b  c b  a    c  a  c  b   bc ca a b Đặt x  b  c, y  c  a, z  a  b , tốn trở thành a  b  c yz zx xy    x y z x y z Áp dụng BĐT Cơsi, có: yz zx xy  yz zx   zx xy   xy yz              x y z 2 x y  2 y z  2 z x  yz zx  x y zx xy  y z xy yz  x  y  z z x Bài Chứng minh với số thực dương a, b, c, d ta ln có: a  b  c 27abc   ab  bc  ca  a  b  c Hướng dẫn: BĐT cần chứng minh tương đương với:  a  b  c 9abc  18  ab  bc  ca  a  b  c 9 3b 3b 3c 3c 3a   3a  2     abc abc abc abc abc abc  Đặt x   3a 3b 3c abc abc a bc 3a 3b 3c BĐT trở thành: ,y ,z  abc a bc a bc 3   xy  yz  zx      x  y  z    x2  y  z   x  y  z  xyz  x  y  z   xyz xyz xyz 2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 2.2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki Với dãy số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta ln có BĐT a  a2   an  b12  b2   bn    a1b1  a2b2   anbn  Đẳng thức xảy  a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn  tỉ lệ, tức tồn số thực k để  kbi , i  1, n 2.2.2 Một số hệ bất đẳng thức Bunhiacopxki Hệ Với dãy số thực a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , bi  0, i  1, n a  a  a2   an  a12 a2    n  b1 b2 bn b1  b2   bn Hệ Với dãy số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn , ta ln có a12  b12  a22  b22   an  bn   a1  a2   an   b1  b2   bn  2 Hệ Với dãy số thực a1 , a2 , , an ta có  a1  a2   an   n  a12  a22   an  2.2.3 Một số kĩ thuật thường dùng 2.2.3.1 Kĩ thuật thêm – bớt Ví dụ Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2  Chứng minh 1    2a 2b 2c Phân tích định hướng lời giải Nếu ta áp dụng BCS trực tiếp thông thường 1    2a 2b 2c 2a  2b 2c phản tác dụng  , mà ta cần chiều ngược lại Ta 2a  2b 2c xem xét ý tưởng sau đây: ta tìm số n  cho số dương đánh giá chặt tốt Có thể lấy n  1 n 2  a n  , có tử số 2a 2a , ta biến đổi BĐT sau: 1  1  1 a b c             2a 2b 2c  2a   2b   2c  Ta sử dụng bất đẳng thức BCS cho giả thiết toán sử dụng tối đa, tức là:  a  b2  c  a b c a4 b4 c4        a  b  c a   a  b3   b  c   c  a   a   b   b   c   c  Từ ta đưa tốn chứng minh:   a3  b3  c3    a  b4  c  Chứng minh BĐT đơn giản cách áp dụng Côsi sau: 2a3  a   a  a   a  a Cộng BĐT với BĐT tương tự sử dụng giả thiết toán ta thu BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN Bài Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a b c ab  bc  ca     b  c c  a a  b a  b2  c 2 Hướng dẫn: biến đổi BĐT cho sau a   b   c  ab  bc  ca  1    1    1    2  bc   ca   ab  a b c a  b  c bc a c  a b a b c     bc ca ab  a  b2  c2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: b  c  a  b  c  a    c  a  b    a  b  c     a  b  c  bc    a  b2  c   b  c  b  c  a  Dấu đẳng thức xảy a  b  c Bài Với a, b, c, d số thực dương Chứng minh a b bc cd d a     a  2b  c b  2c  d c  2d  a d  2a  b Hướng dẫn: điều phải chứng minh tương đương với: 1  bc 1  cd 1  d a 1  a b        2   a  2b  c   b  2c  d   c  2d  a   d  2a  b  3a  c 3b  d 3c  a 3d  b      a  2b  c b  2c  d c  2d  a d  2a  b Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:   3a  c   16   a  3a  c   a  2b  c   3a  c  a  2b  c   a  b  c  d     2 Đẳng thức xảy a  c, b  d 2.2.3.2 Kĩ thuật đổi biến Thông thường, với bất đẳng thức biến a, b, c , phép đổi biến sau hay sử dụng: 1 1  a, b, c    , ,  , a b c  ka kb kc   a, b, c    , ,  ,  b c a  kb kc ka   a, b, c    , ,  ,  a b c   ka kb kc   a, b, c    , , ,  bc ac ab   kbc kca kab   a, b, c    , ,   a b c  Ví dụ 2: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3    a3  abc  b3 b  abc  c3 c  abc  a Phân tích định hướng lời giải Đây bất đẳng thức hoán vị với biến a, b, c Việc áp dụng bất đẳng thức a3 Bunhiacopxki kiểu thông thường   a  abc  b3 a  b  c   a  a  abc  b  2 2 3 không cho ta kết mong muốn Bằng cách xét trường hợp ví dụ trước, ta thấy phép biến đổi thứ thích hợp cho toán Đổi biến a, b, c b c a , , (vì bất đẳng thức cho nên ta a b c khơng cần có hệ số k), ta được: b6 c6 a6    b6  a3b3  c3a3 c6  b3c3  a3b3 a  c3a3  b3c3  b3  c  a   b6 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:   b  a3b3  c3a3  b6  a3b3  c3a BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh 1    a  1 a    b  1 b    c  1 c   Hướng dẫn: đặt a   yz zx xy , b  , c  , x, y, z  Bất đẳng thức cho trở thành x y z x4   x2  yz  x2  yz   Sử dụng BĐT Bnhiacopxki, ta có: VT  x   2x  y2  z2   yz  x  yz  Do đó, ta cần chứng minh được:  x  y  z     x  yz  x  yz  Khai triển rút gọn bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh 1  a  Hướng dẫn: đặt a   1  b   1  c   2  1  a 1  b 1  c  yz zx xy , b  , c  , x, y, z  Bất đẳng thức cho trở thành x y z  x x4  yz  2 x2 y z  1  x  yz  y  zx  z  xy  Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x  x x4  yz   yz    x  y  x  z   x x4  y  x  z   1 2x2 y z  x2  y  x  z  y  z  Ta cần chứng minh được:  x2  y  x2  z  y  z    x2  yz  y  zx  z  xy  Bất đẳng thức x  yz  x  y  x  z  Đẳng thức xảy a  b  c  2.3 Các toán sáng tạo bất đẳng thức Bài toán gốc 1: Với a, b  0, a  b  Chứng minh F  a  b  Chứng minh: Ta có F  ab  Đặt t  ab ,  t  ab  Các toán sáng tạo 1   a b Dấu xảy a  b ab F 1 ab   t   4t   3t  4t    F   t t t 2 2 Bài Với a, b  0, a  b  Chứng minh a  b  Hướng dẫn: đặt P  a  b  Đặt t  ab ,  t  1  9 a b 1 P    P  ab    ab  a b ab ab Khi đó, P 1 1 15  t   4t  4t  4t  4t   15t  6 4t.4t.4t.4t  15t  12   P  t t 2t 2t Bài toán gốc 2: Với a, b, c  , chứng minh a3 b3 c3 a bc  2  2  2 a  b  ab b  c  bc c  a  ac Hướng dẫn:  a  b  b  c    c  a    a  b3 b3  c c3  a3  2    P  Q a  b  ab b  c  bc c  a  ac Trong đó, P a3 b3 c3 b3 c3 a3  2  2 ,Q  2  2  2 a  b2  ab b  c  bc c  a  ac a  b  ab b  c  bc c  a  ac  2P  P  Q  a  b3 b3  c c3  a3  2  2 a  b2  ab b  c  bc c  a  ac a  b2  ab a  b3 ab   2  Ta có: a  b  ab a  b  ab Vậy P  a  b b  c c  a 2a  b  c abc    P 3 3 Các toán sáng tạo Bài Với a, b, c  , chứng minh a3 b3 13 a  b 1    2 a  b  ab b  b  a  a  Hướng dẫn: chứng minh tương tự toán gốc với c=1 Bài Với a, b, c  , chứng minh a3 b3  a2  a ab    2 a  b  ab b  b   a  a  1 Hướng dẫn: cộng vào vế, ta bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a3 b3 13 a  b 1    2 a  b  ab b   b a  a  Từ ta đưa toán với tốn gốc Tóm tắt chƣơng Trong chương đưa hệ thống tập bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki với dẫn dắt, giảng giải chi tiết dạng tập nhằm gợi động cơ, tạo hứng thú, kích thích tư em, từ em bớt bỡ ngỡ gặp toán chứng minh bất đẳng thức Đặc biệt phần sáng tạo bất đẳng thức thể mục tiêu lấy người học làm trung tâm Với yêu cầu xây dựng toán từ toán gốc thực rèn luyện tính nhạy bén tư duy, từ em tiếp thu tri thức cách tự nhiên ln có cảm giác khám phá tri thức CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm đánh giá tính khả thi hiệu biện pháp rèn tư sáng tạo cho học sinh THPT thong qua việc giải toán bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức Bunhiacopxki trình bày luận văn 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm Dạy thử số thuộc nội dung nghiên cứu, tiến hành kiểm tra nội dung vừa dạy thử Đánh giá kết thực nghiệm 3.2 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm Dùng phương pháp thực nghiệm đối chứng, dạy thử số tiết theo phương pháp đề xuất luận văn tiến hành kiểm tra nội dung số lớp 12 thuộc trường THPT Yên Phong số 3.3 Nội dung thực nghiệm sƣ phạm 3.3.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm + Lớp thực nghiệm lớp 12A1 12A3 trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh + Lớp đối chứng lớp 12A2 12A4 trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh Cả lớp giáo viên có trình độ chun mơn vững vàng giảng dạy Lớp thực nghiệm lớp đối chứng có lực học tương đương 3.3.2 Đề kiểm tra x x x  12   15   20  Bài Chứng minh          3x  x  5x , x    5  4   Bài Chứng minh với a, b, c, d , ta ln có: a3 b3 c3 d3 a bcd  2 2 2 a  b2 b  c c  d d  a Bài Cho x  0, y  0, z  x  y  z  xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x4  y  z Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a2  b2  c2  Chứng minh a b c    a  2b  b  2c  c  2a  2 3.4 Những đánh giá từ kết giảng kiểm tra 3.4.1 Kết từ giảng Sau dạy xong giáo án thực nghiệm sư phạm, lấy ý kiến 15 giáo viên dự tổ toán, ý kiến học sinh lớp đối chứng thực nghiệm trường THPT Yên Phong số 2, thống kê thu kết sau: Bảng 3.1: Kết thống kê từ giáo viên tính khả thi dạy Tính khả thi dạy Kết hợp nghe giảng Thái độ học sinh có tích hoạt động học sinh khơng 15/15 0/15 Tốt 13/15 Trung Chưa bình có tốt 2/12 1/15 cực tham gia học? có khơng 13/15 2/15 3.4.2 Kết từ kiểm tra học sinh Nhìn chung, học sinh lớp thực nghiệm có kết kiểm tra cao lớp đối chứng Điều chứng tỏ học sinh lớp thực nghiệm nắm vững kiến thức, vận dụng linh hoạt làm Tỉ lệ điểm giỏi lớp thực nghiệm cao so với lớp đối chứng, cho thấy mức độ nhận thức học sinh lớp thực nghiệm sâu sắc Tóm tắt chƣơng Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh Quá trình thực nghiệm kết rút sau thực nghiệm cho thấy: thực nghiệm sư phạm, học sinh tích cực xây dựng hơn, học sinh lớp thực nghiệm có điểm kiểm tra cao lớp đối chứng Kết thực nghiệm phần cho thấy tính thiết thực, khả thi phương pháp đưa ra, mục đích thực nghiệm sư phạm hồn thành KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Luận văn thu kết sau đây: Thứ nhất, sở lí luận thực tiễn tư tư sáng tạo: đưa số khái niệm tư tư sáng tạo theo quan điểm số tác giả nước; thao tác tư tư sáng tạo; số việc cần làm để phát triển tư sáng tạo cho học sinh; vai trị tập tốn học mơn Tốn Thứ hai, xây dựng hệ thống tập, hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải tốn có nội dung bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki Phương pháp đưa bao gồm hoạt động, câu hỏi tình thích hợp nhằm gợi động cơ, tạo hứng thú, kích thích tính tích cực tìm tòi, khám phá tri thức mới, kĩ cho học sinh Thứ ba, tổ chức thực nghiệm sư phạm trường THPT Yên Phong số 2, Bắc Ninh Trong thực nghiệm sư phạm, học sinh tích cực xây dựng hơn, học sinh lớp thực nghiệm có kết kiểm tra cao lớp đối chứng Các thực nghiệm phần cho thấy tính khả thi phương pháp rèn luyện tư duy, sáng tạo cho học sinh đưa luận văn References Các tác giả Việt Nam Nguyễn Thị Phƣơng Hoa (2006), Lý luận dạy học đại, Tập giảng cho học viên cao học Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Kim Hùng (2007), Sáng tạo bất đẳng thức Nhà xuất Hà Nội, Hà Nội Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên ), Vũ Tuấn (chủ biên), Doãn Minh Cƣờng, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2009), Đại số 10 (ban bản) Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học môn Toán Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy (1992), Phương pháp dạy học mơn Tốn tập Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Phan Huy Khải (2011), Các phương pháp giải toán giá trị lớn nhất, nhỏ Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các giảng bất đẳng thức Côsi Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 (ban nâng cao) Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 10 Tôn Thân , Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi trường THCS Việt Nam, luận án phó tiến sĩ khoa học sư phạm – Tâm lí Viện khoa học giáo dục Hà Nội 11 Nguyễn Quang Uẩn (1997), Tâm lý học đại cương Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 12 Đảng cộng sản Việt Nam (2001), Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ IX Nhà xuất Chính trị Quốc gia, Hà Nội 13 Quốc hội nƣớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005), Luật Giáo dục Nhà xuất trị Quốc gia, Hà Nội Các tác giả nước 14 G Polya (1975), Sáng tạo toán học, Bản dịch tiếng Việt Nhà xuất Giáo dục Việt Nam  ... CHƢƠNG RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 2.1 Bất đẳng thức Côsi 2.1.1 Bất đẳng thức Côsi: Với... Chương Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải số tốn bất đẳng thức Cơ si bất đẳng thức Bunhiacopxki Chương Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tƣ tƣ sáng. .. tập toán Dựa lí luận trên, tơi xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh dạy học bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacopxki trường THPT trình bày chương CHƢƠNG RÈN