Thông tin tài liệu
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
ln
2
3
3
23
2. f(x) =
2
4
32
x
x
ĐS. F(x) =
C
x
x
3
3
2
3
. f(x) =
2
1
x
x
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x
ĐS. F(x) =
C
x
x
x
1
2
3
3
5. f(x) =
4
3
xxx
ĐS. F(x) =
C
xxx
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
6. f(x) =
3
21
xx
ĐS. F(x) =
Cxx
3
2
32
7. f(x) =
x
x
2
)1(
ĐS. F(x) =
Cxxx ln4
8. f(x) =
3
1
x
x
ĐS. F(x) =
Cxx
3
2
3
5
9. f(x) =
2
sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx 2sin
4
1
2
1
12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx 3cos
3
1
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
2
2
1
18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2
x
e
x
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
3ln
3
ln
2
20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
13
3
1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1
3
2
3
x
x
3. f’(x) = 4
xx
và f(4) = 0 ĐS. f(x) =
3
40
23
8
2
xxx
4. f’(x) = x -
2
1
2
x
và f(1) = 2 ĐS. f(x) =
2
3
2
1
2
2
x
x
x
5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2
x
x
II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phƣơng pháp đổi biến số.
Tính I =
dxxuxuf )(')].([
bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)
dxxudt )('
I =
dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
dxx )15(
2.
5
)23( x
dx
3.
dxx
25
4.
12x
dx
5.
xdxx
72
)12(
6.
dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
8.
dx
x
x
5
2
9.
dx
x
x
3
2
25
3
10.
2
)1( xx
dx
11.
dx
x
x
3
ln
12.
dxex
x 1
2
.
13.
xdxxcossin
4
14.
dx
x
x
5
cos
sin
15.
gxdxcot
16.
x
tgxdx
2
cos
17.
x
dx
sin
18.
x
dx
cos
19.
tgxdx
20.
dx
x
e
x
21.
3
x
x
e
dxe
22.
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
dxx .1
2
24.
2
4 x
dx
25.
dxxx .1
22
26.
2
1 x
dx
27.
2
2
1 x
dxx
28.
1
2
xx
dx
29.
xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
31.
1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
2. Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay
vduuvudv
( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
xdxx sin.
2.
xdxxcos
3.
xdxx sin)5(
2
4
xdxxx cos)32(
2
5.
xdxx 2sin
6.
xdxx 2cos
7.
dxex
x
.
8.
xdxln
9.
xdxxln
10.
dxx
2
ln
11.
x
xdxln
12.
dxe
x
13.
dx
x
x
2
cos
14.
xdxxtg
2
15.
dxxsin
16.
dxx )1ln(
2
17.
xdxe
x
cos.
18.
dxex
x
2
3
19.
dxxx )1ln(
2
20.
xdx
x
2
21.
xdxxlg
22.
dxxx )1ln(2
23.
dx
x
x
2
)1ln(
24.
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx
2.
2
2
1
11
()
e
x x dx
xx
2.
3
1
2x dx
3.
2
1
1x dx
4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
5.
1
0
()
x
e x dx
6.
1
3
0
()x x x dx
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx
8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx
10.
2
2
3
1
()x x x x dx
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx
12.
3
3
1
x 1 dx( ).
13.
2
2
2
-1
x.dx
x
14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x
15.
x2
5
2
dx
x2
16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin
18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos
19.
1
xx
xx
0
ee
ee
dx
20.
1
x
xx
0
e dx
ee
.
21.
2
2
1
dx
4x 8x
22.
3
xx
0
dx
ee
ln
.
22.
2
0
dx
1xsin
24.
1
1
2
)12( dxxx
25.
2
0
3
)
3
2
2( dxxx
26.
2
2
)3( dxxx
27.
4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx
2
1
32
11
29.
2
1
3
2
2
dx
x
xx
30.
e
e
x
dx
1
1
31.
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
2
1
752
33.
dx
x
x
8
1
3
2
3
1
4
II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
32
3
sin xcos xdx
2.
2
23
3
sin xcos xdx
3.
2
0
sin
13
x
dx
cosx
3.
4
0
tgxdx
4.
4
6
cot gxdx
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
6.
1
2
0
1x x dx
7.
1
2
0
1x x dx
8.
1
32
0
1x x dx
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x
10.
1
32
0
1x x dx
11.
2
3
1
1
1
dx
xx
12.
1
2
0
1
1
dx
x
13.
1
2
1
1
22
dx
xx
14.
1
2
0
1
1
dx
x
15.
1
22
0
1
(1 3 )
dx
x
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
18.
2
1
2
0
x
e xdx
19.
2
32
3
sin xcos xdx
20.
2
sin
4
x
e cosxdx
21.
2
4
sin
cosx
e xdx
22.
2
1
2
0
x
e xdx
23.
2
32
3
sin xcos xdx
24.
2
23
3
sin xcos xdx
25.
2
0
sin
13
x
dx
cosx
26.
4
0
tgxdx
27.
4
6
cot gxdx
28.
6
0
1 4sin xcosxdx
29.
1
2
0
1x x dx
30.
1
2
0
1x x dx
31.
1
32
0
1x x dx
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x
33.
1
32
0
1x x dx
34.
2
3
1
1
1
dx
xx
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
37.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx
40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
41.
2
1
11
x
dx
x
42.
1
0
21
x
dx
x
43.
1
0
1x x dx
44.
1
0
1
1
dx
xx
45.
1
0
1
1
dx
xx
46.
3
1
1x
dx
x
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
48.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx
51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x
52.
1
23
0
5
x x dx
53.
2
4
0
sin 1 cos
x xdx
54.
4
2
0
4 x dx
55.
4
2
0
4 x dx
56.
1
2
0
1
dx
x
57.
dxe
x
0
1
32
58.
1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)
60.
1
0
x
dx
2x 1
61.
1
0
x 1 xdx
62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1
65.
6
66
0
(sin x cos x)dx
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
68.
2
4
0
cos 2xdx
69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx
70.
1
x
0
1
dx
e1
.
71.
dxxx )sin(cos
4
0
44
72.
4
0
2sin21
2cos
dx
x
x
73.
2
0
13cos2
3sin
dx
x
x
74.
2
0
sin25
cos
dx
x
x
75.
0
2
2
32
22
dx
xx
x
76.
1
1
2
52xx
dx
77.
2
32
0
cos xsin xdx
78.
2
5
0
cos xdx
79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x
80.
1
32
0
x 1 x dx
81.
2
23
0
sin2x(1 sin x) dx
82.
4
4
0
1
dx
cos x
83.
e
1
1 lnx
dx
x
84.
4
0
1
dx
cosx
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x
88.
3
4
0
tg x
dx
cos2x
89.
4
0
cos sin
3 sin2
xx
dx
x
90.
2
0
22
sin4cos
2sin
dx
xx
x
91.
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
92.
2
0
2
)sin2(
2sin
dx
x
x
93.
3
4
2sin
)ln(
dx
x
tgx
94.
4
0
8
)1(
dxxtg
95.
2
4
2sin1
cossin
dx
x
xx
96.
2
0
cos31
sin2sin
dx
x
xx
97.
2
0
cos1
cos2sin
dx
x
xx
98.
2
0
sin
cos)cos(
xdxxe
x
99.
2
1
11
dx
x
x
100.
e
dx
x
xx
1
lnln31
101.
4
0
2
2sin1
sin21
dx
x
x
102.
1
2
0
1 x dx
103.
1
2
0
1
dx
1x
104.
1
2
0
1
dx
4x
105.
1
2
0
1
dx
x x 1
106.
1
42
0
x
dx
x x 1
107.
2
0
1
1 cos sin
dx
xx
108.
2
2
2
2
0
x
dx
1x
109.
2
22
1
x 4 x dx
110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1
101.
3
2
2
1
9 3x
dx
x
112.
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
113.
2
2
2
3
1
1
dx
xx
114.
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
117.
0
1
2
22xx
dx
118.
1
0
311 x
dx
119.
2
1
5
1
dx
x
xx
120.
8
2
3
1
1
dx
xx
121.
7
3
3
2
0
1
x
dx
x
122.
3
52
0
1x x dx
123.
ln2
x
0
1
dx
e2
124.
7
3
3
0
1
31
x
dx
x
125.
2
23
0
1x x dx
126.
32
5
2
4xx
dx
II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
bb
b
a
aa
x d u x v x v x u x dx
Tch phân cc hm s d pht hin u v dv
@ Dng 1
sin
()
ax
ax
f x cosax dx
e
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ee
@ Dng 2:
( )ln( )f x ax dx
Đặt
ln( )
()
()
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx
@ Dng 3:
sin
.
ax
ax
e dx
cosax
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
xe
dx
x
đă
̣
t
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x
b/
3
8
43
2
( 1)
x dx
x
đă
̣
t
5
3
43
( 1)
ux
x dx
dv
x
c/
1 1 1 1
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
Tính I
1
1
2
0
1
dx
x
bằng phương pha
́
p đô
̉
i biến số
Tính I
2
=
1
2
22
0
(1 )
x dx
x
bằng phương pha
́
p tư
̀
ng phần : đă
̣
t
22
(1 )
ux
x
dv dx
x
Bài tập
1.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
2.
1
ln
e
x xdx
3.
1
2
0
ln( 1)x x dx
4.
2
1
ln
e
x xdx
5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x
6.
1
ln
e
x xdx
7.
1
2
0
ln( 1)x x dx
8.
2
1
ln
e
x xdx
9.
2
0
( osx)sinxx c dx
10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
11.
2
2
1
ln( )x x dx
12.
3
2
4
tanx xdx
13.
2
5
1
ln x
dx
x
14.
2
0
cosx xdx
15.
1
0
x
xe dx
16.
2
0
cos
x
e xdx
Tính các tích phân sau
1)
1
0
3
. dxex
x
2)
2
0
cos)1(
xdxx
3)
6
0
3sin)2(
xdxx
4)
2
0
2sin.
xdxx
5)
e
xdxx
1
ln
6)
e
dxxx
1
2
.ln).1(
7)
3
1
.ln.4 dxxx
8)
1
0
2
).3ln(. dxxx
9)
2
1
2
.).1( dxex
x
10)
0
.cos. dxxx
11)
2
0
2
.cos.
dxxx
12)
2
0
2
.sin).2(
dxxxx
13)
2
5
1
lnx
dx
x
14)
2
2
0
xcos xdx
15)
1
x
0
e sinxdx
16)
2
0
sin xdx
17)
e
2
1
xln xdx
18)
3
2
0
x sinx
dx
cos x
19)
2
0
xsinxcos xdx
20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx
21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
22)
1
2 2x
0
(x 1) e dx
23)
e
2
1
(xlnx) dx
24)
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
25)
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x
26)
1
2
0
xtg xdx
27)
1
0
2
)2( dxex
x
28)
1
0
2
)1ln( dxxx
29)
e
dx
x
x
1
ln
30)
2
0
3
sin)cos(
xdxxx
31)
2
0
)1ln()72( dxxx
32)
3
2
2
)ln( dxxx
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1.
5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.
b
a
dx
bxax ))((
1
3.
1
0
3
1
1
dx
x
xx
4.
dx
x
xx
1
0
2
3
1
1
5.
1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.
1
0
22
)3()2(
1
dx
xx
7.
2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.
0
1
2
23
23
9962
dx
xx
xxx
9.
3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.
1
0
2
32
)1(
dx
x
x
n
n
11.
2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.
2
1
4
)1(
1
dx
xx
13.
2
0
2
4
1
dx
x
14.
1
0
4
1
dx
x
x
15.
dx
xx
2
0
2
22
1
16.
1
0
32
)1(
dx
x
x
17.
4
2
23
2
1
dx
xxx
18.
3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx
[...]... = 2 Bài 1: Cho (p) : y = x2+ 1 và đ-ờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đ-ờng trên có diện tích nhỏ nhẩt Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích ở phía trên 0x và phía d-ới 0x bằng nhau Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng x x 3 giới hạn bởi y o x 1 y 0 Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4:... BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi a đó: a a f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx 0 Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [f(x) + f(-x) = 3 3 ] thỏa mãn ; 2 2 2 2 cos 2 x , Tính: 3 2 f ( x)dx 3 2 x 4 sin x dx 2 1 1 x 1 +) Tính Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], a f ( x)dx khi đó: = 0 a 1 Ví dụ: Tính: 2 ln( x 1 x )dx 1 2 cos x ln( x 1 x 2 )dx 2 Bài. .. giới hạn bởi y o x 1 y 0 Có hai phần diện tích bằng nhau Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y y Bài x 2 2ax 3a 2 1 a4 Tìm a để diện tích lớn nhất a 2 ax 1 a4 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau: x2 y 4 4 1) (H1): 2 y x 4 2 y x 2 4x 3 2) (H2) : y x 3 y x... ln( x 1 x 2 )dx 2 Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a a], khi đó: a a f ( x)dx = 2 f ( x)dx 0 2 1 x Ví dụ: Tính x dx 4 1 x2 1 x cos x dx 4 sin 2 x 2 Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a a], khi đó: a f ( x) a1 b x dx f ( x)dx (1 b>0, a) 0 x 1 31 2 x dx 3 Ví dụ: Tính: 2 2 sin x sin 3x cos 5 x dx 1 ex 2 Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục... 2009 x cos 2009 x dx 0 Ví dụ: Tính 0 sin x sin x cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: xf (sin x)dx 2 0 0 f (sin x)dx Ví dụ: Tính Bài toán 6: b x 1 sin x dx 0 0 b b f (a b x)dx f ( x)dx a x sin x 2 cos x dx a b f (b x)dx f ( x)dx 0 0 Ví dụ: Tính 4 x sin x 1 cos 2 x dx 0 sin 4 x ln(1 tgx )dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu... dx 0 sin 4 x ln(1 tgx )dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: a T T a 0 nT 0 f ( x)dx f ( x)dx Ví dụ: Tính 2008 T 0 f ( x)dx n f ( x)dx 1 cos 2 x dx 0 Các bài tập áp dụng: 1 x dx 1 2x 1 2 1 1 4 2 x7 x5 x3 x 1 dx cos 4 x 4 1 dx 3 x 2 1 (1 e )(1 x ) 1 2 1 x 1cos 2 x ln(1 x )dx 5 2 x cos x dx 2 x 4 sin 2 2 6 sin(sin x nx)dx 0 2 7 4 2 2... sin 2 x x 42) 2 43) ay x 2 27 y 8( x 1) 2 0 x 2 x2/25+y2/9 = 1 và hai tiếp tuyến đi qua A(0;15/4) 44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đ-ờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất 45) y x 3 2x 2 4x 3 y 0 TNH TH TCH VT TH TRềN XOAY Cụng thc: O xb (C ) : y f ( x) y xa a y0 x b y b x0 a yb (C ) : x f ( y ) ya x O 2 b 2 V .
dx
x
x
2
)1ln(
24.
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx
2.
2
2
1
11
()
e
x. u(x)
dxxudt )('
I =
dttfdxxuxuf )()(')].([
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
dxx )15(
2.
5
)23( x
dx
3.
dxx
Ngày đăng: 26/01/2014, 17:20
Xem thêm: Tài liệu Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao doc, Tài liệu Bài tập nguyên hàm tích phân nâng cao doc