Luận án cao học Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 45 Chương 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC Phương trình cân bằng đáp ứng động học : )(tFKUUCUM =++ &&& (4.1 ) Với : F(t) = F I (t) + F D (t) + F E (t) (4.2) Trong đó : F I (t) : Lực quán tính F I (t) = UM && F D (t) : Lực cản F D (t) = UC & F E (t) : Lực đàn hồi , F E (t) = KU Để giải phương trình trên có nhiều phương pháp khác nhau I – Phương pháp sai phân trung tâm : Vận tốc và gia tốc tại thời điểm t được tính như sau : )2( 1 2 tttttt UUU t U ∆+∆− +− ∆ = && (4.3) )( 2 1 ttttt UU t U ∆+∆− +− ∆ = & (4.4) Giải phương trình tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t bằng cách giải phương trình (4.1) ở thời điểm t tttt RKUUCUM =++ &&& (4.5) Thay t U && và t U & từ (4.3) và (4.4) vào (4.1), ta được : tttttt UC t M t UM t KRUC t M t ∆−∆+       ∆ − ∆ −       ∆ −−=       ∆ + ∆ 2 112 2 11 222 (4.6) Từ phương trình này chúng ta có thể tính được tt U ∆+ dựa vào điều kiện cân bằng ở thời điểm t và phương trình (4.5) . Do đó quá trình sai phân trung tâm là phương pháp hiện , quá trình sai phân không đòi hỏi các hệ số ảnh hưởng của ma trận độ cứng trong mỗi bước giải kế tiếp . Trình tự các bươc như sau : Bước 1 : - Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : - Xác đònh điều kiện ban đầu 00 ,,UU & ⇒ U && từ phương trình (4.1 ) Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t sao cho ∆t< ∆t cr = T n /π ,tính toán các hệ số tích phân .Chu kỳ T n được chọn với giá trò nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do t a ∆ = 1 0 t a ∆ = 2 1 1 02 2aa = 2 3 1 a a = Bước 4 : Tính 0 3 00 UaUtUU t &&& +∆−= ∆− Bước 5 : Tính ma trận khối lượng ảnh hưởng Luận án cao học Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 46 CaMaM 10 ˆ += Bước 6 : Tính tải trọng ảnh hưởng ở thời gian t ttttt UCaMaUMaKRR ∆− −−−−= )()( ˆ 102 Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t : RUM tt ˆˆ = ∆+ Bước 8 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t )2( 0 tttttt UUUaU ∆+∆− +−= &&& )( 1 ttttt UUaU ∆+∆− +−= & II - Phương pháp Houbolt : Phương pháp sai phân Houbolt liên quan thành phần chuyển vò của phương pháp sai phân trung tâm . Biểu thức của vân tốc và gia tốc : ( ) ttttttttt UUUU t U ∆−∆−∆+∆+ −+− ∆ = 2 2 452 1 && (4.7) ( ) ttttttttt UUUU t U ∆−∆−∆+∆+ −+− ∆ = 2 291811 6 1 & (4.8) Để có được lời giải tại t+∆t, chúng ta xem xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+∆t tttttttt RKUUCUM ∆+∆+∆+∆+ =++ &&& (4.9) Thế (9.14),(9.15) vào (9.16) ta được : tttt ttttt UC t M t UC t M t UC t M t RUKC t M t ∆−∆− ∆+∆+       ∆ + ∆ +       ∆ + ∆ −       ∆ + ∆ +=       + ∆ + ∆ 2 22 22 3 11 2 34 35 6 112 (4.10) Để tính được U t+∆t từ (4.10) cần phải biết được chuyển vò tại thời điểm U t , U t-∆t và U t-2∆t Phương pháp Houbolt là phương pháp sai phân ẩn , xét phương trình cân bằng tại thời điểm t+∆t . Để giải phương trình sai phân (4.1 ) dựa vào điều kiện biên và kết quả của phương pháp sai phân trung tâm ở thời điểm ∆t và 2∆t Trình tự các bước như sau : Bước 1 : - Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : - Xác đònh điều kiện ban đầu 00 ,,UU & ⇒ U && từ phương trình (4.1 ) Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính toán các hệ số tích phân, chu kỳ T n được chọn với giá trò nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do 2 0 1 t a ∆ = t a ∆ = 6 11 1 2 2 5 t a ∆ = t a ∆ = 3 3 04 2aa −= Luận án cao học Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 47 2 3 5 a a − = 2 0 6 a a = 9 3 7 a a = Bước 4 : Sử dụng giá trò tính toán U ∆t và U 2∆t của phương pháp sai phân trung tâm Bước 5 : Tính toán ma trận độ cứng K ˆ CaMaKK 10 ˆ ++= Bước 6 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+∆t : )()( ˆ 2 753 2 4' ttttttt â ttt a tttt UaUaUaCUaUaUaMRR ∆−∆−∆−∆−∆+∆+ ++++++= Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+∆t : tttt RUK ∆+∆+ = ˆˆ Bước 8 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t : tttttttttt UaUaUaUaU ∆−∆−∆+∆+∆+ −−= 2 6420 &&& tttttttt UaUaUaUaU ∆−∆−∆+ −−−= 2 7531 & III – Phương pháp Wilson : Phương pháp Wilson chủ yếu là sự mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính ,trong dao động tuyến tính của gia tốc từ thời điểm t đến thời điểm t+∆t Hình 4.1 – Tuyến tính hoá gia tốc phương pháp θ của Wilson Phương pháp Wilson giả thiết gia tốc tuyến tính trong khoảng thời gian t đến t+θ∆t .Trong đó θ ≥1.0 , khi θ = 1 .0 sẽ làm giảm gia tốc tuyến tính . Điều kiện ổn đònh θ ≥ 1.37, thường dùng θ = 1.40 τ lấy trong khoảng 0 ≤ τ ≤ θ∆t , từ t đến t+θ∆t ta có : )( τθττ θ τ UU t UU ttt &&&&&& − ∆ += ∆++ (4.11) )( 2 τθτττ θ τ τ UU t UUU ttt &&&&&& − ∆ ++= ∆++ (4.12) )( 62 1 3 2 τθττττ θ τ ττ UU t UUUU ttt &&&&& − ∆ +++= ∆++ (4.13) Từ (4.12) và (4.13), tại thời điểm t+θ∆t : t τ tt U ∆+ && t U && tt U ∆+ θ && t+∆t t+θ∆t Luận án cao học Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 48 )( 2 τθτθ θ UU t UU tttt &&&&&&& + ∆ += ∆+∆+ (4.14) )2( 6 22 τθττθ θ θ UU t UtUU tttt &&&&& + ∆ +∆+= ∆+∆+ (4.15) Từ đó có thể tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+θ∆t theo tt U ∆+ θ τττθθ θ θ UU t UU t U tttt &&&&& 2 6 )( 6 22 − ∆ −− ∆ = ∆+∆+ (4.16) τττθθ θ θ U t UUU t U tttt &&& 2 2)( 3 ∆ −−− ∆ = ∆+∆+ (4.17) Để tính chuyển vò,vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+ ∆t ta xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+θ∆t : tttttttt RKUUCUM ∆+∆+∆+∆+ =++ θθθθ &&& (4.18) Ở đây : ( ) tttttt RRRR −+= ∆+∆+ θ θ (4.19) Thế (4.16)(4.17) vào (4.18) thu được tt U ∆+ θ sau đó thay tt U ∆+ θ vào (4.16) thu được tt U ∆+ θ && Trình tự các bước giải như sau : Bước 1 : - Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : - Xác đònh điều kiện ban đầu 00 ,,UU & ⇒ U && từ phương trình ( ) Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t,tính toán các hằng số tích phân ,chọn θ = 1.4 2 0 )( 6 t a ∆ = θ t a ∆ = θ 3 1 12 2 aa = 2 3 t a ∆ = θ θ 0 4 a a = θ 3 5 a a − = θ 3 1 6 −=a 2 7 t a ∆ = 6 2 8 t a ∆ = Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng K ˆ CaMaKK 10 ˆ ++= Bước 5 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+∆t : )2()2()( ˆ 312' tttttt a tttttt UaUUaCUUaUaMRRRR &&&&&& ++++++−+= ∆+∆+ θ Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+ ∆t : tttt RUK ∆+∆+ = θθ ˆˆ Bước 7 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t : ttttttt UaUaUUaU &&&&& 654 )( ++−= ∆+∆+ θ )( 7 tttttt UUaUU &&&&&& ++= ∆+∆+ )2( 8 ttttttt UUaUtUU &&&&& ++∆+= ∆+∆+ IV – Phương pháp Newmark : Phương pháp sai phân cũng được xem là mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính . Chuyển vò và vận tốc tại thời điểm t+∆t được tính như sau : [ ] tUUUU tttttt ∆+−+= ∆+∆+ &&&&&& δδ )1( (4.20) Luận án cao học Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 49 2 ) 2 1 ( tUUUtUU ttttttt ∆       +−+∆+= ∆+∆+ &&&&& αα (4.21) Ở đây α vàδ là các hệ số có thể được xác đònh để sai phân chính xác và ổn đònh Ban đầu Newmark đề nghò không có điều kiện ổn đònh và phương pháp gia tốc trung bình với δ = 0.5 và α = 0.25 Hình 4.2 – Gia tốc trung bình của Newmark Trình tự các bước như sau : Bước 1 : - Xác đònh ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C Bước 2 : - Xác đònh điều kiện ban đầu 00 ,,UU & ⇒ U && từ phương trình (4.1 ) Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính toán các hằng số tích phân Với δ ≥ 0.5 và α ≥ 0.25(0.5+δ) 2 2 0 1 t a ∆ = α t a ∆ = α δ 1 t a ∆ = α 1 2 1 2 1 3 −= α a 1 4 −= α δ a       − ∆ = 2 2 5 α δ t a )1( 6 δ −∆= ta ta ∆= δ 7 Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng K ˆ CaMaKK 10 ˆ ++= Bước 5 : Tính toán tải trọng ảnh hưởng ở thời điểm t+∆t : )()2( ˆ 5412' tttttt a tttt UaUaUaCUUaUaMRR &&&&&& ++++++= ∆+∆+ Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vò tại thời điểm t+ ∆t : tttt RUK ∆+∆+ = ˆˆ Bước 7 : Giá trò vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t : ttttttt UaUaUUaU &&&&& 320 )( −−−= ∆+∆+ ) 76 tttttt UaUaUU ∆+∆+ ++= &&&&&& t U && tt U ∆+ && t t+ ∆ t )( 2 1 ttt UU ∆+ + &&&& . Luận án cao học Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 45 Chương 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC Phương trình cân. t a ∆ = 3 3 04 2aa −= Luận án cao học Chương 4 : Giải phương trình cân bằng động học 47 2 3 5 a a − = 2 0 6 a a = 9 3 7 a a = Bước 4 : Sử dụng