Đang tải... (xem toàn văn)
BÊt ®¼ng thøc c«si lµ bÊt ®¼ng thøc quan träng nhÊt trong ch¬ng tr×nh THPT bëi v×: C¸c øng dông cña bÊt ®¼ng thøc c«si rÊt phong phó. Trong lîng gi¸c h×nh häc, trong c¸c bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt, nhËn d¹ng tam gi¸c, gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh… ViÖc sö dông bÊt ®¼ng thøc c«si lµ réng r•i trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc, cao ®¼ng hµng n¨m, ®Ò thi häc sinh giái.
Ngời thực hiện: Lê Xuân Thắng A- Đặt vấn đề: Bất đẳng thức côsi bất đẳng thức quan trọng chơng trình THPT vì: Các ứng dụng bất đẳng thức côsi phong phú Trong lợng giác hình học, toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, nhận dạng tam giác, giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình Việc sử dụng bất đẳng thức côsi rộng rÃi đề thi đại học, cao đẳng hàng năm, đề thi học sinh giỏi Tuy nhiên nhận thấy: - Khi áp dụng bất đẳng thức côsi vào chứng minh giải toán em thờng: + Lúng túng thụ động, bắt đầu làm từ đâu, phân tích nh nào? + Cha nắm chất bất ĐT côsi hệ thờng gặp + Sử dụng bất đẳng thức côsi cách máy móc, không linh hoạt hiệu - Bất đẳng thức cô si bất đẳng thức quan trọng song phân phối chơng trình có tiết, số lợng tập SGK - Các tài liệu viết bất đẳng thức côsi nhiều nhiên có tài liệu hớng dẫn giải thích rõ làm nh Không rõ cách t duy, phân tích Từ thực trạng để công việc đạt hiệu hơn, mạnh dạn cải tiến nội dung, đa vài kinh nghiệm nh viết hy vọng em học tập hiệu B- giải vấn đề: I Các giải pháp thực hiện: Yêu cầu học sinh nắm thật vững lý thuyết định lí côsi, hệ thờng gặp Đặc biệt số bất đẳng thức Ngời thực hiện: Lê Xuân Thắng quan thuộc thờng gặp yêu cầu học sinh nhớ cách chứng minh nh kết Khi cho em làm tập Đặc biệt định hớng cho em phân tích toán - Vai trò số hạng nhân tứ có bình đẳng - Bất đẳng thức có dấu không? Nếu xảy dấu số hạng, nhân tử phải thoả mÃn điều kiện nào? - Có thể biến đổi nhân tử, số hạng đại diện đợc hay không? - Có thể làm trội (nhân, chia, thêm bớt) đa dạng mong muốn, loại bất đẳng thức, toán quen thuộc Từ phân tích cho phép định hớng áp dụng bất đăngt thức côsi cho số hạng nào, nhân tử hợp lí, phù hợp với thuyết toán, làm đợc nh toàn coi nh giải đợc phần 3) Sau giải toán, khuyến khích em tìm tòi cách giải khác, phơng pháp khác Có thể phơng pháp tam thức bậc 2, bất đẳng thứ bunhiacopski Công việc có lợi cho t nh khả tổng hợp em II Các biện pháp tổ chức thực hiện: Để thực đợc giải pháp đa biện pháp sau: - Hệ thống tập đa minh hoạ cho phơng pháp từ dễ đến khó Các toán có liên quan, nối tiếp nhau, mở rộng dẫn theo - Mỗi tập cho em t duy, trả lời câu hỏi theo sờn đà cho - Cho em t độc lập, em nêu cách, hớng giải Cho em so sánh rút kết luận chung Ngời thực hiện: Lê Xuân Thắng - Hệ thống tập vừa với tầm t duy, cập nhật, đợc su tầm từ đề thi tuyển sinh đại học hàng năm (1998 - 2005) III Nội dung thực hiện: 1) Định lí côsi cho u số a1, a2,,an không âm Ta có: a1 a2 an n n a1a2x xan HƯ qu¶: NÕu a1 + a2 +…+ an = cosnt th× a1a2 x … x an max a1 = a2 =…an NÕu a1a2 x…x an = cosnt th× a1 + a2 +…+ an a1 = a2 =…an 2) * ứng dụng bất đẳng thức côsi chứng minh bất đẳng thức * ứng dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ * ứng dụng bất đẳng thức côsi giải phơng trình, hệ phơng trình 3) Nội dung cụ thể: * ứng dụng bất đăngt thứ côsi chứng minh bất đẳng thức đại số: Trớc hết bất đẳng thức áp dụng trực tiếp: Bài 1: Cho a, b, c > chøng minh r»ng: 1 (1) a b c a b c Gi¶i: 1 1 Bất đẳng thức (1) (a b c) 9 a b c ¸p dơng bÊt đẳng thức côsi cho số a, b, c 1 , , a b c Ngêi thực hiện: Lê Xuân Thắng 1 a b c Ta cã: a b c 33 abc; 33 1 1 (a b c) 9 abc a b c a b c DÊu b»ng x¶y vµ chØ khi: a b c a b c Chó ý: Ta phát biểu toán dớc dạng: Chứng minh r»ng a,b,c 0 thi`: 1 2 2 2 2 a b c a b c Bµi 2: Cho sè x, y, z không âm Chứng minh rằng: xy yz zx 3x 2y 4z Giải: Theo bất đẳng thức c«si ta cã: xy x y 3(y z) 5(z x) ; yz ; zx 2 xy yz zx x y 3(y z) 5(z x) 3x 2y 4z 2 DÊu b»ng xảy khi: x = y = z Bài 3: Chứng minh với số dơng a, b, c ta có bất đẳng thức: (a 1)(b 1)(c 1) 1 abc (1) Gi¶i: ... +…+ an a1 = a2 =an 2) * ứng dụng bất đẳng thức c? ?si chứng minh bất đẳng thức * ứng dụng bất đẳng thức c? ?si tìm giá trị lớn nhất, nhỏ * ứng dụng bất đẳng thức c? ?si giải phơng trình, hệ phơng trình... ứng dụng bất đăngt thứ c? ?si chứng minh bất đẳng thức đại số: Trớc hết bất đẳng thức ¸p dơng trùc tiÕp: Bµi 1: Cho a, b, c > chøng minh r»ng: 1 (1) a b c a b c Giải: 1 Bất đẳng thức (1)... trội (nhân, chia, thêm bớt) đa dạng mong muốn, loại bất đẳng thức, toán quen thuộc Từ phân tích cho phép định hớng áp dụng bất đăngt thức c? ?si cho số hạng nào, nhân tử hợp lí, phù hợp với thuyết