... u x u⇒ = +
PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤP
111
0
0
ax by c
a x b y c
+ + =
+ + =
111
ax by c
y f
a x b y c
+ +
′
=
÷
+ +
1 1
0
a b
a b
≠
1 1
0
a b
a b
=
Bước 1: giải hệ pt
Với cặp nghiệm ... y
− +
=
+
PHƯƠNG TRÌNHVIPHÂN
CẤP 1
Công thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp1
( )
( ) ( )
( )
∫ ∫
−
= +
∫
p x dx p x dx
y e q x e dx C
Vd:
3
1/ 'xy y x− =
2
1
'y y x
x
⇔ − =
1 1
2
dx dx
x ... (x>0, y>0)
1
Bài toán Cauchy cho ptvp cấp1
Xét ptvp cấp 1: F(x, y, y’) = 0
(1)
y’ = f(x, y) (2)Hoặc
(2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm.
Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với...
... trở thành:
2 2 2
(1 ) ' ( 1) y yp p y p+ = −
2
2 2
1 2 1
(1 ) 1
−
⇒ = = −
÷
+ +
dp y y
dy dy
p y
y y y
2
1
(1 )⇒ = +py C y
⇔ A = 1, B = 1, 2A + C = 0
⇔ A = 1, B = 1, C = −2
y
r
= ... f
1
(x)
y” + p(x)y’ + q(x)y = f
2
(x)
thì y
1
+ y
2
là nghiệm của pt
y” + p(x)y’ + q(x)y = f
1
(x) + f
2
(x)
2
1
(1 )⇒ = +py C y
2
1
' (1 )⇒ = +y y C y
1
2
1
⇒ =
+
ydy
C dx
y
2
1 2
1
ln (1 ... 4 = 0 ⇔ k = – 2 (bội p =2)
f
1
(x) = e
– 2x
111
2, 0, 0s
α β
= − = =
2 2
1
x
r
y x Ae
−
=
y” + 4y’ + 4y = f
1
(x) = e
– 2x
Thay y
r1
vào pt:
⇒A = ½
2 2
1
1
2
x
r
y x e
−
⇒ =
f(x) = e
...
... quát:
11 12 1
11
2 21 22 2 2
1 2
n
n
n n
n n nn
P P P
x y
x P P P y
x y
P P P
=
K
K
K
1
2
1
11 12 1
1
2 21 22 2
2
1 2
... nhất:
Ví dụ
1 2
2 1 2
2
(2)
3
x x
x x x
′
=
′
= − +
1 1
2
1, ,
1
P
λ
= =
÷
Trị riêng và VTR của A:
1 2
1
2, ,
1
P
λ
= =
÷
HỆ PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP1
PHƯƠNG PHÁP ...
K
K
K
1
P
2
P
n
P
1 2
11 2 2
n
t
t t
n n
X C Pe C P e C P e
λ
λ λ
= + + +L
1 2
1 2
1 2
11 1 12 2 1 2
21 1 22 2 2 2
11 2 2 2
n
n
n
t
t t
n
t
t t
n
t
t...
...
CHƯƠNG V : PHƯƠNGTRÌNHVI PHÂN
I. Phươngtrìnhviphâncấp1
II. Phươngtrìnhviphâncấp cao
III. Hệ phươngtrìnhviphân
Phương trìnhviphâncấp 1- PT vp toàn phần
Ví dụ: Tìm NTQ của pt ... =
Với x =1, y =1 ta thay vào đẳng thức trên và được C=0
Vậy nghiệm của bài toán là
3
2
y x=
Phương trìnhviphân cấp1
3
4 2 2 4 2 2
2
2 2
9. ln 1 0
10 .
11 .( 6 ) 4 ( ) 0
12 .(2 1) ( 2 1) 0
13 . arcsin
1
14. ... vẽ, ta có
1
( )
x
x
f t dt
y
=
∫
2
( )
y xy
f x
y
′
−
⇔ =
Ta gọi đây là phươngtrìnhviphâncấp1 (phương
trình chứa đạo hàm cấp1 là y’)
3
y y xy=⇔
′
−
Phương trìnhviphâncấp 1- PT tách...
...
- 12 -
Chương II: PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP CAO VÀ
HỆ PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN1PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP CAO
1.1 Định nghĩa: PTVP cấp n là phươngtrình có dạng:
()
(
)
,,', ... VỚI
HỆ SỐ HẰNG
8 .1 Định nghĩa: Hệ PTVP tuyến tính cấp một với hệ số hằng là hệ phươngtrình dạng:
()
()
()
1
111 12 211
2
211 22222
11 22
nn
nn
n
nnnnnn
dy
ayayayfx
dx
dy
ayayayfx
dx
dy
ayayayfx
dx
=++++
=++++
=++++
...
BÀI GIẢNGPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN
(Số tín chỉ: 2)
Dành cho sinh vi n : Khoa Hóa
Hệ : Tổng hợp
Khóa : 33
Năm học : 2 011 -2 012
Giảngvi n : Nguyễn Thị Phương Lan...
... e
y
+ C
1
⇒
dy
dx
= e
y
+ C
1
⇔
dy
e
y
+ C
1
= dx
❱✓♦
✳
✐ C
1
= 0 t❛ ❝♦✓✿
dy
e
y
+ C
1
=
1
C
1
e
y
+ C
1
− e
y
e
y
+ 1
dy =
1
C
1
(y −
e
y
dy
e
y
+ C
1
) =
y
C
1
−
1
C
1
ln(e
y
+ C
1
)
♥❤✉
✳
✈❫❛
✳
②✿
dx
e
y
+ ... p =
dy
dx
= sin y + C
1
cos y ⇔
dy
sin y + C
1
cos y
= dx
t✏✓❝❤ ♣❤❫❛♥ ❞✖✐ ❞✖❫❡
✓
♥✿
1
C
2
1
+ 1
ln
tg
y
2
+
1 +
1
C
2
1
−
1
C
1
−tg
y
2
+
1 +
1
C
2
1
+
1
C
1
= x + C
2
36) ●✐❛
✬
✐ ... y” (1 + y) = y
2
+ y
HD gia
’
i: ❉
✲
✕❛
✳
t y
= z(y) ⇒ z
= z
dz
dy
t❤❛② ✈❛✒♦ ♣❤✉
✳
♦
✳
♥❣ tr✏✒♥❤✿
dz
z + 1
=
dy
y + 1
⇒ z + 1 = C
1
(y + 1) ⇒ z = C
1
y + C
1
− 1 ⇔
dy
C
1
y + C
1
− 1
=...
... = 0 (11 .30)
Nghiệm của phươngtrình đặc trưng
r
2
+ pr + q = 0 (11 . 31)
Nghiệm của phươngtrình (11 .30)
r
1
, r
2
thực , r
1
≠ r
2
r
1
= r
2
= r
r
1
, r
2
= α ± iβ ,α ,β thực
1 2
r
1 2
e
x ... 1
BÀI 3
PHƯƠNG TRÌNHVIPHÂNCẤP HAI TUYẾN TÍNH
Gv TRẦN XUÂN THIỆN
Toán cao cấp 2
Ngày 03 /11 /2008
Ví dụ
•
Giải các phươngtrình sau :
1. y’’ + y’ - 2y = 1 – x
2. y’’ - 4y’ ... nghiệm phươngtrình
đặc trưng (11 . 31) thì nghiệm riêng
của (11 .32) có dạng :
Y= Q
1
(x)cosβx + R
1
(x)sinβx với
Q
1
(x), R
1
(x)là những đa thức bậc
l = max(m,n)
± iβ là nghiệm phương trình...
... ') (1 ) ' 2 1x z z xz x z xz+ = − ⇔ + =
(Tuyến tính )
1
2
1 C
z
x
x
⇔ = +
1
2
' 1y C
y x
x
⇔ = +
1
2
C
x
y C xe
−
⇔ =
Ví dụ
4
1 2
,
x x
y e y e
−
= =
4
0 1 2
x x
y C e C e
−
= +
1 2
,
x ... C
1
=C
1
(x), C
2
= C
2
(x), giải hệ
11 2 2
11 2 2
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
′ ′
+ =
′ ′ ′ ′
+ =
C x y C x y
C x y C x y f x
y
r
= C
1
(x)y
1
+ C
2
(x)y
2
MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ... = 0, B = C
C = -1/ 2, A = D
⇔
A = 0, B = -1/ 2
C = -1/ 2, D = 0
1 1
cos sin
2 2
= − −
r
y x x x
0 1 2
1 1
cos sin
2 2
x x
r
y y y C e C e x x x
−
= + = + − −
Nghiệm TQ (3):
Lưu ý:
1. Nếu f(x) = e
αx
...