Rèn luyện lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình Tốn trung học phổ thơng Bùi Thị Thanh Hoa Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận phương pháp dạy học (Bộ mơn Tốn) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: TS Phạm Văn Quốc Năm bảo vệ: 2012 Abstract Hệ thống hoá làm rõ lý luận phương pháp dạy học tự học Các biểu lực tự học, kỹ tự học Điều tra, tìm hiểu thực trạng tự học 200 học sinh lớp trường THPT Hải Phịng Tìm biện pháp nhằm rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng Thực nghiệm sư phạm đánh giá kết thực nghiệm Keywords Toán học; Kỹ tự học Content MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cuộc sống ln địi hỏi người không ngừng mở rộng hiểu biết Để người học cập nhật tri thức nhân loại, hoạt động đạt hiệu tiếp tục học khơng cịn ngồi ghế nhà trường cần phải rèn luyện lực tự học thường xuyên Muốn vậy, trình dạy học phải bao hàm dạy tự học, phải biến trình dạy học thành trình tự học Người GV phải đổi phương pháp dạy học, rèn luyện lực tự học cho HS, để rút ngắn thời gian học tập lớp mà đạt hiệu cao Trong chương trình toán THPT, bất đẳng thức nội dung hay, có khả rèn luyện tốt tư cho học sinh, có nhiều ứng dụng giải tốn Tuy nhiên, số lượng tiết học lớp cịn ít, nhiều học sinh chưa biết cách tự học hiệu Vì vậy, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thông” Lịch sử nghiên cứu Chủ tịch Hồ Chí Minh người nêu cao gương sáng ngời tinh thần phương pháp tự học Bàn việc học, Bác Hồ viết: “Cách học tập, phải lấy tự học làm cốt, phải biết tự động học tập ” Những năm tám mươi, nhóm nghiên cứu GS Nguyễn Cảnh Toàn đưa phương pháp dạy – tự học Gần đây, có nhiều cơng trình nhà khoa học, nhiều luận văn thạc sĩ nghiên cứu, khai thác thêm vận dụng vào thực tế biện pháp tổ chức hoạt động tự học cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học Mục đích nghiên cứu Tìm biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình trung học phổ thơng Khách thể đối tƣợng nghiên cứu 4.1 Khách thể nghiên cứu Học sinh giáo viên trường THPT Ngơ Quyền, THPT Lê Q Đơn – Hải Phịng 4.2 Đối tượng nghiên cứu Các biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thông Câu hỏi nghiên cứu Các biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng? Giả thuyết nghiên cứu Nếu giáo viên biết gợi động học tập cho học sinh; hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu, tổng kết kiến thức; xây dựng hệ thống tập theo chủ đề cho học sinh rèn luyện lực tự học cho học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hoá phương pháp dạy học tự học, kỹ tự học, lực tự học - Tìm hiểu thực trạng tự học học sinh trường THPT Hải Phịng - Tìm biện pháp nhằm rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng - Thực nghiệm sư phạm đánh giá kết thực nghiệm Phƣơng pháp nghiên cứu 8.1 Nghiên cứu lí luận 8.2 Điều tra, quan sát 8.3 Thực nghiệm sư phạm Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn Chương 2: Các biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng Chương 3: Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Khái niệm tự học, lực tự học 1.1.1 Khái niệm tự học Có nhiều quan niệm tự học: - Theo Hồ Chủ Tịch, tự học học cách tự động - Theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Tồn: “Tự học tự động não, suy nghĩ…để chiếm lĩnh lĩnh vực hiểu biết nhân loại, biến lĩnh vực thành sở hữu mình” - Theo nghĩa từ điển: “Tự học trình chủ thể nhận thức tự hoạt động lĩnh hội tri thức rèn luyện kĩ thực hành, khơng có hướng dẫn trực tiếp giáo viên quản lí trực tiếp sở giáo dục đào tạo” 1.1.2 Ý nghĩa tự học Tự học cách hữu hiệu để chuẩn bị cho người có lực học tập suốt đời Đồng thời, phương pháp tự học cầu nối học tập nghiên cứu khoa học 1.1.3 Mối quan hệ dạy học tự học Giữa dạy học tự học tồn mối quan hệ biện chứng Thực chất mối quan hệ ngoại lực nội lực Nội lực - lực tự học yếu tố định, ngoại lực - tác động dạy thầy, môi trường xã hội thúc đẩy kìm hãm phát triển Bởi vậy, muốn thân người học phát triển cao tác động người thầy phải “cộng hưởng” với lực tự học trò 1.1.4 Những kỹ cần thiết người tự học mơn Tốn a) Đào sâu suy nghĩ, lật lật lại vấn đề, tìm ví dụ phản ví dụ, khai thác tốn, tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng qt hóa toán, Chẳng hạn, tập trung thời gian vào số lí thú, suy nghĩ đường lối giải tốn đó, b) Tự cố gắng để giải tốn, tốn có nhiều hướng giải cần suy nghĩ để tìm lời giải hay, mới, độc đáo Đồng thời, học xong chủ đề hay chương cần phải tự tổng kết vấn đề Chẳng hạn: câu hỏi phụ toán khảo sát, phương pháp chứng minh bất đẳng thức, c) Biết ghi chép sau đọc tài liệu, sách, vấn đề 1.1.5 Các biểu lực tự học học sinh 1.1.5.1 Năng lực nhận biết, tìm tịi phát vấn đề 1.1.5.2 Năng lực giải vấn đề 1.1.5.3 Năng lực tư định 1.1.5.4 Năng lực vận dụng phương pháp tư biện chứng, tư logic vào việc phát vấn đề, giải vấn đề định đúng, lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn 1.1.5.5 Năng lực đánh giá tự đánh giá 1.2 Một số hình thức tự học Có thể nêu lên ba hình thức tự học sau đây: Một là, người học tự đọc tài liệu tìm vấn đề, tự suy nghĩ, tự xoay sở giải vấn đề, tự rút kinh nghiệm khơng cần có điều khiển giáo viên Hai là, học sinh tự xếp thời gian, điều kiện vật chất để tự ôn tập, tự đào sâu tri thức tự hình thành kỹ năng, kỹ xảo theo yêu cầu giáo viên Ba là, hoạt động tự học HS diễn điều khiển trực tiếp GV 1.3 Thực trạng dạy học tự học Học sinh bị lệ thuộc vào giáo viên, biết giải dạng mà giáo viên giao cho, tổng kết kiến thức học theo quan điểm riêng Đại đa số cịn lại em khơng có khả tự học; cách học tập thụ động, thiên ghi nhớ, chịu khó suy nghĩ, khơng có khả liên kết kiến thức toán học thành hệ thống 1.4 Một số biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh - Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học học sinh - Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu, tự tổng kết tri thức, kĩ học - Xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện lực tự học cho học sinh CHƢƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 2.1 Nội dung bất đẳng thức trƣờng THPT 2.1.1 Khái niệm BĐT 2.1.2 Các tính chất BĐT 2.1.3 Một số BĐT chương trình phổ thơng 2.1.3.1 Các BĐT gốc x12m + x22m + …+ xn2m  (*) với  x1, x2,…, xn  R; m, n  N* Đẳng thức xảy khi: x1 = x2 =….= xn = 2.1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy hệ a  a  a n n Với a1, a2,…, an số thực khơng âm, ta có:  a1 a a n n Đẳng thức xảy khi: a1 =….= an 2.1.3.3 Bất đẳng thức BunhiaCôpxki hệ * Bất đẳng thức BunhiaCôpxki 2n số thực Cho hai dãy số a1, a2, …, an b1, b2,…, bn ta có (a1b1+a2b2+ …+ anbn) ≤ (a12 + a22 + …+a2n)(b12 +b22+…+b2n) Đẳng thức xảy a1 : a2 : : an  b1 : b2 : : bn  Hệ quả: Với x1, x2, , xn số dương, ta có: 2 a2  a  a   an  a1 a2    n  x1 x2 xn x1  x2   xn Đẳng thức xảy a1 : a2 : : an  x1 : x2 : : xn 2.1.3.4 Một số BĐT hình học        Cho hai véc tơ u, v ta ln có: u  v  u + v   Đẳng thức xảy u, v hướng       Cho hai véc tơ u, v ta ln có: uv  u v   Đẳng thức xảy u , v phương 2.1.3.5 Một số BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối x  0; x  x; x   x x  a  a  x  a (với a > 0)  x  a x a (với a > 0) x  a a  b  ab  a  b 2.2 Vị trí vai trị tập chứng minh bất đẳng thức Bài tập chứng minh BĐT có vai trị quan trọng mơn Tốn Điều tập có vai trị giá mang hoạt động học sinh Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, hoạt động trí tuệ phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ 2.3 Một số biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức 2.3.1 Biện pháp 1: Gợi động cơ, kích thích nhu cầu tự học học sinh Thứ nhất, GV cần tác động đến tình cảm học sinh GV bồi dưỡng cho học sinh ý chí vươn lên học tập Theo GS TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “Tự học tự động não, suy nghĩ, sử dụng lực trí tuệ …rồi động cơ, tình cảm, nhân sinh quan, giới quan (như trung thực, khách quan, có chí tiến thủ, khơng ngại khó ngại khổ, lòng say mê khoa học, ý muốn thi đỗ, biết biến khó khăn thành thuận lợi,…) để chiếm lĩnh lĩnh vực hiểu biết nhân loại, biến lĩnh vực thành sở hữu mình” Thứ hai, gợi động xuất phát từ nội toán học thực tiễn GV hướng dẫn cho HS thấy ý nghĩa mơn tốn Với phần tốn học, giáo viên hướng dẫn cho học sinh ứng dụng nội dung nội dung tốn học khác ứng dụng thực tiễn Thứ ba, yêu cầu GV phải vừa sức với đối tượng học sinh 2.3.2 Biện pháp 2: Hướng dẫn học sinh tự đọc tài liệu 2.3.2.1 Hướng dẫn HS sử dụng sách giáo khoa học bất đẳng thức Để rèn luyện phương pháp tự đọc cho học sinh, cần có hoạt động sau: - Xác định rõ mục tiêu: Đọc nội dung để nắm vấn đề gì? Trả lời câu hỏi nào? Làm việc gì? - Hoạt động làm mẫu: Giáo viên hướng dẫn lớp cách đọc, cách ghi chép chương, sách giáo khoa - Rèn luyện kỹ năng: đào sâu suy nghĩ, tự tổng kết; biết ghi chép sau đọc,… Rèn luyện lực tự đọc thông qua hệ thống câu hỏi tập giúp học sinh nhận biết lựa chọn kiến thức cần ghi nhớ, đồng thời em đánh giá kiến thức trọng tâm học Chẳng hạn, dạy “Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức” giáo viên yêu cầu học sinh đọc nội dung phần đầu ghi nội dung mà cho cần thiết giấy Sau đó, giáo viên phát cho học sinh hệ thống câu hỏi tập yêu cầu học sinh trả lời giải tập kiến thức mà em ghi lại: Câu 1: Hãy nêu tính chất bất đẳng thức? Phát biểu thành lời tính chất? Câu 2: Để chứng minh bất đẳng thức x2 1 x 1  có bạn làm sau: 2 x2 1 x 1 x2 1  x 1  x  x  2x         x  1   2 2   Hãy nhận xét tính đúng, sai lời giải trên? Câu 3: Hãy chứng minh với số thực x, 4x   2x  1 1  a b Câu 5: Không dùng bảng số hay máy tính, so sánh: 2010  2015 2012  2013 2.3.2.2 Hướng dẫn HS chọn tài liệu tham khảo Phải biết chọn sách để đọc Sau chọn sách, cần có thêm kỹ phương pháp đọc sách Sau đọc sách, HS viết kinh nghiệm theo mức độ: 2.3.2.4 Hướng dẫn học sinh tổng kết tri thức học GV phát phiếu học tập cho HS tự học nhà Nội dung phiếu học tập bao gồm yêu cầu cụ thể, lý thuyết cần hệ thống, câu hỏi, tập với phương pháp giải cần tổng hợp Học sinh khắc sâu kiến thức học, lập mối liên hệ hữu kiến thức toán học với 2.3.3 Biện pháp 3: Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm rèn luyện lực tự học cho học sinh 2.3.3.1 Xây dựng hệ thống tập theo chủ đề Chủ đề 1: Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy Việc giải tập hệ thống mặt giúp học sinh nắm cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy, mặt khác giúp học sinh củng cố tính chất bất đẳng thức Các em rèn luyện thao tác tư phân tích, so sánh, tổng hợp, Đồng thời, thông qua việc giải tập hệ thống, học sinh cần phải linh hoạt, Câu 4: Chứng minh rằng, a > b ab > điều chỉnh cách thêm bớt số, cách nhóm số hạng… cho đẳng thức xảy Do góp phần bồi dưỡng lực giải vấn đề, lực vận dụng phương pháp tư biện chứng, tư logic Phương pháp 1: Thêm bớt số sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ví dụ: Cho a, b, c số dương, thỏa mãn a  b  c  3 Chứng minh rằng: a  3b  b  3c  c  3a  Phân tích: Nhận xét giả thiết a, b, c dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy bậc nên sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số Đẳng thức xảy a=b=c= , a+3b=1 nên ta sử dụng số Có Các tập tƣơng tự Bài 1: Cho a, b, c số dương, thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 5a  3b  5b  3c  5c  3a  Bài 2: Cho x  2; y  3;z  Chứng minh: xy z   yz x   zx y   1   1    xyz 2 3 Bài 3: Cho a, b, c số dương, thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 4 c a  3b  a b  3c  b c  3a        Bài 4: Cho 1  x  Chứng minh  x   x   x  Bài 5: Cho ba số dương x, y, z x+y+z=1 Chứng minh: x  xy  xyz  Bài 6: Với a, b, c số dương, 2a+2b+ab=12, chứng minh a3  b3  16 Bài 7: Với a, b, c số dương, a+4b+27c=90, chứng minh a  b2  c3  32 Bài 8: Cho a, b, c  a+b+c = Chứng minh rằng: a +b5 +c5  a +b3 +c3 3 a b c a b c Bài 9: Cho a, b, c dương, chứng minh:   +   +    + + b c a b c a       3 2 Bài 10: Cho a, b, c dương, chứng minh:  a  +  b  +  c   a + b + c b c a b c a       Tổng kết phƣơng pháp: Thông qua việc giải tập học sinh nhận thấy rằng: - Có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết cho a, b, c số không âm - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số tùy thuộc vào dấu bất đẳng thức cần chứng minh - Để sử dụng phương pháp thêm bớt số ta cần ý đẳng thức xảy để chọn số cho phù hợp Phương pháp 2: Thêm bớt biến sử dụng bất đẳng thức Cauchy Cũng phương pháp 1, việc thêm bớt biến nào, bậc bao nhiêu, cần khéo léo, cho đẳng thức xảy Ví dụ: Với a, b, c số dương, abc=1, chứng minh 4a 4b3 4c3   3 1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  Phân tích: Dự đốn đẳng thức xảy a=b=c=1 4a Ta xét biểu thức Với cần thêm bớt biểu thức (1+b) (1+c) để khử 1  b 1  c  mẫu Tuy nhiên, để đảm bảo đẳng thức xảy ra, ta cần khéo léo chọn biểu thức cho cân 1  b   , 1  c   1, ta chọn thêm bớt 4a giá trị Khi a=b=c=1  1, 2 1  b 1  c  1  b  , 1  c  2 Các tập tƣơng tự Bài 1: Cho a, b, c số dương Chứng minh a b c5    a  b  c3 b c a Bài 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh a3 b3 c3 a bc    2 b  c   c  a   a  b  Bài 3: Cho a, b, c số dương, a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ a3 b3 c3 P   2 1  a  1  b  1  c  Bài 4: Cho x>0, y>0, z>0 xyz=1 Chứng minh x2 y2 z2    1 y 1 z 1 x Tổng kết phƣơng pháp: Thông qua việc giải tập học sinh nhận thấy rằng: - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết cho a, b, c số không âm - Chọn biến để thêm bớt cần vào yếu tố: Bậc biến, giá trị biểu thức đẳng thức xảy Phương pháp 3: Nhóm số hạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi chứng minh bất đẳng thức, có ta cần tách, nhóm số hạng, chứng minh nhiều bất đẳng thức phụ Để dấu bất đẳng thức xảy ra, ta cần đồng thời có dấu bất đẳng thức phụ Việc nhóm số hạng biểu thức bất đẳng thức ban đầu phải đảm bảo tiêu chí Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2005) x x x  12   15   20  Chứng minh với số thực x, ta có          3x  x  5x 5  4   x x x  12   15   20  Phân tích: Nếu áp dụng bđt Cauchy cho ba số          60 x , chưa 5 4   đpcm Ta thử nhóm hai số theo vòng tròn, áp dụng bđt Cauchy cho hai số không âm x x  12   15    x x x x    12   15        12   15   3x       ,   ta có 5 4 5 4 Viết tương tự, cộng bất đẳng thức chiều ta có đpcm Các tập tƣơng tự Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2005) Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh  x3  y  y3  z3  z  x3   3 xy y zx Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối A năm 2007) Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh x2  y  z  y2  z  x z2  x  y  P   2 y y  2z z z z  2x x x x  y y Bài 3: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2007) Cho x, y, z dương Chứng minh x  y  z  P  x    y    z     zx   xy   yz  Bài 4: (Đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A năm 2010) Cho x, y dương thỏa mãn 3x+y≤1 Chứng minh P  1  8 x xy Bài 5: Cho x, y, z số không âm Chứng minh 3x  y  z  xy  yz  zx Bài 6: Cho ba số dương x, y, z Chứng minh x yz y zx z x  y 15 S       yz x zx y xy z 2 Bài 7: Cho x > 0, y > x  y  Chứng minh  1  1 S  1  x  1    1  y  1      x  y 3a   b3 Bài 8: Cho a > 0, b > a + b  Chứng minh   4a b Bài 9: Cho a > b > Chứng minh a   a  b  b  1  1   42 3 x  y xy x y   Bài 11: Cho x > 0, y > x+y=1 Chứng minh 1 x 1 y Bài 10: Cho x > 0, y > x+y=1 Chứng minh 1 1    Chứng minh xyz  1 x 1 y 1 z Bài 13: Cho ba số dương a, b, c a  b2  c2  Chứng minh Bài 12: Cho ba số không âm x, y, z x y z 3    2 y z z x x y 2 Bài 14: Cho x, y, z số dương Chứng minh  x y z  P   x3  y    y  z    z  x3        12 z x  y Tổng kết phƣơng pháp: Thông qua giải tập trên, HS nhận xét : - Tùy theo bậc ẩn để lực chọn chiều bất đẳng thức phù hợp - Việc tách nhóm, cần đảm bảo đẳng thức phụ xảy đồng thời Chủ đề 2: Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki Để chứng minh bất đẳng thức, nhiều toán ta cần sử dụng bất đẳng thức Bunhia Côpxki Tuy nhiên, sử dụng trực tiếp bđt Bunhia Cơpxki hay hệ lại tùy thuộc vào đặc điểm bất đẳng thức Từ đó, rèn luyện lực giải vấn đề, lực đánh giá, lực tư định cho học sinh Ví dụ 1: Cho x, y thỏa mãn x  y  , chứng minh 3x  y  Phân tích: Để sử dụng giả thiết x  y  , từ biểu thức 3x  y ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhia Côpxki để xuất bình phương a b   (1) 2a 2b Phân tích: Đây tốn chứng minh bất đẳng thức có chứa ẩn mẫu Giả thiết a, b dương thỏa mãn a+b = a b   Vì có chứa ẩn mẫu nên ta biến đổi   2    (2) 2a 2b 2a 2b  Ví dụ 2: Cho a, b dương thỏa mãn a+b = 1, chứng minh rằng: Khi đó, xuất biểu thức dạng 1  Liên hệ với hệ bất đẳng thức Bunhia Côpxki x y 1 (với x>0, y>0)   x y x y Các tập tƣơng tự Bài 1: Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = Xác định giá trị lớn biểu thức A  x y   y x  Bài 2: Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x2  4y2  2x  8y  Chứng minh 20  3x  8y  10 Bài 3: Cho x>0, y>0 x+y = Chứng minh   x 4y Bài 4: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối A năm 2005) 1    CMR x y z 1   1 2x  y  z x  2y  z x  y  2z x y z Bài 5: Cho x>0, y>0, z>0 x+y+z=1 Chứng minh    x 1 y 1 z 1 x y2 Bài 6: Cho x>0, y>0 x+y≤1 Chứng minh   x y 1 x 1 y x  y Bài 7: Cho x, y z số dương, x  y  z  Chứng minh rằng: 1 x yz    x  y y  2z z  2x Cho x, y, z dương thỏa mãn x y z   1 y  2z z  2x x  2y Bài 9: Cho a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh a b c    1 a 1 b 1 c Bài 8: Cho số dương x, y, z Chứng minh Bài 10: Cho a, b, c dương thỏa mãn a2+b2+c2 =3 CMR 1 4      a b bc ca a 7 b 7 c 7 Bài 11: Cho x, y, z dương thỏa mãn x  y2  z2  xyz CMR x y z    x  yz y  xz z  xy Chủ đề 3: Phƣơng pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Trong trình giải tập hệ thống học sinh gặp khó khăn, mâu thuẫn việc chọn hàm số, chọn ẩn, tìm điều kiện Do cần phải điều chỉnh lại cách xem xét vấn đề, giải vấn đề để giải toán Và học sinh bồi dưỡng lực giải vấn đề, lực đánh giá tự đánh giá, lực vận dụng tư logic, tư biện chứng vào việc phát giải vấn đề Phƣơng pháp 1: Sử dụng bảng biến thiên hàm số x y   1 y 1 x 1 x 1 x Phân tích: Từ giả thiết y=1-x Khi A= f  x     x x 1 Ví dụ 1: Cho x, y khơng âm, x+y=1 Chứng minh Do x, y không âm nên  x  Khảo sát hàm số f(x) [0;1], ta có đpcm Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2009) Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x+y=1 Chứng minh 191 25   4x  3y  4y  3x   25xy  16 2 Phân tích: A   4x  3y  4y  3x   25xy Nhận xét từ x+y=1 có y=1-x, thay vào biểu thức A đưa A hàm bậc x, x[0;1], sau dùng đạo hàm Cách dài biểu thức S khơng thuận lợi lập bảng biến thiên Biến đổi cách khác: A  16x y  12  x  y   9xy  25xy  16x y  12 1  3xy   34xy  16x y  2xy  12 Đặt t=xy, A hàm biến t Vì  xy   x  y   1  t  0;   4 Các tập tƣơng tự Bài 1: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2003) Chứng minh 2  x   x  2 Bài 2: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối D năm 2010) Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  4x  21  x  3x  10 x2 Bài 4: Với x, y số không âm thỏa mãn x+y=1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P=9x + 3y Bài 5: (Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng khối B năm 2007) Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi Chứng minh x  y  z  S  x    y    z     zx   xy   yz  Bài 3: CMR e x  cos x   x  Bài 6: Cho a  b2  1, c  d  CMR F  ac  bd  cd  96 Tổng kết phƣơng pháp: Trong toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp chiều biến thiên hàm số, có hai vấn đề cần nhấn mạnh: i) Cách sử dụng phép để quy biến, xem xét xem biến lại sau phép ii) Tìm hiểu điều kiện cho biến lại nhờ vào điều kiện giả thiết sử dụng bất đẳng thức Phương pháp 2: Sử dụng tính đống biến, nghịch biến hàm số Để chứng minh bất đẳng thức, nhiều biến đổi, đưa bất đẳng thức dạng f  x   f  y  x, y  D Bằng cách xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số f, chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007) b  a   b 1 Cho a  b >0 Chứng minh   a     b      a Phân tích: ln 1  4a  ln 1  4b   a   b 1  (2)   a     b  (1)     a b  b a Bất đẳng thức cần chứng minh đưa vế có kiểu biểu thức hàm f  t   ln 1  4t  t ln 1  4t  t với t>0 Các tập tƣơng tự  y x   ln  y  ln  x   yx  xy xy  Bài 2: Cho x  y  Chứng minh ln x  ln y Bài 1: Cho  x  y  Chứng minh  2y    x  2y  x  Bài 3: Cho  x  2y Chứng minh log 2012  Tổng kết phƣơng pháp: Khi đó, ta xét Trong toán chứng minh bất đẳng thức phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số, có số điểm cần lưu ý: - Biến đổi bđt dạng f  x   f  y  x, y  D f  x   f  y  x, y  D để chọn hàm số f(t), tD - Dựa vào giả thiết để tìm miền xác định D cho hàm số - Chứng minh hàm số f đồng biến nghịch biến D Chủ đề 4: Phƣơng pháp miền giá trị Giả sử ta phải chứng minh bất đẳng thức có dạng   f (x)   với xD f (x)  m x  D - Gọi m giá trị tùy ý f(x) miền xD Khi đó, phương trình sau  có nghiệm - Tùy đặc điểm phương trình, ta tìm điều kiện cho m để phương trình có nghiệm Từ đó, ta chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2008)  x  xy  2 Với x, y thỏa mãn x  y  1, chứng minh 6  3  xy  y Phân tích: Vì x  y  nên đưa bất đẳng thức dạng tương đương sau: 6   x  xy  x  xy  y  (1)  x  xy  Nhận xét biểu thức có bậc tử mẫu Ta hồn tồn x  xy  y sử dụng cách giải phương trình đẳng cấp, đưa phương trình ẩn, sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình Các tập tƣơng tự Bài 1: Với a, b thỏa mãn a  ab  b2  , chứng minh 3   a  ab  3b2  3  62 2sin x  cos x  Bài 3: Chứng minh với x thuộc  , ta có   2 sin x  2cos x  3 23  x  x  Bài 4: Chứng minh với x thuộc  , ta có  2 x  x  10  x  3x 3 Bài 5: Chứng minh với x thuộc  , ta có  2 1  x2  Bài 2: Cho x, y thỏa mãn x2  y  xy  Chứng minh x  y  Bài 6: x Cho x, y, z số dương, x  y  z  yz 3x Chứng minh 3  y  z Bài 7: Cho x, y, z số thỏa mãn  y  x  Chứng minh x y  y x    Bài 8: Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x  y2   4x y2  x  y2  Chứng minh 3 3  x  y2  2 Chủ đề 5: Phƣơng pháp lƣợng giác hóa Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt tốn có biến ràng buộc hệ thức cho trước, nhìn nghĩ toán đại số túy biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển toán dạng lượng giác cách giải trở nên đơn giản nhiều Ví dụ: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc+a+c=b Chứng minh 2 10    a 1 b 1 c 1 Phân tích: Vì a, b, c dương nên abc  a  c  b  ac  Đặt a  tan a c   b b A B C ,  tan ,c  tan , chuyển toán chứng minh bđt lượng giác b 2 Các tập tƣơng tự Bài 1: Cho a, b, c dương, ab+bc+ca=1 Chứng minh a b 3c    10 a 1 b 1 c2  Bài 2: Cho x, y, z dương thỏa mãn x+y+z=xyz CMR xy  yz  zx    x   y2   z Bài 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2008) Với x, y thỏa mãn x  y  1, chứng minh 6  2  x  xy   xy  y 3 Bài 4: Cho x, y, z thuộc (0;1) xy  yz  zx  , chứng minh x y z 3    2 1 x 1 y 1 z Bài 5: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh 1     x2 1 y2 1 z2 Bài 6: Cho a, b, c không âm, a  b2  c2  2abc  Chứng minh a  b  c  abc  Bài 7: Cho a, b, c không âm, a  b2  c2  abc  Chứng minh a  b  c  Bài 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2009) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x (x+y+z) = 3yz, ta có (x + y) + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤5(y + z)3  16xyz Bài 9: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y2  z  Chứng minh x  y  z  4xyz 13    xy  yz  zx  28 Bài 10: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x+y+z=1 Chứng minh P xyz x y 3   1 x  yz y  zx z  xy Tổng kết phƣơng pháp: Nhiều toán chứng minh bđt phức tạp, sử dụng phương pháp lượng giác hóa, tốn đơn giản nhiều - Từ điều kiện a, b, c dương, ab+bc+ca=1, ln tồn góc tam giác ABC cho a  tan A B C ,b  tan ,c  tan 2 - Từ điều kiện a, b, c dương, ab+bc+ca=abc, tồn góc tam giác ABC cho a  tan A,b  tan B,c  tan C - Từ điều kiện a  b  c  2abc  1,a,b,c   1;1 , tồn a=cosA, 2 b=cosB, c=cosC với A  B  C   Chủ đề 6: Phƣơng pháp sử dụng vectơ Ví dụ: Chứng minh x  x   x  x   13 Phân tích: Các biểu thức có bậc hai, ln dương với  x Nên có thể:  Biểu diễn bậc hai dạng độ dài véc tơ 3 ( x  )2  ( )  ( x  )2  ( )2 2 2      Tìm hai véc tơ u , v cho u + v không đổi     3 Chọn u  ( x  ; ) ; v  ( x  ; )  u + v  (1;2 3) 2 2          Áp dụng bất đẳng thức: u  v  u + v Ta có f(x) = u + v ≥ u  v  13     Dấu “=” xảy  u , v hướng   k > 0: u =k v  k = 3; x =  Kết luận f(x)  13 Dấu đạt x = Các tập tƣơng tự f(x) = Bài 1: Cho 2x - y = Chứng minh A = x  ( y  1)2  x  ( y  3)2  Bài 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2003) Cho x, y, z dương, x+y+z≤1 CMR P  x   y2   z   82 x2 y2 z2 Bài 3: Chứng minh với số thực x: x  x   x  x  10  29 Bài 4: Chứng minh với số thực x ta có cos2 x  2cosx   cos2 x  6cosx  13  Bài 5: Chứng minh với số thực x, y ta có M= x  y  x   x  y  x  12 y  10  Bài 6: Chứng minh x  x   x  10 x  50  Bài 7: Cho số a, b thỏa mãn: a – b + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = (a  3)2  (b  5)2  (a  5)2  (b  7)2 Bài 8: Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz=8 Chứng minh P  log x   log y   log   2 2 Bài 9: Chứng minh P  x  y2  4y   x  y2  4y   x   Bài 10: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006) Chứng minh A   x  12  y2   x  12  y2  y    Tổng kết phƣơng pháp:   Bước 1: Biểu diễn bậc hai dạng độ dài véc tơ u , v     Bước 2: Tìm hai véc tơ u , v cho u  v không đổi     Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức u + v  u  v Bước 4: Kết luận Các bước giải áp dụng cho nhiều vectơ Sau làm tập, GV yêu cầu học sinh tự tổng kết lại phương pháp thường dùng chứng minh bất đẳng thức Với phương pháp nêu ý, điều kiện để áp dụng, đề xuất số tốn có sử dụng phương pháp Bên cạnh đó, GV yêu cầu HS tự đọc sách tham khảo, tìm hiểu phương pháp khác để chứng minh bđt HS rèn luyện lực tự đọc, tự tổng kết, khắc sâu kiến thức, kỹ 2.3.3.2 Xây dựng hệ thống tập có nhiều hướng giải Hệ thống tập xây dựng nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh tìm nhiều giải pháp trước tốn cho trước Làm điều không giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức mà làm cho học sinh có hứng thú tích cực hơn, sáng tạo q trình học tập Từ đó, bồi dưỡng cho học sinh lực tự học như: lực nhận biết, tìm tịi nhiều cách giải, lực giải vấn đề, lực đánh giá tự đánh giá Năng lực tư định phần bồi dưỡng thông qua việc đánh giá lời giải đưa lựa chọn lời giải hay lời giải tìm Dưới đây, tơi hệ thống số tập có nhiều hướng giải: Bài 1: Cho x, y số dương, thỏa mãn x+y=4 Chứng minh 1  1 x y 2 Bài 2: Cho x, y số không âm thỏa mãn x  4y  Chứng minh 33 63  x  y2  xy  2 Bài 3: Cho x, y, z số dương Chứng minh x y z    y  2z z  2x x  2y Bài 4: Với x, y số dương thỏa mãn x  2y  Chứng minh 1 3 2   x y Bài 5: Chứng minh P  x  2x   x  4x   17 Bài 6: Cho a>c>0 b>c>0 Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab (1) Bài 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2003) Cho x, y, z dương, x+y+z≤1 CMR P  x   y   z   82 x2 y2 z2 2.3.3.3 Hướng dẫn sử dụng hệ thống tập Mỗi hệ thống câu hỏi tập sử dụng làm tài liệu hướng dẫn tự học cho học sinh lớp nhà, sử dụng buổi học chuyên đề, tiết ơn tập chương Ngồi ra, sử dụng hệ thống câu hỏi tập làm đề kiểm tra lực, khả tự học sáng tạo học sinh CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu đề tài nghiên cứu 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm - Biên soạn giáo án phiếu học tập học sinh - Chọn lớp dạy thực nghiệm lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm, thao giảng, dự ghi nhận tình hình học tập HS tiết dạy - Tiến hành kiểm tra, so sánh kết lớp 3.3 Phƣơng pháp thực nghiệm: Điều tra, quan sát tổng kết kinh nghiệm 3.4 Tổ chức thực nghiệm 3.4.1 Đối tượng thực nghiệm: Chọn lớp 10 có trình độ tương đương 3.4.2 Kế hoạch thực nghiệm Ở lớp thực nghiệm, giảng soạn theo hướng sử dụng biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh Ở lớp đối chứng, giảng thiết kế theo hướng dẫn sách giáo viên, theo phân phối chương trình Sở Giáo dục Đào tạo 3.5 Nội dung thực nghiệm Giảng dạy tiết 35 - Bài 1: "Bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức" thuộc chương IV sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao Sau dạy tiến hành kiểm tra lần Sau tuần phát tập cho học sinh, tiến hành kiểm tra lần 3.6 Đánh giá kết thực nghiệm - Về mặt định lượng:Lượng học sinh đạt điểm 10 chiếm tỉ lệ cao lớp thực nghiệm Điều cho thấy, học sinh có lực tự học rèn luyện tốt, em có lực giải vấn đề tốt hơn, lực tư logic, lực đánh giá tự đánh giá tốt hơn, đồng thời khả bao quát tình tốt - Về mặt định tính: Sự hào hứng học sinh với toán chứng minh bđt thức cải thiện đáng kể Điều cho thấy, biện pháp rèn luyện lực tự học có hiệu quả, làm cho học sinh tự tin hơn, hứng thú học hơn, chất lượng dạy học nâng cao KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Luận văn có kết sau đậy: - Hệ thống hoá làm rõ lý luận tự học, phương pháp dạy học tự học, biểu lực tự học - Điều tra, tìm hiểu thực trạng tự học 200 học sinh - Đề xuất biện pháp nhằm rèn luyện lực tự học cho học sinh - Thực nghiệm sư phạm đánh giá kết thực nghiệm cho thấy biện pháp rèn luyện lực tự học đem lại hiệu định Các giáo viên môn tốn THPT hồn tồn vận dụng biện pháp Khuyến nghị Để thực nhiệm vụ chiến lược đề ra, cần có thay đổi mang tính đồng mà trước tiên thay đổi quan điểm, nội dung chương trình phương pháp dạy học Phương pháp dạy học đại kết hợp nhiều yếu tố cách hợp lý, khoa học, kết hợp truyền thống đại, nội lực ngoại lực, lý luận thực tiễn Bộ Giáo dục Đào tạo cần quan tâm đạo tạo điều kiện vật chất, tinh thần thuận lợi cho hoạt động tự học học sinh như: có đủ phương tiện, giáo trình, tài liệu tham khảo, phịng đọc đồng thời, cần xây dựng phong trào tự học tập thể cách thường xuyên Hướng nghiên cứu tiếp luận văn: - Rèn luyện lực tự học học sinh thông qua dạy học nội dung ứng dụng bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng - Thiết kế tài liệu tự học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng References Phạm Quang Anh (2008), Dạy học phần vectơ sách giáo khoa hình học 10 nâng cao theo hướng tăng cường hoạt động tự học học sinh Luận văn thạc sĩ Vũ Quốc Chung, Lê Hải Yến (2003), Để tự học đạt hiệu NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Nguyễn Trung Hiếu (2010), Nâng cao lực tự học kỹ giải tốn cho học sinh lớp 10 trung học phổ thơng qua dạy học giải phương trình Luận văn thạc sĩ Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam (2009), Bất đẳng thức ứng dụng Nhà xuất giáo dục Việt Nam Nguyễn Bá Kim (2007), Phương pháp dạy học mơn Tốn Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội Nguyễn Thị Mỹ Lộc – Đinh Thị Kim Thoa – Trần Văn Tính (2009), Tâm lý học giáo dục Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên) – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng, Các giảng bất đẳng thức Cauchy Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Luật giáo dục (1998), Nhà xuất trị quốc gia Trần Thị Thanh Nga (2008), Dạy học tự học cho học sinh thông qua chương “Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc” hình học lớp 11 nâng cao trung học phổ thông Luận văn thạc sĩ 10 Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn tốn trường phổ thơng Nhà xuất Đại học Sư phạm 11 Hồng Phê (chủ biên) (1996), Từ điển Tiếng Việt Nhà xuất Đà Nẵng 12 Trần Phƣơng (2000), Các phương pháp kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Nhà xuất thành phố Hồ Chí Minh 13 Trần Phƣơng–Nguyễn Đức Tấn–Nguyễn Anh Hồng–Tạ Hồng Thơng (2011), Những đường khám phá lời giải bất đẳng thức Nhà xuất Đại học sư phạm 14 Polya G (1997), (Hồ Thuần, Bùi Tường dịch) Giải toán Nhà xuất giáo dục 15 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2006), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao Nhà xuất giáo dục 16 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) – Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông (2006), Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao Nhà xuất giáo dục 17 Đào Tam (2008), Tiếp cận phương pháp dạy học khơng truyền thống dạy học Tốn trường đại học trường phổ thông NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội 18 Nguyễn Thế Thạch (chủ biên) – Nguyễn Hải Châu – Quách Tú Chƣơng – Nguyễn Trung Hiếu – Đoàn Thế Phiệt – Phạm Đức Quang – Nguyễn Thị Quý Sửu (2009), Hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn lớp 10 Nhà xuất giáo dục Việt Nam 19 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu Toán học Nhà xuất giáo dục 20 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Tập cho học sinh giỏi Toán làm quen dần với nghiên cứu Toán học Nhà xuất giáo dục 21 Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Quá trình dạy – Tự học NXB Giáo dục 22 Radmila Bulajich Manfrino – José Antonio Gosmez Ortega Rogelio Valdez Delgado (2009), Inequalities A mathematical olympiad Approach  ... lực tự học cho học sinh CHƢƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 2.1 Nội dung bất đẳng thức. .. pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng Câu hỏi nghiên cứu Các biện pháp rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua. .. hiểu thực trạng tự học học sinh trường THPT Hải Phịng - Tìm biện pháp nhằm rèn luyện lực tự học cho học sinh, thông qua dạy học nội dung bất đẳng thức chương trình tốn trung học phổ thơng - Thực