Đang tải... (xem toàn văn)
Ở trưòng THCS, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Tra ng Tên đề tà i : MỘ T SỐ KINH NGHIỆ M HƯỚ NG DẪ N HỌ C SINH GIẢ I CÁ C BÀ I TOÁ N CỰ C TRỊ TRONG ĐẠ I SỐ LỚ P I- LÝ DO CHỌ N ĐỀ TÀ I : Trong trường phổ thơng mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt mơn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Ở trưịng THCS, dạy học Tốn: với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để học sinh vận dụng vào làm tập việc bồi dưỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng ngành giáo dục nói chung bậc học THCS nói riêng Do việc hướng dẫn học sinh kĩ tìm tịi sáng tạo q trình giải tốn cần thiết khơng thể thiếu Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn trường THCS tơi sâu nghiên cứu nội dung chương trình qua thực tế dạy học tơi thấy: chương trình Tốn THCS "Các toán cực trị đại số" đa dạng, phong phú thú vị, có ý nghĩa quan trọng đối SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng với em học sinh bậc học này.Ở THPT để giải toán cực trị đại số người ta thường dùng đến "công cụ cao cấp" toán học là: đạo hàm hàm số Ở THCS, khơng có (hay nói xác không phép dùng) "công cụ cao cấp" Tốn học nói trên, nên người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết tốn loại Chính vậy, tốn cực trị đại số THCS không theo quy tắc khn mẫu cả, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Trên thực tế giảng dạy Tốn 8-9 năm qua tơi nhận thấy: phần "Các toán cực trị đại số" phần trọng tâm việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Thế thực trạng học sinh trường trường dạy là: học sinh khơng có hứng thú với loại toán này, lẽ toán cực trị đại số trường THCS không theo phương pháp định nên em lúng túng làm tốn cực trị, em khơng theo hướng Hầu hết học sinh ngại gặp toán cực trị vận dụng để giải tập khác Thực trạng khiến tơi ln băn khoăn suy nghĩ: "Làm để học sinh không thấy ngại có hứng thú với loại tốn này" Với trách nhiệm người giáo viên tơi thấy cần giúp em học tốt phần Tôi dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy thân số đồng nghiệp; qua tìm tịi thử nghiệm, giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm trường sư phạm Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải toán cực trị đại số" Với đề tài hi vọng giúp học sinh khơng bỡ ngỡ gặp tốn cực trị đại số, giúp em học tốt Đồng thời hình SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học mong muốn làm việc đạt kết cao nhất, tốt II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1/ Thuậ n lợ i : - Luôn trau giồ i họ c hỏ i, dự , gó p ý , rú t kinh nghiệ m từ đồ ng nghiệ p - Có hỡ trợ độ ng viên củ a BGH nhà trườ ng tổ chuyên môn - Mạ ng thơng tin internet có mộ t kho tà ng kiế n thứ c khổ ng lồ 2/ Khó khăn : - HS hệ bá n công yế u nhiề u kiế n thứ c, kỹ , ý thứ c họ c tậ p không cao Thiế u niề m tin họ c tậ p - Đa số HS thiế u nề n tả ng kiế n thứ c Tư , suy luậ n không cao 3/ Điề u tra bả n: Trước thực trạng điều tra học sinh qua khả o sá t chấ t lượ ng đầ u năm, kết cho thấy Năm Lớp Sỉ số Giỏi SL % Khá SL % TB Sl 8.3 43 02 4,7 08 8.5 40 01 2,5 8.3 42 01 8.5 40 01 Yếu- SL % % 19,0 25 58,1 18,6 09 22,5 23 57,5 17,5 2,4 08 19,0 26 61,9 16,6 2,5 10 25,0 22 55,0 17,5 2009-2010 2010-2011 Sau kiểm tra thấy học sinh hiểu làm mơ hồ, sô học sinh làm nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, khơng biết giải thích tốn SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng III- NỘ I DUNG ĐỀ TÀ I: A/ Cơ sở lý luậ n: 1/ Đối với học sinh : nhận chun mơn phân cơng dạy tốn tiết cảm thấy hụt hẩng trước cách học học sinh Để thống kê lực tiếp thu học sinh dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh đưa số ví dụ học sinh lúng túng khơng biết chứng minh 2/ Đối với giáo viên : Vấ n đề đổ lỗi cho tất học sinh người giáo viên người chủ động, chủ đạo kiến thức, tn theo SGK mà dạy, tốn địi hỏi học sinh phải tư tốt phải thâu tóm kiến thức học để tận dụng vào làm tập Đơi giáo viên áp đặt gị bó em phải thê này, phải mà khơng đưa thực tế để em nhìn nhận vấn đề Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng tốn mà em gặp lí mà người thầy phải tìm PP phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân sai lại phải làm Nếu khơng biến đổi có tìm kết khơng Từ băn khoăn học sinh giáo viên khẳng định không biến đổi khơng trả lời u cầu tốn Sau tơi xin đưa số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán cực trị đại số B Nộ i dung Khái niệm về cực trị biểu thức Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x , y , .z ) S mà ta có: P(x , y , z ) P(x, y, , z) P(x , y , z ) SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) lớn nhỏ (x , y , z ) miền S P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x , y , z ) S gọi P đạt cực đại (x , y , z ) P m a x (x , y , z ) Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x , y , z ) S gọi P đạt cực tiểu (x , y , z ) P m i n (x , y , z ) Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là: a) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức b) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến miền xác định S - Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức Chú ý không thiếu bước hai bước VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x + (x - 2) Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A sau: Ta có x ; (x - 2) nên A Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có không? Giải : Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy ra, khơng thể có đồng thời: x = (x - 2) = SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng Lời giải là: A = x + (x - 2) = x + x - 4x +4 = 2x - 4x + = 2(x -2x - +1) + = 2(x - 1) + (x - 1) , x Ta có: 2(x - 1) + A 2 x x Do A = x = Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = Kiến thức cần nhớ: Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững: a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: * a 0, tổng quát: a k (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức a = * -a 0, tổng quát: -a k (k nguyên dương) Xảy dấu đẳng thức a = * a 0 * - a a a (Xảy dấu đẳng thức a = 0) (Xảy dấu đẳng thức a = 0) * a b a b (Xảy dấu đẳng thức ab 0) * a b a b (Xảy dấu đẳng thức a b a b 0) 2 , a >0 a a , a 0 1 a b (Xảy dấu đẳng thức a = b) C CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng (Một số dạng toán cực trị đại số) Thơng qua tốn sách giáo khoa (sách tham khảo) tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng tốn Sau số dạng thường gặp: DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỢT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = x - 4x + Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) k (k số) với gía trị biến trường hợp xảy đẳng thức Lời giải : A(x) = x - 4x+1 = x - 2.2x+1 = (x - 2.2x+4)- = (x- 2) - Với giá trị x: (x - 2) 0 nên ta có: A(x) = (x- 2) - -3 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số : A(x) n h ỏ n h ấ t = - với x=2 Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x - 4x+1 Trong x biến số lấy giá trị thực SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) dạng B(x) k (k số) với giá trị biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức Lời giải : B(x) = -5x – 4x+1 = -5 (x + x) +1 2 2 2 2 x x 1 = -5 5 5 2 4 = x 1 25 2 = -5 x 5 2 = -5 x 5 2 Với giá trị x: x 5 2 2 nên -5 x 5 9 2 suy ra: B(x)= -5 x + 5 5 Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)= Đáp số : B(x) l n = , x = 5 với x = 5 Ví dụ 3: (Tổng quát) Cho tam thức bậc hai P = ax +bx + c Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng Hướng dẫn giải : Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A (x) + k Sau xét với trường hợp a>0 a0 a x 0 P k 2a b +Nếu a0) 2a giá trị lớn k (nếu a -4 A = - 2x >3 + Trong khoảng x SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 12 x2 x2 x x 5 x A= x- 2+ - x= + Trong khoảng x > x 2 x 2 x 5 x 5 A = x - + x - = 2x - Do x > nên 2x > 10 A = 2x – > So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A x Đáp số: A m i n = x Cách : Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải: A x x 5 x 2 5 x Ta có: x x �x x � �x �0 A 3� � �5 x �0 � x 5� x 0� x Vậy giá trị nhỏ A x DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CĨ TỬ LÀ HẰNG SỚ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI Ví dụ : 4x - 4x Tìm giá trị lớn M = Hướng dẫn giải : SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 13 1 theo quy a b Gợi ý : Sử dụng tính chất a b, ab >0 tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dương Lời giải: Xét M = 3 = = (2 x) x (2x - 1)2 4x - 4x Ta thấy (2x - 1) nên (2x - 1) + Do đó: (2x - 1)2 4 Trả lời: Vậy M lớn Đáp số : M l n Ví dụ : = 2x – = => x = với x = Tìm giá trị nhỏ B = 2x - x - Hướng dẫn giải : Ta có: B = Vì => = 2x - x - 1 = (x - 1) x - 2x (x - 1) => (x + 1) + 1 (x - 1) 3 => - Vậy B nhỏ - 1 2 (x - 1) 3 x – 1= => x =1 Đáp số : M n h ỏ n h ấ t = - với x = Chú ý: Khi gặp dạng tập em thường xuyên lập luận M (hoặc B) có tử số nên M (hoặc B) lớn (nhỏ nhất) mẫu nhỏ (lớn nhất) Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 14 x 3 Mẫu thức x - có giá trị nhỏ -3 x = Nhưng với x = 1 = khơng phải giá trị lớn x 3 phân thức Chẳng hạn với x = 1 = 1> x 3 Như từ -3 < suy Vậy từ a < b suy 1 > 1 > a b dấu a b DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN THỨC CĨ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC x2 x Tìm giá trị nhỏ A = ( x 1) Ví dụ Cách1 : Gợi ý: Hãy viết tử thức dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A dạng tổng biểu thức lũy thừa Từ tìm giá trị nhỏ A x 1 Lời giải : Ta có: x + x + = (x + 2x + 1) - (x +1) + = (x + 1) - (x + 1) + Do Đặt y= 1 ( x 1) ( x 1) A= + = 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 1 biểu thức A trở thành: x 1 SK KN NĂ M 2011- 2012 A = - y + y2 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 15 1 + ( )2 + 2 A = - y + y = y – 2.y Ta có: 3 1 = y + 4 2 Vậy giá trị nhỏ A y khi: 1 1 0 y 2 x 1 x + = x = Đáp số : Anhỏ = x = Cách : Gợi ý : Ta viết A dạng tổng số với biểu thức không âm Từ tìm giá trị nhỏ A Lời giải: x x x x 3x x x x A 2 x 1 4 x 1 4 x 1 A 3( x 1) ( x 1) 4( x 1) ( x 1) A 4( x 1) x A 2( x 1) A= x 2 + 2( x 1) Vậy giá trị nhỏ A x-1=0 x=1 Đáp số : A n h ỏ n h ấ t = SK KN NĂ M 2011- 2012 x=1 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 16 DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG A( x) A( x ) ( hoặ c 0) k k2 Ví dụ 10 : Tìm giá trị lớn biểu thức: M (x) = x x 10 x2 2x (Với x thuộc tập hợp số thực) Hướng dẫn giải : Gợi ý : Từ M ( x ) = 3x x 3( x x 3) = x2 x x2 2x M(x) = (?) x x 10 ta có: x2 2x Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x2 + 2x + khơng? Vì sao? Trả lời : Vì x + 2x + = x + 2x + + = (x+1) > với giá trị x nên sau chia tử mẫu cho x + 2x + ta M(x) = + (?) ( x 1) Bài tốn xuất điều mới? Trả lời: Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn biểu thức ( x 2) (?) Hãy tìm giá trị lớn từ suy giá trị ( x ) lớn M(x) Trả lời: Vì (x+1) Nên (x+1) + SK KN NĂ M 2011- 2012 Với x với x GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 17 Do 1 ( x 1) 2 Từ ta có: M(x) = + 1 3 + = ( x 1) 2 Dấu “=” xảy x+1=0 hay x=-1 Vậy giá trị lớn M(x) = Đáp số : M(x) L n x=-1 =3 với x = -1 IV- KẾ T QUẢ Để giải toán cực trị đại số lớp em phải biến đổi đồng biểu thức đaị số, phải biến đổi sử dụng nhiều đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngồi cịn liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh đẳng thức nói toán cực trị đại số tạo khả giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số, kĩ tính tốn, khả tư Đề tài giúp học sinh giải toán cực trị đại số có PP hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải tốn cực trị nói riêng u cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải tốn học Về mặt tư tưởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Sau áp dụng cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải tốn khơng lúng túng trước Khả o sá t kế t cuố i mỗ i năm họ c thu đượ c sau: Năm Lớp SK KN NĂ M 2011- 2012 Giỏi Khá TB Yếu- GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 18 Sỉ số SL % SL % Sl % SL 43 04 9,3 09 20,9 27 62,8 7,0 8.5 40 03 7,5 10 25,0 23 57,5 10,0 8.3 42 02 4,8 10 23,8 26 61,9 9,5 8.5 40 04 10,0 12 30,0 22 55,0 5,0 8.3 % 2009-2010 2010-2011 V- KẾ T LUẬ N - BÀ I HỌ C KINH NGHIỆ M: Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cực trị đại số” Tơi cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong mỡi dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ mỡi ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải Các dạng tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kiến thức giải tốn cực trị đại số Bên cạnh tơi cịn đưa ví dụ tốn tổng hợp kiến thức kĩ tính tốn, khả tư cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập mơn Tốn Tuy nhiên q trình giảng dạy có nhiều học sinh cịn bỡ ngỡ qúa trình giải tốn cực trị, lập luận chưa có cứ, suy diễn chưa hợp logic đặc biệt số dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khơng nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo cịn hạn chế lại chưa có kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên cách trình bày khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy , cô và bạn đồng nghiệp SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 19 để tơi rút kinh nghiệm q trình giảng dạy thời gian sau Xé t duyệ t củ a Hiệ u Trưở ng 2011 Tam Hiệ p , ngày 08 tháng năm Người viết PHẠ M VĂN ĐỨ C TÀI LIỆU THAM KHẢO: SGK Tốn 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân SBT Tốn – NXB Giáo dục- Tơn Thân chủ biên Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo dụcNguyễn Văn Lộc Toán bồi dưỡng học sinh lớp Đại số-NXB Giáo dục Trần San Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên Các tốn đại số hay khó – NXB Giáo dục Nguyễn Đễ PP dạy học mơn tốn – NXB Giáo dục Phạm Gia Đức SK KN NĂ M 2011- 2012 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C ... điều tra học sinh qua khả o sá t chấ t lượ ng đầ u năm, kết cho thấy Năm Lớp Sỉ số Giỏi SL % Khá SL % TB Sl 8. 3 43 02 4,7 08 8.5 40 01 2,5 8. 3 42 01 8. 5 40 01 Yếu- SL % % 19,0 25 58, 1 18, 6 09 22,5... 09 20,9 27 62 ,8 7,0 8. 5 40 03 7,5 10 25,0 23 57,5 10,0 8. 3 42 02 4 ,8 10 23 ,8 26 61,9 9,5 8. 5 40 04 10,0 12 30,0 22 55,0 5,0 8. 3 % 2009-2010 2010-2011 V- KẾ T LUẬ N - BÀ I HỌ C KINH NGHIỆ M:... 2012 x=1 GV S OẠ N: PHẠ M VĂ N Đ Ứ C Tra ng 16 DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG A( x) A( x ) ( hoặ c 0) k k2 Ví