... Tìm cựctrị của hàmsốnhiềubiến bằng cách
khảo sát lần lượt từng biến
Để tìm cựctrịhàmsố ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến
nghĩa là: tìm GTLN,(GTNN) của hàmsố với biến ... biến thứ nhất và các biến còn lại coi
là tham số, tìm GTLN,(GTNN) vủa hàmsố với biến thứ hai rồi ứng với giá trị đã
xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại là tham số
Ta cùng xét các ... cùng xét các ví dụ :
Bài toán 1:
Xét hàmsố f(x,y) = (1 – x)(2 – y)(4x – 2y)
trên D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 }
Tìm GTNN của f trên D.
Giải:
Biến đổi hàmsố đã cho thành:
f(x,y) = 2(1 – x)(2...
... }
22
22
22
2
yx1)y;x(f)y;x(
R1yx:)y;x(D:f)2
yx)y;x(fz)y;x(
RR:f)1
−−=
→≤+=
+==
→
2.5.2. Cựctrị có điều kiện:
a) Khái niệm: Cựctrị của hàm z =f(x;y) trên D với
điều kiện g(x;y) = 0 (2.9)
được gọi là cựctrị có điều kiện.
* Điều kiện cần để có cựctrị có điều kiện:
Giả ... 1
10
10
00
2
1
0
0
0
0
122
≤≠
>=⇒
≠∀+≤
→
→
→
→
−
tkhi)y;x(fLim
tkhi)y;x(fLim
);()y;x()yx()y;x(f
y
x
y
x
t
t
Chương 2. Hàmnhiềubiến số
2.1. Các khái niệm cơ bản:
2.1.1. Định nghĩa hàmnhiềubiến số:
* Định nghĩa:
u= f(M). x
1
; x
2
; ; x
n
; D;
{ }
)n,1i(Rx:)x; ... hạn lặp của hàm n biến số:
Cho hàmsố u = f(x
1
; x
2
; . ; x
n
) có tập xác định D
f
;
M
o
( x
1o
; x
2o
; .; x
no
).
Cố định x
j
khác x
jo
, ta tính giới hạn lặp của hàm n -1
biến x
1
;...
... thông dụng 26
2.2.1. Hàm lồi và hàm tựa lồi 27
2.2.2. Hàm lõm và hàm tựa lõm 29
2.3. Vi phân của hàmsố 30
2.3.1. Hàm một biến 31
2.3.2. Hàmnhiềubiến 32
2.3.3. Hàm thuần nhất 36
Chương ... 2).
Với hàm một hay nhiều biến, cực tiểu địa phương của hàm lồi (lồi chặt)
luôn trùng với cực tiểu toàn cục của hàm đó và cực đại địa phương của hàm lõm
(lõm chặt) luôn trùng với cực đại toàn ... về hàm thực nhiềubiếnsố
và một số tập liên quan mật thiết với hàm (đồ thị, các tập mức), đồng thời phân
tích các hàm thường gặp trong nghiên cứu kinh tế và tối ưu hoá (hàm lồi, lõm,
hàm...
... lµ(
∆
):
)33()3(
22
+−−−−=
mmxmy
Cực trịhàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1 .Hàm số
dcxbxaxxfy
+++==
23
)(
(
0
a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy
++==
23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàmsố
)(xfy
=
có cựctrị ... )24()1(
3
2
)(
223
+++++=
1.Tìm m để hàmsố có cực đại và cực tiểu.
2.Tìm m để hàmsố đạt cựctrị tại ít nhất 1 điểm >1.
3.Gọi các điểm cựctrị là x1,x2.tìm max của A=
)21(221 xxxx
+
Giải:
Đạo hàm
34)1(22)('
22
+++++=
mmxmxxf
1 ... 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàmsố :
)12()6(
3
1
23
++++=
mxmmxxy
có cực đại và cực tiểu
Giải :Hàm số có cực đại và cực tiểu
phơng trình
0)('
=
xy
...
... 0)2()('
2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cựctrị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại ,cực tiểu của hàmsố
863)(
23
+=
xxxxf
Giải:
.Ta ...
73
−=
xy
Cựctrịhàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1 .Hàm số
dcxbxaxxfy
+++==
23
)(
(
0
a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy
++==
23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàmsố
)(xfy
=
có cựctrị ... dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
+++=
xaxaaxxf
1.CMR :hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàmsố đạt cựctrị tại x1,x2.CMR:x1
2
+x2
2
18
Giải:
1.Xét...
... là giá trịcực tiểu của hàmsố
( )
f x
.
Giá trịcực đại và giá trịcực tiểu được gọi chung là cực trị
II. Điều kiện để hàmsố có cực trị
1) Điều kiện cần
Giả sử hàmsố
( )
f x
đạt cựctrị tại ... để hàmsố
4 2
2y x mx= − +
có ba cực trị.
Đáp số:
0m >
.
2) Cho hàmsố
( )
4 2
1 2 1y m x mx m= − − + −
. Định m để hàmsố có đúng một cực trị.
Đáp số:
0 1m m≤ ∨ ≥
.
3) Cho hàmsố ... Với giá trị nào của tham số m thì hàmsố có cực
đại và cực tiểu đồng thời giá trịcực đại và giá trịcực tiểu cùng dấu.
Đáp số:
2 2 3 2 2 3m m< − − ∨ > − +
.
Bài 8. 1) Cho hàmsố
3 2
3...
... tìm cựctrị của hàmsố khi m=0
b) Tìm m để hàmsố có cực đại, cực tiểu.
Bài 11: Cho hàm số: y=(m+2)x
3
+3x
2
+mx-5.
a) Xét tính đơn điệu và tìm cựctrị của hàmsố khi m=0
b) Tìm m để hàmsố có cực ... m để hàmsố có hai cựctrị thuộc khoảng (-1; 1)
b, Định m để hàmsố có cực đại, cực tiểu thoả mÃn x
1
+2x
2
= 1
Bài 7: Cho hàmsố y =x
3
-3x
2
+3mx+1-m
a, Tìm m để hàmsố có cực đại và cực tiểu
b, ... cựctrị của hàmsố khi m=3
b) Xác định m để hàmsố có cực trị. Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu.
Bài 19: Cho hàm số:
2
x mx 2m 4
y
x 2
+ +
=
+
a) Xét tính đơn điệu và tìm cựctrị của hàm...
... +
=
+
cmr m hàmsố có cực đại cực tiểu và tính khoảng
cách giữa 2 điểm cựctrị đó bằng
20
Bài 4 cho hàmsố
1
y mx
x
= +
tìm m để hàmsố có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực
tiểu đến ... để hàmsố có cực đại cực tiểu
Bài 2 cho hàmsố
( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + +
tìm m để hàmsố có cực đại cực tiểu
Bài 3 cho hàmsố
( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= + + + +
tìm m để hàm ... cho hàmsố
( )
3 2 2
3 3 1y x mx m x m= + +
tìm m để hàmsố có cực tiểu tại x= 2
Bài 6 cho hàmsố
( )
3 2
3 1 1y mx mx m x= +
tìm m để hàmsố ko có cực đại cực tiểu
Bài 7: cho hàmsố
3
3...
... để hàmsố có cực đại và cực tiểu .
c) Tìm m để hàmsố có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương .
d) Tìm m để hàmsố có cực đại và cực tiểu tại
1
x
và
2
x
sao cho
1 2
2 1x x+ =
e)Tìm m đđđể hàm ... Xác định các giá trị của m để hàmsố có cực
trị. Tìm m để tích các giá trịcực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất
43/ Xác định m để hàmsố
424
22 mmmxxy
++−=
có cực đại, cực tiểu lập thành ... OM
1
M
2
bng 6
68/ Cho hàmsố
2
( 1) 3
1
x m x m
y
x
+ +
=
.tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàmsố có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàmsố đối xứng nhau qua...
... điểm cực tiểu.
•
Đạo hàm y’ không đổi dấu qua nghiệm kép
•
Nếu x
0
là điểm cựctrị của hàmsố thì f(x
0
) là giá trịcực trị,
M(x
0
; f(x
0
)) là điểm cựctrị của đồ thị hàm số.
Điểm cựctrị ... ≤
Điểm cựctrị của hàmsố
Tóm tắt lý thuyết
Ví dụ minh họa (tt) - Ví dụ 2
Cho hàmsố Giá trị nào của m để hàmsố
đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải
Hàm số đạt cực đại tại
Vậy m = 2 thì hàmsố ... 0
=
⇔
<
Điểm cựctrị của hàmsố
Ví dụ minh họa (tt) – Ví dụ 5
Cho hàmsố . Tìm m để hàmsố có cực đại, cực tiểu nằm về 2
phía đối với Oy
Lời giải
để hàmsố có cực
đại, cực tiểu nằm về...
... BÀI TOÁN 3 (CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) và đường ...
)
A
B
x(
x2x55
x512
A
B
2
A
B
55
A
B5
12
d
22
=
−+
+
=
−
+
+
=
Ta có
5x2x5
)1x10x25(4
d
2
2
2
+−
++
=
Hàmsố
5x2x5
1x10x25
)x(f
2
2
+−
++
=
đạt GTLN là :
5
13
xkhi
6
35
=
Vậy
5
13
A
B
xkhi
3
70
dmad)
6
35
(4dmax
2
===⇒=
.
...
... được gọi là giá trịcực tiểu của hàmsố
( )
f x
.
gọi chung là giá trịcựctrị của hàm số
II. Điều kiện để hàmsố có cực trị
1) Điều kiện cần
Gỉa sử hàmsố
( )
f x
đạt cựctrị tại điểm
0
x
. ... dể hàmsố
4 2
2y x mx= − +
có ba cực trị.
Đáp số :
0m
>
.
2) Cho hàmsố
( )
4 2
1 2 1y m x mx m= − − + −
. định m để hàmsố có đúng một cực trị.
Đáp số :
0 1m m≤ ∨ ≥
.
3) Cho hàmsố ... với giá trị nào của tham số m thì hàmsố có
cực đại và cực tiểu đồng thời giá trịcực đại và giá trịcực tiểu cùng dấu .
Đáp số :
2 2 3 2 2 3m m< − − ∨ > − +
.
Bài 8. 1) Cho hàmsố
3...
... 0)2()('
2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cựctrị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại ,cực tiểu của hàm số
863)(
23
+=
xxxxf
Giải:
.Ta ... )24()1(
3
2
)(
223
+++++=
1.Tìm m để hàmsố có cực đại và cực tiểu.
2.Tìm m để hàmsố đạt cựctrị tại ít nhất 1 điểm >1.
3.Gọi các điểm cựctrị là x1,x2.tìm max của A=
)21(221 xxxx
+
Giải:
Đạo hàm
34)1(22)('
22
+++++=
mmxmxxf
1 ... dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
+++=
xaxaaxxf
1.CMR :hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàmsố đạt cựctrị tại x1,x2.CMR:x1
2
+x2
2
18
Giải:
1.Xét...
... <
<
Giá trịcựctrị của hàmsố
Tóm tắt lý thuyết
Cho hàmsố y = f(x), nếu x
0
là điểm cựctrị của hàmsố thì f(x
0
) gọi là giá
trị cựctrị của hàmsố và M(x
0
; f(x
0
)) gọi là điểm cựctrị ... hàm số
a) Xác định m để hàmsố có cực trị
b) Tìm m để tích các giá trịcực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6: (ĐHSP I Khối A –2000) Cho hàmsố
Tìm m để đồ thị hàmsố có cực đại cực ... x mx x m 1
3
= − − + +
Giá trịcựctrị của hàmsố
Đối với hàm hữu tỉ . Nếu hàmsố đạt cựctrị tại x = x
0
với v’(x
0
) ≠ 0
thì
Vậy giá trịcựctrị của hàmsố là
u(x)
y
v(x)
=
0 0
0 0...