Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2001 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 12 Năm học 2001 Môn thi Toán học Thời gian 180 phút Thang điểm Câu I Cho hàm số sau: Với giá trị nào của a hàm số có đạo hàm tại x = 1? Với giá trị a vừa tìm được, tính ? Câu II Cho tam giác ABC. Biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA = 1; MB = MC = 6. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu III Trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A'(-a;0); A(a;0) và elip (E) có phương trình: với a > b > 0. Trên elip (E) lấy điểm M bất kì. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MAA' khi điểm M chuyển động trên elip (E). Câu IV Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn: Câu V Cho hai phương trình sau: (1) (2) (a là tham số, x là ẩn số) Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2). Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2002 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 12 Năm học 2002 Môn thi Toán học Thời gian 180 phút Thang điểm Câu I Giải hệ phương trình: . Câu II Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: Câu III Gọi A, B, C là các góc của tam giác ABC. 1) Chứng minh rằng: 2) Xác định giá trị của A, B, C để biểu thức: đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy? Câu IV Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho họ đường thẳng: với m > 0. Tìm tất cả các điểm mà qua mỗi điểm đó có đúng 2 đường thẳng của họ đường thẳng đã cho đi qua và hai đường thẳng này vuông góc với nhau. Câu V Không sử dụng máy tính bỏ túi hoặc bảng số, hãy so sánh hai số sau: và Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2004 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 12 Năm học 2004 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (5,0 điểm). Giải bất phương trình . Câu II (6,0 điểm). 1) Cho phương trình Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. 2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hệ sau luôn có nghiệm (x;y) Câu III (6,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho 2 đường thẳng sao cho các đường thẳng: đôi một chéo nhau và vuông góc nhau. 1) Xét đường thẳng d bất kì đi qua O. Gọi thứ tự là góc giữa d với các đường thẳng . Chứng minh: 2) Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kỳ trong ba đường thẳng cùng bằng 2 đơn vị độ dài. Một hình hộp ABCD.A'B'C'D' thỏa mãn B' và D thuộc ; A' và C' thuộc ; A và D' thuộc . Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'. Câu IV (3,0 điểm). Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: . Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2005 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông Lớp học 12 Năm học 2005 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Câu I (6,0 điểm). Cho hàm số , (m là tham số). 1) Khi , hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số. 2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R. Câu II (4,0 điểm). Tính tích phân Câu III (7,0 điểm). Trên mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường parabol (P) có phương trình: và đường tròn (C) có phương trình: 1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt. 2) Cho điểm A(1;6) thuộc đường tròn (C). Hãy lập phương trình đường tròn đi qua điểm M(2;-1) và tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A. 3) Giả sử đường thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt . Gọi thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm . Biết rằng cắt ở điểm N. Hãy chứng minh điểm N nằm trên một đường thẳng cố định. Câu IV (3,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng , ta đều có: Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2006 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH Trường học Học sinh giỏi tỉnh Nam Định Lớp học 12 Năm học 2006 Môn thi Toán học Thời gian 150 phút Thang điểm 20 Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Nam Định Bài 1 (5 điểm). Cho hàm số (với m là tham số). 1. Khi m = 0, gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x = 0, gọi (d') là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tìm cosin của góc giữa (d) và (d'). 2. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau. Bài 2 (4 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn elip (E) có phương trình: và đường tròn (C) có phương trình: . Từ điểm M trên (C) ta kẻ hai tiếp tuyến đến (E) là và với tiếp điểm theo thứ tự là và . 1. Khi M có hoành độ , hãy viết phương trình các đường thẳng và . 2. Khi M thay đổi trên (C), hãy tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ M đến đường thẳng . Bài 3 (3 điểm). Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều OBC.O'B'C', biết: C(1;0;0), O'(0;0;1) và B nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ Oxy. Gọi M, N, E theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CC', C'O'. 1. Xác định tọa độ của điểm P thuộc đường thẳng OO' để PM = PE. 2. Với điểm P vừa tìm được, hãy tính thể tích khối tứ diện PMNE. Bài 4 (5 điểm). 1. Giải phương trình: 2. Giải phương trình: với . Bài 5 (3 điểm). 1. Chứng minh rằng: Nếu a là số dương sao cho bất phương trình , nghiệm đúng với mọi thì . 2. Tìm tất cả các số dương a là điều kiện cần và đủ để bất phương trình: , nghiệm đúng với mọi số thực x. . Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH Trường học Học sinh giỏi tỉnh Nam Định Lớp học 12 Năm học 2006 Môn thi Toán học . (2). Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2002 Bài từ Thư viện Khoa học VLOS. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN TỈNH NAM ĐỊNH Trường học