Tài liệu Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P3 ppt

50 701 5
Tài liệu Bài tập giải tích nâng cao dịch Đoàn Chi P3 ppt

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

3.2. Chuỗi hàm và sự hội tụ đều 93 3.2.32. Cho f(x)= 1 X n=1 (Ă1) n+1 1 p n arctan x p n ;x2 R; Chứng minh rằng f khả vi liên tục trên R . 3.2.33. Chứng minh hàm f(x)= 1 X n=1 sin (nx 2 ) 1+n 3 ;x2 R; khả vi liên tục trên R . 3.2.34. Cho f(x)= 1 X n=1 p n(tan x) n ;x2 (Ă ẳ 4 ; ẳ 4 ): Chứng minh f khả vi liên tục trên (Ă ẳ 4 ; ẳ 4 ): 3.2.35. Định nghĩa f(x)= 1 X n=0 e Ănx 1+n 2 ;x2 [0; 1): Chứng minh rằng f 2 C([0; 1)) , f 2 C 1 (0; 1) và f 0 (0) không tồn tại. 3.2.36. Hy chỉ ra rằng hàm f(x)= 1 X n=1 jxj x 2 + n 2 liên tục trên R .Nócókhảvitrên R không? 3.2.37. Chứng minh rằng hàm Riemann xác định bởi (x)= 1 X n=1 1 n x thuộc C 1 (1; 1) . 94 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm 3.2.38. Giả thiết rằng f 2 C 1 ([0; 1]) thoả mnnhữngđiềukiệnsau: (1) f 6 0 , (2) f (n) (0) = 0 với n =0; 1; 2;:::; (3) với mỗi dysốthực fa n g , chuỗi 1 P n=1 a n f (n) (x) hội tụ đều trên [0; 1]: Chứng minh rằng lim n!1 n!a n =0: 3.2.39. Với x 2 R đặt f n (x) là khoảng cách từ x đến phân số gần nhất có mẫu số là n (tử số và mẫu số không nhất thiết phải là nguyên tố cùng nhau). Tìm tất cả x 2 R để chuỗi 1 P n=1 f n (x) hội tụ. 3.2.40. Cho g(x)=jxj với x 2 [Ă1; 1] và mở rộng định nghĩa g cho mọi số thực x bằng cách đặt g(x +2)=g(x) . Chứng minh rằng hàm Weierstrass f xác định bởi f(x)= 1 X n=0 à 3 4 ả n g(4 n x) liên tục trên R và không khả vi tại mọi điểm. 3.3 Chuỗi luỹ thừa 3.3.1. Chứng minh rằng mỗi chuỗi luỹ thừa 1 P n=0 a n (x Ă x 0 ) n đều tồn tại R 2 [0; 1] sao cho (1) chuỗi luỹ thừa hội tụ tuyệt đối với jxĂx 0 j <R và phân kỳ với jxĂx 0 j >R , (2) R là cận trên đúng của tập h ợ p tất cả những r 2 [0; 1) để fja n jr n g là dybịchặn, (3) 1=R = lim n!1 n p ja n j (ở đây 1 0 =+1 và 1 1 =0 ). 3.3. Chuỗi luỹ thừa 95 R đợc gọi là bán k ính hội tụ của 1 P n=0 a n (x Ă x 0 ) n . 3.3.2. Xác định miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau: (a) 1 X n=1 n 3 x n ; (b) 1 X n=1 2 n n! x n ; (c) 1 X n=1 2 n n 2 x n ; (d) 1 X n=1 (2 + (Ă1) n ) n x n ; (e) 1 X n=1 à 2+(Ă1) n 5+(Ă1) n+1 ả n x n ; (f) 1 X n=1 2 n x n 2 ; (g) 1 X n=1 2 n 2 x n! ; (h) 1 X n=1 à 1+ 1 n ả (Ă1) n n 2 x n : 3.3.3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: (a) 1 X n=1 (x Ă 1) 2n 2 n n 3 ; (b) 1 X n=1 n n +1 à 2x +1 x ả n ; (c) 1 X n=1 n4 n 3 n x n (1 Ă x) n ; (d) 1 X n=1 (n!) 2 (2n)! (x Ă 1) n ; (e) 1 X n=1 p n(tan x) n ; (f) 1 X n=1 à arctan 1 x ả n 2 : 3.3.4. Chứng minh rằng nếu R 1 và R 2 lần lợt là bán kính hội tụ của 1 P n=0 a n x n và 1 P n=0 b n x n thì (a) bán kính hội tụ R của 1 P n=0 (a n + b n )x n bằng min fR 1 ;R 2 g ,nếu R 1 6= R 2 . Có thể nói gì về R nếu R 1 = R 2 ? (b) bán kính hộ i tụ R của 1 P n=0 a n b n x n thoả mn R á R 1 R 2 .Bằngvídụchỉ ra rằng bất đẳng thức là chặt. 96 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm 3.3.5. Cho R 1 và R 2 lần lợt là bán kính hội tụ của 1 P n=0 a n x n và 1 P n=0 b n x n . Chứng minh (a) nếu R 1 , R 2 2 (0; 1) thì bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 X n=0 a n b n x n ;b n 6=0;n =0; 1; 2;:::; thoả mn R R 1 R 2 , (b) bán kính hội tụ R của chuỗi tích Cauchy ( xem I, 3.6.1) của những chuỗi đ cho thoả mn R á min fR 1 ;R 2 g . Bằng ví dụ chỉ ra rằng các bất đẳng thức (a) và (b) là chặt. 3.3.6. Tìm bán kính hội tụ R của 1 P n=0 a n x n ,nếu (a) có đ và L>0 sao cho lim n!1 ja n n đ j = L , (b) tồn tại các s ố dơng đ và L sao cho lim n!1 ja n đ n j = L , (c) lim n!1 ja n n!j = L; L 2 (0 ; 1) . 3.3.7. Giả sử rằng bán kí nh hội tụ của 1 P n=0 a n x n là R và 0 <R<1 .Ước lợng bán kính hội tụ của: (a) 1 X n=0 2 n a n x n ; (b) 1 X n=0 n n a n x n ; (c) 1 X n=0 n n n! a n x n ; (d) 1 X n=0 a 2 n x n : 3.3.8. Tìm tất cả các chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên R . 3.3.9. Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ thừa 1 X n=0 x 2n+1 (2n +1)!! và chỉ ra rằng hàm tổng f củanóthoảmnphơng t rình f 0 (x)=1+xf(x);x2 (ĂR; R) . 3.3. Chuỗi luỹ thừa 97 3.3.10. Chứng minh rằng chuỗi 1 P n=0 x 3n (3n)! hội tụ trên R và hàm tổng f thoả mnphơng trình f"(x)+f 0 (x)+f(x)=e x ;x 2 R . 3.3.11. Cho R>0 là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 P n=0 a n x n và đặt S n (x)= n P k=0 a k x k ;n =0; 1; 2;::: . Chứng minh rằng nếu f là hàm tổng của chuỗi và x 0 2 (ĂR; R) sao cho S n (x 0 ) <f(x 0 );n=0; 1; 2;::: ,thì f 0 (x 0 ) 6=0 . 3.3.12. Cho fS n g là dytổngriêngcủa 1 P n=0 a n và đặt T n = S 0 +S 1 +ÂÂÂ+S n n+1 . Chứng minh nếu fT n g bị chặn thì các chuỗi luỹ thừa 1 P n=0 a n x n , 1 P n=0 S n x n , 1 P n=0 (n+1)T n x n hộitụvới jxj < 1 và 1 X n=0 a n x n =(1Ăx) 1 X n=0 S n x n =(1Ă x) 2 1 X n=0 (n +1)T n x n : 3.3.13. Cho f(x)= 1 P n=0 x 2 n ; jxj < 1 . Chứng minh rằng có số M>0 sao cho jf 0 (x)j < M 1 Ăjxj ; jxj < 1: 3.3.14. Chứng minh định lý Abel sau. Nếu 1 P n=0 a n hộitụvề L thì (1) 1 P n=0 a n x n hội tụ đều trên [0; 1] , (2) lim x!1 Ă 1 P n=0 a n x n = L . 3.3.15. Chứng minh định lý Abel tổng quát sau. Nếu fS n g là dy các tổng riêng của 1 P n=0 a n và chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n có bán kính hội tụ bằng 1 thì lim n!1 S n lim x!1 Ă f(x) lim x!1 Ă f(x) lim n!1 S n : 98 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm 3.3.16. Chứng minh định lý Tauber. Giả thiết rằng bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n bằng 1.Nếu lim n!1 na n =0 và lim x!1 Ă f(x)=L; L 2 R thì chuỗi số 1 P n=0 a n hộitụvề L . 3.3.17. Bằng ví dụ chỉ r a rằng giả thiết lim n!1 na n =0 trong định lý Tauber là không thể thiếu. 3.3.18. Giả sử rằng fa n g là dysốdơng và bán kính hội tụ của f(x)= 1 P n=1 a n x n là 1. Chứng minh lim x!1 Ă f(x) tồn tại v à hữu hạn nế u và chỉ n ếu 1 P n=1 a n hội tụ. 3.3.19. Chứng minh sự tổng quát sau của định lý Tauber. Giả thiết rằng bán kính hội tụ của 1 P n=0 a n x n bằng 1.Nếu lim n!1 a 1 +2a 2 + ÂÂÂ+ na n n =0 và lim x!1 Ă f(x)=L; L 2 R; thì chuỗi 1 P n=0 a n hội tụ về L . 3.3.20. Giả thiết rằng bán kính hội tụ của 1 P n=0 a n x n bằng 1. C hứng minh nếu 1 P n=1 na 2 n hội tụ và lim x!1 Ă f(x)=L; L 2 R thì 1 P n=0 a n hộitụvàcótổngbằng L . 3.3.21. Giả thiết a n ;b n > 0;n =0; 1; 2;:::; và các chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n ;g(x)= 1 P n=0 b n x n có cùng bán kính hộ i tụ là 1. Hơn nữa giả thiết lim x!1 Ă f(x) = lim x!1 Ă g(x)=+1 . C hứng minh nếu có lim n!1 a n b n = A 2 [0; 1) thì cũng có lim x!1 Ă f(x) g(x) = A . 3.3.22. Chứng minh kết q uả tổng quát sau của bài toán trên (3.3.21). Giả thiết cả hai chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n và g(x)= 1 P n=0 b n x n có cùng bán kính hội tụ bằng 1. Hơn nữa giả thiết rằng S n = a 0 + a 1 + ÂÂÂ+ a n và T n = b 0 + b 1 + ÂÂÂ+ b n ;n2 N đều dơng và h ai chuỗi 1 P n=0 S n và 1 P n=0 T n phân kỳ. Nếu lim n!1 S n T n = A 2 [0; 1) thì lim x!1 Ă f(x) g(x) = A . 3.4. Chuỗi Taylor 99 3.3.23. Bằng ví dụ chỉ r a rằng chiều ngợc lại của định lý trên là sai. Nghĩa là, từ lim x!1 Ă f(x) gx) = A không suy ra đợc sự tồn tại lim n!1 S n T n . 3.3.24. Cho bán kính hội t ụ của chuỗi l uỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n với các hệ số không âm là 1 và đặt lim x!1 Ă f(x)(1 Ăx)=A 2 (0; 1) . Chứng minh có các số dơng A 1 và A 2 sao cho A 1 n S n = a 0 + a 1 + ÂÂÂ+ a n A 2 n; n 2 N: 3.3.25. Chứng minh định lý Hardy v à Littlewood sau. Cho bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n với các hệ số không âm là 1 và đặt lim x!1 Ă f(x)(1 Ă x)=A 2 (0; 1) .Khiđó lim n!1 S n n = A; ởđây S n = a 0 + a 1 + ÂÂÂ+ a n . 3.3.26. Cho bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n bằng 1. Chứng minh nếu dysốfna n g bị chặn và lim x!1 Ă f(x)=L; L 2 R thì chuỗi 1 P n=0 a n hộitụvàcótổngbằng L . 3.3.27. Cho bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n bằng 1. Chứng minh rằng nếu lim x!1 Ă f(x)(1 Ăx) tồn tại và khác 0 thì fa n g không thể hộitụvề0. 3.4 Chuỗi Taylor 3.4.1. Giả thiết hàm f thuộc C 1 ([a; b]) . Chứng minh rằng nếu tất cả các đạo hàm f (n) bị chặn đều trên [a; b] thì với mỗi x và x 0 thuộc [a; b] ta đề u có f(x)= 1 X n=0 f (n) (x 0 ) n! (x Ă x 0 ) n : 100 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm 3.4.2. Định nghĩa f(x)= ẵ e Ă 1 x 2 nếu x 6=0 , 0 nếu x =0: Đẳng thức f(x)= 1 X n=0 f (n) (0) n! x n có thoả mnvới x 6=0 không? 3.4.3. Định nghĩa f(x)= 1 P n=0 cos (n 2 x) e n ;x 2 R . Chứng minh f thuộc C 1 (R) và đẳng thức f(x)= 1 X n=0 f (n) (0) n! x n chỉ thoả mntại x =0 . 3.4.4. Chứngminhrằngnếu đ 2 RnN và jxj < 1 thì (1 + x) đ =1+ 1 X n=1 đ(đ Ă 1) ÂÂÂ(đ Ă n +1) n! x n : Và nó đợc gọi là côn g t hức nhị thức Newton. 3.4.5. Chứngminhrằngvới jxj 1 ta luôn có jxj =1Ă 1 2 (1 Ă x 2 ) Ă 1 X n=2 (2n Ă3)!! (2n)!! (1 Ă x 2 ) n : 3.4.6. Chứng minh nếu chuỗi luỹ thừa 1 P n=1 a n x n có bán kính hội tụ R dơng và f(x)= 1 P n=1 a n x n với x 2 (ĂR; R) thì hàm f thuộc C 1 (ĂR; R) và a n = f (n) (0) n! ;n=0; 1; 2;:::: 3.4.7. Chứngminhrằngnếu x 0 thuộc vào khoảng hội tụ (ĂR; R);R >0 của chuỗi luỹ thừa f(x)= 1 P n=0 a n x n thì f(x)= 1 X n=0 f (n) (x 0 ) n! (x Ă x 0 ) n với jx Ă x 0 j <RĂjx 0 j: 3.4. Chuỗi Taylor 101 3.4.8. Giả thiết rằng các chuỗi 1 P n=0 a n x n và 1 P n=0 b n x n cùng hội tụ trong khoảng (ĂR; R) .Đặt A là tập tất cả x 2 (ĂR; R) mà 1 X n=0 a n x n = 1 X n=0 b n x n : Chứng minh nếu A có đi ểm tụ thuộc khoảng (ĂR; R) thì a n = b n với n = 0; 1; 2;:::: 3.4.9. Tìm chuỗi Taylor của hàm f tại điểm 0 khi f(x)=sinx 3 ;x2 R;(a) f(x)=sin 3 x; x 2 R;(b) f(x)=sinx cos 3x; x 2 R;(c) f(x)=sin 6 x +cos 6 x; x 2 R;(d) f(x)= 1 2 ln 1+x 1 Ăx ;x2 (Ă1; 1);(e) f(x)=ln(1+x + x 2 );x2 (Ă1; 1);(f) f(x)= 1 1 Ă 5x +6x 2 ;x2 (Ă1=3; 1=3);(g) f(x)= e x 1 Ă x ;x2 (Ă1; 1):(h) 3.4.10. Tìm chuỗi Taylor của các hàm f sau tại điểm x=1: f(x)=(x +1)e x ;x2 R;(a) f(x)= e x x ;x6=0;(b) f(x)= cos x x ;x6=0;(c) f(x)= ln x x ;x>0:(d) 102 Chơng 3. Dy và chuỗi hàm 3.4.11. Với jxj < 1 , thiết lập các đẳng thức sau: arcsin x = x + 1 X n=1 (2n Ă 1)!! (2n)!!(2n +1) x 2n+1 ;(a) arctan x = 1 X n=0 (Ă1) n 1 2n +1 x 2n+1 :(b) Hy dùng những đồng nhất thức trên để chỉ ra rằng ẳ 6 = 1 2 + 1 X n=1 (2n Ă 1)!! 2 2n+1 (2n)!!(2n +1) và ẳ 4 = 1 X n=0 (Ă1) n 1 2n +1 : 3.4.12. Tìm chuỗi Taylor của hàm f tại điểm 0 khi f(x)=x arctan x Ă 1 2 ln (1 + x 2 );x2 (Ă1; 1);(a) f(x)=x arcsin x + p 1 Ăx 2 ;x2 (Ă1; 1):(b) 3.4.13. Tìm tổng của những chuỗi sau: (a) 1 X n=1 (Ă1) n+1 n(n +1) ; (b) 1 X n=0 (Ă1) n n (2n +1)! ; (c) 1 X n=2 (Ă1) n n 2 + n Ă 2 ; (d) 1 X n=1 (Ă1) nĂ1 n(2n Ă 1) ; (e) 1 X n=1 (Ă1) n (2n Ă 1)!! (2n)!! ; (f) 1 X n=0 3 n (n +1) n! : 3.4.14. Tìm tổng của chuỗi 1 P n=1 ((nĂ1)!) 2 (2n)! (2x) 2n với jxj 1 . 3.4.15. Dùng công thức Taylor với phần d tích phân (xem 2.3.4) để chứng minh định lý Bernstein sau. Giả s ử f khả vi vô hạn lần trên khoảng mở I và tất cả các đạo hàm cấp cao f (n) đều không âm trên I .Khiđóhàm f là hàm giải tích thực trên I , nghĩa là với mỗi x 0 2 I có lân cận (x 0 Ă r; x 0 + r) ẵ I sao cho f(x)= 1 X n=0 f (n) (x 0 ) n! (x Ă x 0 ) n với jx Ă x 0 j <r: [...]... k1 + 2k2 + Â Â Â + nkn = n 3.4.19 Cho I, J là những khoảng mở, và f : I ! J, g : J ! R là các hàm giải tích thực trên các tập I, J tương ứng Chứng minh h = g f là hàm giải tích thực trên I 3.4.20 Cho hàm f thuộc C 1 trên khoảng mở I và (Ă1)n f (n) (x) á 0 với x 2 I và n 2 N Chứng minh rằng f là hàm giải tích thực trên I 3.4.21 áp dụng công thức Faà di Bruno để chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương... Dy và chuỗi hàm 104 3.4.22 Giả thiết rằng f là hàm giải tích thực trên khoảng mở I Chứng minh nếu f 0 (x0 ) 6= 0 với x0 2 I thì có khoảng mở J chứa x0 và hàm giải tích thực g xác định trên khoảng mở K chứa f(x0 ), hơn nữa (g f )(x) = x với x 2 J và (f g)(x) = x với x 2 K 3.4.23 Chứng minh nếu f khả vi trên (0; 1) và f Ă1 = f 0 thì f là hàm giải tích thực trên (0; 1) 3.4.24 Chứng minh rằng chỉ có... hiệu được đưa ra trong lời giải của bài tập 1.1.28, có thể chỉ ra rằng Mn+1 Ă Mn mn+1 Ă mn lim = lim = l: k n!1 n!1 n nk Bây giờ, theo định lý Stolz ( xem, chẳng hạn, I,2.3.11), 1 Mn Mn+1 Ă Mn = lim k+1 n!1 n k + 1 n!1 nk lim và mn mn+1 Ă mn 1 = lim : k+1 n!1 n k + 1 n!1 nk lim Để chứng minh khảng định của bài toán, chỉ cần áp dụng lí luận tương tự như đ được sử dụng trong hai bài toán trước 1.1.31 Đặt... 0; x 6= y: 3.4.28 Với ký hiệu trong bài toán 3.4.27, chứng minh nếu p < những số dương x và y để L(x; y) > Mp (x; y) 1 3 thì tồn tại 3.4.29 Với ký hiệu trong bài toán 3.4.27, chứng minh nếu p 0 thì L(x; y) > Mp (x; y) với x; y > 0; x 6= y: 3.4.30 Với ký hiệu trong bài toán 3.4.27, chứng minh nếu p > 0 thì tồn tại những số dương x và y để L(x; y) < Mp (x; y) Lời giải 105 Chương 1 Giới hạn và tính liên... x>x0 Đáng chú ý ở đây phân tích trên chỉ ra rằng để xác định các giới hạn một phía, chỉ cần xét các dy đơn điệu Suy luận tương tự được áp dụng cho các đẳng thức khác trong (a) và (b) (c) Giả sử f đơn điệu tăng Do f(x) á f (x0 ) với x á x0 ; f (x+ ) = inf f (x) á 0 x>x0 f (x0 ) Cũng như vậy, có thể chứng minh f (xĂ ) = sup f (x) f (x0 ) 0 x>x0 1.1.36 (a) Suy ra từ lời giải của bài toán trước rằng f (t)... ak = n n 2, thì p không tồn tại k 0 ; n0 2 N sao cho a0 k 0 = n n 2 Vì nếu vậy, ta có k n n0 Ăn = 0 2 nn0 ; k0 n mâu thuẫn Chương 3 Dy và chuỗi hàm 118 1.1.26 Không Xét hàm xác định như trong lời giải của bài toán trước Để thấy rằng hàm này thoả mn điều kiện đ cho, giả sử a; b là các số dương p p và a + bn = m m 2; a + bk = l l 2 với n; m; k; l 2 N nào đó sao cho n 6= k; m 6= l Khi đó p p p p mm2Ăl... ẵ I với x0 2 J, và có những hằng số C > 0 và ẵ > 0 sao cho n! jf (n) (x)j C n với x 2 J; ẵ thì 1 X f (n) (x0 ) f (x) = (x Ă x0 )n với x 2 (x0 Ă ẵ; x0 + ẵ) \ J: n! n=0 3.4.17 Giả thiết rằng f là hàm giải tích thực trên khoảng mở I Chứng minh với mỗi x0 2 I có khoảng mở J, với x0 2 J ẵ I, và có những hằng số dương A; B sao cho jf (n) (x)j A n! Bn với x 2 J: 3.4.18 áp dụng công thức Faà di Bruno (xem... (x)) thoả mn các giả thiết của bài toán 1.1.28 Vì vậy, ta có lim x!1 ln(f (x)) x = ln l Từ đó 1 lim (f (x)) x = eln n = l: x!+1 1.1.32 Không Xét hàm xác định bởi ( 1 1 nếu x = n ; n 2 1; 2 : : : ; f (x) = nếu ngược lại: 0 3.4 Chuỗi Taylor 121 1.1.33 Không Ta xét hàm xác định như sau ( p 1 nếu x = n 1 2 ; n 2 1; 2; : : : ; n f (x) = 0 nếu ngược lại; và tiến hành như trong lời giải của 1.1.25 1.1.34 Với... mn giả thiết của bài toán Thực vậy, nếu a 0 và a +k = nđ với k; n 2 N, thì không tồn tại k 0 ; n0 2 N khác sao cho a + k 0 = n0 đ Vì nếu vậy, ta có k Ă k 0 = (n Ă n0 )đ, mâu thuẫn Rõ ràng, lim f (x) không tồn tại x!1 1.1.25 Không Xét hàm xác định bởi ( p nếu x = n n 2; n 2 N; 1 f (x) = 0 nếu ngược lại: Giới hạn lim f (x) không tồn tại, mặc dầu f thoả mn tính chất đ cho trong x!1 p bài toán Thực vậy,... các số n!1 vô tỷ hội tụ tới x0 , thì do tính liên tục của hàm sin, lim f (zn ) = lim sin jzn j = n!1 n!1 sin jx0 j = 0 Tương tự, có thể chỉ ra rằng f liên tục tại kẳ với k 2 Z 6 1.2.2 Như trong lời giải của bài toán trước, ta có thể chứng minh rằng f chỉ liên tục tại Ă1 và 1 1.2.3 (a) Trước hết quan sát rằng nếu fxn g hội tụ tới x, với xn = pn , qn ở đây pn 2 Z và qn 2 N nguyên tố cùng nhau, và xn 6= . mở, và f : I ! J , g : J ! R là các hàm giải tích thực trên các tập I , J tơng ứng. Chứng minh h = g f là hàm giải tích thực trên I . 3.4.20. Cho hàm f thuộc C 1 trên. thiết rằng f là hàm giải tích thực trên khoảng mở I . Chứng minh nếu f 0 (x 0 ) 6=0 với x 0 2 I thì có khoảng mở J chứa x 0 và hàm giải tích thực g xác định

Ngày đăng: 21/01/2014, 19:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan