... nhất:
Ví dụ
1 2
2 1 2
2
(2)
3
x x
x x x
′
=
′
= − +
1 1
2
1, ,
1
P
λ
= =
÷
Trị riêng và VTR của A:
1 2
1
2, ,
1
P
λ
= =
÷
HỆ PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP1
PHƯƠNG PHÁP ...
K
K
K
1
P
2
P
n
P
1 2
11 2 2
n
t
t t
n n
X C Pe C P e C P e
λ
λ λ
= + + +L
1 2
1 2
1 2
11 1 12 2 1 2
21 1 22 2 2 2
11 2 2 2
n
n
n
t
t t
n
t
t t
n
t
t ... tìm từ hệ pt:
( )
0 11 2 2
1
k
n
t
k k n n
k
X t C e P C X C X C X
λ
=
= = + + +
∑
L
( ) ( ) ( ) ( )
11 2 2r n n
X t C t X C t X C t X
= + + +
L
1
2
1
11 12 1
1
2 21 22 2
2
1 2
n
t
n
t
n
t
n
n...
... u x u⇒ = +
PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP
111
0
0
ax by c
a x b y c
+ + =
+ + =
111
ax by c
y f
a x b y c
+ +
′
=
÷
+ +
1 1
0
a b
a b
≠
1 1
0
a b
a b
=
Bước 1: giải hệ pt
Với cặp nghiệm ... y
− +
=
+
PHƯƠNG TRÌNHVIPHÂN
CẤP 1
Công thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp1
( )
( ) ( )
( )
∫ ∫
−
= +
∫
p x dx p x dx
y e q x e dx C
Vd:
3
1/ 'xy y x− =
2
1
'y y x
x
⇔ − =
1 1
2
dx dx
x ... MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
1. PTVP là phươngtrình mà hàm phải tìm nằm
dưới dấu đạo hàm hoặc viphân
2 .Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của
ẩn hàm.
3.Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến ⇒ PTVP thường.
...
... TRÌNHVI PHÂN
I. Phươngtrìnhviphâncấp1
II. Phươngtrìnhviphâncấp cao
III. Hệ phươngtrìnhviphân
Phương trìnhviphâncấp 1- PT vp toàn phần
Ví dụ: Tìm NTQ của pt
( 2 ) ( 2 2) 0
x ... =
Với x =1, y =1 ta thay vào đẳng thức trên và được C=0
Vậy nghiệm của bài toán là
3
2
y x=
Phương trìnhviphân cấp1
3
4 2 2 4 2 2
2
2 2
9. ln 1 0
10 .
11 .( 6 ) 4 ( ) 0
12 .(2 1) ( 2 1) 0
13 . arcsin
1
14. ... vẽ, ta có
1
( )
x
x
f t dt
y
=
∫
2
( )
y xy
f x
y
′
−
⇔ =
Ta gọi đây là phươngtrìnhviphâncấp1 (phương
trình chứa đạo hàm cấp1 là y’)
3
y y xy=⇔
′
−
Phương trìnhviphâncấp 1- PT tách...
... ế
II. PH NG TRÌNHVIPHÂN C P 1 ƯƠ Ấ
1. Ph ng trình tách bi n (hay bi n phân ly)ươ ế ế
a) Là ph ng trìnhviphân có d ng : fươ ạ
1
(x) + f
2
(y).y’ = 0 hay f
1
(x)dx + f
2
(y)dy = 0 (1)
b) Cách ... tích phân ph ng trình (1) thì có :ả ấ ươ
hay
Thí d 1 : Gi i ph ng trìnhviphân : y ‘ = ( 1 + yả ươ
2
). ex
Ph ng trình đ c đ a v d ng :ươ ượ ư ề ạ
c) L u ý:ư
Ph ng trình : fươ
1
(x) g
1
(y) ...
q[C
1
y
1
(x) + C
2
y
2
(x) ] = f(x)
Hay:
C
1
[ y
1
’’( x) + pC
1
y’
1
(x) + qC
1
y
1
(x) ] C
2
[ y
2
’’(x) + py’
2
(x) + q
y
2
(x) ] + C’
1
y’
1
(x) +
C’
2
y’
2
(x) = f(x)
Do y
1
, y
2
...
... ta gọi phươngtrình (1. 18) là phươngtrìnhviphân có chậm (RDEs),(DDEs)
hoặc phươngtrìnhviphân hàm (FDEs).Dễ thấy (1. 18) chứa cả phươngtrìnhvi phân
thường (ODEs) và phươngtrìnhvi phân
˙x(t) ... n
0
)C(n),
8
Chương 2
Phương trìnhviphân có xung
và ứng dụng
2 .1. Khái niệm về hệ phươngtrìnhviphân có xung
2 .1. 1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phươngtrìnhviphân có xung
Xét phươngtrìnhviphân có xung ... = (0, 1) , nghiệm củaphươngtrìnhviphân có xung
trên đoạn [0, 1) là x = 1. Với t > 1, thì ∆x (1) =
1
x (1
−
)− 1
không xác định vì x (1
−
) =
1. Tuy nhiên, nghiệm củaphươngtrìnhviphân ˙x...
... = 0 (11 .30)
Nghiệm củaphươngtrình đặc trưng
r
2
+ pr + q = 0 (11 . 31)
Nghiệm củaphươngtrình (11 .30)
r
1
, r
2
thực , r
1
≠ r
2
r
1
= r
2
= r
r
1
, r
2
= α ± iβ ,α ,β thực
1 2
r
1 2
e
x ... nghiệm phươngtrình
đặc trưng (11 . 31) thì nghiệm riêng
của (11 .32) có dạng :
Y= Q
1
(x)cosβx + R
1
(x)sinβx với
Q
1
(x), R
1
(x)là những đa thức bậc
l = max(m,n)
± iβ là nghiệm phươngtrình ... α
α
+ + =
+ ≠
Ứng dụng giải phươngtrìnhviphân bằng phần mềm
Maple
•
Cú Pháp:
dsolve(ODE) : giải phươngtrìnhviphân ODE.
dsolve(ODE, var) : giải phươngtrìnhviphân ODE
theo biến...