Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số 9 cơ bản và nâng cao được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về toán học lớp 9 và để ôn thi vào lớp 10.
Chuyên đề 1: Biến đổi đại số 1.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: • • Căn bậc hai số thực a số thực x cho a Cho số thực không âm Căn bậc hai số học x a âm mà bình phương : a ≥ x ≥ ⇔ a=x x = a a a kí hiệu Với hai số thực khơng âm ta có: Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A A≥0 A2 = A = A0 ( ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) M Am B M = A− B A± B ) A, B ≥ 0, A ≠ B + với 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n (Đây gọi phép trục thức mẫu) 1.2.1 CĂN THỨC BẬC Kiến thức cần nhớ: Căn bậc số a Cho a kí hiệu a ∈ R; a = x ⇔ x = • A < 0; B ≥ với M M A = A A • số thực không a ≤ b ⇔ a ≤b a, b • • x2 = a ( a) 3 =a số x cho x3 = a • Mỗi số thực a có bậc a >0 a>0 Nếu a xy + yz + zx = ( 1+ y ) ( 1+ z ) + y ( 1+ z ) ( 1+ x ) + z ( 1+ x ) ( 1+ y ) P=x 2 + x2 a) Tính giá trị biểu thức: x y z + − = 2 1+ x 1+ y 1+ z2 (1+ x ) ( 1+ y ) (1+ z ) 2 + x = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) a) Để ý rằng: + y ;1 + z 2 x ta có: 1+ x 2 =x ( y + x) ( y + z ) ( z + x) ( z + y ) ( x + y) ( x + z) = x( y + z) P = x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y ) = ( xy + yz + zx ) = Suy 1+ z2 xy Lời giải: ( 1+ y ) ( 1+ z ) + y2 b) Chứng minh rằng: Tương tự 2 b) Tương tự câu a) x y z x y z + − = + − 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y) ( x + z) ( x + y) ( y + z) ( z + y) ( z + x) Ta có: = x ( y + z ) + y ( z + x) − z ( x + y) xy = = ( x + y) ( y + z) ( z + x) ( x + y) ( y + z) ( z + x) ⇒ xy ( 1+ x ) ( 1+ y ) ( 1+ z ) 2 y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Bài tập 6: x1 , x2 , , xn a) Tìm b) Cho x12 − 12 + x22 − 22 + + n xn − n = thỏa mãn: 4n + 4n − f ( n) = n + + 2n − với n x1 + x2 + + xn ) ( f (1) + f (2) + + f (40) nguyên dương Tính Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với: x1 = 2, x2 = 2.22 , , xn = 2.n ( ) ( x12 − 12 − + ) x2 − 22 − + + ( xn − n − n ) =0 Hay b) Đặt x + y = 4n x = 2n + 1, y = 2n − ⇒ xy = 4n − x2 − y = f ( n) = x + xy + y x − y 3 = = ( x − y3 ) = x+ y x −y 2 ( ( 2n + 1) − ( 2n − 1) Suy toán ta có: ( ) Áp dụng vào f ( 1) + f ( ) + + f ( 40 ) = = ) 813 − 13 = 364 1 ( ) ( 33 − 13 + ) 53 − 33 + + ( ) 813 − 793 ⇒ y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Bài tập a) Chứng minh rằng: 1 + + + >4 1+ 3+ 79 + 80 Chứng minh rằng: 1 1 + + + + > 1 − ÷ 2 3 n n +1 n +1 1 1 n −2< + + + + + < n −1 n b) Chứng minh: n≥2 dương với số nguyên Lời giải: 1 + + + 1+ 3+ 79 + 80 A= a) Xét A> B Dễ thấy B= , 1 + + + 2+ 4+ 80 + 81 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 79 + 80 80 + 81 A+ B = Ta có k + k +1 = ( ( k +1 − k k +1 + k )( ) k +1 − k ) = k +1 − k Mặt khác ta có: A+ B = Suy ( ) ( 2− + 2A > A + B = ⇔ A > ) − + + ( ) 81 − 80 = 81 − = Do A>B 1 1 − = < k k +1 2k k + k (k + 1) k + + k ( b) Để ý rằng: suy ) với k nguyên dương Suy 1 VT > 1 − − − ÷+ ÷+ + ÷ = 1 − ÷ 2 3 n +1 n +1 n P= 1 1 + + + + + n c) Đặt n + n +1 Ta có: ( < = < n n ) ( ) n +1 − n < Do đó: 2 ( T < 1+ Hay 3 x + 15 < ⇒ x < − Do phương trình(**)có nghiệm (3) ln dương, dẫn đến phương trình vơ nghiệm KL: 15 Từ suy vế trái ( x; y ) = ( −4; −2 ) y = − x2 − y − 38) Từ phương trình (2) ta thu được: Thay vào phương trình (1) ta có: xy xy x2 y x + x − x − y − ÷+ x − y = ⇒ x + x − xy − + x2 − y = 2 ⇔ ( x − 2)( x + x + 4) + x( x + x + 4) − y ( x + x + 4) = ⇔ x + x + x − x y − xy − y = ⇔ (x3 − 8) + (x3 + 2x2 + 4x) − (x2y + 2xy + 4y) = ⇒ (2x − − y)(x2 + 2x + 4) = ⇔ y = 2x − Thay y = 2x − vào phương trình (2)và rút gọn ta x = ⇒ y = −2 x(6 x − 7) = ⇔ x = ⇒ y = 245 Vậy hệ phương trình có nghiệm 39) Với điều kiện x>0 7 1 ( x; y ) = (0; −2), ; ÷ 3 hệ phương trình cho tương đương với hệ: x y + xy − xy − 12 y − y + = 2 13 y + y + − xy = 2 Lấy (1) + (2) ta có phân tích sau: x y + xy + y − xy − y + = ⇔ [ y ( x + 1)]2 − y ( x + 1) + = Ta y ( x + 1) = ⇔ 19 y − 17 y + = y= 17 + 213 49 − 213 ;x = 38 y= 17 − 213 49 + 213 ;x = 38 - Với - Với Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: 49 − 213 17 + 213 49 + 213 17 − 213 ( x; y ) = ; ; ÷ ÷ ÷, ÷ 38 38 40) Điều kiện: Với y≠0 a= Đặt y≠0 ta biến đổi hệ phương trình thành x ; b = xy y hệ phương trình trở thành a − b = 2ab − b = (3) b ⇔ 2 2a − 2ab + b = 2a (4) 2a − 2b + b = a Cộng (3) (4) theo vế thu gọn ta 246 x2 y − xy = xy x − xy + y = y a = −1 a2 − a − = ⇔ a = TH 1: a = −1 ⇒ b + 2b + = ( VN) TH : a = ⇒ b = ta có hệ phương trình x2 = x = ⇒ y y = xy = ( x; y ) = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 41) Điều kiện: Cách 1: Đặt ( 4; ) 1 − x ≥ −1 ≤ x ≤ ⇒ y − y ≥ 0 ≤ y ≤ t = x + 1, ≤ t ≤ Lúc hệ pt thành: t − 3t + = y − y + t − 3t = y − y ⇒ 2 2 2 x + − x − y − y = −2 x + − x − y − y = −2 3 Từ phương trình (1) ta suy ra: ( t − y ) ( t + ty + y − 3(t + y) ) = t + ty + y − 3(t + y ) = ⇔ t + ( y − 3) t + y − y = 2 Vì có ∆ = ( y − 3) − ( y − y ) = ( y − ) ( y − − y ) = −3 ( y − ) ( y + 1) < 2 nghiệm Vậy t = y ⇒ x +1 = y Thay x +1 = y vào phương trình (2) có: x − − x = −2 ⇔ − x + − x − = ⇔ ( )( − x2 − nên phương trình vơ ) − x2 + = − x2 = ⇔ ⇒ x = ⇒ y =1 − x = −3 Vậy hệ pt có nghiệm Cách 2: Phương trình (2) 247 ( x; y ) = ( 0;1) ⇔ x2 + − x2 + = y − y2 ⇔ f ( x ) = g ( y ) f ( x) Xét miền [ −1;1] ≤ f ( x) ≤ ta có g ( y) = y ( − y) ≤ Ta lại có: Vậy f ( x) ≥ g ( y) y+2− y =3 Dấu xảy Thay vào phương trình (1) có nghiệm Vậy hệ có nghiệm 42) Vì x=0 ( x; y ) = ( 0;1) 13 y =1 x = ±1, x = ( x; y ) = ( 0;1) (thỏa mãn) nghiệm hệ chia phương trình (1) cho x − x + 3x − = x ( − y ) − y 3 ( − 2y) ,b = − 2y y Đặt suy Thay vào pt thứ ta được: ( ) ( x + −3 − Với ) 15 − x − = ⇔ ⇔ x=7⇒ y= 43) Dễ thấy xy = xy ≠ + 3− 2y a + a = b + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = ⇔ a = b x−7 + x+2 +3 x−7 ( 15 − x ) + 15 − x + =0 111 98 không thỏa mãn hệ viết lại hệ dạng: Điều kiện để phương trình 1 x − ÷ y − ÷ = x y 2 x + y + xy − x − y + 14 = x + y + xy − x − y + 14 = 7 ∆1 = ( y − ) − y + 24 y − 56 ≥ ⇔ y ∈ 1; 3 248 ta thu được: 1 1 ⇔ 1 − ÷ + 1 − ÷ = x x a = 1− x3 (ẩn x) có nghiệm Điều kiện để phương trình x + y + xy − x − y + 14 = (ẩn y) có nghiệm là: 10 ∆ = ( x − ) − x + 28 x − 56 ≥ ⇔ x ∈ 2; 3 f ( t ) = 2t − Xét hàm số t đồng biến ( 0; +∞ ) “Để chứng minh hàm số giá trị x1 ≠ x2 ∈D Ngược lại để chứng minh hàm số x1 ≠ x2 ∈D x≥ 44) Điều kiện xác định f ( x1 ) − f ( x2 ) >0 x1 − x2 f ( x) −1 ;y≥2 a = x + 1, b = Đặt suy ⇔ 2x +1 = y−2 2a + a = 2b3 + b ⇔ a = b Từ phương trình thứ y−2 4 y − + y + = 6(*) Thay vào phương trình thứ hai ta được: Đặt ⇒ y=6 249 2y = t2 − ta làm ” hệ ta có: t = 2y + D ( x + 1) + x + = ( y − 3) 4 x + + y + = y−2 ta làm sau: Xét hai ” f ( x1 ) − f ( x2 ) 48) Điều kiện: Ta có (1) tương đương 251 Đặt thay vào ta a + 2b = 5 − 2y + y + = ⇔ a + 2b = ( x; y ) = ( −1; ) , ) − x = y −1 ⇔ x = − y y −1 ( x+ )( x2 + y + y2 + )( ) y2 +1 − y = y2 +1 − y ⇔ x + x + = − y + y + Từ ta rút x = −y y y+ y −1 = 35 12 Thay vào (2) ta được: y>0 Bình phương hai vế (điều kiện y2 y2 + y2 −1 ) Khi ta có: + y2 y4 − y2 + y2 y2 35 35 = ⇔ + = ÷ ÷ 2 y − 12 y −1 y − 12 y2 y2 −1 =t >0 Đặt Phương trình tương đương: 49 t = − ( L) 35 12 t + 2t − ÷ = ⇔ ⇔ 25 12 t = 12 y=± y 25 = ⇔ y − 12 y = ± Đối chiếu điều kiện lấy giá trị dương ( x; y ) = − 5 5 ; ÷, − ; ÷ 4 3 Vậy hệ có nghiệm 49) Triển khai phương trình (1) (1) ⇔ x y + xy + + x + xy + y = ⇔ x y + x + y + = −8 xy ⇔ ( x + 1) ( y + 1) = −8 xy Nhận thấy x = 0, y = không nghiệm hệ Phương trình (1) là: x y = a; =b x +1 y +1 x2 + y + = −8 x y Đặt 252 Hệ cho tương đương: x x + = − a = − x = −1 y = 1 b = y + a + b = − y = ± ⇔ ⇔ ⇔ x a = = −8 x = + ± = ab y = −1 x +1 y = − b = − y + 2 Vậy hệ có nghiệm 50) Ta có: ( x; y ) = ( −1; − ( x + y ) ≤ ( + 1) ( x + y 2 ) (x ⇒ )( )( )( ) , −1; + , − 3; −1 , + 3; −1 + y2 ) x2 + y2 ) x + y ( ( x + y) ≥ ⇔ ≥ 2 Mặt khác ta có: ( x + 2y) x + xy + y ( x + y ) + ( x − y ) = ≥ 12 ⇒ x + 2y x + xy + y ≥ Từ suy x2 + y x + xy + y + ≥ x + 2y ≥ x + 2y x = 2y ≥ Dấu xảy Thay vào phương trình cịn lại ta thu được: x − x3 + 3x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x3 + 3x + 1) = ⇔ x = ⇒ y = ( x; y ) = 1; Hệ có cặp nghiệm: 1 ÷ 2 ( x − 4) + ( y − 4) + ( z − 4) = 3 51) Cộng theo vế pt hệ ta được: (*) Từ suy số hạng tổng phải có số hạng không âm, không ( z − 4) ≥0⇒ z ≥4 tính tổng qt ta giả sử: Thế phương trình thứ hệ tương đương: 253 x3 − 16 = 12 ( z − ) ≥ 12.22 ⇒ x ≥ Thế phương trình thứ hai hệ tương đương: y − 16 = 12 ( x − ) ≥ 12.22 ⇒ y ≥ Do từ Vậy ( x − 4) + ( y − ) + ( z − ) = ( *) ⇒ x = y = z = ( x; y; z ) = ( 4; 4; ) 3 nghiệm hệ 52) Phương trình (1) hệ có dạng: Do x2 + + y −1 > ( x2 + − y )( thử lại thỏa mãn ) x2 + + y −1 = x2 + − y = ⇔ y = x2 + nên suy ( x + 2) + ( x + 2) ( x + 2) + = − x − x ( −x) thay vào phương trình +2 (2) ta có: ⇒ x + = − x ⇔ x = −1 ⇒ y = ( x; y ) = ( −1; Vậy hệ có nghiệm 53) Theo bất đẳng thức si ta có: ) x x x+ y 1 x x+ y = ≤ + ÷ x + y x + 3y x + y x + 3y x + 3y ⇒ y 2y 11 2y x + 3y = x + 3y ≤ + x + 3y ÷ x+ y 1 x 3 ≤ + ÷ x + 3y x + y x+ y 1 x 3 ≤ + ÷ y + 3x x + y Tương tự ta có: ( Từ suy 1 x+ y + ÷≤ x + 3y 3x + y ÷ ) phương trình thứ ta được: x= y=4 2 y − ( x + 4) y + y + x − x = 1− x + x + y + = 4( x − 1) + y − 254 Dấu xảy x= y thay vào 1 − x ≥ x + y + ≥ 54) Điều kiện: Phương trình thứ hệ viết lại thành: x − ( y + 4) x + y − y + y = ⇒ ∆ = ( y + 4) − 4(2 y − y + y ) = ( y − y + ) Từ ta tính được: Vì x = 2y x = y − 2y + x = y − y + = ( y − 1) + > Thay x = 2y nên khơng thỏa mãn vào phương trình thứ hai ta được: 1− x + x + = x2 − x + 2 x2 − 4x + Ta có: 5 = (2 x − 1) + ≥ 2 ; 1− x 1 + 2x + = − x + x + ≤ + 1÷( − x + x + ) = 2 4 Vậy hệ có nghiệm dấu đồng thời xảy Suy 1 x= ;y= x>0 55) Từ phương trình (2) ta suy Phương trình (1) viết lại sau: x + ( y − y − 1) x − y − y = ⇒ ∆ = ( y − y − 1) + ( y + y ) = ( y + y + 1) Từ tính được: 255 x = − y2 < x = y +1 Thay y = x −1 x( x + 4) = x + + x vào phương trình ta thu được: x +4 trình cho ta có: x >0 x +4 t= t = 2t − 3t + = ⇔ t = 2 Đặt x 2x = 1+ x +4 x +4 ta có t =1⇔ x − x + = Với t= Với vô nghiệm ⇔ x = ⇒ y =1 Vậy hệ có nghiệm 56) Điều kiện: ( x; y ) = ( 2;1) x ≥1 Ta viết lại phương trình (1) thành: Tính x + ( y + 2) x − y − y − y = 2 x = 2y ∆ = ( y + ) + y + 16 y + 16 y = ( y + y + ) ⇒ x = − y − 2y − < y= Thay ( x vào phương trình ta thu được: ) x − + x + = x − x + 9(*) Theo bất đẳng thức Cosi ta có: ( ) 3 x − + x + = 1.( x − 1) ≤ ( + x − 1) = x 2 33 2x + = 33 x + 10 4.4.( x + 2) ≤ ( + + x + ) = 2 ( Từ suy ) x −1 + 2x + ≤ x + 10 x+ = 2x + 2 x − x + − (2 x + 5) = ( x − ) ≥ Mặt khác ta có: 256 Chia phương Từ suy phương trình (*) có nghiệm dấu đồng thời xảy Suy hệ phương trình có nghiệm Mặt khác ta thấy ( x; y ) = ( 2;3) Vậy a = x+ y+ 57) Hệ Đặt x = 2; y = x=2 ( x; y ) = ( 2;1) nghiệm hệ nghiệm hệ ,b = x − y ⇔ x+ y + 3( x − y ) = 13 5 ( x + y ) + 2 ( x + y ) ( x + y + ) + x − y = x+ y nên ta có: 5(a − 2) + 3b = 13 5a + 3b = 23 ⇔ a + b = a + b = 2 Giải hệ ta tìm a = b = −3 a = − b = −1 ± ± 11 ; , ; − , ; − ÷ ÷ ÷ ÷ 4 2 ( x; y ) = Từ ta tìm nghiệm hệ: 58) Từ phương trình (2) ta suy x, y ≥ xy ≥ ⇔ x, y dấu Từ phương trình (1) ta suy x − y2 + y − x2 ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: xảy 257 x2 + y2 = x2 + − y2 y2 + − x2 + =2 2 Dấu x + y = ( x + y ) − 12( x − 1)( y − 1) + xy = Bài tốn trở thành: Giải hệ phương trình: ( x + y )3 − 12( x − 1)( y − 1) + xy − = ( x + y )3 + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy Ta có: Đặt t = x + y ⇒ t ≤ ( x2 + y ) = ( x + y) ta thu − xy = ⇔ x + y = ( t + 1) Ta ( x + y )3 + 12( x + y ) − 21 − 12 xy + xy ≤ có: ( x + y ) + 12( x + y ) − 21 − 12 ( x + y) t − 6t + 12t − = ( t − ) ≤ − ( x2 + y ) Khi t=2 x, y ≥ x3 + y + ( x + y ) xy = xy ( x + y ) Ta có: ( x + y) ⇒ x = y =1 59) Từ phương trình hệ ta suy + = t − 6t + 12t − Ta có nghiệm hệ Xét phương trình: x3 + y + ( x + y ) xy = ( x + y ) ( x + y + xy ) = ( x + y ) ( x + y ) + xy ( x + y) + xy ≥ ( x + y) thức Cơ si ta có: Theo bất đẳng xy Suy x3 + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) ( x + y) = xy ( x + y ) Ta có ( x + y) = ( x + y ) + xy ≥ (x + y ) xy x3 + y + ( x + y ) xy ≥ xy ( x + y ) phương trình (2) ta thu được: 258 Dấu xảy Suy x= y Thay vào x − x − = − x ⇔ x − − x = ( x − 3) ⇔ 2x − + x = x≥ Do Tóm lại: Hệ có nghiệm: 259 nên pt vô nghiệm x= y =3 ( x − 3) 2x − + x = ( x − 3) Suy x=3 hoặc: ... Nhận xét: ( x + 2015 + x )( ) x + 2015 − x = x + 2015 − x = 2015 x + 2015 − x = y + 2015 + y Kết hợp với giả thiết ta suy ⇒ y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y =... + 194 0 ) 2012 = 2016 2016 f ( n) 22 Nhân tử mẫu n +1 − n với f ( n ) = ( n + 1) n + − n n , ta được: n Cho từ 2016 đến , ta được: f ( 1) = 2 − 1; f ( ) = 3 − 2; ; f ( 2016 ) = 2017 2017 − 2016 ... x − 3x − = P = x5 − x + x3 − x − x + 2015 = ( x − x + 1) ( x − x − x − 1) + 2016 = 2016 Ta biến đổi: ⇒ y + 2015 + y + x + 2015 + x = x + 2015 − x + y + 2015 − y ⇔ x + y = Bài tập 5: Cho x, y