CỰC TRỊ HÀM BẬC BA I,Tóm tắt lý thuyết: 1.Hàm số dcxbxaxxfy +++== 23 )( ( 0 ≠ a ) 2.Đạo hàm : cbxaxxfy ++== 23)('' 2 3.Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số )(xfy = có cực trị ⇔ )(xfy = có cực đại và cực tiểu 0)(' =⇔ xf có hai nghiệm phân biệt ⇔ 03' 2 acb −=∆ . 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị: Bước1:Thực hiện phép chia )(xf cho )(' xf ta có:       −+       −+       += a bc dx a b cxf a b xxf 933 2 )(' 93 1 )( Tức là: )()(').()( xrxfxqxf += Bước 2:Do    = = 0)2(' 0)1(' xf xf nên        −+−=== −+−=== ) 9 (2) 3 ( 3 2 )2()2(2 ) 9 (1) 3 ( 3 2 )1()1(1 a bc dx a b cxrxfy a bc dx a b cxrxfy .Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là: )(xrY = hay ) 9 () 3 ( 3 2 a bc d a b cy −+−= II.Các dạng bài tập: Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị: Bài tập: Bài 1:Tìm m để hàm số : )12()6( 3 1 23 +−+++= mxmmxxy có cực đại và cực tiểu Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình 0)(' =xy có hai nghiệm phân biệt ⇔ 0)6(2 2 =+++ mmxx có hai nghiệm phânbiệt )3()2(06' 2 >∪−<⇔>−−=∆⇔ mmmm Bài 2:Tìm m để hàm số 53)2( 23 −+++= mxxxmy có cực đại và cực tiểu Giải: Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình 0)(' =xy có hai nghiệm phân biệt ⇔ 06)2(3 2 =+++ mxxm có hai nghiệm phân biệt 123 032 2 0963' 02 22 <−≠<−⇔    <−+ −≠ ⇔    >+−−=∆ ≠+ ⇔ m mm m mm m Bài 3:Tìm m để hàm số )1()45()2( 3 1 223 ++++−+= mxmxmxy đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2 Giải: yêu cầu bài toán 0)45()2(2)(' 2 =++−+=⇔ mxmxxy có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2 3093)1('.1 −<⇔<+=−⇔ mmy Bài 4:Tìm m để hàm số )()3(4)3( 3 1 223 mmxmxmxy −+++++= đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2 Giải: yêu cầu bài toán 0)3(4)3(2)(' 2 =++++=⇔ mxmxxy có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2 3 2 7 )3(1 072 032 2 1 0)1('.1 0' 2 −<< − ⇔      +−<− >+ >−+ ⇔        <− >− >∆ ⇔ m m m mm S f Bài 5: Tìm m để hàm số )5()13()2( 3 1 2223 −++++−+= mxmxmmxy đạt cực tiểu tại x=2. Giải: *Điều kiện cần: Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra 0)2(' =−f ta có 13)2(2)(' 222 +++−+= mxmmxxf suy ra 3;1034 2 ==⇔=−+− mmmm *Điều kiện đủ: Nếu m=3 thì 2012)2(''162)('' −=⇒>=−⇒+= CT xfxxf Nếu m=1 thì 0)2(''42)('' =−⇒+= fxxf nhưng lúc đó ta có ⇒∀≥+= xxxf 0)2()(' 2 Hàm số không có cực trị *Kết luận:m=3 Dạng 2:phương trình đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu Bài 1:Tìm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm số 863)( 23 +−−= xxxxf Giải: .Ta có )22(3)(' 2 −−= xxxf     += −= ⇔=−−=⇔= 312 311 022)(0)(' 2 x x xxxgxf suy ra hàm số )(xfy = đạt cực trị tại x1,x2 .Thực hiện phép chia )(xf cho )(xg ta có )1(6)1)(()( −−−= xxxgxf do    = = 0)2( 0)1( xg xg nên      −=−−== =−−== 36)12(6)2(2 36)11(6)1(1 xxfy xxfy .      −== == ⇒      >= <−= ⇒−= 36)2( 36)1( 036)2('' 036)1('' )1(6)('' xff xff xf xf xxf cd ct .Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là )1(6 −−= xy Bài 2:Tìm m để hàm số 1)2(6)1(32)( 23 −−+−+= xmxmxxf có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với đường thẳng baxy += Giải: .Đạo hàm )2)1((6)(' 2 −+−+= mxmxxf 02)1()(0)(' 2 =−+−+=⇔= mxmxxgxf hàm số có CĐ,CT 0)(0)(' ==⇔ xhaygxf có hai nghiệm phân biệt 30)3( 2 ≠⇔>−=∆⇔ mm g .Thực hiện phép chia )(xf cho )(xg ta có )33()3()]1(2)[()( 22 +−−−−−+= mmxmmxxgxf Với 3≠m thì 0)( =xg có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2 do    = = 0)2( 0)1( xg xg nên      +−−−−== +−−−−== )33(2)3()2(2 )33(1)3()1(1 22 22 mmxmxfy mmxmxfy suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): )33()3( 22 +−−−−= mmxmy ta có ( ∆ ) song song với đường    −±= < ⇔    −±=− < ⇔    −=− <≠ ⇔    =−− ≠ ⇔+= am a am a am am am m baxy 3 0 3 0 )3( 0,3 )3( 3 22 vậy nếu 0 ≥ a thì không tồn tại m;nếu a<0 thì am −±= 3 Bài 3: Tìm m để hàm số xmmxmxxf )21(6)1(32)( 23 −+−+= có cực đại và cực tiểu nằm trên đường thẳng xy 4−= Giải: .Đạo hàm ))21()1((6)(' 2 mmxmxxf −+−+= 0)21()1()(0)(' 2 =−+−+=⇔= mmxmxxgxf hàm số có CĐ,CT 0)(0)(' ==⇔ xhaygxf có hai nghiệm phân biệt 3 1 0)13()21(4)1( 22 ≠⇔>−=−−−=∆⇔ mmmmm g .Thực hiện phép chia )(xf cho )(xg ta có )21)(1()13()]1(2)[()( 2 mmmxmmxxgxf −−+−−−+= Với 3 1 ≠m thì 0)( =xg có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2 do    = = 0)2( 0)1( xg xg nên      −−+−−== −−+−−== )21)(1(2)13()2(2 )21)(1(1)13()1(1 2 2 mmmxmxfy mmmxmxfy suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): )21)(1()13( 2 mmmxmy −−+−−= Ta có CĐ,CT nằm trên đường thẳng 1 2 1 ;1;0 213 0)21)(1( 4)13( )4()(4 2 =⇔            ∈ =− ⇔    =−− −=−− ⇔−=≡∆⇔−= m m m mmm m xyxy Bài 4: Tìm m để hàm số 37)( 23 +++= xmxxxf có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng 73 −= xy Giải: Hàm số có CĐ,CT 0)(' =⇔ xf có hai nghiệm phân biệt 21021' 2 >⇔>−=∆⇔ mm g .Thực hiện phép chia )(xf cho )(' xf ta có 9 7 3]21[ 9 2 ] 9 1 3 1 )[(')( 2 m xmmxxfxf −+−−+= Với 21>m thì 0)(' =xf có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2 do    = = 0)2(' 0)1(' xf xf nên        −+−== −+−== 9 7 32)21( 9 2 )2(2 9 7 31)21( 9 2 )1(1 2 2 m xmxfy m xmxfy suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): 9 7 3)21( 9 2 2 m xmy −+−= ta có ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng 73 −= xy      −=− > ⇔ 13)21( 9 2 21 2 m m dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị bài 1:Cho 1)2cos1(8)sin3(cos 3 2 )( 23 ++−−+= xaxaaxxf 1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1 2 +x2 2 18≤ Giải: 1.Xét phương trình: 0)2cos1(8)sin3(cos22)(' 3 =+−−+= axaaxxf Ta có )2cos1(16)sin3(cos' 2 aaa ++−=∆ aaaa ∀≥+−=∆ 0cos32)sin3(cos' 22 Nếu 0' =∆ thì    = = ⇔    =− = 0sin 0cos 0sin3cos 0cos a a aa a ⇒=⇒=+=⇒ 101sincos0 22 aa vôlý Từ đó suy ra 0)('0' =⇔∀>∆ xfa có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2. 2.Theo định lý Viét ta có    +−= −=+ )2cos1(421 cossin321 axx aaxx Suy ra x1 2 +x2 2 =(x1+x2) 2 -2x1x2= aaaaaaa 222 cos17cossin6sin9)2cos1(8)cossin3( +−=++− Khi đó BĐT:x1 2 +x2 2 ⇔+≤+−⇔≤ )cos(sin18cos17cossin6sin918 2222 aaaaaa 2 )cossin3(0 aa +≤ luôn đúng Bài 2: Cho xmmxmxxf )24()1( 3 2 )( 223 +++++= 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1. 3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= )21(221 xxxx +− Giải: Đạo hàm 34)1(22)(' 22 +++++= mmxmxxf 1 5<m<-1 2.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1 0)(' =⇔ xf có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn )23;5( 3 )23()23( 15 )23,23( 2 1 0)1('.1 0' 0)1('.2 211 211 +−−∈⇔             −< +−≥∪−−≤ −<<− +−−−∈ ⇔                 < > >∆ < ⇔    <≤ << m m mm m m S f f xx xx 3.Theo định lý viét ta có      ++= +−=+ )34( 2 1 21 )1(21 2 mmxx mxx Khi đó A= 2 9 9. 2 1 ])4(9[ 2 1 )1(2 2 34 )21(221 2 2 =≤+−=++ ++ =+− mm mm xxxx Với m=-4 )1;5( −−∈ thì Max A= 2 9 . trí của các điểm cực trị: Bài tập: Bài 1:Tìm m để hàm số : )12( )6( 3 1 23 +−+++= mxmmxxy có cực đại và cực tiểu Giải :Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương. cho các điểm cực trị bài 1:Cho 1)2cos1(8)sin3(cos 3 2 )( 23 ++−−+= xaxaaxxf 1.CMR :hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1 2 +x2 2 18≤ Giải: 1.Xét