CHỦ ĐỀ – RÚT GỌN BIỂU THỨC DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 10 DẠNG 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC 16 DẠNG 7: TÌM X ĐỂ P NHẬN GIÁ TRỊ LÀ SỐ NGUYÊN 24 DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P = m CÓ NGHIỆM 28 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 30 DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC: Bước Đặt điều kiện xác định biểu thức: • • • x ≥ x ≥ ⇔ (a > 0) : Điều kiện xác định  x −a x ≠ a  x ≠ a (a > 0) : Điều kiện x ≥ x +a Gặp phép chia phân thức đổi thành phép nhân xuất thêm mẫu nên dạng ta thường làm bước đặt điều kiện sau Bước Phân tích mẫu thành tích, quy đồng mẫu chung Bước Gộp tử, rút gọn kết luận Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = x x +3 + 3x + x −3 x −9 Lời giải x − Điều kiện: x ≥ 0,x ≠ Có A = = x x +3 + x x( x − 3) ( x − 3)( x + 3) − 3x + x − ( x − 3)( x + 3) + x( x + 3) 3x + − ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) x − x + 2x + x − 3x − 3( x − 3) = = ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) Vậy A = với điều kiện x ≥ 0,x ≠ x +3 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A = x +1 x −2 + x +3 − x −3 x +3 x + x −6 Lời giải Có x + x − = x + x − x − = x( x + 3) − 2( x + 3) = ( x − 2)( x + 3) Điều kiện: x ≥ 0,x ≠ x +1 Có A = = x −2 + − x −3 x + ( x − 2)( x + 3) ( x + 1)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) + 2( x − 2) x −3 − ( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) x + x +3+ x − −9 x +3 x−3 x +2 = ( x − 2)( x + 3) ( x − 2)( x + 3) ( x − 1)( x − 2) = ( x − 2)( x + 3) Vậy: A = x −1 x +3 x −1 x +3 với điều kiện x ≥ 0,x ≠  x+2 x +1  + − Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức P = 1:   x −   x x −1 x + x +1 Lời giải  x+2 x +1  = + − Có P 1:   − + + + + − ( x 1)(x x 1) x x x     x+2 ( x − 1)( x + 1) x + x +1 = 1:  + −  ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1)    x + + x −1− x − x −1 x− x 1:= 1: ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) ( x − 1)(x + x + 1) x + x + = 1⋅ = Điều kiện x > 0,x ≠ x( x − 1) x Vậy P = x + x +1 với điều kiện x > 0,x ≠ x Chú ý: Câu có phép chia phân thức nên đoạn cuối xuất thêm x mẫu, ta làm bước đặt điều kiện sau  a+3 a +2 a+ a  1  − + Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức P =   :  a −1   ( a + 2)( a − 1) a −   a + Lời giải  ( a + 1)( a + 2)    a+ a a −1 a +1 − + Có P =    :   ( a + 2)( a − 1) ( a − 1)( a + 1)   ( a − 1)( a + 1) ( a − 1)( a + 1)   a +1  a+ a a −1+ a +1 =  − :  a − ( a − 1)( a + 1)  ( a − 1)( a + 1)  ( a + 1)2  a+ a a −  :  ( a − 1)( a + 1) ( a − 1)( a + 1)  ( a − 1)( a + 1) = a + a + − a − a ( a − 1)( a + 1) ⋅ = ( a − 1)( a + 1) a a +1 a Điều kiện a > 0,a ≠ a +1 Vậy P = với điều kiện a > 0,a ≠ a DẠNG 2: CHO GIÁ TRỊ CỦA X TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bước Đặt điều kiện giá trị cho x thoả mãn điều kiện Bước Tính x thay giá trị x, x vào biểu thức rút gọn Bước Tính kết biểu thức cách trục hết thức mẫu kết luận x +1 Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức P = khi: x −2 b) x= − a) x = 36 c) x = d) x = 2+ 28 − 21 e) x= f) x = −2 − 3− 2− g) x = 27 + −1 18 3+2 − −2 h) x − x + 10 = Lời giải Điều kiện x ≥ 0,x ≠ a)Có x = 36 thoả mãn điều kiện Khi 2− +1 = 6−2 = P x = thay vào P ta x = 36 6−2 = ( − 1)2 thoả mãn điều kiện b)Có x = Vậy P = Khi x= −1 = − 1(do > 1) Thay vào P ta P = −1+1 −1− = −3 = − 5+3 5+3 x= − 2(2 − 3) 4−2 x = = = ( − 1)2 thoả mãn điều kiện c)Có= 4−3 + (2 + 3)(2 − 3) Vậy P = − Khi x= −1 = − 1(do > 1) Thay vào P ta P = Vậy P = − −1+1 −1− = −3 = − 1+ 1+ x = 2+ 2 − −  −1  d)Có thoả mãn điều kiện = =  x =     x = Khi −1 = −1 (do > 1) 3 −1 +1 Thay vào P , ta P = = −1 −2 4+3 2− Vậy P = − x = 11 e) Có x= 28 − 21 −2 − = 3− 2− 3 +1 4+3 = − 11 −5 ( 3+ ) (3 − )(3 + ) −2 − ( 4− ) 2− 18 + − 3= ( Thỏa mãn điều kiện) ⇒ x = 9−7 +1 Thay vào P , ta được: = P = 3− 28 − 21 −2 − Vậy P = x= 3− 2− = f) Có x = Khi 4 − = 3+2 3−2 ( ) ( + 2) =−16 =16 thỏa mãn điều kiện ( + 2)( − 2) − 3−2 −4 = P x = thay vào P , ta +1 = 4−2 x = 4 − 3+2 3−2 27 + −1 − g) Có = thỏa mãn điều kiện x = = = 18 18 18 +1 = − Khi x = , thay vào P , ta P = −2 3 27 + −1 Vậy P = − x = 18 Vậy P = h) Có x − x + 10 =0 ⇔ x − x − x + 10 =0 ⇔ ( x −2 )( ) x − =0 ⇔ x = 2, x = ⇔ x = (loại), x = 25 (thỏa mãn) +1 Khi x = , thay vào P ta P= = = 5−2 Vậy P = x thỏa mãn x − x + 10 = DẠNG 3: ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định Bước 2: Quy đồng mẫu chung Bước 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện kết luận Đưa phương trình tích Ví dụ Cho biểu thức P = x + x +1 x Tìm x để P = 13 Lời giải Điều kiện: x > ( ) x + x + 13 x x + x + 13 = ⇔ = x x x ⇔ x + x + = 13 x ⇔ x − 10 x + = ⇔ x − x − x + = 13 Có P = ⇔ ⇔3 x ( ) ( x −3 − ) x − =0 ⇔ ( ) )( x − 3 x − =0  x =3 x =9   ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện)  x=1 x =   13 Vậy= P = x 9,= x Ví dụ Cho biểu thức M = x Tìm x để M = x −2 Lời giải Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ x Có M = ⇔ x = ⇔ x −2 ( ( x x −2 = x −2 x −2 24 ) ⇔ 24 = x − x ⇔ x − x + = 25 ⇔ ⇔ x − =±5 ⇔ x =−4 (loại), x Vậy x = 36 M = ( ( ) ) ) x − = 25 x = ⇔ x = 36 (thỏa mãn điều kiện) Phương trình có chứa trị tuyệt đối • • f ( x) = a (với a > a số cụ thể) giải hai trường hợp f ( x) = ± a f ( x) = g ( x) (với g ( x) biểu thức chứa x ): Cách 1: Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối: Trường hợp 1: Xét f ( x) ≥ f ( x) = f ( x) nên ta f ( x) = g ( x) Giải đối chiếu điều kiện f ( x) ≥ g ( x) Trường hợp 2: Xét f ( x) < f ( x) = − f ( x) nên ta − f ( x) = Giải đối chiếu điều kiện f ( x) < Cách 2: Đặt điều kiện g ( x) ≥ giải hai trường hợp f ( x) = ± g ( x) Ví dụ Cho biểu thức A = x +2 x −5 x +2 x −5 x −5 A B x − Tìm x để= Lời giải Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ 25 Có A = B x − ⇔ B = x−4 = x −5 ⇔ x−4 = x + Cách 1: Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Xét x − ≥ ⇔ x ≥ x − = x − nên ta được: x−4= x +2⇔ x− x −6= 0⇔ ( x −3 ) )( x + = ⇔ x = (thỏa mãn) Trường hợp 2: Xét x − < ⇔ x < x − =− x + nên ta được: −x + = x + ⇔ x + x − = ⇔ Cách 2: Vì ( )( x −1 x + > với x ≥ 0, x ≠ 25 nên x − = ( nên x − = x −2 x +2⇔ x −2 ( )( ) x +2 = ) x +2 = x + )( x + 2) =  x= (thỏa mãn) ⇔ x =  x − 1)( x + ) = x − ( x + 2)   x − 4=  x − x − 6= x +2 ⇔ ⇔ ⇔   x − =− x −  x + x − =0  Cách 3: Nhận xét x − = ) x + = ⇔ x = (thỏa mãn) ( ( x −3 x +2⇔ x −2=  x 3= = x ⇔ x − =±1 ⇔  ⇔ (thỏa mãn)  x =1  x = A B x − Vậy= x 9,= x thì= Ví dụ Cho biểu thức A = x−3 B = x −1 = A B x − Tìm x để x −1 Lời giải Điều kiện: x ≥ 0, x ≠ Có A= B x −3 ⇔ x −3 x−3 = x −1 ⇔ x − 3= x −1 x −3 Cách 1: Ta xét trường hợp: Trường hợp 1: Xét x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ x −3 = x −3 ⇔ x − x = ⇔ x Trường hợp 2: Xét nên ta ( x − nên ta x −3 = ) x − = ⇔ x = 0, x = (loại) x − < ⇔ x < ⇔ x < ( x − =− x + ⇔ x + x − =0 ⇔ x −3 = − x +3 x −2 )( ) x + =0 ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) = A B Vậy x = x −3 Cách 2: Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ Khi   x −3 = x −3  x− x = ⇔ ⇔ ⇔   x − =− x +  x + x − =0  x −3 = x−3 x ( ( x −2 ) x −1 = )(  x = 0, x = ⇔  x=4 x +3 = ) Kết hợp điều kiện x = Đưa bình phương dạng m + n = (hoặc m + n = ) Bước Đặt điều kiện để biểu thức xác định đưa phương trình dạng 0) m2 + n2 = (hoặc m + n = Bước 2: Lập luận m ≥ 0, n ≥ (hoặc n ≥ ) nên m + n ≥ (hoặc m + n ≥ ) ) xảy đồng thời Bước 3: Khẳng định m + n = (hoặc m + n = m =  n = Bước 4: Giải x , đối chiếu điều kiện kết luận ( Ví dụ Cho biểu thức P = ) x +1 x x x −3− x − Tìm x để P = Lời giải Điều kiện: x ≥ Có P = x x −3− x − ⇔ ( ) x +1 = x x −3− x − x ⇔ x + x += x − − x − ⇔ x − x + + x − 4= ( Vì ( x − ) ) ⇔ Do ( x −2 + x−4 = ≥ 0, x − ≥ nên ( ) x − + x − ≥  x − = ⇔x= (thỏa mãn) x −2 + x−4 = xảy   x − = ) Vậy x = P = x x − − x − Ví dụ Cho biểu thức P = x+3 Tìm x để P x + x = − 3x + x − x Lời giải Điều kiện: x ≥ x+3 − 3x + x − x + x= x Có P x + x = − 3x + x − ⇔ ( ) ( ) ⇔ x + 3+ x= − 3x + x − ⇔ x + − x + x − − x −= ( ⇔( ) ( ) + ( x − − 1) ) ⇔ x − 3x + + x − − x − + = Vì ( x− Do ( x− ) ≥ 0, x− ( ) = x − − ≥ nên ) ( 2 ) + ( x− ) +( ) 2 x − − ≥ x − −1 = xảy  x = ⇔x= (thỏa mãn điều kiện)   x − = Vậy x = P x + x = − 3x + x − x −1 Tìm x để 81x − 18 x =A − x + x Ví dụ Cho biểu thức A = Lời giải Điều kiện: x > Có 81x − 18 x =A − x + ⇔ 81x − 18 x = x −1 −9 x +5 x ⇔ 81x − 18 x= +1 x −1 9x x − + x x x ⇔ ( x − 1)= ⇔ ( x − 1) + ⇔ ( x − 1) Vì ( x − 1) 2 (3 ≥ 0, Do ( x − 1) x −1 −9 x + x 9x − x + = x (3 + ) x −1 ) x −1 (3 + x x = ≥ nên ( x − 1) ) x −1 x 2 (3 + ) x −1 x ≥  x − =0 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) = xảy  3 x − =0 Vậy x = 81x − 18 x =A − x + Đánh giá vế ≥ số, vế ≤ số Bước 1: Đưa vế bình phương sử dụng A2 ± m ≥ 0; − A2 ± m ≤ ± m Bước 2: Đánh giá vế lại dựa vào bất đẳng thức quen thuộc như: • Bất đẳng thức Cosi: a + b ≥ ab hay ab ≤ Dấu “=” xảy a = b • a+b ∀ a ≥ 0, b ≥ Bất đẳng thức Bunhia: ( a.x + b y ) ≤ ( a + b )( x + y ) ∀ a, b, x, y x y = a b • a + b ≥ a + b ∀ a ≥ 0, b ≥ Dấu “=” xảy a = b = Bước 3: Khẳng định phương trình xảy dấu “=” bước bước đồng thời xảy Dấu “=” xảy Ví dụ Cho biểu thức A = và= B x x − x Tìm x để x + 6= A.B + x − + − x x −1 Lời giải Điều kiện: < x ≤ Có x + 6= A.B + x − + − x = ⇔ x2 + x x − + x − + − x x −1 ( ⇔ x − x + 6= ) x −1 + − x * Có VT (*) = x − x + + = (*) ( x − 2) + ≥ * Chứng minh VP(*) ≤ : Cách 1: (Dùng bất đăng thức Cosi) Xét  VP (*)  =− x + ( x − 1)( − x ) + − x =+ 2 ( x − 1)( − x ) ( x − 1) + ( − x ) = ⇒ VP * ≤ ≤ + () Cách 2: (Dùng bất đẳng thức Bunhia cốpxki) ( Xét  VP (*)  = x − + − x ) ≤ (1 + ) ( x − + − x ) = ⇒ VP (*) ≤ 2 2 Như VT(*) ≥ 2, VP (*) ≤ nên (*) xảy  x − = ⇔x= (thỏa mãn)   x − = − x Vậy x = x + 6= A.B + x − + − x Ví dụ Cho biểu thức A = x Tìm x để A.( x − 2) + x = x + + x + 16 + − x x −2 Lời giải Điều kiện: ≤ x ≤ 9, x ≠ Có A.( x − 2) + x = x + + x + 16 + − x ⇔ x ( x − 2) + x = x + + x + 16 + − x x −2 ⇔ −x + x − = x + 16 + − x Có VT(*) =− x + x − + =− ( ) (*) x − + ≤ Ta chứng minh VP (*) ≥ Cách 1: (Chỉ [ VP(*) ] ≥ 25 ) Xét [ VP(*) ] = x + 16 + 2 = 25 + Cách 2: (Sử dụng ( x + 16 )( − x ) + − x ( x + 16 )( − x ) ≥ 25 ⇒ VP(*) ≥ a + b ≥ a + b ∀ a ≥ 0, b ≥ ) Có VP(*) = x + 16 + − x ≥ x + 16 + − x = 25 = ⇒ VP(*) ≥ Như VT(*) ≤ 5, VP(*) ≥ nên (*) xảy   Do (*) xảy    x −3 = (thỏa mãn điều kiện) ⇔x= ( x + 16 )( − x ) = Vậy x = A.( x − 2) + x = x + + x + 16 + − x DẠNG 4: ĐƯA VỀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Đưa bất phương trình dạng f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) > 0; ≥ 0; < 0; ≤0 g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định Bước 2: Quy đồng mẫu chung, chuyển hết sang vế để dạng f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) > 0; ≥ 0; < 0; ≤0 g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) Bước 3: Giải bất phương trình này, đối chiếu điều kiện kết luận Một số tình thường gặp −3 > ⇔ −3 x − dấu +) x −2 Vì −3 < nên ta +) Vì +) x − < giải ≤ x < x −3 ≤0 x +2 x + > nên ta x − ≤ giải ≤ x ≤ x < ⇔ x x − trái dấu, giải hai trường hợp: x −4  x < trường hợp vô nghiệm   x − >  x > trường hợp giải < x < 16   x − < 10  3x  x    5.    4x x  1  20x  1  3x   x      15  4x+20   x  1    3x   x3 2 Trường hợp 1: Xét x – =  x = ( thỏa mãn điều kiện) 15 Trường hợp 2: Xét 3x   15  3x   15  x3 2  x3 2  4x+20=0  4x+20=0   4x  20 (*) 3x   x3 2 15 15    =4 (*) 3x   x3 2 3.6   63 2  Nếu x < Mà 4.x – 20 < 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm Nếu x >6 15 3x    x3 2  15 3.6    63 2 =4 (*) Mà 4.x – 20 > 4.6 – 20 = nên phương trình (*) vơ nghiệm Nếu x = thỏa mãn (*) thỏa mãn điều kiện   Vậy tập nghiệm phương trình cho S  1;6 Ví dụ 4: Giải phương trình x  x    Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x–2 x2 x=2 x  với số Từ bảng này, ta suy Trình bày lời giải: Điều kiện : x    Phương trình x     x 2 2   x  2x  2x  4  2  x  2x  2x  4  x  2  2 x2 2 x2 0 0 x2 2      x  2x  2x    x    Trường hợp 1: Xét x – =  x = ( thỏa mãn điều kiện) 188 Trường hợp 2: Xét x  2x   2 Do x2 2 x    nên x2 2  x  2x   x2 2 (*) 1   Mà x  2x   x    nên phương trình (*) vơ nghiệm  Vậy tập nghiệm phương trình cho S  Ví dụ 5: Giải phương trình x3 + x − 7= x2 + Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x − x=2 Từ bảng ta suy Trình bày lời giải: x2 + x + với số x2 + − Phương trình ⇔ x + x − 10= x + 5) − ( ⇔ ( x − 8) + ( x − ) = x2 + + x2 − ⇔ ( x − 2) ( x2 + 2x + 4) + ( x − 2) − = x2 + +  x+2  ⇔ ( x − 2)  x2 + 2x + − = x2 + +   ⇔x= ( thỏa mãn điều kiện ) Trường hợp 1: Xét x − = Trường hợp 2: x+2 x+2 Xét x + x + − = ⇔ x2 + 2x + = x2 + + x2 + +  x + > x = x ≥ x x+2 Do  nên x + + > x + hay Mà x + x + = ( x + 1) + ≥ nên phương trình ( ∗) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {2} Ví dụ 6: Giải phương trình x2 + x+ = x ( x + 1) Phân tích tốn: Phương trình ta nhẩm nghiệm x = nên ta tách nhân tử x −1 x+ 189 x x =1 Từ bảng , ta suy x+ với số x x2 + Do x + = nên điều kiện : x > x x −4 x2 − x + x = ( x + 1) x+ +2 x 2  1  x − 4x + x − 4x + ⇔ ( x − x + 3)  − ⇔ = = ( x + 1) x3 + 3x + x  x + 3x + x x +   x2 − x + =  x2 − x + = x = ( thỏa mãn) ⇔ ⇔ ⇔ x =  x3 + x + x = x +  x + 3x − = x2 + −2 −2 ⇔ Phương trình ⇔ x + = x ( x + 1) x+ Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {1;3} 190 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG : BIẾN ĐỔI VỀ MỘT BIỂU THỨC VÀ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ Ví dụ 1: Giải phương trình x + + x − = x − 12 + x − 16 Lời giải Điều kiện : x ≥ Phương trình ⇔ x + + x − = 2x − 12 + ⇔ x+4 + x−4 = (x − 4+ x + 4+ ⇔ x + + x − 4= ( x+4 + x−4 ( x − )( x + ) ( x − )( x + ) ) − 12 ) − 12 x + + x − ≥ , ta t = t − 12 ⇔ t − t − 12 = Đặt t = ⇔ ( t + 3)( t − ) = ⇔ t =−3 ( loại ), t = ( thỏa mãn ) ⇔ t − t − 12 = ⇒ x + + x − = ⇔ x + x − 16 = 16 8 − x ≥ ⇔x= ( thỏa mãn ) ⇔ x − 16 = − x ⇔  2  x − 16 = x − 16 x + 64 Vậy nghiệm phương trình cho S = {5} Ví dụ 2: Giải phương trình Điều kiện : −1 ≤ x ≤ Phương trình ⇔ ( ⇔ 2( ⇔2 ( x +1 + − x + ) ( x + 1)( − x ) =10 x +1 + − x + ) ( 4− x)+( 15 ( x + 1)( − x ) ) = x +1 + − x + x +1+ − x + x +1 + Đặt t= x +1 + − x ( x + 1)( − x ) =5 ) = 15 x + + − x ≥ , ta 2t + t = 15 ⇔ t + 2t + = 16 ⇔ ( t + 1) = 16 ⇔ t + =±4 ⇔t= ( thỏa mãn ), t = −5 (loại) ⇒ x +1 + − x = ⇔ + ⇔ ( x + 1)( − x ) = ( x + 1)( − x ) = ⇔ 4x − x + − x = ⇔ x − 3x = ⇔ x= 0, x= ( thỏa mãn ) Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {0;3} Ví dụ 3: Giải phương trình x + x = 2x + +4 2x Điều kiện : x >     Phương trình ⇔  x +  =  x + 4x  + x         ⇔ 5 x + =   x +  − 1 + x x    191 Đặt t = x + x ≥2 x x = ta 5= t ( t − 1) + ⇔ 2t − 5t + = ⇔ 2t − 4t − t + =0 ⇔ 2t ( t − ) − ( t − ) = ⇔ ( t − )( 2t − 1) = ⇔ t = (loại), t = ( thỏa mãn ) ⇒ x+ = ⇔ 2x − x +1 = x 2± ⇔ x= ⇔ x = ± ( thỏa mãn ) 2 3  Vậy tập nghiệm phương trình cho = S  ± 2 2  Ví dụ 4: Giải phương trình ( x − 1) =2 − x x − x Lời giải  x2 −1  − ≥ x ≥0   Điều kiện  ⇔ x x x ≠  x ≠  Phương trình ⇔ x − x + = − x x − 1 ⇔ x − − x + x x − =0 x x 1 1 ⇔ x− −2+ x− = ⇔ x− + x− −2 = x x x x Đặt t = x− ≥ , ta t + t − =0 ⇔ ( t − 1)( t − ) = x ⇔t= (loại), t = (thỏa mãn) ⇒ x − = x 1± (thỏa mãn điều kiện) 1 ±  Vậy tập nghiệm phương trình cho S =     ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = x + x + =0 Lời giải ∗ Nếu x ≤ phương trình cho vô nghiệm ∗ Xét x > , chia hai vế cho x ta Ví dụ 5: Giải phương trình x − x + + x+ 1  1 −3+ x + +1 = ⇔ x + −3+  x +  −1 = x x x  x 1 ≥ x = x x ta t − + t −1 = ⇔ t2 −1 = Đặt t = x + 192 (3 − t ) 3 − t ≥ t ≤ ⇔ ⇔ ⇔ t = ⇒ x = (thỏa mãn)  2 2t − 18t + 28 = t − 1= ( − 6t + t ) Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {1} DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ HAI BIỂU THỨC VÀ ĐẶT HAI ẨN PHỤ RỒI ĐƯA VỀ TÍCH ( Ví dụ Giải phương trình x + = x2 − x + ) Lời giải Điều kiện: x ≥ −8 ⇔ x ≥ −2 Phương trình ⇔ ⇔5 ( x + ) ( x − x + 4=) ( x + ) ( x − x + 4=) ( x2 − x + 6) ( x − x + ) + ( x + )  Đặt a = x − x + > 0, b = x + ≥ , ta 2a − 5ab + 2b =0 ⇔ ( a − 2b )( 2a − b ) =0 2x + = 4x +  x2 − 6x −  a 2b  x − = ⇔ ⇒ ⇔  2  2a = b  ( x − x + ) =x +  x − x + 14 = ⇔ x = ± 13 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S= {3 ± 13} x3 + 3x + x + Ví dụ Giải phương trình x + x += Lời giải Điều kiện: x ≥ −3 ( x + 1) ( x + 3) ( x + 1) ( x + 3) Phương trình ⇔ x + x += ⇔ ( x + 1) + ( x += 3) 2 Đặt a= x + > 0, b= x + ≥ , ta a + 2b = 3ab ⇔ a − 3ab + 2b =⇔ 0 ( a − b )( a − 2b ) =  x + 1=  x − x − 2= x+3  a= b ⇔  a = 2b ⇒   x + =  x+3  x − x − 11 = ⇔x= −1, x = 2, x = ± 15 (thỏa mãn) { −1;2;2 ± 15 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = Ví dụ Giải phương trình } + x − =x + 2x − x x x Lời giải ≥ 0, x − ≥ x x 5  1 5  Phương trình ⇔ x − + x − − x − = 0 ⇔  2x −  −  x −  + 2x − − x − = x  x x x x x x  Điều kiện: x ≠ 0, x − 193 ≥ ta a − b + a − b = x ⇔ ( a − b )( a + b + 1) = ⇔ a = b ⇒ x − = x − x x ⇔x = 4⇔ x= −2 (loại), x = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {2} Đặt a = 2x − ≥ 0, b = x x− ( ) Ví dụ Giải phương trình x + x =( − x ) − x Lời giải Phương trình ⇔ ( x + 1) ( x ) = (6 − 2x) − 2x Điều kiện: x ≤ ⇔ ( x + 1) ( x ) =( − x ) + 1 − x Đặt a = x, b = − x ≥ , ta ( a + 1) a = ( b + 1) b ⇔ a + a = b3 + b  b  3b  ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) =0 ⇔ ( a − b )  a +  + + 1 =0 2   2 x ≥ ⇔ a = b ⇒ 2x = − 2x ⇔  4 x = − x −1 + 21 (thỏa mãn) ⇔x=  −1 + 21  Vậy tập nghiệm phương trình cho S =     2 Ví dụ Giải phương trình x + x + x + + ( x − 10 ) − x = Lời giải Điều kiện: − x ≥ ⇔ x ≤ Phương trình ⇔ x + x + x + + x + 6= (10 − x ) 4− x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) =6 + ( − x )  − x ⇔ ( x + 1) + ( x + 1)= ( 4− x ) +6 4− x Đặt a =x + 1, b = − x , b ≥ ta ⇔ a + 6a = b3 + 6b ⇔ ( a − b3 ) + ( 6a − 6b ) = ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + ) =   b  3b ⇔ ( a − b )  a +  + + 6 = ⇔ a = b 2   x +1 ≥  x ≥ −1 ⇒ − x = x +1 ⇔  ⇔  2 4 − x = x + x +  x + 3x − = −3 + 21 (thỏa mãn) ⇔x= 194  −3 + 21     64 x + x 5x2 + x + = 5x + 6x + Vậy tập nghiệm phương trình cho S =  Ví dụ Giải phương trình Lời giải Vì x + x + > ∀x nên phương trình xác định ∀x 64 x + x Phương trình ⇔ x + x + = ( 5x + x + 5) + ⇔ ( ) x + x + + x + x + 5= Đặt = a ( 4x) + 4x x + x + > 0,= b x ta a + a = b3 + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) =  b  3b  ⇔ ( a − b )  a +  + + 1 = ⇔ a = b ⇒ x + x + = x 2   x ≥ x ≥ ⇔ ⇔ ⇔x=  x + x + 16 x x − 6x − 5= 11= Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {1} DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ KẾT HỢP VỚI ẨN BAN ĐẦU ĐƯA VỀ TÍCH Ví dụ Giải phương trình x + x= + 3x x + Lời giải Phương trình ⇔ 18 x + ( x += 3) x x + Điều kiện: x ≥ − Đặt y= x + ≥ ta 18 x + y = xy 2 ⇔ 18 x − xy + y =0 ⇔ ( x − y )( x − y ) =0  x + 3= x 9 x − x − 3= 0, x ≥  y= x ⇔ ⇒ ⇔ 6x  y = x  x + = 36 x − x − 3= 0, x ≥ ⇔ x = 1, x = + 13 (thỏa mãn) 12  + 13   12   Vậy tập nghiệm phương trình cho S = 1; Ví dụ 2: Giải phương trình x + = x − x + 14 Lời giải Điều kiện x ≥ 195 x − x + 14 − x + = ⇔ x − x + + x + − x + =0 Phương trình tương đương với ⇔ ( x − 3)2 + ( x +1 − ) =  x − = ⇔ ⇔x=  x + = Vậy nghiệm phương trình x = 11 Ví dụ 3: Giải phương trình x + x + + − x = Lời giải Điều kiện −3 ≤ x ≤ Phương trình ⇔ 11 − x − x + − − x = ⇔ x + − x + + + − 2x − − 2x +1 = ⇔ ( ) ( x+3 −2 + ) − 2x −1 =  x + = ⇔ ⇔x= 1  − x = Vậy nghiệm phương trình cho x = Ví dụ 4: Giải phương trình x − x − − x + =0 Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình ⇔ x − x − − x + = ⇔ x − − x − + + 1x − x + =0 ⇔ ( ) ( x − −1 + ) x −3 =  x − = ⇔ ⇔x=  x = Vây nghiệm phương trình x = Ví dụ 5: Giải phương trình x + x −= (x − 8) ( x − ) + x2 − + x − Lời giải Điều kiện x ≥ 18 Phương trình ⇔ x + x −= ⇔ ( x2 − − x − ) +( (x − 8) ( x − ) + x − + x − ) ( x2 − −1 +  x2 − = x−2   ⇔  x2 = −8 ⇔ = x   x − = Vậy nghiệm phương trình x = 196 ) x − −1 = Ví dụ 6: Giải phương trình − x + + x =2 − x Lời giải 1 Điều kiện − ≤ x ≤ ⇒ − x > 2 Phương trình ⇔ + − x = x − x + x4 − 4x2 − − 4x2 + = ⇔ x + (1 − x ) − − x + = ⇔ x4 + ( ) − 4x2 −1 =  x = ⇔ ⇔x=  − x = Vậy nghiệm phương trình x = DẠNG 2: ĐÁNH GIÁ VẾ NÀY ≥ MỘT SỐ, VẾ KIA ≤ SỐ ĐÓ BẰNG BĐT CỐI, BUNHIA Ví dụ 1: Giải phương trình x − + − x = x − x + 11 Lời giải Điều kiện ≤ x ≤ Có x − x + 11 = ( x − 3) +2≥2 Ta đánh giá x − + − x ≤ Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) Xét ( x−2 + 4− x ) ( x − )( − x ) ≤ + = 2+2 x − + (4 − x) =4 ⇒ x−2 + 4− x ≤ Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) ( Xét x − + − x ) ≤ (1 + ) ( 2 2 x−2 + 4− x )= 4⇒ x−2 + 4− x ≤ Như x − + − x ≤ , x − x + 11 ≥ nên phương trình xảy dấu x − = ⇔x=  x − = − x Vậy nghiệm phương trình x = Ví dụ 2: Giải phương trình x − + − x = x − x3 + x − 12 x + 14 Lời giải Điều kiện ≤ x ≤ Ta có x − x3 + x − 12 x + 14 = ( x − x3 + x ) + ( x − 12 x + 12 ) + = 197 (x − 2x ) + 3( x − 2) + ≥ 2 Ta đánh giá x − + − x ≤ Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) Xét ( x −1 + − x ) ( x − 1)( − x ) ≤ + = 2+2 x −1 + (3 − x ) = ⇒ x −1 + − x ≤ Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) ( Xét x − + − x ) ≤ (1 + ) ( 2 2 x −1 + − x )= 4⇒ x −1 + − x ≤ Như x − + − x ≤ , x − x3 + x − 12 x + 14 ≥ nên phương trình xảy dấu  x2 − x =   x − 2= ⇔ x= x −1 = − x  Vậy nghiệm phương trình x = Ví dụ 3: Giải phương trình x − + − x = x − x3 − x + 12 x + 11 Lời giải ≤x≤ 2 Ta có x − x − x + 12 x + 11 = ( x − x3 + x ) − x + 12 x + 11 Điều kiện =( x − x ) − ( x − x ) + 11 = = (x (x 2 − x ) − ( x2 − x ) + + 2 − x − 3) + ≥ 2 Ta đánh giá x − + − x ≤ Cách 1: (Sử dụng BĐT Côsi) Xét ( 2x − + − 2x ) = 2+2 ( x − 5)( − x ) ≤ + ⇒ 2x − + − 2x ≤ Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) ( Xét x − + − x ) Bunhia ≤ (12 + 12 ) ( 2x − + − 2x 5x − + ( − x ) =4 ) =4 ⇒ 2x − + − 2x ≤ Như x − + − x ≤ , x − x3 − x + 12 x + 11 ≥ nên phương trình xảy  x2 − x − = 0⇔x= (thỏa mãn)  2 x − = − x Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {3} Ví dụ Giải phương trình x − x = x − x + Lời giải Điều kiện: − x ≥ ⇔ x ≤ Cách (Đánh giá vế) 198 Có x − x + = x − x + + = ( x − 1) + ≥ Suy x − x ≥ ⇒ x > x ( − x= ) x Do x − 2=  x + x + − 2x  x.x ( − x ) ≤  =   Nên x − x ≤ Như nên phương trình xảy x − =0 ⇔x= ( thỏa mãn) x= − x { Cách (Đưa bình phương) Có x − x = x − x + ⇔ x − x = x − 12 x + ⇔ x − x − x + ( − x ) + x − 10 x + = ( ⇔ x − − 2x ( Do x − − x ) ) + ( x − 1) = ≥ 0; ( x − 1)2 ≥ nên phương trình xảy = x − 2x ⇔ x = (thỏa mãn)   x − =0 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {1} Ví dụ Giải phương trình 2x − + − x =1 + x x 2x Lời giải ≥ 0; − x ≥ x x Cách (Sử dụng bất đẳng thức Côsi) Điều kiện x ≠ 0; x − 3  6   x −  +  − x  x  x  3  6  1+  2x −  1+  − 2x  x x = ≤  +  1+ 2 2x Do phương trình xảy x − = − x =1 ⇔ x = (thỏa mãn) x x Cách (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia) 2x − Có 2x + −= x x     6 − x=  x − +  1 x − + − x  x x x x       ≤ 12 + 12  x − + − x  = x x   x Có ( ) 6 + − 2x ≤ x x x Nên 2x − Mà + 3 ≥ = nên dấu “=” xảy x = (thỏa mãn) 2x 2x x 199 3 Vậy tập nghiệm phương trình cho S =   2 Ví dụ Giải phương trình 12 − Điều kiện x ≠ 0; 12 − 3 x + x2 − = x2 x Lời giải ≥0 x2 3     Cách Có 12 − + x −= 12 − +    4x −  x x2  x2  x   1  1  ≤  + 12 −  + 1 + x −  = x − + 6 x  2 x  2x x2 ≥ 0; x − 1    = x −  x2 + −  = x2 −  x −  ≤ x2 x x    Do phương trình xảy 3 12 − = 9; x − = 1; x − = 0⇔ x= ±1 (thỏa mãn) x x x Cách Đặt a = x > 0; b = > ⇒ ab = 12, x a Ta ab − b + a − b = b + ( a − 1) + ( a − b ) b b ( a − 1) + 1( a − b ) ≤ + = a Có ab − b + a −= 2  4 x − =x Dấu “=” xảy  ⇔ x − x − =0 ⇔ x =±1 (thỏa mãn) 1 x − = x2  Vậy tập nghiệm phương trình cho S = 200 {±1} HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Giải phương trình sau ( x + )( x + ) Bài x + + 2012 x += 2012 + Bài 2 x + + x − x + = + x3 + ( Bài x3 + + x ) − x =8 − x − x - Bài x + − x + x − x − x − = Bài x + + x + x + = x + x + Bài x + 2018 x + = x + + 2018 x + x + Bài x + x + += x2 − x + + x Bài x + + x + 2= Bài 3x − x + − x − = Bài 10 − x − x= Bài 12 x + + x + 3= ( 3x − x − − x − 3x + ) + x −1 x − + − x= x − x − Bài 13 ( ) x − + x + = x − 24 x + 35 Bài 14 x − x + − = Bài 15 x3 + x − 7= Bài 16 x+ x + x2 + = x ( x + 1) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Giải phương trình sau Bài x + + x − = x − 12 + x − 16 Bài x +1 + − x + Bài x + x = 2x + ( x + 1)( − x ) =5 + 2x Bài ( x − 1) =2 − x x − x Bài x − x + + x + x + =0 Bài x3 += ( x2 − x + 6) x3 + x + x + Bài x + x += + x − =x + x − x x x Bài ( x + 1) x =( − x ) − x Bài Bài 10 x3 + x + x + + ( x − 10 ) − x = 201 64 x + x 5x + x + = 5x + x + Bài 11 Bài 12 (1 − x ) x + x − = x − x + Bài 13 ( x − 1) x + 1= x + x + Bài 14 x + x + = + x − Bài 15 x = 4x + với x > Bài 16 x + x = 28 Bài 17 x − x − + 16 x = Bài 18 x + = x3 − 15 x + 75 x − 131 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Giải phương trình sau: Bài x + x + 12= x + Bài x + = x − x + 14 11 Bài x + x + + − x = Bài x − x − − x + = Bài x + x −= (x − ) ( x − ) + x − + x − Bài − x + + x =2 − x Bài Bài x − + − x = x − x + 11 x − + − x = x − x3 + x − 12 x + 14 Bài x − + − x = x − x3 − x + 12 x + 11 Bài 10 x − x = x − x + 2x − + − x =1 + x x 2x Bài 12 12 − 3 + x2 − = 4x2 x x Bài 11 202 ... x − > ⇔ x > ⇔ x > Mà x ∈ N ⇒ x ∈ {10; 11;12; } ⇒ x ≥ 10 ⇒ x ≥ 10 ⇒ x − ≥ 10 − ⇒ 5 5 ≤ ⇒ 1+ ≤ 1+ x −3 10 − x −3 10 − 10 + = 16 + 10 10 − Vậy MaxP= 16 + 10 x = 10 (thỏa mãn) ⇒P≤ b) Ta thấy hai trường... 1)2 8( a + 1) − ≥1⇔ − −1 ≥ ⇔ − − ≥0 P 8 a +1 8( a + 1) 8( a + 1) 8( a + 1) −a + a − 8( a + 1) ≥0⇔ −( a − 3)2 8( a + 1) ≥0 12 Vì −( a − 3)2 ≤ với a > nên 8( a + 1) mãn điều kiện) −( a − 3)2 8( ... ≤ 9; a, b, c ∈  • Số ab = 10a + b; abc = 100 a + 10b + c • Đổi chỗ hai chữ số số ab ta = ba 10b + a Chèn số 0; 1; vào số a 0b= 100 a + b; a1b= 100 a + 10 + b; a 2b= 100 a + 20 + b • Ví dụ Tìm số