GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013 Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và 1x y z+ + ≤ . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z + + + + + ≥ ĐS : 1 3 x y z= = = Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 4y x x= + − ĐS : [ ] 2;2 Maxy (2) 2 2y − = = ; [ ] 2;2 Miny ( 2) 2y − = − = − Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2]. 2 1 1 x y x + = + ĐS : [ ] 1;2 Maxy (1) 2y − = = ; [ ] 1;2 Miny ( 1) 0y − = − = Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 3 1;e     . 2 ln x y x = ĐS : 3 2 2 1; 4 Maxy ( ) e y e e     = = ; 3 1; Miny (1) 0 e y     = = Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4 x y z + + = . Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + ĐS : 3 4 x y z= = = Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi x R ∈ , ta có . 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       . Khi nào đẳng thức xảy ra? ĐS : 0x = Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng : 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 yz x y y z z x xy zx + + + + + + + + ≥ .Khi nào đẳng thức xảy ra? ĐS : 1x y z= = = Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 2 2 ( )x y xy x y xy + = + − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 A x y = + . ĐS : 1 ax 16 2 M A x y= ⇔ = = Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 ( 1) ( 1) | 2 |A x y x y y = − + + + + + − ĐS : 1 2 3 0; 3 MinA x y= + ⇔ = = Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z y z x z x y P y y z z z z x x x x y y + + + = + + + + + ĐS : 2 1MinP x y z= ⇔ = = = Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z P x y z yz zx xy = + + + + + ĐS : 9 1 2 MinP x y z= ⇔ = = = Bài 12 (ĐH D2007) Cho 0a b≥ > . Chứng minh rằng : 1 1 2 2 2 2 b a a b a b     + ≤ +  ÷  ÷     Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2( 6 ) 1 2 2 x xy P xy y + = + + . ĐS : 3 1 ; 10 10 MaxP 3 3 1 ; 10 10 x y x y  = =   = ⇔  = − = −   ; 3 2 ; 13 13 MinP 6 3 2 ; 13 13 x y x y  = = −   = − ⇔  = − =   Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 ( )(1 ) (1 ) (1 ) x y xy P x y − − = + + . ĐS : 1 1 MaxP 1; 0;MinP 0; 1 4 4 x y x y= ⇔ = = = − ⇔ = = Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz, ta có: (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z) 3 ĐS : x y z= = Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y) 3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) – 2(x 2 + y 2 ) + 1 ĐS : 9 1 MinA 16 2 x y= ⇔ = = Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy. ĐS : 2 3 25 1 191 4 MaxS ;MinP 2 2 16 2 3 4 x x y y  + =   = ⇔ = = = ⇔  −  =   hoặc 2 3 4 2 3 4 x y  − =    +  =   Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3( ) 3( ) 2a b b c c a ab bc ca a b c+ + + + + + + + ĐS : MinM 2 ( , , )a b c= ⇔ là một trong các bộ số : (1;0;0),(0;1;0),(0;0;1) Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 2 4 21 3 10x x x x− + + − − + + ĐS : 1 Miny 2 3 x= ⇔ = Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu biểu thức 2 3 x y z P x y y z z x = + + + + + ĐS : 34 MinP 4; 1; 2 33 x y z= ⇔ = = = Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : 2 2 2( ) ( )( 2)a b ab a b ab+ + = + + . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 3 3 2 2 4 9 a b a b P b a b a     = + − +  ÷  ÷     . ĐS : 2 23 MinP 1 4 a b =  = − ⇔  =  hoặc 1 2 a b =   =  Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ] 0;2 . 2 2 3 3 1 x x y x + + = + ĐS : [ ] 0;2 Miny (0) 3y= = ; [ ] 0;2 17 Maxy (2) 3 y= = Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 3 3 3 6 6 6 x y y z z x P x y z − − − = + + − + + . ĐS : MinP 3 0x y z= ⇔ = = = Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện 0x y z+ + = và 2 2 2 1.x y z+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5 .P x y z= + + ĐS : 5 6 6 6 MaxP ; 36 3 6 x y z= ⇔ = = = − Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4) 2 + (y – 4) 2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 3 + y 3 + 3(xy – 1)(x + y – 2). ĐS : 17 5 5 1 5 MinA 4 4 x y − + = ⇔ = = Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 (a c)(b c) 4c+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 3 3 32a 32b a b P (b 3c) (a 3c) c + = + − + + ĐS : MinP 1 2 1x y= − ⇔ = = Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 2 4 9 P (a b) (a 2c)(b 2c) a b c 4 = − + + + + + + ĐS : 5 MaxP 2 8 a b c= ⇔ = = = Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1≤ − . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 x y x 2y P 6(x y) x xy 3y + − = − + − + ĐS : 5 7 1 MaxP ; 2 3 30 2 x y= + ⇔ = = Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ] 0;2 . 2 2 3 3 ( ) 1 x x f x x − + = + ĐS : [ ] 0;2 Minf(x) (1) 1f= = ; [ ] 0;2 Maxf(x) (0) 3f= =