Chương 3 - Trang 12 Chương 3: Hệ phương trình Maxwell 3.1. Khái quát Chương 1 đã nêu rõ các biến trạng thái đặc trưng cho trường điện từ, cho hệ trường-môi trường và các thông số hành vi của môi trường. Chương này trình bày hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các biến trạng thái đó, chính là hệ phương trình Maxwell. Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình cơ bản, phản ánh những quy luật của trường điện từ. Hệ phương trình này giữ một vị trí cơ bản đối với lý luận trường điện từ, giống như các định luật Kirchhoff đối với Lý thuyết Mạch. Mọi hiện tượng trong các thiết bị điện đều thể hiện sự vận động của trường điện từ, cho nên về nguyên tắc, việc phân tích, tính toán các hiện tượng đó đều có thể dựa trên hệ phương trình Maxwell. Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình đạo hàm riêng theo không gian và thời gian cho nên bài toán trường điện từ là một bài toán bờ có sơ kiện. Việc xác định nghiệm của bài toán (tức xác định sự phân bố của trường điện từ) tùy thuộc vào những giá trị của nghiệm ở trên bờ của miền xác định của bài toán và ở gốc thời gian. 3.2. Hệ phương trình Maxwell 3.2.1. Phương trình Maxwell 1 Phương trình này được dẫn từ định luật dòng điện toàn phần (hay còn gọi là định luật toàn dòng điện) kèm theo việc Maxwell đưa ra khái niệm về dòng điện dịch. 3.2.1.1. Định luật dòng điện toàn phần (hay định luật toàn dòng điện) Lưu số của véctơ cường độ từ trường H → dọc theo một vòng kín L bằng tổng đại số các dòng điện dẫn đi xuyên qua diện tích S giới hạn bởi vòng kín đó, trong đó chiều dương của dòng điện được xác định từ chiều của véctơ cường độ từ trường H → theo quy tắc vặn nút chai thuận: Chương 3 - Trang 13 →→ ⋅= ∑ ∫ L Hdli Ñ (3.1) Nếu đi xuyên qua diện tích S là dòng điện dẫn có mật độ dòng điện là J → thì điện luật toàn dòng điện được viết như sau: →→→→ ⋅=⋅ ∫∫ LS HdlJdS Ñ (3.2) Theo định lý Green-Stock, ta có: →→→→ ⋅=⋅ ∫∫ LS HdlrotHdS Ñ (3.3) Suy ra: →→ = rotHJ (3.4) 3.2.1.2. Dòng điện chuyển dịch Dưới tác dụng của điện trường ngoài E → , các điện tử tự do chuyển động trong vật dẫn và sinh ra dòng điện dẫn. Tuy nhiên, nếu đó là điện môi (môi trường trong đó chỉ có những hạt mạng điện ràng buộc) thì xảy ra hiện tượng phân cực và trạng thái phân cực này được đo bằng véctơ dịch chuyển điện D → . Nếu điện trường E → là một trường biến thiên theo thời gian thì trạng thái phân cực của điện môi cũng sẽ biến thiên, các điện tích phân cực dịch chuyển chung quanh vị trí cân bằng của chúng với một vận tốc nào đó. Tương ứng với hiện tượng dịch chuyển đó của các điện tích ràng buộc của các lưỡng cực, Maxwell đã đưa ra khái niệm dòng điện chuyển dịch xuất hiện trong môi trường điện môi khi trường biến thiên và dòng điện này có mật độ là: → → ∂ = ∂ cd D J t (3.5) 3.2.1.3. Phương trình Maxwell 1 Phương trình (3.4) chỉ đúng cho trường điện từ không biến thiên. Maxwell đã hiệu chỉnh lại để nó nghiệm đúng với cả trường hợp trường biến thiên bằng cách bổ sung vào đó mật độ dòng điện chuyển dịch và hình thành nên phương trình Maxwell 1: → →→→→ ∂ =+=+ ∂ cd D rotHJJJ t (3.6) Phương trình này cho thấy: điện trường biến thiên sẽ sinh ra từ trường xoáy. Chương 3 - Trang 14 3.2.2. Phương trình Maxwell 2 Phương trình này được dẫn từ định luật cảm ứng điện từ Lenx-Faraday. Khi từ thông Φ xuyên qua một vòng kín L (đứng yên trong không gian) biến thiên theo thời gian, trong vòng dây sẽ xuất hiện một sđđ cảm ứng e: →→ → →→→  ∂⋅  ∂∂  =⋅=−=−=−⋅ ∂∂∂ ∫ ∫∫ S LS BdS B eEdldS ttt Φ Ñ (3.7) trong đó E → là cường độ điện trường cảm ứng và từ thông Φ bằng thông lượng của véctơ cường độ từ cảm B → chảy qua diện tích S giới hạn bởi vòng kín L. Theo định lý Green-Stock, ta có: →→→→ ⋅=⋅ ∫∫ LS EdlrotEdS Ñ (3.8) Suy ra phương trình Maxwell 2: → → ∂ =− ∂ B rotE t (3.9) Phương trình này cho thấy: từ trường biến thiên sẽ sinh ra điện trường xoáy. Như vậy hai phương trình Maxwell 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt điện và từ của trường điện từ biến thiên. Trong trường hợp trường điện từ không biến thiên, hai phương trình này cho thấy hai mặt điện và từ hoàn toàn không phụ thuộc vào nhau, điện trường và từ trường đều không có tính chất xoáy. Lúc đó điện trường E → chắc chắn có tính chất thế, còn từ trường B → có tính chất thế hay không là phụ thuộc vào mật độ dòng điện dẫn J → . 3.2.3. Phương trình Maxwell 3 Các đường sức từ luôn khép kín cho dù nguồn sinh ra từ trường là nam châm hay cuộn dây có dòng điện chạy qua. Do vậy thông lượng của véctơ cường độ từ cảm B → qua một mặt S kín, được gọi là từ thông Φ, sẽ bằng không: →→ =⋅= ∫ S BdS0 Φ Ñ (3.10) Chương 3 - Trang 15 Gọi V là thể tích được chứa bên trong mặt S. Theo định lý Ostrogradsky-Gauss, ta có: →→→ ⋅=⋅ ∫∫ SV BdSdivBdV Ñ (3.11) Suy ra phương trình Maxwell 3: → = divB0 (3.12) 3.2.4. Phương trình Maxwell 4 Phương trình này được dẫn từ định luật Gauss. Theo định luật này, thông lượng của véctơ dịch chuyển D → qua một mặt S kín bằng lượng điện tích tự do q tồn tại bên trong thể tích V được mặt S bao quanh (một cách tổng quát, q là tổng đại số các điện tích q i tồn tại bên trong thể tích V): →→ ⋅= ∫ S DdSq Ñ (3.13) Nếu lượng điện tích tự do q đó được phân bố trong thể tích V với mật độ khối là ρ thì ta có: →→ ⋅==⋅ ∫∫ SV DdSqdV ρ Ñ (3.14) Theo định lý Ostrogradsky-Gauss thì: →→→ ⋅=⋅ ∫∫ SV DdSdivDdV Ñ (3.14) và từ đó quy ra phương trình Maxwell 4: → = divD ρ (3.15) Tùy theo ρ bằng không hay khác không mà trường véctơ là trường chảy liên tục hay không liện tục, khép kín hay không khép kín. 3.2.5. Phương trình Maxwell 5 Phương trình này được dẫn từ định luật bảo toàn điện tích. Điện tích không tự nhiên sinh ra, không tự nhiên mất đi và khi chúng di chuyển từ vùng này sang vùng Chương 3 - Trang 16 khác thì sẽ sinh ra dòng điện. Theo định luật bảo toàn điện tích, lượng điện tích di chuyển ra khỏi một mặt S kín trong một khoảng thời gian nào đó bằng đúng lượng điện tích suy giảm bên trong thể tích V chứa trong mặt S cũng trong khoảng thời gian đó. Giả sử lượng điện tích q phân bố bên trong thể tích V với mật độ điện tích khối là ρ: =⋅ ∫ V qdV ρ (3.16) Gọi q ∂ là lượng điện tích suy giảm bên trong thể tích V trong khoảng thời gian t ∂ do điện tích di chuyển ra khỏi mặt S và tạo thành dòng điện i. Ta có: ∂⋅ ∂∂ =−=−=−⋅ ∂∂∂ ∫ ∫ V V (dV) q idV ttt ρ ρ (3.17) (dấu trừ thể hiện chiều biến thiên ngược nhau giữa dòng điện i và sự suy giảm của lượng điện tích bên trong thể tích V; nếu điện tích di chuyển ra khỏi mặt S càng nhiều thì dòng điện i càng tăng và do vậy mà lượng điện tích bên trong thể tích V càng suy giảm). Gọi J → là mật độ của dòng điện i chảy qua mặt S và lưu ý đến định lý Ostrogradsky-Gauss, ta có: →→→ =⋅=⋅ ∫∫ SV iJdSdivJdV Ñ (3.18) Suy ra phương trình Maxwell 5: → ∂ =− ∂ divJ t ρ (3.19) Phương trình này cho thấy: nếu các điện tích bên trong thể tích V tồn tại ở trạng thái tĩnh, không di chuyển qua mặt S thì mật độ điện tích khối ρ trong thể tích V sẽ bất biến theo thời gian và do vậy J0 → = , tức không có dòng điện i chảy qua mặt S. 3.2.6. Các phương trình trạng thái mô tả hành vi của môi trường Như đã thấy ở chương 1, để đặc trưng cho hệ trường-môi trường, người ta định nghĩa ra các biến trạng thái E → , D → , B → , H → và J → . Chúng liên hệ với nhau qua các Chương 3 - Trang 17 phương trình trạng thái mô tả hành vi của môi trường mà ta đã từng nghiên cứu ở chương 1: • Trong môi trường điện môi có hệ số điện môi tuyệt đối là ε: →→ = DE ε • Trong môi trường từ môi có hệ số từ thẩm tuyệt đối là µ: →→ = BH µ • Trong môi trường dẫn điện có điện dẫn suất là σ: →→ = JE σ . luật của trường điện từ. Hệ phương trình này giữ một vị trí cơ bản đối với lý luận trường điện từ, giống như các định luật Kirchhoff đối với Lý thuyết Mạch nêu rõ các biến trạng thái đặc trưng cho trường điện từ, cho hệ trường- môi trường và các thông số hành vi của môi trường. Chương này trình bày hệ phương