Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚCwww.MATHVN.comĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014Môn: TOÁN; Khối A, A1Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đềI. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số21xyx=-(1).a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).b) Tìm tọa độ hai điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại các điểm A,B song songvới nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O (với O là gốc tọa độ).Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 4sin 3x + sin 5x - 2sin x cos 2x = 0.
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC www.MATHVN.com ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN; Khối A, A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = (1) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ hai điểm A, B phân biệt thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) điểm A, B song song với nhau, đồng thời ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông O (với O gốc tọa độ) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x + sin x − 2sin x cos x = ( x − 3)( x + 4) = y ( y − 7) x −1 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: y = x −1 2− y Câu (1,0 điểm) Xác định tất giá trị m để phương trình x − 2mx + + = x có nghiệm Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a , đường thẳng B ' C tạo với đáy góc 60o Tính theo a thể tích khối chóp C A ' B ' B khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng ( A ' BC ) Câu (1,0 điểm) Cho ba số x, y, z thuộc nửa khoảng ( 0;1] thoả mãn: x + y ≥ + z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x y z + + y + z z + x xy + z II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; −7) , điểm C thuộc đường thẳng có phương trình x − y + = Đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng AB có phương trình x − y − 23 = Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hồnh độ dương Câu 8a (1,0 điểm) Giải phương trình: 42 x − 15.22( x + x + ) − 161+ x + = Câu 9a (1,0 điểm) Một hộp chứa viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy viên bi khác màu B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm C ( 3; −3) điểm A thuộc đường thẳng d : x + y − = Gọi M trung điểm BC, đường thẳng DM có phương trình x – y – = Xác định tọa độ điểm A, B, D (2 x − 1) x + − x →1 x −1 Câu 9b (1,0 điểm) Gọi E tập hợp số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên hai số khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số chọn có số có chữ số -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Câu 8b (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:……………… www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN; Khối A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Với Câu thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn II ĐÁP ÁN: Câu Ý NỘI DUNG ĐIỂM 2,0 điểm a TXĐ : D = R \ {1} Ta có: lim y = 2, lim y = suy đường y = tiệm cận ngang x →+∞ x →−∞ 0,25 lim y = +∞, lim y = −∞ suy đường x = tiệm cận đứng − x →1+ x →1 < 0, ∀x ≠ ( x − 1)2 Hàm số nghịch biến khoảng (−∞;1) (1; +∞) Bảng biến thiên: x −∞ y’ − − +∞ y −∞ Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận I (1; ) làm tâm đối xứng Ta có : y ' = − 0,25 +∞ 0,25 0,25 b 2a 2b Vì A, B thuộc đồ thị hàm số nên A a; , B b; , (a ≠ b) , a ≠ 1, b ≠ a −1 b −1 2 Tiếp tuyến A, B có hệ số góc là: f '(a ) = − , f '(b) = − (a − 1) (b − 1) 2 a = b (l ) Ta có f '(a ) = f '(b) ⇔ − − ⇔ (a − 1)2 = (b − 1) ⇔ 2 (a − 1) (b − 1) a + b = ab = (l ) 4ab =0⇔ Lại có: OA ⊥ OB ⇒ OA.OB = ⇔ ab + = −1 (a − 1)(b − 1) (a − 1)(b − 1) (vì ab = A trùng O B trùng O) www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam a = −1, b = A(−1;1), B (3;3) = −1 kết hợp a + b = suy ra: ⇒ (a − 1)(b − 1) a = 3, b = −1 A(3;3), B (−1;1) A(−1;1), B (3;3) Vậy: A(3;3), B (−1;1) 1,0 điểm Phương trình cho tương đương với: 4sin 3x + sin x − ( sin x − sin x ) = ⇔ 3sin x + sin x + sin x = ⇔ 3sin x + sin x.cos x = ⇔ sin x(3 + cos x) = ⇔ sin x = kπ kπ ⇔x= ; k ∈ ℤ Vậy phương trình cho có nghiệm x = ;k ∈ℤ 3 1,0 điểm ( x − 3)( x + 4) = y ( y − 7) (1) y2 x −1 > x >1 x −1 Đk: ⇔ (2) = 2− y > y Ta có f ′(t ) = 2t + > 0, ∀t > ⇒ f (t ) đồng biến (0;+ ∞ ) Mà (3) ⇔ f ( x − 1) = f (2 − y ) ⇔ x − = − y ⇔ x = − y Thế vào (2) ta y2 2− y = 2− y 2− y y =1⇒ x = ⇔ y2 + y − = ⇔ y = −2 ⇒ x = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (2 ; 1) (5 ; – ) 1,0 điểm x − 2mx + + = x ⇔ x − 2mx + = x − x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x2 − 2 x − = (2m − 4) x x = 2m − x −1 x2 + Xét hàm số f ( x) = với x ≥ Ta có f ′( x) = > , ∀x ≥ x x Bảng biến thiên x +∞ f’(x) + +∞ 0,25 0,25 0,25 Ta có: f(x) Từ bảng biến thiên ta có với 0,25 0,25 0,25 3 11 ≤ 2m − ⇔ m ≥ phương trình cho có nghiệm 0,25 1,0 điểm www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam C A M B C' A' o 60 a B' a2 o Ta có: CC ' = a.tan 60 = a , S ∆ABC = a.a.sin 60 = 1 a a3 ⇒ VC A ' B ' B = VC ABA ' = VABC A ' B 'C ' = S ∆ABC CC ' = a = 3 4 o 0,25 0,25 Ta có: A ' B = A ' C = a + 3a = 2a Gọi M trung điểm BC suy A ' M ⊥ BC ⇒ A ' M = 4a − a a 15 = 1 a 15 a 15 A ' M BC = a = 2 Lại có: VC A ' B ' B = VB ' A ' BC = S ∆A ' BC d ( B ', ( A ' BC )) 3V 3a 3a 3a Vậy d ( B ', ( A ' BC )) = ⇒ d ( B ', ( A ' BC )) = C A ' B ' B = = S ∆A ' BC 15 a 15 15 4 1,0 điểm 0,25 ⇒ S ∆A ' BC = Do x, y ∈ ( 0;1] x + y ≥ + z ⇒ x ≥ z , y ≥ z Ta có xy + z ≤ xy ≤ P≥ 7.a ( x + y) 0,25 0,25 ≤ x + y x + y ≤ x y z + + y+ z z+ x x+ y 1 1 x y z + + = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) x + y + y + z + z + x −3 y+z z+x x+ y 3 ≥ − = ⇒ P ≥ Dấu xảy x = y = z = 2 Vậy Pmin = x = y = z = 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 Gọi C ( c; c + ) ∈ d1 , M trung điểm AB, I giao điểm AC d :3 x – y – 23 = Ta có ∆AIM đồng dạng ∆CID c + 10 c − 10 ⇒ CI = AI ⇒ CI = IA ⇒ I ; www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam c + 10 c − 10 Mà I ∈ d nên ta có: −4 − 23 = ⇔ c = ⇒ C (1;5 ) 3 0,25 3t − 3t − 23 Ta có: M ∈ d ⇒ M t ; ⇒ B 2t − 5; 0,25 3t + 3t − 19 AB = 2t − 10; , CB = 2t − 6; Do AB.CB = ⇔ ( t − )( t − 3) + 8.a t = 1 3t + )( 3t − 19 ) = ⇔ 29 ( t = 0,25 B (−3; −3) (l ) 33 21 ⇒ 33 21 ⇒ B ; B ; 5 5 1,0 điểm Đk: x ≥ −4 42 x − 15.22( x + x + ) − 161+ x + = Phương trình cho tương đương 42 x − x + − 15.4 x − Đặt t = x − x+4 x+4 − 16 = t = −1(l ) (t > 0) Phương trình cho trở thành: t − 15t − 16 = ⇔ t = 16 Với t = 16 ⇒ x − x + = 16 ⇔ x − x + = ⇔ x + = x − x ≥ ⇔ ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x − 5x = 9.a 0,25 0,25 0,25 1,0 điểm Số cách chọn viên bi tùy ý Ω = C92 = 36 0,25 Số cách chọn viên bi gồm bi xanh bi đỏ C C = 12 Số cách chọn viên bi gồm bi xanh bi vàng C C = 7.b 0,25 1 Số cách chọn viên bi gồm bi vàng bi đỏ C2 C3 = Suy số cách chon bi khác màu 26 26 13 Vậy, xác suất chọn hai viên khác màu P = = 36 18 1,0 điểm 0,25 0,25 0,25 A ∈ d ⇒ A ( t ; − 3t ) Ta có: t =3 d ( A, DM ) ⇒ 4t − = ⇔ t − = ⇔ t = −1 Với t = ⇒ A ( 3; −7 ) (loại A, C phải khác phía đối DM) d ( C , DM ) = 0,25 Với t = −1 ⇒ A ( −1;5 ) (thỏa mãn) 0,25 (m + 1)(m − 3) + (m − 7)(m + 1) = Ta có AD ⊥ CD ⇒ 2 2 ⇔ m = ⇒ D (5;3) (m + 1) + (m − 7) = (m − 3) + (m + 1) AD = CD Gọi I tâm hình vng ⇒ I trung điểm AC ⇒ I (1;1) 0,25 Giả sử D ( m; m − ) Do I trung điểm BD ⇒ B ( −3; −1) Vậy, A ( −1;5 ) , B ( −3; −1) , D (5;3) www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 8.b 1,0 điểm ( x − 1) x + − x + (2 x − 1) x + − x + − 2 = lim + x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 Ta có: lim 1 17 = lim x + + = 4+ = x →1 x+3 +2 9.b 0,5 0,5 1,0 điểm Số phần tử tập E : A53 = 60 Số số thuộc tập E khơng có chữ số là: A4 = 24 Số số thuộc tập E có chữ số là: 60 − 24 = 36 Số cách cách chọn hai số khác thuộc tập E Ω = C60 Số cách cách chọn hai số khác thuộc tập E có số có chữ số 1 C36 C24 Vậy, xác suất cần tìm P = 1 C36 C24 144 = C60 295 0,25 0,25 0,25 0,25 -Hết - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 www.MATHVN.com Mơn: TỐN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x+2 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = (C) 2x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Đường thẳng ( d1 ) có phương trình y = x cắt (C) hai điểm A B Đường thẳng ( d ) có phương trình y = x + m Tìm tất giá trị m để ( d ) cắt (C) hai điểm phân biệt C, D cho bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình bình hành cos x ( cos x − 1) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: = (1 + sin x ) sin x + cos x 2x 2y + =3 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: y ( x, y ∈ R ) x x − y + xy = Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình − x − x + x + = m , ( m ∈ R ) có nghiệm thuộc đoạn [ − 1;1] Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a , ( a > ) SA tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60o Tam giác ABC vng B, ACB = 300 , G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: P = + + + xy + yz + zx II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M (1; ) , N ( 3; −4 ) đường thẳng (d ) : x + y – = Viết phương trình đường tròn qua hai điểm M, N tiếp xúc với (d ) n 2 Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm hệ số x khai triển biểu thức − x , x > biết n số tự nhiên thỏa x n−6 mãn hệ thức: Cn − + nAn = 454 − log x Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình : − = log x − log x B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2); đường thẳng (d1 ) : x + y – = đường thẳng (d ) : x + y – = Tìm tọa độ điểm B thuộc (d1 ) điểm C thuộc (d ) cho tam giác ABC vuông cân A Câu 8.b (1,0 điểm) Cho tập hợp X = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác đôi từ X, cho ba chữ số phải x+2 − x+6 Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn: I = lim x →2 x2 − -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm! www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh:…………………………………… KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN; Khối B HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 06 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với Câu thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a x +2 1,0 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1 TXĐ: D = ℝ \ − 2 1 Giới hạn: lim y = ; lim y = ; lim + = +∞; lim − = −∞ 0.25 x →−∞ x →+∞ 1 2 x →−1 x →− 2 2 1 TCĐ: x = − ; TCN: y = 2 −3 Ta có: y ' = < 0; ∀x ≠ − 2 (2x + 1) 1 Hàm số nghịch biến −∞; − − ; + ∞ 2 0.25 BBT x − y’ y − −∞ +∞ − +∞ −∞ 0.25 c) Đồ thị: Giao với Ox (−2; 0) Giao với Oy (0;2) I − ; tiệm cận làm tâm đối xứng Đồ thị nhận giao điểm b 1 hai 2 Đường thẳng (d1 ) có phương trình y = x cắt (C) hai điểm A B Đường thẳng www.DeThiThuDaiHoc.com 0.25 1.0 (d ) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam có phương trình y = x + m Tìm tất giá trị m để (d2 ) cắt (C) hai điểm phân biệt C, D cho bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình bình hành d1 giao (C) điểm A(-1;-1) , B(1;1) AB = Phương trình hồnh độ giao điểm d2 (C) 2x + 2mx + m − = (1) x +2 = x +m ⇔ x ≠ − 2x + d2 cắt (C) điểm C, D (1) có nghiệm phân biệt khác ∆ ' = m − 2m + > ⇔ 1 ∀m −m +m −2 ≠ 2 0.25 0.25 −1 0.25 C (x 1; x + m ) ; D (x ; x + m ) , ( x 1, x nghiệm (1)) x + x = −m Theo Viet ta có: x x = m − A,B,C,D bốn đỉnh hình bình hành AB / /CD m ≠ ⇔ ⇔ AB = CD (x + x )2 − 4x 1x = m ≠ ⇔ ⇒ m = KL: m = m − 2m = Giải phương trình: cos2 x (cos x − 1) sin x + cos x = (1 + sin x ) π + k π, k ∈ ℤ (*) Ta có: PT ⇔ (1 − sin2 x ) (cos x − 1) = (1 + sin x )(sin x + cos x ) Điều kiện: sin x + cos x ≠ ⇔ x ≠ − ⇔ (1 + sin x )(1 + co s x )(1 + sin x ) = 1 + sin x = x = − π + k 2π ⇔ ⇔ ;k ∈ℤ 1 + cos x = x = π + k 2π Kết hợp với điều kiện (*), suy phương trình cho có nghiệm là: π x = − + k 2π; x = π + k 2π k ∈ ℤ 2x 2y + =3 Giải hệ phương trình: y x x − y + xy = Điều kiện: xy > ( www.DeThiThuDaiHoc.com ) 0.25 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 1,0 0.25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 2x y =5 + x Hệ phương trình cho tương đương với y x − y + xy = x = y 2x + y − xy = ( x − y )(2x − y ) = x − y + xy = ⇔ ⇔ ⇔ y = x x − y + xy = x − y + xy = x − y + xy = x = y 3 + Với ⇔ ( x; y ) = ( 2; 1) , ( x; y ) = −3; − 2 x − y + xy = y = 2x + Với ⇔ ( x; y ) = ( −1; − ) , ( x; y ) = ( ;3) x − y + xy = 0.25 0.25 3 Vậy hệ có nghiệm : ( 2; 1) , −3; − , ( −1; − ) , ( ;3) 2 0.25 Tìm giá trị tham số m để phương trình − x − x + x + = m ( m ∈ R ) , có nghiệm thuộc đoạn [ − 1;1] Đặt f ( x ) = − x − x + x + , f ( x ) xác định liên tục đoạn − ;1 3x 3x + x 3x + f '( x) = − − = −x + − x2 − x2 x3 + x2 + x3 + x + 3x + Ta có: + > , ∀x ∈ ( −1;1) − x2 x3 + x2 + Vậy: f ' ( x ) = ⇔ x = 1,0 0.25 0.25 BBT: x -1 f / ( x) || + - || 0.25 f ( x) −2 -4 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm thuộc −4 ≤ m < −2 [ −1;1] ⇔ m = 0.25 Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (a > 0), SA tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc 60o Tam giác ABC vng B, ACB = 300 , G trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB) (SGC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a www.DeThiThuDaiHoc.com 1,0 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam S A C G M B Gọi M trung điểm BC Ta có ( SBG ) ∩ ( SCG ) = SG (SGB) (SGC) vng góc với mặt phẳng (ABC) suy SG ⊥ ( ABC ), SAG = 600 , SG chiều cao chóp S.ABC SG = SA.sin SAG = 3a 3a 3a = ; AG = SA.cos SAG = (1) 2 x ∆ABC vng B có C = 30 Đặt AB = x, ( x > ) suy BC = x 3, BM = x x AM = AB + BM = ; AG = AM = (2) 3 x 3a 9a Từ (1) (2) suy = ⇔x= 2 0.25 0.25 o 1 81a 1 3a 81a 243a3 AB.BC = x = ; VS ABC = SG.S ABC = = (đvtt) 2 56 3 56 112 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: P = + + + xy + yz + zx S ABC = 1 Ta có [ (1 + xy ) + (1 + yz ) + (1 + zx) ] + + ≥9 + xy + yz + zx 0.25 0.25 1,0 0.25 ⇔P≥ 9 ≥ + xy + yz + zx + x + y + z 0.25 ⇒ P≥ = 0.25 Vậy GTNN Pmin = 7.a x = y = z=1 0.25 ( ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M 1; , N (3; −4) đường thẳng 1,0 (d ) : x + y – = Viết phương trình đường trịn qua M, N tiếp xúc với (d ) Gọi E trung điểm MN ta có E(2;-1) Gọi ∆ đường trung trực MN Suy ∆ có phương trình x − − (y + 1) = ⇔ x − 3y − = 0.25 Gọi I tâm đường tròn qua M, N I nằm ∆ www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 2 Giả sử I (3t + 5; t ) Ta có IM = d (I , d ) ⇔ (3t + 4) + (t − 2) = (4t + 2) 2t + 12t + 18 = ⇔ t = −3 Từ suy I (−4; −3) , bán kính R = IM= 2 Phương trình đường trịn (x + 4) + (y + 3) = 50 8.a 0.25 0.25 0.25 n 2 Tìm hệ số x khai triển biểu thức − x ; x > 0, biết n số tự nhiên x 1.0 n −6 thỏa mãn hệ thức: C n −4 + nAn = 454 Từ hệ thức cho suy n ≥ n −6 C n −4 + nAn = 454 ⇔ (n − 4)! n! +n = 454 2! (n − 6) ! (n − 2)! 2n − n − 9n − 888 = ⇔ n = 8 2 − x3 = Với n = , ∑C 8k 2x −1 x k =0 ( 0.25 0.25 k )( −x 8−k ) 8−k k = ∑ C 2k (−1) x 24−4k 0.25 k =0 Hệ số x4 tương ứng với 24 − 4k = ⇔ k = 8−5 Vậy hệ số x4 C 25 (−1) 9.a Giải phương trình : − log x − =1 log x − log x Điều kiện : x > 0; x ≠ ; x ≠ 1,0 0.25 Đặt log x = t (t ≠ −2; t ≠ 1) , ta : t = −1 t = ⇔ x = , x = 81 7.b 0.25 = −1792 2−t − = ⇔ t − 3t − = + t 1− t 0.25 0.25 Vậy tập nghiệm phương trình : x = , x = 81 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2); đường thẳng (d1 ) : x + y – = đường thẳng (d2 ) : x + y – = Tìm tọa độ điểm B 0.25 1,0 thuộc (d1 ) điểm C thuộc (d2 ) cho tam giác ABC vng cân A ( ) ( ) Ta có: B ∈ d1 ⇔ B a; − a , C ∈ d2 ⇔ C b; − b ⇒ AB = (a − 3;1 − a ), AB.AC = AC = (b − 3;7 − b ) , ∆ ABC vuông cân A ⇔ AB = AC 2ab − 10a − 4b + 16 = (1) ⇔ 2a − 8a = 2b − 20b + 48 (2) (1) ⇔ b = 5a − (Do a = không t/mãn hệ ) Thế vào (2) tìm a = , a = a −2 ( ) Với a = ta có b = Vậy B 0; C (4; 5) Với a = ta có b = Vậy B (4; − 1) C (6; 3) www.DeThiThuDaiHoc.com 0.25 0.25 0.25 0.25 8.b www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Cho tập hợp X = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} Có thể lập số tự nhiên gồm chữ 1,0 số khác đôi từ X, cho ba chữ số phải Giả sử số có chữ số khác đôi là: a b c d e , ( a ≠ ) 0.25 Xem số hình thức a b c d e , kể a = Có cách chọn vị trí cho (1 a b c) Sau chọn trị khác cho vị trí cịn lại từ X \ {1} : số cách chọn A7 0.25 Như có x (7 x x x 4) = 2520 số Xem số hình thức 0b c d e có A6 = 240 số Loại số dạng 0b c d e ra, ta 2520 – 240 = 2280 số thỏa mãn yêu cầu đề 9.b 0.25 0.25 x+2 − x+6 x→2 x2 − x+2 − x+6 ( x + − 2) − ( x + − 2) lim = lim x→2 x →2 x2 − x2 − x−2 x−2 = lim − x→2 ( x − 2)( x + 2)( x + + 2) ( x − 2)( x + 2)( ( x + 6) + x + + 4) 1 = lim − x →2 ( x + 2)( x + + 2) ( x + 2)( ( x + 6) + x + + 4) 1 = − = 16 48 24 Hết Tìm giới hạn : lim www.DeThiThuDaiHoc.com 1,0 0.25 0.25 0.25 0.25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề www.MATHVN.com I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số b) Gọi (d ) đường thẳng qua A(1; 0) có hệ số góc k Tìm tất giá trị thực k để (d ) cắt đồ 2 thị (C ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x2 + x3 = 11 x x π x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: + sin sin x − cos sin x = cos − 2 2 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: = 1+ + 2x − x2 x +1 + − x x2 + y2 = ( x, y ∈ ℝ ) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : ( x + y )(1 + xy ) = 32 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi M , N , P, K trung điểm đoạn thẳng BC , CD, SD, SB Tính thể tích khối chóp S ABMN khoảng cách hai đường thẳng MK AP theo a Câu (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện 4( x + y ) − = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = + x 4y II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(0; 2); B (−2; −2); C (4; −2) Gọi P hình chiếu vng góc B AC ; M , N trung điểm AB BC Viết phương trình đường trịn qua ba điểm M , N , P Câu 8.a (1,0 điểm) Giải phương trình: log ( x + 1) + = log − x + log8 (3 + x)3 Câu 9.a (1,0 điểm) Một thùng đựng 12 hộp sữa Trong 12 hộp có hộp sữa cam , hộp sữa dâu Lấy ngẫu nhiên hộp sữa thùng, tính xác suất để hộp sữa lấy có hộp sữa cam B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B ( −12;1) 1 2 trọng tâm G ; Đường phân giác kẻ từ đỉnh A có phương trình x + y − = Viết phương 3 3 trình đường thẳng BC Câu 8.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) có phương trình: x + y − x + y − = điểm A(3;3) Lập phương trình đường thẳng (d ) qua A cắt ( C ) hai điểm cho khoảng cách hai điểm độ dài cạnh hình vng nội tiếp đường trịn ( C ) Câu 9.b (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn: ( triển nhị thức Niu-tơn − x ) 14 + = Tìm hệ số x9 khai Cn 3Cn n 2n -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………………………… DeThiThuDaiHoc.Com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐH LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN; Khối D SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 05 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học khơng gian thí sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a 1,0 điểm • TXĐ: R • Sự biến thiên: 0,25 x = -Chiều biến thiên: y ' = x − x = x( x − 2) = ⇔ x = - Hàm số đồng biến khoảng : ( −∞; ) ( 2; +∞ ) - Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) - Cực trị : Hàm số đạt cực đại x = ⇒ yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ yCT = −2 - Giới hạn : lim y = −∞ ; lim y = +∞ x →−∞ 0,25 x →+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ + y’ +∞ - + +∞ 0,25 y −∞ • -2 Đồ thị: đồ thị nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng Đồ thị qua điểm : (1;0);(0; 2); (2; −2); (1 − 3;0); (1 + 3; 0) 0,25 b 1,0 điểm - Đường thẳng (d ) có phương trình : y = k ( x − 1) - Phương trình hồnh độ giao điểm (C ) (d ) : k ( x − 1) = x3 − x + DeThiThuDaiHoc.Com (1) 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam - Để (d ) cắt (C ) điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ k ( x − 1) = ( x − 1)( x − x − 2) có nghiệm phân biệt ⇔ ( x − 1)( x − x − − k ) = có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x) = x − x − − k = (2) có nghiệm phân biệt khác ∆ ' = + + k > ⇔ ⇔ k > −3 g (1) = −3 − k ≠ 0,25 0,25 - Giả sử nghiệm phân biệt (1) x1 = ; x2 ; x3 với x2 ; x3 nghiệm (2) Áp dụng định lý Vi-ét có: x2 + x3 = 2; x2 x3 = −( k + ) 2 ⇒ x2 + x3 = ( x2 + x3 ) − x2 x3 = − 2(−2 − k ) = + 2k 2 Vậy x12 + x2 + x3 = 11 ⇔ + + 2k = 11 ⇔ k = (thỏa mãn) 1,0 điểm x x π x Ta có: + sin sin x − cos sin x = cos − (1) 2 2 x x π (1) ⇔ + sin sin x − cos sin x = + cos − x = + sin x 2 2 x x x x x x ⇔ sin x sin − cos sin x − 1 = ⇔ sin x sin − cos 2sin cos − 1 = 2 2 2 x x x ⇔ sin x sin − 1 2sin + 2sin + 1 = 2 sin x = x = kπ x ⇔ sin = ⇔ x π (k ∈Z ) = + k 2π 2 x x 2sin + 2sin + = 0(VN ) 2 x = kπ ⇔ ⇔ x = kπ , ( k ∈ Z ) x = π + k 4π Vậy phương trình có nghiệm x = kπ (k ∈ Z ) 1,0 điểm Đk: −1 ≤ x ≤ t2 − Đặt t = x + + − x ,(2 ≤ t ≤ 2) ⇒ + x − x = Phương trình cho trở thành : t − 2t − = ⇔ (t − 2)(t + 2t + 2) = ⇔ t = x = −1 Với t = ⇔ x + + − x =2 ⇔ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = −1 x = 1,0 điểm x + y = (1) Phương trình: ( x + y )(1 + xy ) = 32 (2) Ta có (2) ⇔ ( x + y )(2 + xy ) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (3) Thay x + y = vào (3) ta có : 0,25 ( x + y )( x + y + xy ) = 29 ⇔ ( x + y )( x + y )8 = 29 ⇔ ( x + y )9 = 29 ⇔ x + y = DeThiThuDaiHoc.Com 0.25 www.MATHVN.com – Tốn học Việt Nam Khi ta có hệ phương trình x + y = x + y = x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ 2 xy = y =1 x + y = ( x + y ) − xy = Kết luận : Hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) 1,0 điểm 0.25 0.25 S P K A D E H N B C M Gọi H trung điểm AB Ta có AH ⊥ ( ABCD ) , SH = a 5a S ABMN = S ABCD − S ADN − S MNC = (đvdt) 3a VS ABMN = SH S ABMN = (đvdt) 48 Ta có KM ( APN ) (Vì KM SC NP, NP ⊂ ( APN ) ) Gọi E = AN ∩ MD ME ⊥ ( SHC ) mà ( SHC ) ( APN ) nên ME ⊥ ( APN ) ⇒ d ( KM , AP ) = d ( KM , ( APN )) = d ( M , ( APN )) = ME Tam giác EDN đồng dạng với tam giác CDM ⇒ ED = 5a a , ME = 10 0.25 0.25 0.25 0.25 5a Vậy d ( KM , AP ) = ME = 10 1,0 điểm Ta có: 4( x + y ) − = ⇔ y = − x Do y > nên < x < 20 − 15 x ⇒ P= + = x 4y x(5 − x) Xét hàm số f ( x) = 0.25 20 − 15 x −60 x + 160 x − 100 với x ∈ (0; ) ; f ′( x) = ; 5x − x2 (5 − x ) x = ′( x) = ⇔ ; lim f ( x) = +∞; lim− f ( x) = +∞; f x = (l ) x →0+ x→ Bảng biến thiên x _ f'(x) f(x) 0 + +∞ +∞ 0.25 0.25 DeThiThuDaiHoc.Com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Từ bảng biến thiên ta có f ( x) = đạt x = (0; ) Vậy P có giá trị nhỏ đạt x = y = 7.a 0.25 1,0 điểm - Ta có : AC = (4; −4); M (−1; 0); N (1; −2) - Đường thẳng AC có phương trình : x + y − = ⇒ đường thẳng BP có phương trình: x − y = ⇒ P (1;1) Giả sử đường tròn qua P; M ; N có phương trình 0.25 0.25 x + y + 2ax + 2by + c = (a + b − c > 0) 8.a a = − 2a + 2b + c + = Khi ta có hệ phương trình −2a + c + = (thỏa mãn) ⇔ b = 2a − 4b + c + = c = −2 2 Vậy đường trịn cần tìm có phương trình: x + y − x + y − = 1,0 điểm log ( x + 1) + = log − x + log8 (3 + x)3 (1) −3 < x < Điều kiện : x ≠ −1 (1) ⇔ log x + + = log (3 − x) + log (3 + x) ⇔ log x + = log (9 − x ) x2 + x − = ⇔ x +1 = − x ⇔ x − x − 13 = 0.25 0.25 0.25 0.25 9.a x = x = −5 ⇔ x = + 17 x = − 17 Kết hợp với điều kiện ⇒ (1) có hai nghiệm x = x = − 17 1,0 điểm - Số cách lấy hộp sữa cách tuỳ ý 12 hộp sữa là: C12 = 220 - Số cách lấy sữa cam sữa dâu : C52 C7 = 70 - Số cách lấy sữa cam : C53 = 10 7.b ⇒ Số cách lấy hộp sữa cho có hộp sữa cam là: C52 + C5 = 80 80 - Xác suất lấy hộp sữa cam là: = 220 11 Vậy xác suất cần tìm 11 1,0 điểm DeThiThuDaiHoc.Com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 13 xE = 13 - Gọi E trung điểm AC ⇒ BE = BG ⇒ ⇒ E ; 2 y = E Gọi K điểm đối xứng B qua AD K ∈ AC , - Phương trình BK : 2x − y + 25 = 0.25 - Gọi H trung điểm BK H ∈ AD 2x − y + 25 = - Tọa độ H ( x; y ) : ⇒ H ( −9; ) ⇒ K ( −6;13) x + y − = - Phương trình AC (phương trình EK ): x+y − = 0.25 - Ta có: AC ∩ AD = A ⇒ A ( 9; −2 ) ⇒ C ( 4;3) 0.25 x−4 y −3 = ⇔ ( BC ) : x − y + 20 = −12 − − Kết luận: Phương trình cạnh ( BC ) : x − y + 20 = 0.25 - Có B ( −12;1) , C ( 4;3) ⇒ ( BC ) : 8.b 1,0 điểm C D I (d) B 0.25 A Đường trịn (C ) có tâm I (3; − 1), bán kính R = Ta có A(3;3) ∈ (C ) Phương trình đường thẳng (d ) có dạng: a ( x − 3) + b( y − 3) = 0, (a + b ≠ 0) ⇔ ax + by − 3a − 3b = 9.b Giả sử (d ) cắt (C ) hai điểm A, B Ta có AB = IA = d ( I , d ) = AB = 2 3a − b − 3a − 3b ⇔ = 2 ⇔ b = a + b ⇔ b = ± a 2 a +b Chọn a = ⇒ b = ±1 Vậy phương trình đường thẳng (d ) cần lập là: x + y − = x − y = 1,0 điểm Đk: n ≥ 3, n ∈ N 14 2(2!)(n − 2)! 14(3!)(n − 3)! Ta có: + = ⇔ + = Cn 3Cn n n! n !(3) n n = 9(t / m) ⇔ n − n − 18 = ⇔ n = −2(l ) DeThiThuDaiHoc.Com 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 18 18 k =0 k =0 k k Từ đó: (1 − x) n = (1 − x)18 = ∑ C18 (− x 3) k = ∑ C18 (− 3) k x k 0.25 Vậy hệ số : a9 = C18 (− 3)9 = −3938220 0.25 Hết DeThiThuDaiHoc.Com ... – Tốn học Việt Nam ĐÁP ÁN KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013 -2014 Mơn: TỐN; Khối A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh... 0,25 -Hết - www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013 -2014 www.MATHVN.com Mơn: TỐN; Khối B Thời gian làm bài:... giới hạn : lim www.DeThiThuDaiHoc.com 1,0 0.25 0.25 0.25 0.25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2013 -2014 Mơn: TỐN; Khối D Thời gian làm
