Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 1 Lượng Giác αααααααα A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN : 1) Hàm số lượng giác :  Vòng tròn lượng giác : Vòng tròn tâm ,bán kính R = 1 ,chiều dương ngược chiều kim đồng hồ ( trong hệ trục Oxy )  4 hàm số lượng giác : y = sinx ( Oy ) , y = cosx ( Ox ) , y = tanx , y = cotx  1 sin ,cos 1      và tan ,cot       2) Tính tuần hoàn : Sin (x + k.2  ) = sinx Cos (x + k.2  ) = cosx Tan (x + k.  ) = tanx Cot (x+k.  ) = cotx Hàm six ,cosx tuần hoàn với chu kì 2  , hàm tanx ,cotx tuần hoàn với chu kì  3) Hệ thức cơ bản : 2 2 sin cos 1     ; sin tan cos     ; cos cot sin     tan .cot 1    1 cot tan 1 tan cot               2 2 1 1 tan cos     ; 2 2 1 1 cot sin     4) Dấu của các giá trị Lượng Giác : Trong cung phần tư thứ (1) : sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x            Trong cung phần tư thứ (2) : sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x            O (1) (4) (3) (2) 2  0  3 2  2  Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 2 Trong cung phần tư thứ (3) : sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x            Trong cung phần tư thứ (3) : sin 0 cos 0 tan 0 cot 0 x x x x            5) Các cung liên kết :  Hai cung đối nhau : & x x  cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x             Hai cung bù nhau : & x x   sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x                 Hai cung phụ nhau : & 2 x x   sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 x x x x x x x x                                      Hai cung hơn 2  : & 2 x x   sin cos 2 cos sin 2 tan cot 2 cot tan 2 x x x x x x x x                                        Chú ý : Đối với sin và cos : chẵn  bỏ ; lẻ  bỏ ,thêm dấu  ở trước Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 3 Đối với tan và cot : chẵn hay lẻ  ta bỏ vô tư ko cần thêm gì nữa B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :  CÔNG THỨC CỘNG : sin( ) sin .cos cos .sin cos( ) cos .cos sin .sin tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b a b a b a b a b a b a b           HỆ QUẢ : sin cos 2 sin 4 cos sin 2 cos 4 a a a a a a                             CÔNG THỨC NHÂN :  Nhân đôi : 2 2 2 2 2 sin 2 2sin .cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan 2 1 tan x x x x x x x x x x x           Nhân ba : 3 sin3 3sin 4sin x x x   ; 3 cos3 4cos 3cos x x x    Tổng thành Tích : cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                  nhận xét : 2 a b  đứng trước, 2 a b  đứng sau  Tích Thành Tổng : 1 cos .cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin .sin [cos( ) cos( )] 2 1 sin .cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos .sin [sin( ) sin( )] 2                                           CÔNG THỨC HẠ BẬC : 2 1 cos2 sin 2 x x   ; 2 1 cos2 cos 2 x x   C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :  Phương trình Lượng Giác cơ bản : 2 sin sin ( ) 2 u v k u v k Z u v k               cos cos 2 ,( ) u v u v k k Z       Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 4 tan tan ;( ) cot cot u v u v k k Z u v           Chú ý : khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp dạng này khi gặp phương trình dạng : cos cos u v   đưa về cos cos( ) u v    ; sin sin u v   đưa về sin sin( ) u v   tan tan u v   đưa về tan tan( ) u v   ; cot cot u v   đưa về cot cot( ) u v    Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG : Dạng : 2 2 2 2 .sin .sin 0 .cos .cos 0 .tan .tan 0 .cot .cot 0 a x b x c a x b x c a x b x c a x b x c                    , Cách giải : đặt sin ,( 1 1) cos ,( 1 1) tan ,( ) cot ,( ) t x t t x t t x t R t x t R                    Pt cho sẽ trở thành : 2 . . 0 a t bt c    t x    Phương trình đối xứng với sinx và cosx : .sin cos a u b u c   ; đk có nghiệm : 2 2 2 a b c   Cách giải : chia 2 vế phương trình cho 2 2 a b  Phương trình cho trở thành : 2 2 2 2 2 2 .sin cos a b c u u a b a b a b      Đặt 2 2 2 2 cos sin a b a b a b        , bằng tư duy ta đưa về công thức : sin( ) sin .cos cos .sin cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b a b a b a b       sau đó giải bình thường tức là 2 2 2 2 sin .cos cos .sin sin( ) c c u u u a b a b           Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 5  Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx : 2 2 .sin .sin .cos .cos a u b u u c u d    (1) Cần nhớ : 2 2 sin 2 2sin .cos 1 1 tan cos u u u u u         Cách giải1 : o Xét 2 cos 0 sin 1 x x    , nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm của pt, nếu ko thỏa thì cosx = 0 ko fải là nghiệm o Xét cos 0 x  , chia 2 vế phương trình (1) cho 2 cos x và nhớ 2 2 .(1 tan ) cos d d x x   hay 2 2 (sin cos ) d d x x   , sau đó đưa về phương trình bậc 2 theo tanx và giải Cách giải2 : 1 cos2 sin 2 1 cos2 . . . 2 2 2 x x x a b c d      .sin 2 cos2 A x B x C    ( đã học , dùng trong biện luận nghiệm nhiều hơn )  Phương trình chứa tổng và tích : .(sin cos ) sin .cos 0 a u u b u u c     Cách giải : đặt sin cos 2sin( ) 4 t u u u      ,đk 2 2 t   sau đó bình phương và rút sin .cos u u theo t và thế vào pt giải bình thường sẽ có nghiệm t  Phương trình quy về dạng tích : 0 . . 0 0 0 A A B C B C            Phương trình tổng bình phương : 2 2 0 0 0 A A B B         Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 6  Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới) : A M A M B M B M A B               Lưu ý dạng sin 1 cos 1 sin .cos 1 sin 1 cos 1 u v u v u v                      Trong quá trình làm bài tập sẽ có nhiều dạng khác ,đòi hỏi kĩ năng và kinh nghiệm của các em… Bài Tập Lượng Giác A.Phương trình cơ bản : 1) 1 sin(2 ) 3 2 x    2) 3 cos(2 ) 3 2 x    3) 2 sin(2 ) 4 2 x     4) sin5 sin3 x x  5) 1 sin( 20 ) 2 o x   6) 1 sin( 2) 3 x   7) 1 tan3 3 x   8) tan(3 12 ) tan60 o o x   9) tan(4 2) 3 x   10) sin(2 1) sin( 3) x x    11) 3 sin 1 5 x  12) 3 cot 2 1 x  13) 2sin7 3 0 x   14) cos4 cos3 0 x x   15) sin(2 ) sin 3 x x     16) sin 2 cos3 0 x x   17) 4 cos 1 x  18) 2sin3 3 0 x   19) 2 2 sin sin 2 1 x x   20) 3 tan 2 3 0 x   21) 1 sin(2 ) 3 2 x    22) cos3 sin4 0 x x   23) 4sin .cos .cos2 1 x x x  24) 16sin .cos .cos2 cos4 2 x x x x  25) 2 1 sin 2 4 x  26) 2 cos ( 30 ) 1 o x   27) 2 3 cos ( ) 6 4 x    28) 2sin( ) 3 3 4 x    29) cos2 sin x x  B.Đặt ẩn phụ : 1) 2 2cos 3cos 5 0 x x    2) 2 tan 2 tan 3 0 x x    3) 2cos2 cos 1 x x   4) 2 2sin 2 5sin2 3 0 x x    5) 2 2cos 3cos 5 0 x x    6) 2 4sin 4 cos x x   7) 2 3 4tan cos x x  8) 2 2cos 5 3cos5 1 0 x x    9) 5cos 2sin 3 0 2 x x    10) 2 4cos 2( 3 1)cos 3 0 x x     11) 2 tan (1 3)tan 3 0 x x     12) 2 cot 4cot 3 0 x x    13) 4 2 tan 4tan 3 0 x x    14) cos2 9cos 5 0 x x    15) 2 cos sin 1 0 x x     16) sin3 cos2 1 2sin cos2 x x x x    17) 2 2 1 sin 2 sin 2 x x   18) 3 2 2 cos cos 2sin 2 0 x x x     C.Phương trình đối xứng : 1) sin 3cos 1 x x   2) 3sin3 cos3 2 x x  3) cos 3sin 2 x x  Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 7 4) 2sin 2cos 2 0 x x    5) 3sin 2 3 cos2 1 x x   6) 2 1 sin 2 sin 2 x x   7) sin( 2 ) 3sin( 2 ) 1 2 x x       8) 2 2sin 3sin 2 3 x x   9) sin 4 cos4 1 x x   10) sin3 3cos3 2sin 2 x x x   ( KA Cao Đẳng – 2008 ) 11) 2 2 1 sin cos cos 2 x x x    D.Phương trình đẳng cấp : 1) 2 2 2sin sin cos 3cos 0 x x x x    2) 2 2 3sin 2sin2 5cos 2 x x x    3) 2 2 2sin 2 5sin2 cos2 cos 2 2 x x x x     4) 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x    5) 2 2 2cos 3 3sin 2 4sin 4 x x x     6) 2 2 3sin 4sin2 (8 3 9)cos 0 x x x     7) 2 2 2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos 1 x x x x       E.Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích : 1) 3(sin cos ) 2sin 2 3 0 x x x     2) sin cos 4sin cos 1 0 x x x x     3) 6(sin cos ) sin cos 6 x x x x    4) (2 2)(sin 2 cos2 ) 2sin 2 cos2 2 2 1 x x x x      5) 2sin2 3 3(sin cos ) 8 0 x x x     6) (1 2)(1 sin cos ) sin 2 x x x     F.Bài tập tổng hợp : Bài 1 : giải các phương trình LG sau 1) 2cos2 0 1 sin 2 x x   2) cos2 .tan 0 x x  3) sin3 cos5 0 x x   4) 2 1 sin 2 1 tan 2 cos 2 x x x    5) 3 2 tan tan 3tan 3 x x x    6) 2 2 sin 2cos2 3 7cos 0 x x x     7) cos9 2cos6 2 x x   8) 2 4cos cos 3 x x  9) 3 2 2 cos cos 4cos 0 2 x x x    10) 3 cos 2 sin( ).cos 2 x x x            11) 4 4 5 sin cos 8 x x   12) 3 2sin cos2 sin 0 x x x    13) 4 4 4(sin cos ) 3sin 4 2 x x x    14) sin 2 1 1 cos2 x x    ; 15) cos sin 2 0 x x   ; 16) 2 2 2 cos cos 2 cos 3 3.cos 2 2 2 6 x x x                             17) cos cos2 cos3 cos4 0 x x x x     ; 18) 6sin 2cos x x  ;19) 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4 x x x x    Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây : 1) cos3 2cos 2 x x   ( ĐH Cảnh Sát Nhân Dân ) 2) 1 cos cos2 cos3 0 x x x     ( ĐH Nông Lâm – 2001 ) ĐS : cos 0 cos 1 1 cos 2 x x x           3) 5 sin5 cos sin 2 2 2 x x x                   ( ĐH An Giang – 2001 ) 4) 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x          ( KD – 2006 ) Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 8 5) 1 2cos2 8cos 7 cos x x x    ( ĐH Nông Nghiệp – 2000 ) 6) sin 2 2tan 3 x x   ( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 ) 7) 2 2 2 sin sin 3 3cos 2 x x x   ( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 ) 8) tìm nghiệm [0;14] x  của pt : cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x     ( KD – 2002 ) ĐS: 3 5 7 , , , 2 2 2 2           9) 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x    ( KB – 2002 ) ĐS : 8 9 x k x k      10) tìm nghiệm [ ;3 ] 2 x    của phương trình : 5 7 sin 2 3cos 1 2sin 2 2 x x x                    11) sin sin 2 sin3 0 x x x    ( ĐH Kiến Trúc – 2000 ) 12) sin 3 sin 2 .sin 4 4 x x x                  ( Bưu Chính Viễn Thông – 1999 ) HD : biến VP thành tổng ĐS : 4 2 x k     13) sin5 cos5 sin cos x x x x  HD : pt sin 4 0 cos2 0 sin 2 0 x x x         14) 2 cos2 1 cot 1 sin sin2 1 tan 2 x x x x x      ( KA – 2003 ) 15) 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x    ( KB – 2003 ) 16) 2 2 2 sin .tan cos 0 2 4 2 x x x           ( KD – 2003 ) 17) 2 5sin 2 3(1 sin ).tan x x x    ( KB – 2004 ) 18) (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin x x x x x     ( KD – 2004 ) 19) 2 2 cos 3 .cos2 cos 0 x x x   ( KA – 2005 ) 20) 1 sin cos sin2 cos2 0 x x x x      ( KB – 2005 ) 21) 4 4 3 cos sin cos .sin 3 0 4 4 2 x x x x                     ( KD – 2005 ) 22) 6 6 2(cos sin ) sin cos 0 2 2sin x x x x x     ( KA – 2006 ) 23) cos3 cos2 cos 1 0 x x x     ( KD – 2006 ) 24) 2 2 (1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 x x x x x      ( KA – 2007 ) 25) 2 2sin 2 sin7 1 sin x x x    ( KB – 2007 ) 26) 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x                   ( KA – 2008 ) 27) 3 3 2 2 sin 3cos sin cos 3sin cos x x x x x x    ( KB – 2008 ) 28) 2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cos x x x x     ( KD – 2008 ) 29) 3 3 cos sin sin cos x x x x    ( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 ) Nguyễn Vũ Minh minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 9 30) 2 2tan cot 3 sin 2 x x x    ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97) 31) tan cot 4 x x   ( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97) 32) 2 5 3sin 4cos 1 2cos x x x     ( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96) 33) 3 2 cos sin 3sin .cos 0 x x x x    ( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98) 34) sin3 2cos2 2 0 x x    ( ĐH Đà Nẵng – KA – 97) 35) 1 3sin cos cos x x x   ( ĐH An Ninh – 98) 36) 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4 x x x x    ( ĐH Kinh Tế Quốc Dân – 99) 37) sin3 sin 2 5sin x x x   (ĐH Y Hải Phòng – 2000) 38) 2 sin 2 cos2 2 x x  (ĐH Huế - KD – 99) 39) 2 2 cos 3sin 2 1 sin x x x    ( ĐH Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000) 40) cos7 .cos5 3sin2 1 sin 7 .sin5 x x x x x    ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96) 41) 3 3sin3 3cos9 1 4sin 3 x x x    ( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95) 42) 3 cos 3sin 3 cos 3sin 1 x x x x      ( ĐH Dân Lập Phương Đông – 97) Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm : 1) 2 2 ( 3)sin ( 3)sin cos cos 0 m x m x x x      2) 2 (5 2)cos ( 1)sin 2 1 m x m x      3) 2 2 2 ( 2)sin 4sin cos 3 m x x x m     ( HD : đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm) Bài 4 : 1) Tìm các nghiệm của pt : 2 2 7 sin cos4 sin 2 4sin 4 2 2 x x x             thỏa điều kiện 1 3 x   2)Cho hai phương trình : 2 2 1 sin 1 (1) cos (1 sin ) sin 2 (2) x tgx x m x x m       Tìm m để mọi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc : 1) cos .cos5 cos 2 .cos4 x x x x  2) cos5 .sin 4 cos3 .sin 2 x x x x  3) sin 2 sin 4 sin 6 x x x   3) sin sin 2 cos cos 2 x x x x    4) 2 2 2 2 sin 4 sin 3 sin 2 sin x x x x    5) 2 2 2 2 cos cos 2 cos 3 cos 4 2 x x x x     . minhnguyen249@yahoo.com Lượng Giác 0914449230 1 Lượng Giác αααααααα A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN : 1) Hàm số lượng giác :  Vòng tròn lượng giác. 2 1 cos2 sin 2 x x   ; 2 1 cos2 cos 2 x x   C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :  Phương trình Lượng Giác cơ bản : 2 sin sin ( ) 2 u v k u v k Z u v k  