ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN TOÁN CHUYÊN Bài 1:1) Cho phương trình: a) Chứng minh rằng phương trình không thể có hai nghiệm đều âm. b) Gọi 12 , x x là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng: ( )( ) 22 11 22 22 12 22 22xx xx xx −+ −+ + không phụ thuộc vào m. 2) Giải hệ phương trình: Bài 2: Cho tam giác ABC không phải tam giác cân. Đường tròn (I nội tiếp tam giác và tiếp xúc với các cạnh BD, AC và AB lần lượt tại D, E, F. EF cắt BC và ID lần lượt tại K và J. a) Chứng minh tam giác DIJ và AID đồng dạng. b) Chứng minh IK vuông góc với AD. Bài 3: Cho góc xAy vuông tại A. B thuộc Ax và C thuộc Ay. Hình vuông MNPQ với M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC. a) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo BC = a và AH = h với AH là đường cao hạ từ A của tam giác ABC. b) Cho không đổi. Tình giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ Bài 4: Gọi số bạch kim là số nguyên dương có tổng các bình phương các chữ số bằng chính số đó. a) Chứng minh rằng không có số bạch kim có 3 chữ số. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com b) Tìm tất cả các số nguyên dương bạch kim n. Bài 5: Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt. Đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua thì 0 điểm. Sau khi kết thúc số điểm của các đội lần lượt là () 123456123456 ,,,,,DDDDDD D D D D D D≥≥≥≥≥ . Biết D 1 thua đúng một trận và 123456 DDDDDD=+=++. Tính 16 ,DD Hướng dẫn giải Bài 1: 1) Phương trình: ( ) 2 2201xmxm−+−= a) Giả sử phương trình có hai nghiệm 12 , x x đều âm. Khi đó ta có: () 2 2 12 12 42 2 0 880 0 00 1 220 0 mm mm m Sxx m m m Pxx ⎧ Δ= − − ≥ ⎧ −+≥ < ⎪ ⎧ ⎪ =+< ⇔ < ⇒ ⎨⎨⎨ > ⎩ ⎪⎪ −> => ⎩ ⎩ (Mâu thuẫn) Vậy phương trình không có hai nghiệp đều âm. b) Gọi 12 , x x là hai nghiệm của phương trình. Khi đó theo định lý Viet ta có: 12 12 22 Sxx m Pxx m =+= ⎧ ⎨ ==− ⎩ Ta có: () () 2 22 2 2 12 12 12 222244xx xx xxm m m m+= + − = − −= − + Và ()() () ( ) () () ()() () () 22 222222 11 22 1212121 2 1212 2 22 12 12 1 2 1 2 1 2 12 2 2 222 2 22 22 2 2 2 2 444 4 22444 22222 2 4444224 4 8 44 4 2 8 84 8 84 288 xx xx xxxxxxxx xxxx xx xx x x x x x x xx mmmmmmm mm mmmm mm mm −+ −+= − − + + −− + + = − ++ +− ++ + =−− −+ −+−+ −+ =−+−++−+−+−+ =−+ Suy ra: ()() 22 2 11 22 22 2 12 22 22 288 2 44 xx xx mm xx m m −+ −+ −+ = = +−+ không phụ thuộc vào giá trị của m. 2) ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com () () () 22 22 22 1 2 3 xy z yx z zx y ⎧ =+ ⎪ ⎪ =+ ⎨ ⎪ =+ ⎪ ⎩ Ta có 22 22 2 2 0, 0, 0xy z yx z zx y=+≥ =+≥ =+≥ Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có: () ( ) ( ) ( ) () 22 10 0 10 xyy x yxyx xy xy xy xy l −= − = − + ⇔ − ++ = −= ⎡ ⇔ ⎢ ++= ⎣ Lấy (2) trừ (3) vế theo vế ta có: ( ) ( ) ()( ) () 22 10 1 y zz y yz zyzy yz yz yz yz l −= − ⇔−= − + ⇔− ++= = ⎡ ⇔ ⎢ +=− ⎣ Từ đó ta có x yz==. Từ (1) suy ra () 22 2 2 0 220120 1 2 x xy z x x x x x x = ⎡ ⎢ =+= ⇔− =⇔ − =⇔ ⎢ = ⎣ Với x = 0 thì y = z = 0. Với 11 22 xyz=⇒== Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x, y, z) là ( ) 0,0,0 và 111 ,, 222 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Bài 2: J K F E D I A B C ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com a) Ta có AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và IE = IF (bán kính đường tròn (I)) Suy ra AI là đường trung trực của EF, suy ra A IEF ⊥ tại J. Tam giác AFI vuông tại có FJ là đường cao nên ta có : IJ. IA = IF 2 Mà IF = ID, suy ra IJ. IA = ID 2 I JID I DIA ⇒= Xét tam giác IDJ và tam giác IDA có : + Góc AID chung + I JID I DIA = (cmt) Suy () ~ I DJ IAD c g cΔΔ b) Tam giác ~ I DJ IADΔΔ suy ra n n I JD IDA= . Tứ giác IJKD có n n 90 90 180 oo o IJK IDK+=+= nên là tứ giác nội tiếp, suy ra n n I JD IKD= Từ đó ta có n n I DA IKD= Gọi P là giao điểm của AD và IK. Ta có n n n n n n 90 90 oo PDK PKD PDK PDI IDK DPK AD IK+ = + = =⇒ =⇒⊥ Bài 3: a) Đặt x là độ dài cạnh hình vuông. Gọi E là giao điểm của AH và MN. Ta có MEHQ là hình chữ nhật, suy ra EH = MQ = x, và AE = AH – EH = h –x. D A B C M N PQ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com Ta có MN //BC nên M NAN B CAC = Và NE // CH nên ta có AN AE AC AH = Do đó ta có: M NAE B CAH = hay x hx ah x ah ah − =⇒= + Vậy độ dài cạnh hình vuông MNPQ bằng ah ah + b) Gọi M là trung điểm BC, ta có 1 2 AM BC= suy ra 11 hay 22 AH AM BC h a≤= ≤(1) Ta có 2 2 ABC SABACAHBCahk==⇒= (2) Từ (1) và (2) ta có: 22 22aahk≥= Ta có () () 2 2 4 2 2 22 2 MNPQ ah ah k SMP ah a h ah ah ⎛⎞ == = = ⎜⎟ +++ ⎝⎠ + Ta có 2 22 2 2 3 44 a ah h a+= ++ . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số ta được : 22 22 2. 44 aa hhah+≥ = Suy ra: 22 2 2 2 2 22 2 2 2 335 .2 442 59 22 22 ahah ak k k ah ahk k k +≥+ ≥+ ≥ ⇒++ ≥ + = Do đó 4 2 2 2 9 9 2 MNPQ k Sk k ≤= .Dấu bằng xảy ta khi và chỉ khi a = 2h 2ahMH=⇔≡⇔ tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi AB = AC = k. Vậy giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ bằng 2 2 9 k khi tam giác ABC vuông cân tại A Bài 4: a) Xét số tự nhiên có 3 chữ số abc trong đó 19,0,9abc ≤ ≤≤≤. Ta chứng minh abc không thể là số bạch kim. Ta có ( ) 2 100 10 100 10abc a b c a a a b c=++=+−++ Ta có 2 10bb≥ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com Ta có 100 90a−> và 1a ≥ suy ra ( ) 2 100 90aa c − ≥> Do đó 222 abc a b c>++. Vậy abckhông thể là số bạch kim. Do đó không có số bạch kim có 3 chữ số. b) Ta chứng mọi số tự nhiên có nhiều hơn 3 chữ số cũng không phải là số bạch kim. Đặt 12 k aa a là số tự nhiên có k chữ số với 4k ≥ trong đó 1 19,092, i aaik≤≤ ≤≤∀= Ta có 12 12 1 2 1 10 10 10 kk kkk aa a a a a a −− − =+ +++ Với i = 2, 3, …, k-1 thì 2 10 ki ii aa − ≥ (1) Và () 12 1 2 22 11 111 1 10 10 990 kk k aa aaa aa −− =+ − >+ >+ (2) ( Vì k > 3) Từ (1) và (2) ta có 12 222 12 1 2 1 1 2 10 10 10 kk kkkk aa a a a a a a a a −− − =+ +++>+++ Vậy không có số bạch kim có nhiều hơn 3 chữ số. Hơn nữa từ câu a) suy ra không có số bạch kim có nhiều hơn hoặc bằng 3 chữ số. Vậy số bạch kim nếu có chỉ có thể là số có một hoặc hai chữ số. TH1: Nếu số bạch kim có một chữ số. Ta có () 2 0 1 al aa a = ⎡ =⇔ ⎢ = ⎣ . Vậy số bạch kim có một chữ số là 1. TH2: Số bạch kim có hai chữ số ab . Ta có 22 2 2 10 10ab a b a b b b a a=+=+⇔−=− (3) Mà () 2 1bbbb−= − là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2. Suy ra 2 10aa − chia hết cho 2, suy ra a phải là số chẵn. Mà 0 9 2,4, 6,8aa < ≤⇒= Thế a trực tiếp vào ta không tìm được số tự nhiên b nào. Do đó không có số bạch kim có hai chữ số. Vậy chỉ có một số bạch kim duy nhất là 1. Câu 5: Gọi a là số trận có kết quả thắng thua và b là số trận có kết quả hòa. Khi đó ta có: 6.5 15 2 ab+= = và 123456 32ADDDDDD ab = +++++=+ là tổng số điểm của các đội đạt được. Ta có () () 2 3 2 3 30 3 2 45ab a b ab a b+≤+≤ +⇒ ≤+≤ Vì 1 23 456 1 1 323 10DDDDDD Aab D D=+=++⇒=+= ⇒≥ Hơn nữa do D 1 thua một trận nên 1 12D ≤ . Suy ra 1 10 12D ≤ ≤ . Gọi m là số trận thắng của D 1 , n là số trận hòa của D 1 . Khi đó ta có m + n = 4 và 3m + n = D 1 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com + Nếu D 1 = 10 => 3a+ 2b = 30 => a = 0, b = 15 vô lí vì D 1 thua một trận nên có ít nhất một trận thắng thua. + Nếu D 1 = 11 ta có 3m + n = 11, m + n = 4. 17 , 22 nm⇒= = ( vô lý vì m, n là số tự nhiên) Vậy D 1 = 12. Khi đó ta có 3a + 2b = 3 . 12 = 36 => a = 6 và b = 9. Ta có D 1 thắng 4 trận thua một trận nên số trận có D 1 với 5 đội còn lại là 5 trận có kết quả thắng thua. Do đó trong 5 đội còn lại đấu với nhau có đúng một trận thắng thua, còn lại là kết quả hòa. (*) Ta có D 2 + D 3 = 12 và 23 3 6DD D≥⇒≤ Ta có D 4 + D 5 + D 6 = 12 và 654 6 6 312 4DDD D D ≤ ≤⇒ ≤⇒≤ Ta có D 6 đấu với 4 đội D 2 , D 3 , D 4 , D 5 có nhiều lắm là một trận thua. Nên ta có 6 3D ≥ . Nếu D 6 = 3, suy ra D 4 + D 5 = 9 4 5D⇒≥. Suy ra D 4 phải có ít nhất một trận thắng (vì không thể hòa với D 1 ) và D 4 khi đấu với nhóm (D 2, …D 6 ) có ít nhất 3 trận hòa nên suy ra 43 4 666DD D≤≤≤⇒= => D 5 = 3. Suy ra D 5 có một trận thua nữa (vô lí với (*)) Vậy D 6 = 4. Một vài nhận xét: + Bài 1 thì chắc ai cũng làm được vì đây là dạng bài tập cơ bản. Vì thế nếu làm được các bài khác mà không làm được bài này thì cũng nguy hiểm. + Bài 2, 3 thuộc môn hình học. Hai bài này chỉ có câu b của bài 3 thì nhiều học sinh dễ bị nhầm lúc áp dụng Cauchy ngay mà không để ý tới dấu bằng xảy ra. Còn lại những câu khác hi vọng là làm đúng hết vì cũng thuộc dạng cơ bản. + Bài 4: Bài này cũng là một bài hay, không khó nhưng đủ để đánh gục được nhi ều học sinh vì thấy không quen. Nhưng nếu để ý, một phương trình nghiệm nguyên có nhiều ẩn thì phương pháp cơ bản có thể nghĩ tới là bất đẳng thức. Khi giải ra cũng hồ nghi vì sao chỉ có số 1 là số bạch kim (định nghĩa số bạch kim làm gì chỉ có một số). +Bài 5: Năm nay Euro + thầy Trần Nam Dũng rất khoái bong đá nên chắc chắn sẽ là một câu về bóng đá rồi. Bài này rối r ắm, trong lúc thi khó nghĩ ra vì tâm lí. Có lẽ nhiều bạn chuẩn bị nhiều về dạng bài tập này nhưng vẫn gặp khó khăn. Bỏ bài này mà làm hết mấy bài khác thì vẫn còn hi vọng. NGUYỄN TĂNG VŨ . ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2008. có ( ) 2 100 10 100 10abc a b c a a a b c=++=+−++ Ta có 2 10bb≥ ĐỀ THI VÀO LỚP 10 GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com Ta có 100 90a−>