Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9 dạy học áp dụng ở trường THCS , giúp giáo viên tham khảo chuyên môn nhằm nâng cao kiến thức, kĩ năng nghiệp vụ chuyên môn bộ môn, đồng thời tăng cường đổi mới phương pháp, kĩ thuật dạy học, để áp dụng vào dạy học môn ở trường trung học cơ nhằm đạt kết quả cao nơi mà giáo viên đang công tác giảng dạy. Sáng kiến này giúp cho giáo viên tham khảo, có nhiều kĩ năng và kinh nghiệm trong giảng dạy môn học, nâng cao chất lượng giảng dạy.
Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong trình giảng dạy nghiên cứu Đại số lớp 9, nhận thấy năm gần đề thi học kỳ, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT đề ôn thi tham khảo, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi tốn học sinh lớp thường có tốn u cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Đây dạng toán em làm quen số dạng tốn chương trình đại số lớp - chương I Tuy nhiên tốn liên quan đến tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp dạng tốn khó đa dạng em học sinh kiến thức nâng cao dần phức tạp Để giải dạng tốn địi hỏi em nắm vững kiến thức tốn, biết tổng hợp kiến thức vận dụng tư sáng tạo sử dụng phương pháp khác từ dễ đến khó trình làm Câu hỏi đặt : “Làm để giúp em tìm phương pháp gặp tốn tìm Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Sau năm phân cơng giảng dạy ơn thi tuyển sinh Tốn 9, suy nghĩ làm cho em làm quen tự tin không sợ sai đặt bút làm tập dạng toán số phương pháp giải bản, dễ hiểu xác Với mong muốn tơi xin đưa sáng kiến “Một số phương pháp tìm Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Mục đích đề tài: Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Với đề tài ““Một số phương pháp tìm Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9”, mong muốn giúp học sinh lĩnh hội kiến thức mới, tiếp thu dạng tốn khó tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, hiểu chất tốn tìm quy luật tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp Ngoài mong muốn nhằm trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp để đề tài ngày hoàn thiện vận dụng cho giáo viên trường giáo viên trường khác dạy Toán Nhiêm vụ đề tài: - Hướng dẫn học sinh giải tập khó tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số mốt số phương pháp từ dễ đến khó - Giúp em tự tin gặp dạng tốn này, kích thích tính tự học, say mê mơn học tự nhiên nói chung mơn tốn nói riêng - Là phương tiện góp phần phát triển tư duy, lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức cho học sinh - Giúp học sinh phát triển tâm lý nhanh nhẹn, làm việc khoa học, sáng tạo Phạm vi giới hạn đề tài: Đề tài tơi xoay quanh vào dạng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp minh họa trực quan dạng toán số toán biểu thức đại số chương trình tốn lớp 9, có giải rõ ràng, số tập ví dụ cho thêm để tham khảo cho phương pháp Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Đối tượng phương pháp nghiên cứu: 5.1 Đối tượng nghiên cứu: Giáo viên dạy toán THCS học sinh khối 8; 5.2 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sách tham khảo để tìm dạng cụ thể từ tổng hợp thành số phương pháp giải cho dạng toán - Nghiên cứu phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số chương trình THCS - Cho học sinh làm số tập tương tự để rèn luyện kỹ phát triển tư cho học sinh trình giảng dạy tiết luyện tập - Chỉ số sai lầm trình học sinh làm hướng khắc phục cụ thể cách trình bày giải - Tham khảo ý kiến học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Điểm đề tài: - Các tốn tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số đa dạng, phong phú, sách kiểu dạy, cách trình bày khác làm học sinh khó định hướng phương pháp giải ngán ngẩm làm toán dạng Đề tài góp phần phát triển khả tự suy luận, tổng hợp vấn đề học sinh; Giúp em thấy hay, đẹp, sức hấp dẫn tốn học, kích thích tị mị, khám phá, tìm hiểu bớt áp lực đứng trước tốn khó - Trình bày cụ thể dạng tốn theo mức độ từ dễ đến khó, từ đến phức tạp, kèm theo tơi mạnh dạn đưa số mẹo làm để học sinh cần đọc đề áp dụng phương pháp hướng dẫn Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” mà không cần phải suy nghĩ nhiều hướng giúp tiết kiệm thời gian đạt trọn số điểm kì thi quan trọng Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” B NỘI DUNG I Quá trình tìm hiểu, khảo sát thực trạng: Thuận lợi: - Được quan tâm sâu sát đạo tận tình Ban giám hiệu trường THCS …… - Có nhiều phương tiện tham khảo, tra cứu sách, báo, mạng internet từ nguồn đáng tin cậy… - Học hỏi đồng nghiệp giàu kinh nghiệm thông qua họp tổ, thao giảng trường, thị xã Được tham gia chuyên đề, lớp bồi dưỡng chun mơn hè - Tơi có tinh thần học hỏi đầu tư nghiên cứu chuyên môn giao nhiệm vụ làm sáng kiến Khó khăn: - Học sinh chưa quen thuộc có tâm lý “sợ” gặp với dạng tốn tìm Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số - Học sinh tiếp xúc nhiều thơng tin, nhiều phương tiện giải trí khiến em khơng hứng thú với việc học, chưa có thói quen tự học, tự nghiên cứu để tự tìm vấn đề - Số tiết luyện tập theo phân phối chương trình cịn nên giáo viên khó triển khai, bồi dưỡng dạng toán cho học sinh lớp Thực trạng: Qua thuận lợi khó khăn tơi vừa nêu tơi rút rằng: Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” - Học sinh chưa nhạy bén việc vận dụng phương pháp học áp dụng vào giải tập khó; Suy luận cịn kém, cách trình bày thiếu logic, chưa có tính khoa học Tính tự học chưa cao, gặp tốn khó em khơng biết phải làm gì? Phải hướng nào? - Học sinh chơi game nhiều (do quan tâm gia đình) nên việc học ngày giảm sút, lớp nhiều học sinh yếu Tốn - Tốn học khó, tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cịn khó nên dễ làm nản lịng em khơng có hướng dẫn tỉ mỉ, thực tế II Biện pháp khắc phục: Đối với giáo viên: - Hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, rõ ràng; Động viên kịp thời học sinh; Khích lệ tinh thần học tập học sinh Hãy xem học sinh con, em ruột mình, đem hết toàn tâm, toàn ý để dạy em - Phải hệ thống kiến thức trọng tâm chuyên đề Trong dạng toán cần khai thác triệt để cách giải - Phải đưa theo dạng tập (có kiến thức tổng quát), có mẫu cho học sinh dễ hiểu - Giáo viên cần phải nghiên cứu, tham khảo tài liệu, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp để tìm phương pháp giải, cách giải ngắn gọn, dễ hiểu Đối với học sinh: - Có tính kiên trì, nhẫn nại, ham học Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” - Cần nắm vững kiến thức trọng tâm mơn tốn - Có ý thức tự giác học tập - u thích mơn học III Nội dung: Dạng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số biểu thức khó đa dạng, không nắm vững kiến thức dễ mắc sai lầm giải, học sinh giỏi làm sai gặp tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số Trong trình giảng dạy nghiên cứu, tơi rút số dạng toán phương pháp giải dạng tốn đó; giúp học sinh khối 9, biết phương pháp làm, tránh sai lầm rèn luyện kỹ giải toán Các dạng tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: Có nhiều cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, số dạng trọng tâm chia thành phần sau: a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đa thức ☻ Biểu thức tam thức bậc hai ☻ Biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến ☻ Biểu thức đa thức bậc cao ☻ Biểu thức có tổng hai số tích hai số số khơng đổi b) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức phân thức : ☻ Biểu thức nghịch đảo tam thức bậc hai Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” ☻ Biểu thức có mẫu tử chứa biến c) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức thức: d) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức có thêm điều kiện : ☻ Biểu thức đa thức có thêm điều kiện ☻ Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị Phương pháp hướng dẫn ví dụ minh họa: a) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đa thức: ☻ Biểu thức tam thức bậc hai: Đối với dạng này, hướng dẫn học sinh cách giải theo phương pháp sau: Bằng cách nhóm, thêm, bớt tách hạng tử cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức không âm (hoặc khơng dương) số • Tìm giá trị nhỏ (GTNN hay min) F(x) = g2(x) ± M ≥ ± M Dấu “=” xảy g(x) = 0, GTNN F(x) ±M Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” • Tìm giá trị lớn (GTLN hay max) N(x) = – h2(x) ± M’ ≤ ±M’ Dấu “=” xảy h(x) = 0, giá trị lớn N(x) ±M’ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = 4x2 – 8x + 15 Phân tích biểu thức A thành tổng (hoặc hiệu) bình phương đa thức biến x với số; sau tìm giá trị nhỏ A Ta có: A = ( x ) − 2.2 x.2 + 22 − 22 + 15 = ( x − ) + 11 ≥ 11 (Với x ∈ R) 2 Dấu “=” xảy (2x–2)2 = hay 2x – = ⇔ x =1 Khi A đạt giá trị nhỏ 11 Ví dụ: Tìm giá trị lớn B = –3x2 +6x –2 4 1 Ta có: B = − 3x + x − = − x − x + ÷ = − ( x − 1) + = − ( x − 1) − ≤ − 3 3 Dấu “=” xảy x = 1, giá trị lớn B –1 * Nhận xét : - Nếu hệ số a tam thức số phương ta để nguyên tách thành đẳng thức Trường THCS … Trang Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” - Nếu hệ số a khơng số phương trước tách thành đẳng thức ta đặt hệ số a làm nhân tử chung * Một số tập tự luyện : Bài : Tìm giá trị nhỏ a) x2 – 5x –7 b) 2x2 + 20x – 43 c) 9x2 + 3x +2 Bài 2: Tìm giá trị lớn a) –3x2 +12x +11 b) –x2 – 43 c) –16x2 + 8x +2 ☻ Biểu thức đa thức bậc hai nhiều biến: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ C = x2–6x+y2+2y–15 Gặp đa thức bậc hai có nhiều biến, hướng dẫn em biến đổi đa thức cho dạng tổng hiệu bình phương nhiều đa thức với số từ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Trong ví dụ tập, ta có : C = x − x + y + y − 15 = x − x.3 + 32 − 32 + y + y + − − 15 = ( x − 3) + ( y + 1) − 25 ≥ −25 2 Dấu “=” xảy x = y = –1 Khi giá trị nhỏ C –25 * Một số tập tự luyện: Tìm giá trị nhỏ của: a) A = x2 + 2y2 + 9z2 – 2x + 12y + 6z + 24 Trường THCS … Trang 10 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” - Biến đổi biểu thức B thành tổng phân thức - Đặt ẩn phụ, tìm cực trị biểu thức có chứa ẩn phụ Với điều kiện x ≠ 0, ta có: x2 − x + x2 x B= = − + = 6− + 2 x x x x x x Đặt y = ta : x B = y2 – 2y +6 = y2 – 2y +1 + = (y – 1)2 + ≥ Vậy giá trị nhỏ B * Một số tập tự luyện: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ của: a) A = x − 30 x + 53 x − x + 10 b) B = 4x + x2 c) C = − 3x + x + x2 Bài 2: Tìm giá trị lớn của: 3x + x + 13 a) A = x + 2x + x + 17 b) B = x +2 c) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức thức : Phương pháp : Biến đổi biểu thức dạng tổng bình phương đa thức với số dương, sau tìm cực trị chúng Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = x2 − x + Trường THCS … Trang 17 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Ta có B = x − x + = ( x − 1)2 + ≥ = Dấu “=” xảy x = Khi giá trị nhỏ B d) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức có thêm điều kiện: ☻ Biểu thức có điều kiện: Phương pháp : - Đưa biểu thức dạng tổng hiệu bình phương đa thức với số (Chú ý đến điều kiện đề cho để làm sở việc tách thành đẳng thức) - Tìm cực trị biểu thức Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 +y2 Biết x y có mối liên hệ sau: 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 Ta biến đổi biểu thức S dạng tổng hai đa thức cho đa thức đầu có liên quan đến điều kiện cho đa thức sau đưa bình phương tổng (hoặc hiệu) đa thức chứa biến x, y Sau tìm cực trị S Ta có S = x2 + y2 = 5x2 + 8xy + 5y2 – (4x2 +8xy +4y2) = 36 – 4(x+y)2 ≤ 36 Trường THCS … Trang 18 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Vậy giá trị lớn S 36 Ta lại có : 2 2 2 9S = ( x + y ) = x + xy + y + (4 x − xy + y ) = 36 + ( x − y ) ≥ 36 ⇒S≥ Vậy giá trị nhỏ S = Chú ý: Đứng trước bình phương tổng (hoặc hiệu) đa thức chứa biến dấu (–) biểu thức tìm cực trị đạt giá trị lớn nhất, dấu (+) biểu thức tìm cực trị đạt giá trị nhỏ Ví dụ : Cho x ≥ x ≤ −3 , Tìm giá trị nhỏ A = 4x2 + 16x + 44 Với dạng toán học sinh dễ mắc sai lầm giải mà không quan sát đến điều kiện đề cho Cách giải sai học sinh : Có : A = 4x2 + 16x + 44 = (2x)2 + 2.2x.4 + 42 + 42 +44 = (2x + 4)2 + 28 ≥ 28 A đạt giá trị nhỏ x = –2 Khi giá trị nhỏ A 28 Sai học sinh em không để ý đến điều kiện đề cho (x = –2 không thỏa mãn điều kiện đề x ≥ x ≤ −3 ) nên giá trị nhỏ A không Trường THCS … Trang 19 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Cách giải : Có : A = 4x2 + 16x + 44 = (2x)2 + 2.2x.4 + 42 – 42 +44 = (2x + 4)2 + 28 = 4(x + 2)2 +28 Có: x ≤ −3 ⇒ x + ≤ −1 ⇒ ( x + ) ≥ ⇒ ( x + ) ≥ 2 ⇒ ( x + ) + 28 ≥ 32 ⇒ A ≥ 32 x ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ ( x + ) ≥ 25 ⇒ ( x + ) ≥ 100 2 ⇒ ( x + ) + 28 ≥ 128 ⇒ A ≥ 128 Vậy giá trị nhỏ A 32 ( ) 3 2 Ví dụ : Cho x + y + x + y + ( x + y ) + = xy >0 Tìm giá trị lớn M = 1 + x y Trong tập trên, ta biến đổi phần điều kiện để tìm mối liên hệ x y, sau tìm cực trị biểu thức cho Ta có: x3 + y + ( x + y ) + ( x + y ) + = ⇔ x3 + y3 + 3x + y + x + y + = ⇔ x + 3x + 3x + + y + y + y + + x + + y + ⇔ ( x + 1) + ( y + 1) + ( x + 1) + ( y + 1) = 3 Đặt X= x+1 ; Y = y +1 Trường THCS … (1) (2) Trang 20 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Từ (1) (2) ⇒ X3+Y3+X+Y = ⇔ ( X + Y ) ( X − XY + Y ) + ( X + Y ) = ⇔ ( X + Y ) ( X − XY + Y + 1) = 2 Y Y Y2 Y 3Y Vì : X − XY + Y + = X − X + ÷ − + Y + = X − ÷ + + 1> 2 2 2 (với X, Y) Nên X+Y = hay x+1+y+1=0 ⇒ x+y = –2 Có: ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ x + xy + y 2 2 ( x + y) ≥ xy ⇔ ≥ xy 4 = =1 với xy > nên xy ≥ ( x + y) Mặt khác: M = 1 x + y −2 + = = x y xy xy Từ (3) (4) ⇒ M = (3) ≥ (4) xy −2 ≤ −2 xy Dấu “=” xảy x = y = –1, giá trị lớn M –2 ☻ Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm cực trị : Trường THCS … Trang 21 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” a) Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm Cho x ≥ 0; y ≥ x + y ≥ xy hay x+ y ≥ xy b) Bất đẳng thức Côsi cho nhiều số không âm (mở rộng) + Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ x+ y + z ≥ xyz + Cho x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0; ; xn ≥ x1 + x2 + x3 + + xn n ≥ x1 x2 x3 xn n Ví dụ : Cho x, y, z số không âm xy + yz + xz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + z Vì x ,y, z số không âm, áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có : x + y ≥ xy ; y + z ≥ yz ; x + z ≥ xz ⇒ 2( x + y + z ) ≥ Trường THCS … ( ) xy + yz + xz = 2.1 = Trang 22 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” ⇒ x + y + z ≥1 Ta lại có : x + y ≥ xy; y + z ≥ yz; x + z ≥ xz (Bất đẳng thức Côsi) 2( x + y + z ) ≥ xy + yz + xz ⇔ 3( x + y + z ) ≥ x + y + z + xy + yz + xz ⇔ 3( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) = ⇔ x2 + y2 + z ≥ Dấu “=” xảy x = y = z = Khi giá trị nhỏ A Ví dụ : Cho x >0 ; y > x2 + y2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : 1 1 P = ( + x ) + ÷+ ( + y ) + ÷ x y 1 Ta có : P = ( + x ) 1 + ÷+ ( + y ) 1 + ÷ y x =1 + =x+ x y + x + +1 + + y + y y x x 1 x y 1 +y+ + + + + +2 2x y y x 2x y x y 11 =x + ÷+ + ÷+ + ÷+ ÷+ y + 2x 2y y x x y Do x > ; y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có : Trường THCS … Trang 23 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” x+ ≥ ; 2x 1 + ≥ x y xy y+ (1) Do x + y ≥ xy (BĐT Côsi) ⇒ xy ≤ Nên ≥ xy 2 = = 2 x +y x2 + y2 (2) Thay (2) vào (1) : x y + ≥2 y x ≥ ; 2y 1 + ≥ , ta có : x y xy 1 + ≥ ≥2 x y xy x (3) y 11 1 Ta có : P = x + ÷+ y + ÷+ + ÷+ + ÷+ (4) 2x 2y y x x y 1 Từ (1), (3) ; (4), ta P ≥ + + + 2 = + (5) Dấu (5) xảy đồng thời có dấu (1) (3) ⇔x= y= Khi giá trị nhỏ P + * Chú ý: Với tốn học sinh dễ mắc sai lầm tìm giá trị nhỏ mà không xét đến điều kiện đề cho có thỏa mãn hay khơng Cách giải sai học sinh: 1 1 P = ( + x ) + ÷+ ( + y ) + ÷ x y x y + x + + 1+ + y + y y x x Trường THCS … Trang 24 = 1+ Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” 1 = x + ÷+ y + x 1 x y ÷+ + ÷+ y y x (1) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm, ta : x+ ≥2 ; x y+ ≥2 ; y x y + ≥2 ; y x (2) Từ (1) (2) ⇒ P ≥ Dấu “=” xảy x = y = Khi giá trị nhỏ P Để ý dấu “=” xảy bất đẳng thức P ≥ x= y= Tuy nhiên x2 + y2 = (không thỏa mãn điều kiện đề cho x2 + y2 = 1) Vậy xảy dấu “=” bất đẳng thức P ≥ Ví dụ : Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P = x y z + + x +1 y +1 z +1 Ta viết P dạng sau : x y z + + x +1 y +1 z +1 x + 1−1 y + 1−1 z + −1 = + + x +1 y +1 z +1 1 = 1− +1− +1− x +1 y +1 z +1 P= 1 = 3− + + ÷ x +1 y +1 z +1 Vì x ≥ ; y ≥ ; z ≥ Áp dụng bất đẳng thức mở rộng cho số khơng âm Ta lại có : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) ≥ 3 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) (1) Trường THCS … Trang 25 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” 1 1 1 + + ≥ 3 x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 (2) Nhân (1) với (2), vế theo vế, ta : ( x + 1) ( y + 1( z + 1) ) 1 ( + x ) + ( + y ) + ( + z ) + + ≥ 3.3 =9 ÷ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) x +1 y +1 z +1 1 + + ÷≥ x +1 y +1 z +1 Mà x+y + z =1 nên ( + 1) 1 + + ÷≥ x +1 y +1 z +1 ⇔ 1 −9 ⇔ − + + ÷≤ x +1 y +1 z +1 1 ⇔ − + + ÷≤ x +1 y +1 z +1 Hay P ≤ x = y = z ⇔x = y = z = x + y + z =1 Dấu “=” xảy Khi giá trị lớn P Trường THCS … Trang 26 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” C KẾT LUẬN Trường THCS … Trang 27 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” Kết đạt được: Học sinh lớp giảng dạy tự tin mạnh dạn đặt bút làm gặp tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ em biết hướng giải tốn Đây thực động lực giúp vững tin tâm chun mơn giúp học sinh tự học đường dạy học, học sinh có điểm cao gặp dạng tốn kiểm tra 15 phút lớp Tỉ lệ phần trăm điểm kiểm tra trung bình trước sau dạy chuyên đề lớp tăng rõ rệt Lớp 9.10 9.B Trước dạy 38% 42% Sau dạy 64,5% 78% Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số dạng tốn khó em học sinh, đặc biệt học sinh khối Để giải toán này, em cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác cách linh hoạt Trên số phương pháp mà trình giảng dạy thực tế hay sử dụng để giải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số Với phương pháp hướng dẫn học sinh từ tập cụ thể, khái quát thành dạng tổng quát từ giúp học sinh vận dụng để giải Kết hoạc tập học sinh động lực thúc đẩy việc đầu tư nghiên cứu giảng dạy Qua thể kinh nghiệm, say mê, khơng ngừng tìm tịi phát điều mẻ sáng kiến khác năm Kinh nghiệm rút ra: Trường THCS … Trang 28 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” 3.1: Đối với học sinh: Cần trang bị kiến thức cách chắn; Có hứng thú mơn học; Có tính kiên nhẫn vận dụng cách linh hoạt kiến thức học để giải vấn đề nâng cao hơn, khó 3.2: Đối với giáo viên: - Nghiên cứu kỹ kiến thức, đưa dạng bản, từ lồng ghép kiến thức nâng cao; Cần tạo tình gây hứng thú cho học sinh kích lệ tính tự học tự nghiên cứu tài liệu học sinh - Nghiên cứu tài liệu từ nhiều nguồn khác - Phải thực u thích mơn tốn; Kiên trì q trình bồi dưỡng - Hệ thống hóa kiến thức cách trọng tâm - Học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, bạn bè Kiến nghị, đề xuất: - Tổ chức chuyên đề, hội thảo để giáo viên học tập, rút kinh nghiệm - Cần trang bị thêm sách tư liệu bồi dưỡng ôn thi tuyển sinh lớp 10 Lời kết: Là giáo viên dạy toán lớp với số năm kinh nghiệm ỏi, tơi ln tự nhủ phải cố gắng nhiều cơng tác giảng dạy, tìm tòi phương pháp mới, trọng tâm, dễ hiểu, dễ tiếp thu để truyền đạt kiến thức cho học sinh; Trang bị cho em vốn kiến thức làm hành trang bước đường học tập sau Đề tài “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” nằm mục tiêu Đề tài Trường THCS … Trang 29 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” tơi cịn tiếp tục nghiên cứu cịn có nhiều thiết sót, kính mong đóng góp ý kiến quý đồng nghiệp để đề hồn thiện hơn, góp phần dạy tốt học tốt nhà trường TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa, sách tập toán, sách giáo viên chương trình THCS - “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi” PGS-TS Phan Huy Khải - “Phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị” Thạc sĩ Lê Hồng Đức - Các tài liệu mạng internet, tài liệu đồng nghiệp - Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học sở Dĩ An, ngày 14 tháng 12 năm 2019 Người viết Đặng Minh Trung Trường THCS … Trang 30 Giáo viên : ……… Đề tài: “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9” MỤC LỤC Trường THCS … Trang 31 Giáo viên : ……… ... “Một số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9? ?? Với đề tài ““Một số phương pháp tìm Giá trị lớn Giá trị nhỏ biểu thức đại số lớp 9? ??, mong muốn giúp học sinh lĩnh hội kiến. .. 3 3 19 2 = ( x − ) + = ( x − ) + 19 ≥ 19 3 1 Do : x − 2 + 19 ≤ 19 (Phân thức dương có mẫu đạt giá trị nhỏ nhất) ( ) Hay A = 2 ( x − ) + 19 19 ≤ Vậy giá trị lớn A 19 Ví dụ: Tìm... tơi dạy chun đề lớp tăng rõ rệt Lớp 9. 10 9. B Trước dạy 38% 42% Sau dạy 64,5% 78% Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đại số dạng tốn khó em học sinh, đặc biệt