MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Chủ đề HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài 1: Cho tam giác cân ABC, đáy ( ) BC = a, BAC = 2α α < 45o Kẻ đường cao AH, BK, CE cắt D Trên đường cao AH, BK, CE lấy điểm P, Q, R cho BPC = AQC = ARB = 90o a) CMR: CA.CK = CH.CB AK.AC = AE.AB Từ suy ΔBRP, ΔCQP, ΔAQR cân ΔBRP = ΔCQP b) Giả sử: BC = x, AH = m , chu vi 2p Chứng minh rằng: m c) CMR: p (p x ) a b c 1 = = = 2R SABC = bc sin A = ac sin B = ab sin c sin a sin b sin c 2 2 cot B + cot C = a = 2h d) CMR: cot B + cot C = Giả sử: AH = h, BC = a Chứng minh rằng: AK e) CMR: AB ( = AE.EK SAKE ; = cos A AC.BC SABC ) SHKE = 1- cos2 A + cos2 B + cos2 C SABC f) CMR: AK.BE.CH = AB.BC.CA cos A cos B cos C tính SABC A = 30o , AB = 4cm CMR: AB cos A = BC cos B g) Tính cạnh VABK, VBKC theo BC = a theo tỉ số lượng giác 2α, α h) Từ đó, chứng minh rằng: sin 2α = sin αcos α cos 2α = cos α - sin α = cos α -1 = 1- sin α tan α tan 2α = 1- tan α Bài 2: Cho VABC vng A có C = 30o , đường cao AD, trung tuyến AM Gọi E, F hình chiếu D lên AB, AC H giao điểm EF AD Từ B kẻ đường thẳng vng góc với AM cắt AC S Giả sử: BC = x ( cm ) a) CMR: AMB = 2ACB VABM Tính SBEFC theo x b) Tính: SAEDF SEADF SABC SAED + SDFC c) Cho BC = x = ( cm ) Tính SABC ; SAEDF ; SAED ; SDFC SDEB d) CMR: SBSC = 2SABS tính SBSC theo x e) CMR: ΔAHF đều; EF// BS tính: Bài 4: SAHF SBSC Cho ΔABC nhọn có B = 60o , C = 75o Kẻ ba đường cao AD, BE, CF cắt H Biết: EF = cm; AB = cm a) Tính SABC ? b) Tính EHF chứng minh: A = EHC; B = AHF; C = DHB c) Tính BE; CF khoảng cách từ H đến cạnh AB; AC; BC d) Gọi S giao điểm BC FE, kẻ CI ^ FS I Tính độ dài EI, từ tính SCFS SBES Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có: AB = 2AD = x ( cm ) A = 2D Đường phân giác A B cắt F; đường phân giác C D cắt E AF cắt DE G: CE cắt BF H Gọi O giao điểm GH; EF Gọi M giao điểm DA, CE N giao điểm AF, BC a) CMR: - EHFG hình chữ nhật - ADFE; NCEF hình thoi - ΔMDC ΔNAB b) CMR: SEHFG = SABCD c) Tính SABN tính EH = SABCD Từ suy ra: S2ABCD = 2SEGFH SMBND SMBND MC d) Chứng minh MBND hình chữ nhật O tâm Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = BC ( cm ) O giao điểm hai đường chéo AC, BD Từ đỉnh hình chữ nhật hạ đường cao AE ^ BD; BH ^ AC; CF ^ BD DI ^ AC Gọi M giao điểm AE DI; N giao điểm CF BH a) CMR: AI = IO = OH = HC = b) CMR: SIFHE = SABCD c) CMR: AC IFHE hình chữ nhật SAIED SBFHC = = SDEHC SAIFB SIFNM = 20SIFNM = 7SMNCD SIFCD 27 d) Cho BC = cm Tính SMIFNHE chứng minh: SMIFN = SMEHN e) CMR: Bài 7: SOEN SAED SIDHB 1 = = ; = SMIFNHE SABCD SABFCDE Cho ΔABC có đường cao AD; BE; CF cắt H Hai đường phân giác B C cắt I (biết A; D; I thẳng hàng) Từ I kẻ IM ^ AB; IN ^ AC gọi P; K giao điểm EF; MN với đường thẳng AI Giả sử: AB = BC = CA = a ( mm ) a) CMR: - ABIC; MDNI hình thoi - EFBC; MFEN hình thang cân - CFMI; IBEN hình chữ nhật b) CMR: sin ICD = CF tính SBFCI theo a CI c) CMR: SABIC = 4SAFDE tính SAFDE ; SBDE theo a d) Cho BC = a = cm CMR: MBED hình bình hành tính SBHCNDM AP AF AE = ; = = Từ suy ra: AM.AI = 12 ( AF.AI - AP.AM ) AI AM AN AE.AI - AP.AN = 3BC e) CMR: Bài 8: Cho tứ giác ABCD có C = 75o , D = 60o ; A + C = B + D hai đường chéo cắt O DA cắt CB Q, AB cắt DC T Gọi E, F, G, H trung điểm DA, AB, BC, CD Và I, M giao điểm EF, GH với AC K, N giao điểm FG, HE với BD a) CMR: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn b) CMR: EFGH hình bình hành Từ suy ra: SEFGH = 1 SABCD ; SIKMN = SABCD c) CMR: DEIN, KGCM hình thoi ΔDBC cân d) CMR: VDQT vuông Kẻ BP ^ DQ, BS ^ QT; chứng minh PQSB hình vng e) CMR: B giao điểm đường phân giác ΔDQT Bài 9: Cho ΔABC cân A có A = 45o ; kẻ đường cao AD, BE, CF chúng cắt H Gọi O, I, K trung điểm HB, HC, HA M, N trung điểm AB, AC Gọi P, L, Q giao điểm AH với MN, EF OI Hãy chứng minh rằng: a) SOIK = SABC H trực tâm VOIK b) MK//FN//BE Từ suy ra: K trực tâm VAMN c) MK ^ IK KF ^ KE d) KF = KH = KE; MF = NE e) MKF = OKF = OKD = DKI = IKE = EKN f) MNIO hình vng g) EF, MI, ON đồng quy L h) L trung điểm PQ Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK; H trực tâm tam giác Gọi M điểm CK cho AMB = 90o S, S1 , S2 theo thứ tự diện tích tam giác AMB, ABC ABH Chứng minh rằng: S = S1S2 Bài 12: Cho tam giác ABC với đỉnh A, B, C cạnh đối diện với đỉnh tương ứng là: a, b, c Gọi D chân đường phân giác góc A Hãy chứng minh rằng: a) a = b2 + c2 - 2bc cos A b = a + c - 2ac cos B c = a + b - 2ab cos C b) AD = 2bc cos b+c A Bài 13: Không dùng máy tính bỏ túi bảng số chứng minh rằng: sin 75o = Bài 14: Cho M điểm thuộc miền hình chữ nhật ABCD CMR: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 6+ Bài 15: Cho hình vng ABCD Qua A vẽ cát tuyến cắt cạnh BC CD (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F CMR: AE + AF = AD Bài 16: Cho ΔABC cân, A = 20o , AB = AC, AC = b, BC = a Hãy chứng minh rằng: a3 + b3 = 3ab2 Chú ý: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b AB = c Gọi ma ; mb ; mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C tam giác Ta có: b2 + c2 a ma = AB2 + AC2 BC2 AM = a + c2 b2 mb = AB2 + BC2 AC2 hay BN = a + b2 c2 mc = AC2 + BC2 AB2 AM = 2 Đôi ta viết: a2 + BC2 AB + AC = 2AM + b2 a + c = 2mb + AC2 hay AB + BC = 2BN + c2 a + b = 2mc + AB2 AC + BC = 2CP + 2 b + c = 2ma 2 2 2 2 2 2 2 2 Chủ đề ĐƯỜNG TRÒN Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB C điểm đường tròn cho AB = AC Tiếp tuyến B (O) cắt AC D; DO cắt (O) I ( I  ( O ) nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C) Kẻ BH ^ OD; AE ^ OI Tiếp tuyến I cắt tiếp tuyến A B M N Gọi P giao điểm IA với OM Q giao điểm ON với IB a) CMR: VABD vng cân Từ suy ra: AH ^ HC b) CMR: AHBE hình bình hành Từ tính SAHBE theo R AB = 2R ( cm ) c) CMR: MN = AM + BN AB2 = 4AM.BN d) Gọi K trung điểm ON CMR: ON = BI2 + 4QK (Sử dụng tính chất gợi ý bên dưới) OPIQ hình chữ nhật Bài 2: Cho hình thang vng ABCD ( A = B = 90o ) có O trung điểm AB góc COD = 90o Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB Bài 3: Cho ΔABC vuông A ( AB < AC ) , đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với B qua H Đường trịn tâm O đường kính EC cắt AC K CMR: HK tiếp tuyến (O) Bài 4: Cho ΔABC vuông A đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH, kẻ tiếp tuyến BD, CE với (A) (D, E tiếp điểm khác H) CMR: DE tiếp xúc với đường trịn đường kính BC Bài 5: Cho ΔABC ngoại tiếp đường trịn tâm I bán kính r Giả sử ( I, r ) tiếp xúc với cạnh AB, BC, CE D, E, F Đặt: BC = a, AC = b, AB = c, AD = x, BE = y, CF = z a) Hãy tính x, y, z theo a, b, c b) CMR: S = pr (trong S diện tích tam giác, p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) Bài 17: Cho ΔABC có AC = 2AB nội tiếp đường trịn (O; R) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A, C cắt M BM cắt đường tròn (O) D Chứng minh rằng: a) MA AD = MD AB b) AB.CD + AD.BC = AC.BD c) AD.BC = AB.CD d) ΔCBD cân Bài 18: Trên nửa đường trịn tâm (O; R), đường kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B Hai đường thẳng AM BE cắt C, AE BM cắt D a) CMR: Tứ giác MCED nội tiếp CD ^ AB b) Gọi H giao điểm CD AB CMR: BE.BC = BH.BA c) CMR: Các tiếp tuyến M E (O) cắt I CD Bài 19: Cho ΔABC đều, gọi O trung điểm cạnh BC Các điểm D, E di động cạnh AB, AC cho DOE = 60o a) CMR: BD.CE = const b) CMR: DO tia phân giác BDE c) Dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với AB CMR: Đường trịn ln tiếp xúc với DE AC d) Gọi P, Q tiếp điểm (O) với AB, AC I N giao điểm PQ với OD OE CMR: DE = 2IN Bài 20: Cho đường trịn (O; R) điểm A bên ngồi đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB a) CMR: Tứ giác ABOC nội tiếp xác định tâm I đường tròn b) CMR: AM.AO = AB.AI c) Gọi G trọng tâm ΔACM CMR: MG // BC d) CMR: IG ^ CM Bài 21: Cho đường tròn (O; R) nội tiếp ΔABC, tiếp xúc với cạnh AB, AC D E a) Gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ΔADE, tính OO’ theo R b) Các đường phân giác B C cắt đường thẳng DE M N CMR: Tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn c) CMR: MN DM EN = = BC AC AB Bài 22: Cho ΔABC nội tiếp đường trịn (O) Trên cung BC khơng chứa A ta lấy điểm P (P khác B P khác C) Các đoạn PA BC cắt Q a) Giả sử D điểm đoạn PA cho PD = PB CMR: ΔPDB b) CMR: PA = PB + PC c) Chứng minh hệ thức: 1 = + PQ PB PC Bài 23: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác D Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ΔABC CMR: DB = DC = DI Bài 24: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AB < AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A Vẽ MH, MK, MI vng góc với cạnh tam giác ABC CMR: BC AC AB = + MH MK MI Bài 25: Giả sử A B hai điểm phân biệt đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A B cắt M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt (O) C MC cắt (O) E Các tia AE MB cắt K CMR: MK = AK.EK MK = KB Bài 26: Cho ΔABC vuông A Kẻ đường cao AH phân giác AD HAC Phân giác góc ABC cắt AH, AD M, N CMR: BND = 90o Bài 27: Cho ΔABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Gọi M điểm dây cung BC không chứa điểm A (M khác B, C) Gọi N, P theo thứ tự điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC a) CMR: AHCP tứ giác nội tiếp b) CMR: N, H, P thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm M để đoạn NP có độ dài lớn Bài 28: ( ) Cho tam giác cân ABC AB = AC, A < 90o có đường cao BD Gọi M, N, I theo thứ tự trung điểm đoạn BC, BM, BD Tia NI cắt cạnh AC K CMR: Các tứ giác ABMD, ABNK nội tiếp BC2 = 4CA.CK Bài 29: Từ điểm K ngồi đường trịn ta kẻ tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O) Gọi M giao điểm OK AB Vẽ dây DI qua M CMR: a) Tứ giác KIOD nội tiếp b) KO phân giác IKD c) CMOD tứ giác nội tiếp d) Đường thẳng AB chứa phân giác CMD Bài 31: Từ điểm K nằm ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến KA, KB, cát tuyến KCD đến (O) Gọi H trung điểm CD Vẽ dây AF qua H a) CMR: BF // CD b) Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB I CMR: CI ^ OB Bài 32: Cho đường tròn (O) dây cung AD Gọi I điểm đối xứng với A qua D Kẻ tiếp tuyến IB với (O) Tiếp tuyến (O) A cắt IB K Gọi C giao điểm thứ hai KD với (O) CMR: BC // AI Chủ đề MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC Bài 1: (Đường thẳng Euler) Cho tam giác ABC Chứng minh trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O nằm đường thẳng và: GH = GO (Đường thẳng H, G, O gọi đường thẳng Euler ΔABC ) Bài 2: (Đường trịn Euler) Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB S, R, Q trung điểm HA, HB, HC Chứng minh điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q nằm đường tròn (Đường tròn qua điểm gọi đường tròn Euler ΔABC ) Bài 3: (Đường thẳng Simson) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm đường trịn Kẻ MH, MI, MK vng góc với AB, BC, AC Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng (Đường thẳng qua H, I, K gọi đường thẳng Simson điểm M) Bài 4: (Đường thẳng Steiner) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M điểm thuộc đường trịn Gọi N, P, Q theo thứ tự điểm đối xứng với M qua AB, BC, CA Chứng minh ba điểm N, P, Q thẳng hàng (Đường thẳng qua N, P, Q gọi đường thẳng Steiner điểm M) Bài 7: (Định lý Ceva) Cho tam giác ABC điểm D, E, F nằm cạnh BC, CA, AB Chứng minh điều kiện cần đủ để AD, BE, CF đồng quy ta có hệ thức: DB EC FA = DC EA FB (Tự vẽ hình) Bài 8: (Định lý Menelaus) Cho tam giác ABC điểm M, N, P theo thứ tự nằm đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh điều kiện cần đủ để M, N, P thẳng hàng ta có hệ thức: MB MB MB = MC MC MC (Tự vẽ hình) Chủ đề MỘT SỐ BÀI TỐN TRÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trịn (O) đường kính HC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ nửa đường trịn (O’) đường kính BC Qua điểm E thuộc nửa đường tròn (O) kẻ EI ^ BC cắt nửa đường tròn (O’) F Gọi K giao điểm EH BF CMR: CA = CK Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Đường vng góc với AB B cắt CD I Gọi K giao điểm IO AD CMR: a) IBK = IDK b) CBK = 90o Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) AB < AC Đường phân giác BAC cắt đường tròn (O) D khác A Gọi M trung điểm AD E điểm đối xứng D qua tâm O Đường tròn ngoại tiếp ΔABM cắt đoạn thẳng AC điểm F khác A CMR: ΔBMD : ΔBFC và: EF ^ AC (Trích đề thi Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên ĐHQG Hà Nội năm 2013) Bài 4: Cho đường tròn (O; R) dây cung BC cố định ( BC < 2R ) Điểm A di động đường tròn (O; R) cho ΔABC tam giác nhọn AD đường cao H trực tâm ΔABC a) Đường thẳng chứa phân giác BHC cắt AB, AC điểm M, N Chứng minh: ΔAMN cân b) Gọi E, F hình chiếu D đường thẳng BH, CH Chứng minh: OA ^ EF c) Đường tròn ngoại tiếp ΔAMN cắt đường phân giác BAC K Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Amsterdam - Chu Văn An năm 2013) Bài 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AB Biết cặp đường thẳng AB, CD cắt E AD, BC cắt F Hai đường chéo AC BD cắt M Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng AB Hai đường thẳng CH BD cắt N a) CMR: DB NM =1 DM NB b) Hai đường tròn ngoại tiếp ΔBCE ΔCDF cắt điểm thứ hai L Chứng minh ba điểm E, L, F thẳng hàng (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng năm 2013) Bài 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đường trịn lấy điểm D khác A đường kính AB lấy điểm C ( C A, C B ) kẻ CH ^ AD H Phân giác DAB cắt đường tròn E cắt CH F Đường thẳng DF cắt đường tròn điểm thứ hai N a) CMR: Tứ giác AFCN nội tiếp ba điểm N, C, E thẳng hàng b) Cho: AD = BC, chứng minh DN qua trung điểm AC (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An năm 2013) Bài 7: Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ CD (O), M khác C D MA cắt DB, DC theo thứ tự X, Z; MB cắt DC, AC theo thứ tự Y, T; CX DY cắt K a) CMR: MXT = TXC; MYZ = ZYD CKD = 135o b) CMR: KX KY ZT + + =1 MX MY CD c) Gọi I giao điểm MK CD CMR: XT, YZ, OI qua tâm đường tròn ngoại tiếp ΔKZT (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2013) ... 2bc cos b+c A Bài 13: Khơng dùng máy tính bỏ túi bảng số chứng minh rằng: sin 75o = Bài 14: Cho M điểm thuộc miền hình chữ nhật ABCD CMR: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 6+ Bài 15: Cho hình vng ABCD... thẳng hàng ta có hệ thức: MB MB MB = MC MC MC (Tự vẽ hình) Chủ đề MỘT SỐ BÀI TỐN TRÍCH TRONG CÁC ĐỀ THI Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường... EHFG hình chữ nhật - ADFE; NCEF hình thoi - ΔMDC ΔNAB b) CMR: SEHFG = SABCD c) Tính SABN tính EH = SABCD Từ suy ra: S2ABCD = 2SEGFH SMBND SMBND MC d) Chứng minh MBND hình chữ nhật O tâm Bài