CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng: +Định nghĩa: un+1= un + d, với d công sai +Số hạng tổng quát: un=u1 + (n-1)d +Tổng n số hạng đầu tiên: Sn== +Tính chất số hạng CSC: Uk= +Định lí: Cho số nguyên dương m k với m ≥ k thì: um=uk+(m-k)d +Định lí: Nếu a+b=c+d ua+ub=uc+ud ; ví dụ: có + 4= 5+1 u2+u4=u5+u1 Cấp số nhân: +Định nghĩa: un+1=un.q , với q công bội CSN + Số hạng tổng quát: un=u1.qn-1 với n ≥ +Tổng n số hạng đầu tiên: Sn= +Tính chất số hạng CSN: u2k= uk-1.uk+1 + Định lí: Cho số nguyên dương m k với m ≥ k um=uk.qm-k +Định lí:Cho CSN với q ≠ u1 ≠ um+k=um.qk ; ví dụ: ta có 6=4+2 u6= u4.q2 *Bất đẳng thức Cô-si: Với a b số không âm ta có: ≥ ab Bài tập: Câu 1: Cho cấp số cộng có số hạng -4,1,6,x Giá trị x Câu 2: Cho cấp cộng có số hạng -7,x,11,y Giá trị tổng x+y Câu 3: Cho cấp số nhân có số hạng 2,8,x,128 Giá trị x Câu 4: Cho cấp số nhân có số hạng x,12,y,192 Giá trị x y Câu 5: Trong số hạng 5,9,13,… Vậy un viết theo biểu thức Câu 6: Cho CSN có số hạng 3,9,27,81,… Vậy un viết theo biểu thức Câu 7: Một CSC có 13 số hạng, số hạng đầu tổng 13 số hạng đầu 260 Vậy u13 có giá trị Câu 8: Một CSC có số hạng, biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 17, tổng u2+u4=14 Cơng sai d có giá trị Câu 9: Một CSN có số hạng, với u1=2 u6=486 Vậy cơng sai có giá trị Câu 10: Cho CSN có 15 số hạng, đẳng thức sau hay sai: u1.u15=u2.u14 Câu 11: Cho CSN có 10 số hạng, đẳng thức sau hay sai: u7=u4.q3 Câu 12: Một CSN có u2=4 u6=64 Số hạng tổng qt CSN Câu 13: Xác định góc tứ giác lồi, biết số đo góc lập thành CSC góc lớn lần góc nhỏ Tìm góc Câu 14: Tính tổng n số hạng: Tn=105+110+115+…+995 Câu 15: Tìm phân số sinh số a=0,2323232323… A B C D Câu 16: Một CSC có số hạng Biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 30, tổng số hạng thứ ba thứ sáu 35 Số hạng thứ bảy CSC Câu 17: Một CSC có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng 144, số hạng thứ 12 23 Công sai CSC Câu 18: Một CSC có 15 số hạng Biết tổng 15 số hạng 225 số hạng thứ 15 29 Tìm u1 Câu 19: Một CSC có 10 số hạng Biết tổng 10 số hạng 175 công sai d=3 Số hạng có giá trị Câu 20: Cho CSN có số hạng, với số hạng đầu số hạng thứ 486 Cơng sai q có giá trị Câu 21: Một CSN có số hạng, cơng bội q= ¼ số hạng thứ nhất, tổng hai số hạng đầu 24 Tìm CSN Câu 22: Cho số a,b,c theo thứ tự đó, vừa lập thành CSC vừa lập thành CSN A a=1, b=2, c=3 B a=d,b=2d, c=3d C a=q,b=q ,c=q D a=b=c Câu 23: Cho CSC (un) thỏa mãn: u2 – u3 + u5=10 u4+u6=26 Tìm cơng sai số hạng tổng quát CSC Câu 24: Cho CSN (un) thỏa mãn: u4= u3= 243u8 Số số hạng thứ CSN Câu 25: Cho dãy số (un) với un= 3+2 Số 19683 số hạng thứ dãy số cho Câu 26: Cho CSN có số hạng, số hạng thứ tư số hạng thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai Viết SHTQ CSN *Câu 27 : Tính tổng n số hạng: Sn=3+33+333+… *Câu 28 : Cho dãy số có số hạng 1,8,22,43,… Hiệu số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng: 7,14,21,…7n Số 35351 số hạng thứ cấp số cho??? *Câu 29 : Với giá trị a, ta tìm giá trị x để số: 5x+1 +51-x; ; 25x + 25-x lập thành cấp số cộng *Câu 30 (p207): Cho cấp số cộng (un) có u1=1 tổng 100 số hạng đầu 24850 Tính S= + + … + *Câu 31 : Xác định m để phương trình x4 -2(m+1)2 +2m+1=0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng **Câu 32 (Toán ứng dụng): Một lọ thủy tinh có dung tích 1000 (ml) chứa đầy dung dịch chất độc nồng độ 10% chuyển sang bình chứa khác, dung dịch chất độc sau đổ sang bình chứa khác cịn dính lại lọ cũ 0,1% Để chất độc lọ ≤ 0,001 μ gam (microgam) người ta dùng 1000ml nước cất để rửa lọ lần? ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cách 1: Ta thấy công sai d= 4-(-1)=5 => x=6+5=11 ; Cách 2: Áp dụng tính chất CSC: 2.6=1+x => x=2.6-1=11 Câu 2: Áp dụng tính chất CSC: 2.x=-7+11 => x=2 ; 2.11=2+y => y=20 Vậy tổng x+y=2+20=22 Câu 3: Cách 1: Áp dụng tính chất CSN: x2=8.128 ó x=±32 Ta thấy số hạng đầu dương nên x=32 ; Cách 2: Có cơng bội q= 8/2 = => x=8.4=32 Câu 4: Ta tìm y trước: áp dụng tính chất CSN ta có y2=12.192 =>y= ± 48 => y=48; Ta có q=48/12=4 => x=12/4=3 Câu 5: Đây CSC, có d=4 u1=5 Vậy SHTQ: un= +(n-1)4 = 1+4n Câu 6: Ta có q=9/3=3 u1=3 Vậy SHTQ; un= 3.3n-1= 3n Câu 7: Áp dụng công thức tính tổng n số hạng CSC: Sn= ó S13==260 => u13=38 Câu 8: Theo đề, u1+u6=17 ó 2u1+5d=17(1) U2+ u4=14 ó 2u1+4d=14 (2) Từ (1) (2) suy u1=1 d=3 Câu 9: Áp dụng SHTQ CSN cho u6= u1.q5=2.q5=486 ó q=3 *Chú ý để tìm nhanh q ta dùng chức Table máy tính cầm tay, cụ thể sau: Mode sau nhập hàm vào(nhớ chuyển vế nhé) cho giá trị 20 => tìm q* Câu 10: Đẳng thức cho ta có a+b=c+d uaub=ucud Câu 11 : Áp dụng định lí với q ≠ u1 ≠ um+k=um.qk ; ta có 4+3=7 4>3 => u7= u4.q3 Câu 12: Ta có u2= u1q=4(1) u6=u1q5=64 => =q4=16 => q=2 thay q=2 vào (1) => u1=2 Vậy SHTQ: un= 2.2n-1=2n Câu 13: Gọi A,B,C,D số đo góc tứ giác lồi, với A u1=1 Câu 19: Ta có: S10= =175 => u1=4 Câu 20: Ta có u1=2 u6=u1q5=486 ó u6=2.q5=486 => q=3 Câu 21: Theo đề, q=1/4 u1 U1+u2=24 ó u1 + u1q=u1+1/4 u21=24 ó 1/4u21+ u1-24=0 ó u1=8 u1=-12 Với u1=8 => q=2 (q=1/4u1) U2=16 U3=32 U4=64 U5=128 Với u1=-12 => q=-3 U2=36 U3=-108 U4=324 U5=-972 Câu 22: Chọn câu D, với a=b=c ta có CSC với d=0 CSN với q=1 Câu 23: Theo đề, u2-u3+u5=10 ó u1+d –u1-2d +u1+4d=u1+3d=10 (1) U4+u6=26 ó 2u1+8d= 26 (2) Từ (1) (2) suy u1=1 d=3; SHTQ: un=u1+(n-1)d ó un=1+3n-3=3n-2 Câu 24: Theo đề, u4=u1q3=(1) U3=243u8 ó u1q2=243q7u1 ó q5= ó q= Thay q= vào (1) ta được: u1()3= => u1=2 Ta có un=u1qn-1 ó =2.( )n-1 => n=9 Vậy số số hạng thứ CSN Câu 25: un=3+2 Xét un+1=3+2 => = => (u n) cấp số nhân có q= Ta có: u +2 n=19683 ó = 19863 => n=14 Vậy số 19683 số hạng thứ 14 Câu 26: Theo đề, u4=6 ó u1q3=6 (1) U7=243u2=u1q6=243u1q óq5=243 => q=3 Thay q=3 vào (1) ta u133=6 => u1= SHTQ: un=u1qn-1= 3n-1 *Câu 27: Ta có: Sn= + 33 + 333+… = 3(1+11+111+…) *đặt số làm nhân tử chung* =3(+ + +…+ ) *Biến đổi số ngoặc sau khái quát lên dạng tổng quát) =(10 + 102 + 103 + … + 10n – n) *đặt ngoặc làm nhân tử chung* *Dừng chút nhé, khó hiểu phải khơng? Ta thấy ta lấy số đầu để từ nâng lên tổng quát nhé: += -+ - =( 10-1 +102-1)=( 10+102-2) ta nhận có số hạng có 10 + 102 -2 có số hạng có 10 + 102 + 103-3 có n số hạng ta có 10 + 102 + 103 + … + 10n – n.* =(-n) *Ta tính tổng 10 + 102 + 103 + … + 10n có u1=10 q==10 cách áp dụng cơng thức tính Sn= = =() *Ta quy đồng* =-(-10n+1+9n +10) *Đặt -trong ngoặc làm nhân tử chung) Vậy Sn=-(-10n+1+9n +10) Câu 28: Theo đầu ta có • u2-u1=7 • u3-u2=14 • u4-u3=21 • … • Un-un-1=7(n-1) *Chỗ chứ?* Cộng vế ta được: un-u1=7+14+21+…+7(n-1) Ta tính tổng 7+14+21+…+7(n-1) Dãy số có n-1 (số hạng) Sn= = =un-u1 (1) Đặt un=35351 u1=1 thay vào (1) 35351-1=ó 7n2-7n-70700 ó n=101(nhận) n=-100(loại) Vậy số 35351 số hạng thứ 101 Cấp số Câu 29: Để số hạng lập thành cấp số cộng, ta có: (5x+1+ 51-x) + (25x+25-x)=2() ó 5(5x + ) +(52x + ) Theo bất đẳng thức Cô-si: + ≥ 52x+ ≥2 => a≥ 5.2 + 2=12 Vậy a≥12 Câu 30: Gọi d công sai cấp số cộng cho Ta có: S100= =24850 => d=5 5S= + + … + = + +… + = -+ -+…+ =-=- ==> S=:5 = Vậy S= Câu 31: Cái Tường làm mà phải không? Không cần Đạt giải há? Ta có: t2=9t1 Theo định lí Vi-ét: 10t1=2(m+1) t19t1=2m+1  9m2 -32m -16=0 ó m=4 m= Câu 32: *Bài theo đánh giá Đạt hay hihi*  Trong 1000ml dung dịch gồm nước chất độc, nồng độ chất độc 10% => Lượng chất độc bình chưa chuyển sang bình khác 100g ta phải chia cho dung tích bình nghĩa 100g:1000= gam Lượng chất độc mà đề yêu cầu ≤ 0,001 μ gam = 10-9 gam Mỗi lần rửa với 1000ml nước cất cịn dính lọ 0,1%(1ml) => chất độc giảm 10-3 lần hay Lần Bảng Lượng chất độc tồn đọng sau lần rửa: Vậy rửa với 1000ml nước cất cần rửa lần Lần Lần Lần đầu gam Nhận xét: Đây dãy CSN với công sai q= HẾT Lần ≤10-9 ... thành cấp số cộng: 7,14,21,…7n Số 35351 số hạng thứ cấp số cho??? *Câu 29 : Với giá trị a, ta tìm giá trị x để số: 5x+1 +51-x; ; 25x + 25-x lập thành cấp số cộng *Câu 30 (p207): Cho cấp số cộng... sai số hạng tổng quát CSC Câu 24: Cho CSN (un) thỏa mãn: u4= u3= 243u8 Số số hạng thứ CSN Câu 25: Cho dãy số (un) với un= 3+2 Số 19683 số hạng thứ dãy số cho Câu 26: Cho CSN có số hạng, số hạng... 15 số hạng Biết tổng 15 số hạng 225 số hạng thứ 15 29 Tìm u1 Câu 19: Một CSC có 10 số hạng Biết tổng 10 số hạng 175 công sai d=3 Số hạng có giá trị Câu 20: Cho CSN có số hạng, với số hạng đầu số