Thông tin tài liệu
CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC
Bài toán 1.(ĐH Dược HN - A1999)
Tam giác ABC thoả:
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
+
+
.
Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải.
Cách 1.
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++
⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
⇔ sinAsinBsinC =
cos cos cos
22
2
BC
⇔
8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
= 1
⇔
A
⇔ 4sin
2
A
cos cos
22
B
CBC−+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
= 1
⇔
2
4sin 4cos sin 1 0
222
ABCA
−
−
+=
⇔
⇔
2
2
2sin cos 1 cos 0
22 2
ABC BC−−
⎛⎞
−+−
=
⎜⎟
⎝⎠
⇔
cos 1
2
1
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
B = C, A =
3
π
.
Cách 2.
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++
⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
⇔ sinAsinBsinC =
cos cos cos
22
2
BC
⇔
8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
= 1(1)
A
Ta chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC: 8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
1. Dấu đẳng
thức xảy ra khi chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
≤
8sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
≤ 1 4sin⇔⇔
2
A
cos cos
22
B
CBC−+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
≤
1
⇔
2
4sin 4cos sin 1 0
222
ABCA−
−+
≥
⇔
2
2
2sin cos 1 cos 0
22 2
ABC BC−−
⎛⎞
⇔
−
+− ≥
⎜⎟
⎝⎠
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi
cos 1
2
1
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
B = C, A =
3
π
.
Cách 3.
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++
⇔ sin2A + sin2B + sin2C = sinA + sinB + sinC
Ta chứng minh sin2A + sin2B + sin2C
≤
sinA + sinB + sinC (2)
1
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
sin2A + sin2B = 2sin(A + B)cos(A - B) = 2sinCcos(A - B)
≤
2sinC
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1
⇔
A = B.
Tương tự : sin2B + sin2C 2sinA
≤
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1
⇔
B = C.
sin2C + sin2A 2sinB
≤
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi cos(A - B) = 1
⇔
C = A.
Cách 4.
áp dụng định lý chiếu: a = bcosC + ccosB
cos cos cos 1
2
aAbBcC
abc
++
=
++
⇔ 2(acossA+bcosB +ccosC) = bcosC+ccosB+ccosA+acosC+ acosB + bcosA
⇔ a(cosA - cosB) + b(cosB - cosC) + c(cosC - cosA) + a(cosC - cosA) +
+ b(cosB - cosA) + c(cosC - cosB) = 0
⇔ (a - b)( cosA - cosB) + (b - c) (cosB - cosC) + (c - a) (cosC - cosA) = 0.
()(coscos)0
()(coscos)0
( )(cos cos ) 0
ab A B
bc B C abc
ca C A
−−=
⎧
⎪
⇔− − =⇔==
⎨
⎪
−−=
⎩
Bài toán 2.(ĐHQG HN - A1999)
Trong tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu: cos2A + cos2B + cos2C
≥ - 1 thì :
sinA + sinB + sinC
12≤+
Lời giải.
cos2A + cos2B + cos2C
≥ - 1
⇔
- 1 - 4cosAcosBcosC ≥ - 1
⇔
4cosAcosBcosC
0
⇔ ABC không nhọn. ≤ Δ
Giử sử C lớn nhất. Suy ra
2
C
π
π
≤<
⇔
422
C
π
π
≤
<
2
cos
22
C
⇒≤
sinA + sinB + sinC =
2cos cos sin
22
CAB
C
−
+
≤
2cos sin
2
C
C+
21
≤
+
Bài toán 3.(ĐH Vinh - B1999)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả :
sin sin 2sin
tan tan 2tan
B
CA
B
CA
+=
⎧
⎨
+=
⎩
thì tam giác ABC đều.
Lời giải.
sinB + sinC = 2sinA
⇔
2cos cos 4sin cos
22 2
2
A
BC A A
−
=
⇔
⇔
22
cos 4sin
22
B
C−
=
⇔
A
1+cos(B - C) = 4(1 - cosA) (1)
tanB + tanC = 2tanA
⇔
sin( ) sin
2
cos cos cos
B
CA
+
B
CA
=
⇔
cosA = 2cosBcosC ⇔
cosA = cos(B + C) + cos(B - C)
⇔
2cosA = cos(B - C) (2)
Từ (1) và (2) suy ra cosA = 1/2, cos(B - C) = 1
⇔
B = C, A = 60
0
.
2
Bài toán 4.(ĐHThuỷ Lợi - A1999)
Tam giác ABC thoả 2cosAsinBsinC +
3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4
Hỏi tam giác ABC có tính chất gì? Chứng minh.
Lời giải.
Để ý rằng cosA =
222 2 2 2
sin sin sin
22sinsin
bca B C A
bc B C
+− + −
=
. Suy ra:
2cosAsinBsinC = sin
2
B + sin
2
C - sin
2
A
(GT) sin
⇔
2
B + sin
2
C - sin
2
A + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4
⇔ 1 - cos
2
B + 1 - cos
2
C - sin
2
A + 3 (sinA + cosB + cosC) = 17/4
⇔
22
333
cos cos sin 0
222
BCA
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−+ −+ −=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2
⇔
3
cos cos sin
2
BCA===
. Suy ra: B = C = 30
0
, A = 120
0
.
Bài toán 5.(ĐH&CĐ- 2002- TK1)
Gọi x, y, z là các khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong tam giác ABC có ba
góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh:
222
2
abc
xyz
R
+
+
++≤
; a, b, c là các cạnh , R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu = xảy ra khi nào?
Δ
Lời giải.
Ta có :
222
2222
abc a b c
abc
R
RRR
++
=++
= asinA + bsinB + csinC
=
222
2(
SSS abc
abc S
bc ca ab bc ca ab
++= ++
)
=
=
()( )
abc
ax by cz
bc ca ab
++ + +
=
1
()[(
2
bc
ax by cz
ac b
)
+
++
+
1
()
2
ca
ba c
+
1
()
2
ab
cb a
+
]
+
≥
1
()
(ax by cz
a
++
+
1
b
+
1
)
c
≥ (
2
)
x
yz++
Chú ý:
i) Bđt cuối có được do: (
2
)
x
yz++
=
2
111
ax by cz
ab
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
c
ii) Có thể chứng minh:
111abc
bc ca ab a b c
++≥++
như sau:
1
()
2
abc ab
bc ca ab bc ca
++= +
+
1
()
2
bc
ca ab
+
+
1
()
2
ca
ab bc
+
ii) Có thể giải bài toán nhanh hơn:
x
yz++
=
1
.ax
a
+
1
.by
b
+
1
.cz
c
≤
111
()ax by cz
abc
⎛⎞
++ + +
⎜⎟
⎝⎠
=
3
=
111
.2S
abc
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
111
.
2
abc
abc R
⎛⎞
++
⎜⎟
⎝⎠
=
2
ab bc ca
R
++
≤
222
2
abc
R
+
+
Bài toán 6. (ĐH&CĐ- 2002- TK2)
Xét tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Tính diện tích tam giác biết rằng:
bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20
Lời giải.
bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20
4R
⇔
2
sinB.sinC(sinBcosC + sinCcosB) = 20
4R⇔
2
sinB.sinCsinA = 20
2.S = 20 ( S = 2R
⇔
2
sinB.sinCsinA)
Cách 2: áp dụng định lý chiếu b.cosC + c.cosB = a
bsinC(b.cosC + c.cosB) = 20
absinC = 20 2S = 20.
⇔ ⇔
Bài toán 7. (ĐH&CĐ- 2002- TK4)
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh để tam giác ABC đều thì
điều kiện cần và đủ là:
2
A
cos
2
+
2
B
cos
2
+
2
C
cos
2
- 2 =
1
4
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2
Lời giải.
2
A
cos
2
+
2
B
cos
2
+
2
C
cos
2
- 2 =
1
4
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2
⇔ 2(3 + cosA + cosB + cosC) - 8 =
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2
⇔ 2(cosA + cosB + cosC - 1) =
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2
⇔ 8sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
=
A - B
cos
2
B - C
cos
2
C - A
cos
2
⇔ 8sinAsinBsinC = (sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA)
⇔ sinA = sinB = sinC
Bài toán 8. (ĐH&CĐ- 2002- TK6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3/2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh
BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A,
B, C của tam giác. Chứng minh:
111
++
abc
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
abc
111
++
hhh
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
3.≥
Lời giải.
để ý rằng aha = 2S
⇔
1
a
h
=
2
a
S
Suy ra:
1
a
h
+
1
b
h
+
1
c
h
=
1
()
2
abc
S
+
+
Bài toán 9. (ĐH&CĐ- A2003- TK2)
4
Tính các góc của tam giác ABC biết rằng:
4( )
23 3
sin sin sin
222 8
pp a bc
ABC
−≤
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩
trong đó BC = a, CA = b, Ab = c, p =
2
abc
+
+
.
Lời giải.
4 ( ) (1)
23 3
sin sin sin (2)
222 8
pp a bc
ABC
−≤
⎧
⎪
⎨
−
=
⎪
⎩
(1) 4.
⇔
2
abc++
2
bca+−
bc ≤
⇔
22
()bc a
bc
+
−
≤
1
⇔
2(1cos)bc A
bc
+
≤ 1
cos
⇔
2
2
A
1/4 sin≤ ⇔
2
2
A
3
4
≥
⇔
sin
2
A
3
2
≥
VT(2) =
sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
=
1
2
sin
2
A
(
cos cos
22
B
CBC
−
+
−
)
≤
1
2
sin
2
A
(
1sin
2
A
−
) =
2
11
(sin )
222
A 1
4
⎡
⎤
−
−−
⎢
⎥
⎣
⎦
=
1
8
-
2
11
sin
222
A
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
≤
2
11 31 233
822 2 8
⎛⎞
−
−−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Dấu = khi chỉ khi:
cos 1
2
3
sin
22
BC
A
−
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⇔
A = 120
0
, B = C = 30
0
.
Bài toán 10. (ĐH&CĐ- D2003- TK1)
Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức:
Q = sin
2
A + sin
2
B - sin
2
C
đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Ta có Q =
1
(1 cos 2 )
2
A
−
+
1
(1 cos 2 )
2
B
−
- - sin
2
C = 1 - cos(A+B)cos(A-B) - sin
2
C
= 1 + cosCcos(A-B) - sin
2
C =
[]
2
2
1
cos cos( ) cos ( )
4
CAB A
B
−− −
1
4
≥−
+
minQ = -
1
4
khi chỉ khi
cos( ) 1
1
cos
2
AB
C
−
=
⎧
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
⇔
A = B = 30
0
, C = 120
0
.
Bài toán 11. (ĐH&CĐ- D2003- TK2)
Xác định dạng tam giác ABC biết rằng:
(p - a)sin
2
A + (p - b)sin
2
B = csinAsinB
Lời giải.
5
(p - a)sin
2
A + (p - b)sin
2
B = csinAsinB
⇔
(p - a)a
2
+ (p - b)b
2
= abc
⇔
()paa
bc
−
+
()pbb
ca
−
= 1 ⇔
()
.
pp a
a
bc
−
+
()
.
pp b
b
ca
−
= p
⇔
22
()
.
bc a
a
bc
+−
+
22
()
.
ac b
b
ca
+−
= p
⇔
a(1 + cosA) + b(1 + cosB) = a + b + c
⇔ acosA + bcosB = c sin2A + sin2B = 2sinC ⇔
⇔
sin(A - B) = 1.
Bài toán 12. (ĐH&CĐ- A2004)
Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện:
cos2A +
22
cosB +
22
cosC = 3.
Tính các góc của tam giác.
Lời giải.
Cách 1.
Đặt M = cos2A +
22
cosB +
22
cosC - 3
= 2cos
2
A - 1 +
22
.2cos
2
B
C
+
cos
2
B
C
−
= 2cos
2
A + 4
2
.sin
2
A
cos
2
B
C
−
- 4
≤
2cos
2
A + 4
2
.sin
2
A
- 4
≤
2cosA + 4
2
.sin
2
A
- 4
= 2(1 - 2sin
2
2
A
) + 4
2
.sin
2
A
- 4 = - 2(
2
.sin
2
A
- 1)
2
≤
0
M = 0
⇔
2
cos cos
cos 1
2
1
sin
2
2
AA
BC
A
⎧
⎪
=
⎪
−
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
A = 90⇔
0
, B = C = 45
0
.
Cách 2.
Từ giả thiết suy ra: cos2A +
22
cosB +
22
cosC - 3 = 0
1 - 2sin⇔
2
A + 4
2
cos
2
B
C+
cos
2
B
C
−
- 3 = 0
⇔ sin
2
A - 2
2
sin
2
A
cos
2
B
C−
+ 1 = 0
Vì tam giác ABC không tù nên 0 < A/2
≤
π
/4. Suy ra sin
2
A
> 0, cos
2
A
≥
2
/2
Do đó: sinA = 2 sin
2
A
cos
2
A
≥
2
sin
2
A
⇒0 = sin
2
A - 2
2
sin
2
A
cos
2
B
C
−
+ 1 2sin≥
2
2
A
- 2
2
sin
2
A
cos
2
B
C−
+ 1
6
⇒
2
2
2sin cos 1 cos
22
2
A
BC BC−−
⎛⎞
−+−
⎜⎟
⎝⎠
≤
0
⇒ cos
2
B
C−
= 1 và sin
2
A
= 1/
2
.
Cách 3.
M = 2cos
2
A - 1 + 4
2
cos
2
B
C+
cos
2
B
C
−
- 3
≤
2
2
2
12sin
2
A
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
4
2
sin
2
A
- 4
= 8t
4
- 8t
2
+ 4
2
t - 2, t = sin
2
A
2
(0; ]
2
∈
Đặt g(t) = 8t
4
- 8t
2
+ 4
2
t - 2, t
2
(0; ]
2
∈
Suy ra: g'(t) = 32t
3
- 16t + 4
2
, g"(t) = 96t
2
- 16 = 0
⇔
t =
6
6
(do t > 0)
Sự biến thiên của g(t):
Từ đó: ming'(t) = g'(
6 /6) = - 16 6 /9 + 4 > 0. Suy ra g(t) đồng biến trên
2
(0; ]
2
⇒ g(t) g(≤
2
/2) = 0. Vậy M
≤
0.
M = 0 cos
⇔
2
B
C−
= 1 và sin
2
A
= 1/
2
.
Cách 4.
Từ một điểm trong tam giác ABC vẽ các véc tơ đơn vị hướng ra ngoài và vuông
góc các cạnh BC, CA, AB lần lượt là
1
e
J
G
,
2
e
J
JG
,
3
e
J
G
.
Xét bình phương vô hướng:
0
≤ (2 +
1
e
JG
2
2
e
JJG
+
2
3
e
JG
)
2
= 8 - 4
2
coC - 4
2
coB - 4cosA
⇔ 2cosA + 2
2
coC + 2
2
coB
≤
4
⇔ 2cosA - 1 + 2
2
coC + 2
2
coB
≤
3
Ta có 2cos
2
A - 1 2cosA - 1 ≤
Nên 2cos
2
A - 1 + 2
2
coC + 2
2
coB
≤
2cosA - 1 + 2
2
coC + 2
2
coB ≤ 3
⇔ cosA + 2
2
coC + 2
2
coB
≤
3
Dấu = khi chỉ khi
2
123
cos A = cosA (0 < A )
2
22 20eee
π
⎧
≤
⎪
⎨
⎪
++=
⎩
JG JJGJGG
⇔
21
cos 0
2(2 2
A
ee
=
⎧
⎪
⎨
=− +
⎪
⎩
3
)e
J
JGJGJG
⇔
0
13
90
2642.
A
ee
⎧
=
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
JG JG
⇔
0
90
2642cos
A
B
⎧
=
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
Cách 5.
cos2A +
22
cosB +
22
cosC - 3 = 0
⇔ cos2A = -
22
cosB -
22
cosC +3
7
⇔ cos2A + 2cos
2
B + 2cos
2
C = 2cos
2
B -
22
cosB + 2cos
2
C -
22
cosC +3
⇔ cos2A + 1 + cos2B + 1 + cos2C = (
2
cosB - 1)
2
+ (
2
cosC - 1)
2
+ 1
⇔ 2 - 1 - 4cosA cosB cosC = (
2
cosB - 1)
2
+ (
2
cosC - 1)
2
+ 1
⇔ - 4cosA cosB cosC = (
2
cosB - 1)
2
+ (
2
cosC - 1)
2
- 4cosA cosB cosC
≤
0 ( ABC không tù)
Suy ra: (
2
cosB - 1)
2
+ (
2
cosC - 1)
2
- 4cosA cosB cosC
≤
0
⇔
2cos 2cos 1
cos cos cos 0
BC
ABC
⎧
==
⎪
⎨
=
⎪
⎩
Bài toán 13. (CĐ Y Tế Nghệ An - 2004)
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 - 2 cosAcosBcosC
Lời giải.
Cách 1. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C =
1cos2
2
A
+
+
1cos2
2
B
+
+ cos
2
C =
= 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos
2
C = 1 - cosC[cos(A-B) - cosC] =
= 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] = 1 - 2 cosAcosBcosC
Cách 2.
1 - 2 cosAcosBcosC = 1 - cosC[cos(A-B) + cos(A+B)] =
1 - cosC[cos(A-B) - cosC] = 1 + cos(A+B)cos(A-B) + cos
2
C =
= 1 +
1
2
(cos2A + cos2B) + cos
2
C = 1+
1
2
(2cos
2
A - 1) +
1
2
(2cos
2
B - 1) =
= cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C.
Bài toán 14.
(CĐSP Hải Dương - B2005)
Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả sinC = 2sinBsinAtan
C
2
.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Lời giải.
sinC = 2sinBsinAtan
C
2
⇔
2
cos sin sin
2
C
A
B=
⇔
2
2cos cos( ) cos
2
C
A
BC=−+
⇔ cos(A-B) = 1 A - B = 0. ⇔
Bài toán 15.
(Bộ Quốc phòng- A2005)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện
1a
+ cotA =
sinA c - b
thì
tam giác ABC là tam giác vuông.
Lời giải.
1a
+ cotA =
sinA c - b
⇔
1+ cosA sinA
=
sinA sinB - sinC
⇔
2
2cos 2sin cos
22
2
A
C
2sin cos 2sin sin
22 2 2
AA
AA AB
=
−
⇔
sin sin
22
A
BC
−
=
⇔
A + C = B B = ⇔
2
π
Bài toán 16.
(CĐKTKTHải Dương -A2005)
8
Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện :
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 3(cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C)
Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Lời giải.
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 3(cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C)
⇔
⇔ sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C =
9
4
⇔
2
1cos2 1cos2 9
sin
22
4
AB
C
−
−
+=
⇔
+
⇔ 1 + cos(A - B) cosC + 1 - cos
2
C =
9
4
⇔
⇔ 4cos
2
C - 4cos(A - B)cosC + 1 = 0
⇔
⇔ [2cosC - cos(A - B)]
2
+ 1- cos
2
(A - B) = 0
⇔
2cos cos( ) 0
,
cos( ) 1
6
CAB
ABC
AB
π
−−=
⎧
⇔⇔
⎨
−=
⎩
==
Bài toán 17.
Tam giác ABC thoả (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) = cosAcosBcosC
Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải.
Để ý rằng 1 - cosA > 0, 1 - cosB > 0, 1 - cosC > 0.
Suy ra cosAcosBcosC > 0
(GT)
⇔
1cos 1cos 1cos
cos cos cos
ABC
1
A
BC
−−−
=
. Đặt x = tan
2
A
, y = tan
2
B
, z = tan
2
C
1cos 1cos 1cos
1
cos cos cos
ABC
A
BC
−−−
=
⇔
2
2
1
x
x
−
.
2
2
1
y
y
−
.
2
2
1
z
z
−
=
1
x
yz
⇔ tanA.tanB.tanC = cot
2
A
cot
2
B
cot
2
C
⇔ tanA + tanB + tanC = cot
2
A
+ cot
2
B
+ cot
2
C
(1)
Ta chứng minh tanA + tanB + tanC cot
≥
2
A
+ cot
2
B
+ cot
2
C
. Dấu đẳng thức xảy
ra chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
tanA + tanB =
sin 2sin 2sin
cos cos cos( ) cos( ) 1 cos
CCC
AB AB AB C
=≥
++ − −
=
2c
.
ot
2
C
Dấu đẳng thức khi chỉ khi A = B
Tương tự: tanB + tanC
≥
2cot
2
A
. Dấu đẳng thức khi chỉ khi B = C
tanC + tanA
≥
2cot
2
B
. Dấu đẳng thức khi chỉ khi C = A
Suy ra: tanA + tanB + tanC cot
≥
2
A
+ cot
2
B
+ cot
2
C
.
9
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi A = B = C.
BÀI T
ẬP LÀM THÊM
Bài toán 18.
Tam giác ABC nhọn thoả
2
tan
2
sin
2
A
A
+
2
tan
2
sin
2
A
A
+
2
tan
2
sin
2
A
A
= 18
Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải.
Cách 1
. Ta chứng minh
2
tan
2
sin
2
A
A
+
2
tan
2
sin
2
B
B
+
2
tan
2
sin
2
C
C
≥ 18. Dắu đẳng thức xảy ra
chỉ khi A = B = C. Thật vậy:
Ta có
2
a
x
+
2
a
x
+
2
a
x
≥
2
(abc)
x
yz
++
++
với a, b, c thực và x, y, z thực dương.
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi
abc
x
yz
=
=
2
tan
2
sin
2
A
A
+
2
tan
2
sin
2
B
B
+
2
tan
2
sin
2
C
C
≥
()
2
tan tan tan
sin sin sin
222
ABC
ABC
++
++
≥
2
(3 3)
3
2
= 18
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi
tan
sin
2
A
A
=
tan
sin
2
B
B
=
tan
sin
2
C
C
và A = B = C .
Cách 2.
Ta có:
()
2
222
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin tgCtgBtgA
C
Ctg
B
Btg
A
Atg
CBA
++≥
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⇒
(
)
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
222
CBA
tgCtgBtgA
C
Ctg
B
Btg
A
Atg
P
++
++
≥++=
Vì:
33≥++ tgCtgBtgA
;
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
≤++
CBA
Do đó:
()
18
2
sin
2
sin
2
sin
2
≥
++
++
CBA
tgCtgBtgA
222
18
sin sin sin
222
tg A tg B tg C
P
ABC
⇒= + + ≥
.
10
[...]... ⇔ A = B Bài 10 Tam giác ABC có ba góc thỏa 3 ( cos B + 2sin C ) + 4 ( sin B + 2cos C ) = 15 là tam giác gì? Lời giải Bài toán tương đương (3cosB + 4sinB) + (8cosC + 6sinC) = 15 Áp dụng bất đẳng thức BCS trong từng dấu ngoặc , suy ra kết quả Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⎧ cos B s inB ⎪ 3 = 4 ⎧cos B = sin C π ⎪ ⇔⎨ ⇔ A= ⎨ 2 ⎩sin B = cos C ⎪ cos C = sin C ⎪ 8 6 ⎩ Bài toán 30 Nhận dạng tam giác ABC,... sin 2 B ⇒ 1 = 2 ( ) 2 − cos B 2 cos B = 0 ⇒ cos B = 1 ⇒ B = 450 , C = 450 2 Tam giác vuông cân ở Bài toán 27 Gọi A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần và đủ là: cos 2 A B C 1 A− B B −C C−A + cos 2 + cos 2 − 2 = cos cos cos 2 2 2 4 2 2 2 Lời giải Dùng công thức hạ bậc, bài toán tương đương A− B B−C C−A cos cos 2 2 2 A B C A− B B −C C−A (1) ⇔ 8sin... A cos B + y cos A = y sin C ⎪ sin B sin B ⎩ ⇔ x : y : z = sinA : sinB : sinC áp dụng 1: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng F = 3 cosA + 3(cosB + cosC) đạt giá trị lớn nhất áp dụng 2: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng 1 1 1 5 cosA + cosB + cosC = 3 4 5 12 Bài toán 20 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: 1 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ sin A ⎠ 1 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ sin B ⎠ 2 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎜1 + ⎟ ≥ ⎜2+ ⎟ 3⎠ ⎝... 600 = ⇒ − ⎜ sin − ⎟ + ≤ 2 2 2⎝ 2 2⎠ 8 8 A B C 2 3 −3 Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì BĐT (*) xảy ra Hay sin sin sin ≤ 2 2 2 8 0 đẳng thức ⎧ A = 1200 ⎪ 0 ⎪ B = C = 30 ⎩ Khi và chỉ khi ⎨ Bài toán 29 Xác định dạng của tam giác ABC, biết rằng ( p − a)sin 2 A + ( p − b) sin 2 B = c.sin A.sin B HD Dùng định lí hàm sin ta có bài toán tương đương ( p − a )a ( p − b)b p ( p − a )a p ( p − b)b + =1⇔ + = p... sin ⎜ sin 2 2 2⎠ 2 2 2 ⎠⎝ ⎝ 1 1 1 3 + + ≥ ≥ 6 (2) Mặt khác A B C A B C sin sin sin 3 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 Thay (2) vào (1) ta có kết quả Bài toán 24 Tam giác nhọn ABC có ba góc thỏa mãn tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C = 3tgAtgBtgC , là tam giác gì? Lời giải Từ giả thi t 3 góc A,B,C đều nhọn Ta có: tgAtgBtgC=tgA+tgB+tgC ≥ 33 tgAtgBtgC ⇒ (tgAtgBtgC )2 ≥ 27 ⇒ (tgAtgBtgC ) ≥ 27(tgAtgBtgC ) 8 ⇔ ( 3 6 (tgAtgBtgC)... (tgAtgBtgC) ) 8 ≥ 3(tgAtgBtgC ) 2 (1) Mà: tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C ≥ 33 (tgAtgBtgC ) 8 ( 2) Từ (1) và(2) ta có: tg 8 A + tg 8 B + tg 8 C ≥ 3tgAtgBtgC Để thỏa mãn đề toán thì đẳng thức xảy ra ⇒ Tam giác ABC đều Bài toán 25 Δ ABC là tam giác bất kỳ Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2 ta có : A B C + tg n + tg n 1− n 2 2 2 ≥3 2 A B C tg + tg + tg 2 2 2 tg n A B C + tg + tg ≥ 3 2 2 2 A B C Dấu đẳng... A ≥ 3 ⎜ tg + tg + tg ⎟ 2 2⎠ ⎝ 2 n −1 B⎞ ⎛ + ⎜ 3tg ⎟ 2⎠ ⎝ Từ đó ta thu được BĐT Dấu bằng xảy ra ⇔ ΔABC đều ⎧sin B = ⎪ Bài 26 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện ⎨ ⎪sin C = ⎩ ( ( n −1 C⎞ ⎛ + ⎜ 3tg ⎟ 2⎠ ⎝ ) 2 − cos B ) sin A n −1 2 − cos C sin A (1) (2) ≥ ≥ , tam giác trên là tam giác gì ? Lời giải Lấy (1) – (2) ⇒ sin B − sin C = sin A ( cos B − cos C ) ⇒ B = C ⎧sin B − sin C < 0 ⎪ ⎪sin A ( cos B −...Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Bài toán 19 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: x2 + y 2 + z 2 cos B cos A cos C + + ≤ ; x, y, z > 0 2 xyz y x z Lời giải x2 + y 2 + z 2 cos B cos A cos C + + ≤ 2 xyz x y z ⇔ 2yzcosA + 2xzcosB + 2xycosC... cos 2 B − 3 cos B − cos 2 A − 3 cos A = 4 2 cos A sin B sin C + 3 (sin A + sin B + sin C ) = ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⇔ ⎜ cos C − ⎟ = 0 ⇒ Tam giác cân tại A và ⎟ + ⎜ cos B − ⎟ + ⎜ sin A − ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2π A= 3 Bài toán 23 Nhận dạng tam giác ABC, biết ⎛ ⎜ 1 1 1 + + = 2⎜ + + A B C A B C ⎜ sin sin 2 sin 2 sin 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 ⎝ 1 1 1 12 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ HD Áp dụng bất đẳng thức BCS... 1 27 ⎛ 27 ⎞ ∑ xy ≥ 3 3 ⎜ xyz ⎟ ≥ 3 3 ⎜ S 3 ⎟ = S 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 9 27 27 3 Suy ra VT ≥ 1 + + 2 + 3 = ⎛1 + ⎞ ⎜ ⎟ S S S ⎝ S⎠ 3 Bây giờ chỉ cần để ý rằng x + y = z = sinA + sinB + sinC ≤ 3 3 Bài toán 21 Xác định các góc của tam giác ABC biết rằng F = cosAsinBsinC + sinA + 2 (cosB + cosC) đạt giá trị lớn nhất 2 Lời giải ⎛ ⎝ Ta có F = ⎜1 − 2sin 2 A⎞ A A 2 (cos B + cos C ) = ⎟ sin B sin C + 2 cos sin + 2⎠ 2 2 . CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC
QUA CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC
Bài toán 1. (ĐH Dược HN - A1999)
Tam giác ABC thoả:
cos cos cos. A = 120
0
.
Bài toán 5. (ĐH& amp;CĐ- 2002- TK1)
Gọi x, y, z là các khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong tam giác ABC có ba
góc nhọn đến các cạnh BC,
Ngày đăng: 25/01/2014, 02:20
Xem thêm: Tài liệu Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH ppt, Tài liệu Các bài toán tam giác qua các kì thi ĐH ppt