1 Bài tập về đại số tổ hợp: QUY TÁC CỘNG, QUY TẮC NHÂN: 1. Một trƣờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai ngƣời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn nhƣ trên? 2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? 3. Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9? 4. Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau? 5. Từ các sô 0,1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9? HOÁN VỊ. 1. Từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 ta lập đƣợc . a. bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? b. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3? c. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1. d. bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ? 2. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho: a. Bạn C ngồi chính giữa. b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế? 3. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau? 4. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a. Các học sinh ngồi tuỳ ý? b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn? 5. Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu a. Năm chữ số 1 xếp kề nhau b. Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý? CHỈNH HỢP. 1. Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau? 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?? 3. Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau a. Chia hết cho 5 b. Không chia hết cho 5? 4. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó a. Số tạo thành là số chẵn? b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1? c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5?? d. Phải có mặt hai số 0 và 1? 5. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?? 6, Giải các phƣơng trình và bất phƣơng trình sau: a. 22 · . 72 6( 2 ) x x x x P A A P+ = + b. 32 5 21 xx A A x+£ c. 10 9 8 9 x x x A A A+= TỔ HỢP. 1. Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý? b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?? 2. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn? 3. Có 5 tem thƣ khác nhau và 6 bì thƣ khác nhau. Ngƣời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thƣ và 3 bì thƣ và dán 3 tem thƣ lên 3 bì thƣ đã chọn. Mỗi bì thƣ chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nhƣ thế? 4. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngƣời đi dự Hội nghị sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp? 2 5. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 6. Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ: a. Thành hai nhóm có số nguời bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau? b. Có bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời trong đó không quá một nam? 7. Có hai đƣờng thẳng song song d 1 và d 2 . Trên d 1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d 2 lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy? 8. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các quả cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: a. sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ cả ba màu? b. Không có đủ ba màu? 9. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngƣời gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?? 10. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?? 11. Đội TNXK của một trƣờng có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhƣ vậy?? 12. Đội tuyển học sinh giỏi gồm 18 em, gồm 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Cử 8 em đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em đƣợc chọn. Hỏi có bao nhiêu cách cử nhƣ vậy? 13. (ĐH Y-2000) Có 5 nhà toán học nam,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.lập 1 đoàn công tác có 3 ngƣời cần có cả nam và nữ ,có cả toán và lý .Hỏi có bao nhiêu cách 14. Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ biết khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy. 15. Bill Gate có 5 ngƣời bạn thân.Ông muốn mƣòi 5 trong số họ đi chơi xa .Trong 11 ngƣời này có 2 ngƣời không muốn gặp mặt nhau.Hỏi ngài tỷ phú có bao nhiêu cách mời 16. ĐH-CĐ khối B/2004 : Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 cau khó(K) 10 câu trung bình(TB)và 15 câu dễ(D).Từ 30 câu có có thể lập đƣợc bao nhiêu đề kiểm tra mỗi đề gồm 5 câu khác nhau sao cho mỗi đề fải có 3 loại(K-D-TB)và số câu dễ không ít hơn 2? 17. ĐH-CĐ khối B/2005: Một đội thanh nien tình nguyện có 15 ngƣời,gồm 12 nam và 3 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện đó về 3 miền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam và 1 nữ 18. ĐH-CĐ khối B/2002: Cho đa giác đều A1,A2, A2n(n  N và n  2) nội tiếp đƣờng tròn (O).Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1,A2, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là4 trong 2n đỉnh A1,A2, A2n.tìm n RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC 1/ Rút gọn các biểu thức sau: a. 47 89 10 3 5 2 7 PP PP A P P P P P æö ÷ ç ÷ ç =- ÷ ç ÷ ç ÷ ç èø b. 65 4 nn n AA B A + = c. 2 3 3 6 8 15 3 35 1 1 1 - 3 28 65 C C C C PA + = 2/ . Chứng minh : a. 12 11 n n n n P P P =+ b. 2 1 2n n n n k n k n k A A k A ++ + + + += c. 2 2 2 5 1 3 5 5 .! k n n n n P A A A n k A + + + + = PHƢƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN CÔNG THỨC TỔ HỢP: Giải các PT – BPT – HPT sau: 1. 1 2 2 2 6 6 9 14 x x x C C C x x+ + = - 2. ( ) 22 72 6 2 x x x x P A A P+ = + 3. 22 2 2 50 xx AA+= 4. 3 2 1 14 x x x x A C C - += 5. 1 2 3 7 2 x x x C C C x+ + = 6. 3 2 2 -1 -1 -2 2 3 x x x C C A-= 3 7. 1 2 1 14 1 1 7 6 x x x C C C ++ -= 8. 3 -2 14 n nn A C n+= 9. 3 4 2 23 n n n A C A-= 10. 22 1 2 3 30 xx CA + +< 11. 23 2 16 10 2 x x x x A A C x - Ê + 12 . ! ( 1)! 1 * ( 1)! 6 xx x x =ẻ + Ơ . 13. 4 21 15 . n n n n P P P P + +- < 14. 2 5 90 5 2 80 yy xx yy xx AC AC ớ ù += ù ù ỡ ù -= ù ù ợ 15. 21 1 53 yy xx yy xx CC CC - ớ ù = ù ù ỡ ù = ù ù ợ CC BI TON TNG HP: 1.T cỏc s 0,1,2,3,4,5 cú th lp c bao nhiờu s t m mi s cú 6 ch s khỏc nhau v ch s 2 ng cnh ch s 3? 2. T cỏc s 1,2,3,4,5,6 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn ,mi s cú 6 ch s V tha k :sỏu s ca mi s l khỏc nhau v trong mi s ú tng ca 3 ch s u nh hn tng ca 3 s sau mt n v 3. T cỏc s 0,1,2,3,4,5,6 cú th lp c bao nhiờu s cú 5 ch s ụi mt khỏc nhau sao cho ch s 2 v 5 khụng ng cnh nhau . 4. Cú 3 hc sinh n v 2 hs nam .Ta mun sp xp vo mt bn di cú 5 gh ngi Hi cú bao nhiờu cỏch sp xp : a) 3 hs n ngi k nhau b) 2 hs nam ngi k nhau 5. Xp 6 ngi A,B,C,D,E,F vo mt gh di .Hi cú bao nhiờu cỏch sp xp sao Cho: a)A v F ngi hai u gh b) A v F ngi cnh nhau c) A v F khụng ngi cnh nhau 6.Mt cuc hp cú 13 ngi, lỳc ra v mi ngi u bt tay ngi khỏc mt ln, riờng ch ta ch bt tay ba ngi. Hi cú bao nhiờu cỏi bt tay? 7. T 9 s 0,1,2,3,4,5,6,7,8 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn chn m mi s gm 7 ch s khỏc nhau? 13. T cỏc ch s 1,2,3,4,5,6,7,8,9 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn, mi s gm 6 ch s khỏc nhau v tng cỏc ch s hng chc, hng trm, hng nghỡn bng 8? 8. Mt i vn ngh cú 15 ngi gm 10 nam v 5 n. Hi cú bao nhiờu cỏch lp mt nhúm ng ca gm 8 ngi, bit rng trong nhúm ú phi cú ớt nht 3 n? 9. Mt lp cú 33 hc sinh, trong ú cú 7 n. Cn chia lp thnh 3 t, t 1 cú 10 hc sinh, t 2 cú 11 hc sinh, t 3 cú 12 hc sinh sao cho trong mi t cú ớt nht 2 hc sinh n. Hi cú bao nhiờu cỏch chia nh vy? 10. Cho tp A gm n phn t (n 4). Bit rng s tp con 4 phn t ca A bng 20 ln s tp con gm 2 phn t ca A. Tỡm k{1,2,,n} sao cho s tp con gm k phn t ca A l ln nht? 11. T cỏc ch s 0,1,2,3,4,5,6 cú th lp c bao nhiờu s chn, mi s cú 5 ch s khỏc nhau trong ú cú ỳng hai ch s l v 2 ch s l ng cnh nhau? 12. Cho hai ng thng d 1 v d 2 song song vi nhau. Trờn d 1 cú 10 im phõn bit, trờn d 2 cú n im phõn bit (n 2). Bit cú 2800 tam giỏc cú nh l cỏc im núi trờn. Tỡm n? Nh thc Newton p dng cụng thc khai trin. 1. Tỡm h s ca s hng th t trong khai trin 10 1 x x ổử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ 2. Tỡm h s ca s hng th 31 trong khai trin 40 2 1 x x ổử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ 3. Tỡm hng t khụng cha x trong cỏc khai trin sau: 12 3 3 x x ổử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ 4. Tỡm h s ca 12 13 xy trong khai trin ca ( ) 25 23xy- II. Khai trin vi gi thit cú iu kin. 4 1/ Biết khai triển 2 1 n x x æö ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ ç èø . Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46. Tìm số hạng không chứa x? 2/Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2 n x x æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø là 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x 4. 3/ Cho khai triển 0 1 1 1 1 1 ( 1) 33 3 n n n n n n n n n x C x C x C - æö ÷ ç ÷ - = - + - ç ÷ ç ÷ ç èø . Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển là 5. Tìm số hạng chính giữa?? 4/ Cho 3 0 3 22 22 ( ) ( ) ( ) n n n n nn x C x C xx + = + + . Biết tổng ba hệ số đầu là 33. Tìm hệ số của x 2 . 6/ Tìm hệ số của x 7 trong khai triển ( ) 23 n x- trong đó n thoả mãn hệ thức sau 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1024 n n n n C C C + + + + + + + = 7/ Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển 7 4 1 n x x æö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç èø biết n thoả mãn hệ thức 1 2 3 2 1 20 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n C C C C + + + + + + + + + = - . 9/ Tìm hệ số của số hạng chứa 10 x khi khai triển ( ) 2 n x+ biết 0 1 1 2 2 3 3 3 ( 1) 2048 n n n n n n n n n C C C C - + + + - = . 12/.Tìm hệ số của 4 x trong khai triển biểu thức ( ) 2 13 n A x x= - - thành đa thức. Trong đó n là số nguyên dƣơng thỏa mãn: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 1 2 3 nn C C C C A + + + + + = . 13/ Tìm hệ số của số hạng chứa 10 x trong khai triển nhị Niu tơn của ( ) 2 n x+ biết: ( ) 0 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2048 n n n n n n n n n n n C C C C C - - - - + - + + - = III. CHỨNG MINH HOẶC TÍNH TỔNG BIỂU THỨC TỔ HỢP: 1/ Khai triển ( ) 16 31x - . Từ đó chứng minh: 16 0 15 1 16 16 16 16 16 3 3 2C C C- + + = 2/ Chứng minh rằng: 0 1 2 3 1 1 1 3 4 3 33 n n n n n n n n C C C C éù êú + + + + = êú ëû 3/ Chứng minh rằng: a. 0 2 2004 1002 2004 2004 2004 2C C C+ + + = b. 2004 0 2 2 4 4 2004 2004 2004 2004 2004 2004 31 2 2 2 2 C C C C + + + + = . 6/Chứng minh rằng : 1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 , 0 k 2000 kk C C C C        7/Chứng minh rằng:   2 2 2 2 . , 0, n n n n k n k n C C C k n     8/ k và n là hai số tự nhiên sao cho 4 kn chứng minh rằng: 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C           . 1 Bài tập về đại số tổ hợp: QUY TÁC CỘNG, QUY TẮC NHÂN: 1. Một trƣờng phổ thông có 12 học sinh chuyên. a. bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? b. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3 ? c. bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác