Chuyên đề TÍCH PHÂN Biên soạn: Nguyễn Minh Hiếu THPT Phan Đình Phùng Đồng Hới Tháng 04 - 2012 y x O −2 2 1 y = 2x −x 2 Copyright c 2012 by Nguyễn Minh Hiếu, “All rights reserved”. Nguyễn Minh Hiếu 2 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Mục lục Chương 1. Nguyên Hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Nguyên Hàm . 5 1.1.1. Khái niệm nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp . . . . . 5 1.1.3. Tính chất của nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm. . 7 1.2.1. Phương pháp đổi biến số . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần . . . . . . . . 8 Chương 2. Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Tích Phân. 11 2.1.1. Khái niệm tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Tính chất của tích phân. . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.3. Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . 12 2.2. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân. . 13 2.2.1. Phương pháp hệ số bất định. . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2. Phương pháp đổi biến dạng 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3. Phương pháp đổi biến dạng 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.4. Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . . . . 23 2.3. Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác. 30 2.3.1. Dạng b  a sin m xcos n xdx . . . . . . . . . . . 30 2.3.2. Dạng b  a {f(sin x); cos x}dx hoặc b  a {f(cos x); sin x}dx . . . . . . . . . . 32 2.3.3. Dạng b  a  f(tan x); 1 cos 2 x  dx hoặc b  a  f(cot x); 1 sin 2 x  dx. . . . . . . . . . . . . 33 2.3.4. Dạng a  0 f(x)dx, trong đó a ∈  π 2 , π, π 4 ,  . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3. Ứng Dụng Của Tích Phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1. Tính Diện Tích Tình Phẳng. . 39 3.2. Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay. . 43 Chương 4. Một Số Bài Toán Chọn Lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1. Tích Phân Hữu Tỉ. 47 4.2. Tích Phân Vô Tỉ . 47 4.3. Tích Phân Mũ - Lôgarit. . 48 4.4. Tích Phân Lượng Giác . 49 PHỤ LỤC 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 PHỤ LỤC 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ĐÁP SỐ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu 4 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chương 1 Nguyên Hàm 1.1. Nguyên Hàm. 1.1.1. Khái niệm nguyên hàm. Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F  (x) = f(x), với mọi x thuộc K. Ví dụ 1.1. a) Hàm số F (x) = x 3 là nguyên hàm của f(x) = 3x 2 trên R vì  x 3   = 3x 2 , với mọi x ∈ R. b) Hàm số F (x) = cos x là nguyên hàm của f(x) = sin x trên R vì (sin x)  = cos x, với mọi x ∈ R. Nhận xét. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F (x) + C với C ∈ R, gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K, ký hiệu là  f(x)dx. Vậy  f(x)dx = F (x) + C (1.1) Ví dụ 1.2.  5x 4 dx = x 5 + C.  1 2 √ x dx = √ x + C.  e x dx = e x + C. Lưu ý. • Người ta cũng dùng ký hiệu  f(x)dx để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f. • Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 1.1.2. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp. Bài toán tìm nguyên hàm là bài toán ngược với bài toán tìm đạo hàm.Việc tìm nguyên hàm của một hàm số thường được đưa về tìm nguyên hàm của các hàm số đơn giản hơn. Sau đây là nguyên hàm của một số hàm số đơn giản thường gặp. 1.  0dx = C 6.  a x dx = a x ln a + C (0 < a = 1) 2.  dx = x + C 7.  cos xdx = sin x + C 3.  x α du = x α+1 α + 1 + C (α = −1) 8.  sin xdx = −cos x + C 4.  1 x dx = ln |x|+ C 9.  1 cos 2 x dx = tan x + C 5.  e x dx = e x + C 10.  1 sin 2 x dx = −cot x + C Ví dụ 1.3. a)  x 2012 dx = x 2013 2013 + C. b)  1 x 2 dx =  x −2 dx = x −1 −1 + C = − 1 x + C. c)  √ xdx =  x 1 2 dx = x 3 2 3 2 + C = 2x √ x 3 + C. d)  1 5 √ x 3 dx =  x − 3 5 dx = 5 5 √ x 2 2 + C. 5 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu 1.1.3. Tính chất của nguyên hàm. Định lý 1.2. Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì a)  [f(x) ± g(x)] dx =  f(x)dx ±  g(x)dx; b)  kf(x)dx = k  f(x)dx (k = 0). Ví dụ 1.4. a)   2x 3 − 3x 2 + 1  dx =  2x 3 dx −  3x 2 dx +  1dx = 1 2 x 4 − x 3 + x + C. b)   e x − 1 x + 2 x  dx =  e x dx −  1 x dx +  2 x dx = e x − ln |x|+ 2 x ln 2 + C. c)  x 2 − 3x + 1 x dx =   x − 3 + 1 x  dx =  xdx −  3dx +  1 x dx = 1 2 x 2 − 3x + ln |x| + C. d)  3sin 2 x − 4cos 2 x sin 2 xcos 2 x dx =   3 cos 2 x − 4 sin 2 x  dx = 3  1 cos 2 x dx−4  1 sin 2 x dx = 3 tan x+4 cot x+C. Ví dụ 1.5. Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f(x) = 4x 3 − 3x 2 + 2, biết F (−1) = 3. Lời giải. Ta có  f(x)dx =  (4x 3 − 3x 2 + 2)dx = x 4 − x 3 + 2x + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của f(x) nên có dạng F(x) = x 4 −x 3 + 2x + C. Mặt khác F (−1) = 3 ⇒ C = 3. Do đó F (x) = x 4 −x 3 + 2x + 3. Ví dụ 1.6. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) = 1 x thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) = 1 F (x) + 1 −1. Lời giải. Ta có  f(x)dx =  1 x dx = ln |x| + C. Vì F (x) là một nguyên hàm của f (x) nên có dạng F (x) = ln |x|+C. Mặt khác F (1) = −1 ⇒ C = −1. Do đó F (x) = ln |x|−1. Khi đó 2F (x) = 1 F (x) + 1 −1 ⇔ 2(ln |x|−1) = 1 ln |x| −1 ⇔  ln |x| = 0 2ln 2 |x| − ln |x| − 1 = 0 ⇔  ln |x| = 1 ln |x| = − 1 2 ⇔  x = ±e x = ± 1 √ e (thỏa mãn). Vậy x = ±e và x = ± 1 √ e . BÀI TẬP 1.1. Tìm các họ nguyên hàm sau a)   x 7 + 4x 3 − √ x  dx. b)   3 √ x + 1 − 1 √ x  dx. c)   3x 2 + 1  (2x − 3) dx. d)  √ x  √ x − 2x  (x + 1) dx. e)   3 sin x + 2 x  dx. f)   3 cos x − 3 x−1  dx. 1.2. Tìm các họ nguyên hàm sau a)  x + √ x + 1 3 √ x dx b)  x 3 + 5x 2 − 3x + √ x x √ x dx. c)  4 x + 1 2 x dx. d)  2 x − 1 e x dx. e)  tan 2 xdx. f)  1 sin 2 xcos 2 x dx. 1.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau a) f(x) = 2 − x 2 , biết F (2) = 7 3 . b) f(x) = x − 1 x 2 + 2, biết F (1) = 2. c) f(x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = 1. d) f(x) = 3 √ x + x 3 + 1, biết F (1) = 2. e) f(x) = ax + b x 2 , biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5. 6 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chương 1. Nguyên Hàm 1.2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm. 1.2.1. Phương pháp đổi biến số. Định lý 1.3. Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là  f(u)du = F (u) + C thì  f [u(x)] u  (x)dx = F [u(x)] + C (1.2) Nhận xét. Trong thực hành công thức (1.2) thường được viết như sau  f [u(x)] u  (x)dx =  f [u(x)] du(x) = F [u(x)] + C (1.3) Đặc biệt vì d(Ax + B) = Adx ⇒ dx = 1 A d(Ax + B) nên ta có  f (Ax + B) dx =  f (Ax + B) 1 A d(Ax + B) = 1 A F (Ax + B) + C (1.4) Ví dụ 1.7. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  (3x + 3) 9 dx. b) I =  7 2 − 9x dx. c) I =   e 3x+1 + cos 5x  dx. d) I =  4x − 1 2x + 1 dx. e) I =  sin 2 xdx. f) I =  sin 5x sin xdx. Lời giải. a) I = 1 3  (3x + 3) 9 d(3x + 3) = 1 3 (3x + 3) 10 10 + C = 1 30 (3x + 3) 10 + C. b) I = − 1 9  7 2 − 9x d(2 − 9x) = − 7 9 ln |2 − 9x| + C. c) I =  e 3x+1 dx +  cos 5xdx = 1 3  e 3x+1 d(3x + 1) + 1 5  cos 5xd (5x) = 1 3 e 3x+1 + 1 5 sin x + C. d) I =   2 − 3 2x + 1  dx =  2dx − 1 2  3 2x + 1 d(2x + 1) = 2x − 3 2 ln |2x + 1| + C. e) I =  1 − cos 2x 2 dx =   1 2 − 1 2 cos 2x  dx = 1 2  dx − 1 4  cos 2xd (2x) = 1 2 x − 1 4 sin 2x + C. f) I = 1 2  (cos 4x − cos 6x) dx = 1 8  cos 4xd (4x) − 1 12  cos 6xd (6x) = 1 8 sin 4x − 1 12 sin 6x + C Ví dụ 1.8. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  x(x 2 + 1) 2012 dx. b) I =  tan xdx. c) I =  e x e x + 1 dx. d) I =  √ 1 + ln x x dx. e) I =  cos 5 xdx. f) I =  x √ x 2 + 1 dx. Lời giải. a) I = 1 2  (x 2 + 1) 2012 d(x 2 + 1) = 1 2 (x 2 + 1) 2013 2013 + C = (x 2 + 1) 2013 4026 + C. b) I =  sin x cos x dx = −  1 cos x d (cos x) = −ln |cos x| + C. c) I =  1 e x + 1 d (e x + 1) = ln |e x + 1| + C. d) I =  (1 + ln x) 1 2 d (1 + ln x) = (1 + ln x) 3 2 3 2 + C = 2 (1 + ln x) √ 1 + ln x 3 + C. e) I =  cos 4 x cos xdx =   1 − sin 2 x  2 d (sin x) = sin x − 2sin 3 x 3 + sin 5 x 5 + C. f) C1: I = 1 2   x 2 + 1  − 1 2 d  x 2 + 1  = 1 2  x 2 + 1  1 2 1 2 + C =  x 2 + 1 + C. C2: I =  d   x 2 + 1  =  x 2 + 1 + C. 7 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Ví dụ 1.9. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  x (x − 1) 2012 dx. b) I =  x 3 x 2 + 1 dx. c) I =  x 5  x 3 + 1dx. d) I =  e 2x √ e x + 1 dx. e) I =  2 ln x − 1 x ln x dx. f) I =  sin 3 x √ 1 + cos xdx. Lời giải. a) Đặt u = x − 1 ⇒ du = dx. Ta có I =  (u + 1)u 2012 du =   u 2013 + u 2012  du = u 2014 2014 + u 2013 2013 + C = (x − 1) 2014 2014 + (x − 1) 2013 2013 + C b) Đặt u = x 2 + 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có I =  x 2 x x 2 + 1 dx = 1 2  u − 1 u du = 1 2   1 − 1 u  du = 1 2 (u − ln |u|) + C = 1 2  x 2 + 1  − 1 2 ln  x 2 + 1  + C c) Đặt u = √ x 3 + 1 ⇔ u 2 = x 3 + 1 ⇒ 2udu = 3x 2 dx. Ta có I =  x 3 x 2  x 3 + 1dx =   u 2 − 1  u 2u 3 du = 2 3   u 4 − u 2  du = 2 3  u 5 5 + u 3 3  + C = 2  √ x 3 + 1  5 15 + 2  √ x 3 + 1  3 9 + C d) Đặt u = √ e x + 1 ⇔ u 2 = e x + 1 ⇒ 2udu = e x dx. Ta có I =  e x .e x √ e x + 1 dx =  u 2 − 1 u 2udu = 2   u 2 − 1  du = 2  u 3 3 − u  + C = 2  √ e x + 1  3 3 − 2 √ e x + 1 + C e) Đặt u = ln x ⇒ du = 1 x dx. Ta có I =  2u − 1 u du =   2 − 1 u  du = 2u − ln |u| + C = 2 ln x − ln |ln x| + C f) Đặt u = √ 1 + cos x ⇔ u 2 = 1 + cos x ⇒ 2udu = −sin xdx. Ta có I =  sin 2 x sin x √ 1 + cos xdx =   1 − cos 2 x  √ 1 + cos x sin xdx = −   1 −  u 2 − 1  2  u.2udu = −   −u 4 + 2u 2  2u 2 du = 2   u 6 − 2u 4  du = 2  u 7 7 − 2u 5 5  + C = 2  √ 1 + cos x  7 7 − 4  √ 1 + cos x  5 5 + C 1.2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần. Định lý 1.4. Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì  u(x)v  (x)dx = u(x)v(x) −  v(x)u  (x)dx (1.5) 8 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Chương 1. Nguyên Hàm Công thức (1.5) gọi là công thức lấy nguyên hàm từng phần và được viết gọn dưới dạng  udv = uv −  vdu (1.6) Ví dụ 1.10. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  (x − 1) e x dx. b) I =  x cos xdx. c) I =  x 2 ln xdx. d) I =  ln (2x + 1) dx. e) I =  x 2 e 2x−1 dx. f) I =  e x sin xdx. Lời giải. a) Đặt  u = x − 1 dv = e x dx ⇒  du = dx v = e x . Ta có I = (x − 1)e x −  e x dx = (x − 1)e x − e x + C = (x − 2)e x + C b) Đặt  u = x dv = cos xdx ⇒  du = dx v = sin x . Ta có I = x sin x −  sin xdx = x sin x + cos x + C c) Đặt  u = ln x dv = x 2 dx ⇒  du = 1 x dx v = x 3 3 . Ta có I = x 3 3 ln x −  x 3 3 1 x dx = x 3 3 ln x − 1 3  x 2 dx = x 3 3 ln x − x 3 9 + C d) Đặt  u = ln(2x + 1) dv = dx ⇒  du = 2 2x+1 dx v = x . Ta có I = x ln(2x + 1) −  2x 2x + 1 dx =   1 − 1 2x + 1  dx = x − 1 2 ln |2x + 1| + C e) Đặt  u = x 2 dv = e 2x−1 dx ⇒  du = 2xdx v = 1 2 e 2x−1 . Ta có I = 1 2 x 2 e 2x−1 −  xe 2x−1 dx = 1 2 x 2 e 2x−1 − I 1 Đặt  u = x dv = e 2x−1 dx ⇒  du = dx v = 1 2 e 2x−1 . Ta có I 1 = 1 2 xe 2x−1 − 1 2  e 2x−1 dx = 1 2 xe 2x−1 − 1 4 e 2x−1 + C Vậy I = 1 2 x 2 e 2x−1 −  1 2 xe 2x−1 − 1 4 e 2x−1  + C = 1 4  2x 2 − 2x + 1  e 2x−1 + C. f) Đặt  u = e x dv = sin xdx ⇒  du = e x dx v = −cos x . Ta có I = −e x cos x +  e x cos xdx = −e x cos x + I 1 Lại đặt  u = e x dv = cos xdx ⇒  du = e x dx v = sin x . Ta có I 1 = e x sin x −  e x sin xdx = e x sin x − I Vậy I = −e x cos x + e x sin x − I ⇔ I = 1 2 e x (sin x − cos x) + C. 9 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu BÀI TẬP 1.4. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  √ 3x − 1dx. b) I =  1 4x 2 + 4x + 1 dx. c) I =  4x 2 − x + 3 2x + 1 dx. d) I =  1 √ 3x + 1 + √ 3x − 1 dx. e) I =  tan 2 xdx. f) I =  cos 7x cos xdx. g) I =  sin 4 xdx. h) I =  1 1 + cos x dx. i) I =  1 cos 4 x dx. 1.5. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  x 1 + x 2 dx. b) I =  sin 3 xdx. c) I =  sin 3 x cos x dx. d) I =  1 e −x + 1 dx. e) I =  ln x(1 − 3 ln x) x dx. f) I =  1 x(ln 2 x − 4 ln x + 4) dx. 1.6. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  x 2 (1 − x) 100 dx. b) I =   x  x 2 + 1  5 dx. c) I =  x 5 − 2x 2 x 3 + 1 dx. d) I =  sin 2xe sin 2 x dx. e) I =  1 e x + e −x + 2 dx. f) I =  1 x ln x. ln(ln x) dx. 1.7. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I =  xe x dx. b) I =  (2x − 1) sin 2xdx. c) I =  x 3 ln xdx. d) I =  ln  x 2 + 2x  dx. e) I =  x 2 cos xdx. f) I =  e x cos 2xdx. 10 www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... Pháp Tính Tích Phân 2.2.1 Phương pháp hệ số bất định Mệnh đề 2.3 Mọi đa thức bậc n, (n ≥ 3) đều phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức ∆ < 0 www.MATHVN.com 13 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu b f (x) dx, trong đó bậc f (x) < bậc g(x) g(x) Bài toán 2.2 Tính tích phân I = a Phương pháp Phân tích tích phân cần tính thành tổng hoặc hiệu của các tích phân có...www.MATHVN.com Chương 2 Tích Phân 2.1 Tích Phân 2.1.1 Khái niệm tích phân Định nghĩa 2.1 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F là một nguyên b hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân của f từ a đến b và ký hiệu là f (x)dx a Nhận xét b f (x)dx là tích phân của f trên đoạn [a; b] a) Nếu a < b thì ta gọi a b) Hiệu... 2.1 Tính các tích phân sau π 6 1 e2−5x dx a) I = 0 0 2 1 (−2x + 1)7 dx d) I = sin 2x + b) I = e) I = 0 √ 3 π dx 6 π 6 c) I = 1 dx cos2 2x 0 0 3x + 2dx f) I = −1 1 4 dx (3 − 5x)3 2.2 Tính các tích phân sau 4 a) I = 2x + √ 4 x dx b) I = 2 1 1 π 2 d) I = 1 x+ x cos 3x cos xdx e) I = π 2 2 dx x2 − 3x + 3 dx x−2 c) I = x x cos dx 2 2 0 1 x(x − 1)2009 dx f) I = 0 0 1 + sin 0 2.3 Tính các tích phân sau 4 |3... 2 1 c) I = 0 www.MATHVN.com 28 1 dx (x + 3) (x + 1)2 2 www.MATHVN.com Chương 2 Tích Phân 2.6 Tính các tích phân sau 1 dx (a > 0) 2 + x2 a a) I = 2a a 2 a √ b) I = 0 0 2 1 x dx 4+1 x d) I = c) I = x 2 4− x2 dx x 2a √ 3 √ e) I = 0 1 dx (a > 0) 2 − x2 a 3 1 x2 dx (a > 0) − a2 1 − x2 dx 1 + x2 f) I = 0 √ 0 2.7 Tính các tích phân sau 5 2 a) I = x 2x − x2 dx 2 −x2 + 4x + 5dx b) I = 2 0 1 2 x dx 4 + x2 +... sin 2x ln 1 + cos2 x dx f) I = 0 2.3 Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác b sinm xcosn xdx 2.3.1 Dạng a Phương pháp • Nếu m lẻ thì đặt u = cos x • Nếu m, n dương chẵn thì hạ bậc • Nếu m = 0 và n âm chẵn thì đặt u = tan x • Nếu n lẻ thì đặt u = sin x • Nếu n = 0 và m âm chẵn thì đặt u = cot x www.MATHVN.com 30 www.MATHVN.com Chương 2 Tích Phân Ví dụ 2.14 Tính các tích phân sau π 4 π 4 sin2 xdx a) I = π 2... các tích phân sau 1 1 √ dx (1 + x3 ) 3 1 + x3 a) I = 1 2 1 b) I = (1 + √ − 3 1 x4 dx 2011x + 1 d) I = 1 1 π 4 dx + x2 ) dx 1 f) I = −π 4 −1 (1 + ex ) (1 −1 sin6 x + cos6 x dx 1 + 6x e) I = 1 c) I = x2 )3 ln x + x2 + 1 dx −1 2.9 Tính các tích phân sau 0 1 2012 x(x − 1) a) I = dx 1 2 b) I = (x + 1) x + 2x + 2 −1 1 0 1 5x d) I = (x2 + 4) 0 2 dx e) I = 0 2012 0 1 x3 (x2 + 1) 3 dx f) I = 0 2.10 Tính các tích. .. tích phân I = u(x).v (x)dx a Phương pháp u = u(x) • Đặt ⇒ dv = v (x)dx du = u (x)dx v = v (x)dx (chọn C = 0) b • Khi đó I = uv|b a − vdu a Lưu ý Trong tích phân từng phần ta thường gặp các trường hợp sau {P (x); ex } dx •I= •I= u = P (x) P (x); sin x, cos x, 1 1 , 2 x sin2 x cos dx u = P (x) •I= {P (x); ln x} dx u = ln x •I= {ex ; sin x, cos x} dx u = ex hoặc u = sin x, cos x Ví dụ 2.11 Tính các tích. .. + c B C (2a2 x + b2 ) A • + + (tam thức vô nghiệm) = 2+b x+c ) 2+b x+c (a1 x + b1 )(a2 x a1 x + b1 a2 x a2 x2 + b2 x + c2 2 2 2 2 Sau khi phân tích như trên ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số hoặc phương pháp trị số riêng để tìm A, B, C, Ví dụ 2.4 Tính các tích phân sau 5 1 1 dx (x − 2) (x + 1) a) I = b) I = 3 1 d) I = 0 2 3x − 1 dx 2 + 6x + 9 x e) I = 0 1 5x − 13 dx x2 − 5x + 6 c) I = x4 dx −1 x2... đổi biến dạng 1 b Bài toán 2.3 Tính tích phân I = f (x)dx a Phương pháp • Đặt x = ϕ(t) ⇒ dx = ϕ (t)dt • Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b) β • Khi đó I = f (ϕ(t)) ϕ (t)dt α Lưu ý π π x = |a| tan t, t ∈ − ; 2 2 |a| π π x2 − a2 : x = t∈ − ; \ {0} sin t 2 2 • a2 + x2 : • • a2 − x2 : π π x = |a| sin t t ∈ − ; 2 2 Ví dụ 2.6 Tính các tích phân sau 1 1 1 dx 1 + x2 a) I = b)... pháp đổi biến dạng 2 b Bài toán 2.4 Tính tích phân I = f [u(x)] u (x)dx a Phương pháp • Đặt u = u(x) ⇒ du = u (x)dx • Đổi cận: x = a ⇒ u = u(a); x = b ⇒ u = u(b) b • Khi đó I = f (u) du a Lưu ý u(x) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit www.MATHVN.com 19 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Ví dụ 2.8 Tính các tích phân sau 1 1 3 a) I = x 1+x 4 3 dx b) I