Chương 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG 2.1. Hàm đơn điệu Ký hiệu là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp hoặc với Khi hàm số xác định trên tập và thoả mãn điều kiện với mọi ta đều có thì là một hàm đơn điệu tăng trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp ta đều có thì là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên Ngược lại, khi thì là một hàm đơn điệu giảm trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Nếu xảy ra thì là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên được gọi là hàm đồng biến trên và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.1. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng (i) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. (ii) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.2. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều có Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.3. Để bất đẳng thức được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm đơn điệu tăng trên Chứng minh: Nhận xét rằng, ta có hàm số và (2.2) sẽ có dạng (2.1) với hiển nhiên được thỏa mãn ứng với là một hàm số đơn điệu tăng trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Hệ quả 2.1. Giả sử là hàm đơn điệu tăng trong Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để là một hàm đồng biến. Thật vậy, chỉ cần chọn hàm có tính chất ta dễ dàng kiểm chứng rằng (2.2’) được thoả mãn. Chẳng hạn, hàm số thoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (2.2’). Tuy nhiên, hàm không là hàm đơn điệu tăng trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Nếu bổ sung thêm điều kiện: là hàm đồng biến trên và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự: Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.4. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều có [...]... thức thực sự Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.9 Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có và Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Hệ quả 2.2 Giả thiết rằng Gọi là một hàm đồng biến trên là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có và Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG... Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.3 HÀM ĐƠN ĐiỆU TỪNG KHÚC VÀ PHÉP ĐƠN ĐIỆU HÓA HÀM SỐ • BÀI GIẢNG 2.3 Hàm đơn điệu từng khúc và phép đơn điệu hóa hàm số Trong mục này, xét các hàm số xác định trên mà trên đó hàm chỉ có hữu hạn các điểm dừng (điểm cực trị) Ví dụ 2.1 Xét hàm số Xác định các hàm số đơn điệu trong sao cho Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.3 HÀM ĐƠN ĐiỆU TỪNG KHÚC VÀ PHÉP ĐƠN ĐIỆU... biểu thức trong và Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.3 HÀM ĐƠN ĐiỆU TỪNG KHÚC VÀ PHÉP ĐƠN ĐIỆU HÓA HÀM SỐ • BÀI GIẢNG Bài toán 2.5 Cho hàm và liên tục và đơn điệu trên Xét tất cả các dãy số tăng Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với trong Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.3 HÀM ĐƠN ĐiỆU TỪNG KHÚC VÀ PHÉP ĐƠN ĐIỆU HÓA HÀM SỐ • BÀI GIẢNG Bài toán 2.6 Cho trên và có khoảng đơn điệu, Xét tất... tục và nghịch biến trên liên tục và đồng biến trên thì thì ta ta Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.12 [Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev] Giả sử và là hai hàm đơn điệu tăng và điệu tăng: Khi đó với mọi bộ trọng ta đều có : là một dãy đơn Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Bạn đã hoàn thành Mục 2.1 Chương 2 Chương 2: Hàm đơn điệu. .. hàm đó hàm số là hàm số tựa đồng biến trong đồng biến trong khoảng Khi Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.13 Mọi hàm mãn các điều kiện: (i) xác định trong đồng biến trong khoảng (ii) đều là hàm tựa đồng biến trong khoảng đã cho và thoả Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Bạn đã hoàn thành Mục 2.2 Chương 2 Chương 2: Hàm. .. và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG 2.2 Hàm tựa đơn điệu Giả sử hàm số với mọi xác định và đơn điệu tăng trên ta đều có và ngược lại, ta có khi là một hàm đơn điệu giảm trên Khi đó, Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn, chẳng hạn như: thì không nhất thiết phải là một hàm đơn điệu. .. là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu được gọi Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một khoảng cho trước Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định nghĩa 2.2 Hàm số xác định trong là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu được gọi Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Bài toán 2.2 Mọi hàm tựa đồng biến... ) Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.7 (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng giảm trên Khi đó, ta luôn có Khi là một hàm đơn điệu là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.8 Giả thiết rằng và là một dãy tăng trong Khi là một hàm đơn điệu giảm trên Khi đó, ta luôn có là hàm. .. Định lý 2.10 Cho hàm số trên với có liên tục, không âm và đơn điệu tăng Khi đó Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.11 Cho hàm số đó, ta luôn có Tương tự, với liên tục và nghịch biến trên liên tục và đồng biến trên Khi thì Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1 HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Hệ quả 2.3 - Nếu và đều có - Nếu... trên Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Ví dụ, với hàm số Bài toán 2.1 Nếu ta luôn có khẳng định sau đây là các góc của thì Như vậy, mặc dù hàm không đồng biến trong ta vẫn có bất đẳng thức (suy từ (2.7)), tương tự như đối với hàm số đồng biến trong Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.2 HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định nghĩa 2.1 Hàm số xác định trong là hàm . Chương 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG 2.1. Hàm đơn điệu Ký hiệu. đối với hàm đơn điệu giảm. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu 2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU • BÀI GIẢNG Định lý 2.4. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm