Các định lí và định đề của cơ học lượng tử Lý Lê Ngày 8 tháng 12 năm 2009 Tóm tắt nội dung Trong những phần trước, chúng ta đã áp dụng cơ học lượng tử để khảo sát những hệ hóa học học đơn giản như hạt chuyển động trong hộp, sự dao động và sự quay của phân tử hai nguyên tử, nguyên tử hydro và giống hydro. Trong phần này, chúng ta sẽ tóm tắt những định lí và định đề đã được đề cập trước đó. Đây là cơ sở để phát triển cơ học lượng tử xa hơn nhằm giải quyết những hệ hóa học phức tạp thường gặp trong thực tế. 1 Kí hiệu bra − ket Tích vô hướng của hai hàm số ϕ m (x) và ϕ n (x) được xác định như sau  +∞ −∞ ϕ ∗ m (x)ϕ n (x)dx (1) Đối với những hàm của các tọa độ (x, y, z), tích vô hướng của hai hàm ϕ m (x, y, z) và ϕ n (x, y, z) là  +∞ −∞ ϕ ∗ m (x, y, z)ϕ n (x, y, z)dxdydz (2) Đối với những hàm của các tọa độ (r, θ, ϕ), tích vô hướng của hai hàm ϕ m (r, θ, ϕ) và ϕ n (r, θ, ϕ) là  2π 0  π 0  +∞ −∞ ϕ ∗ m (r, θ, ϕ)ϕ n (r, θ, ϕ)r 2 sin θdrdθdϕ (3) Một cách tổng quát, chúng ta sử dụng  dτ để chỉ tích phân toàn phần của tất cả những tọa độ trong hệ đang xét và viết tích vô hướng của hai hàm ϕ m , ϕ n dưới dạng  ϕ ∗ m ϕ n dτ (4) 1 Đơn giản hơn, ta sử dụng các kí hiệu ket và bra cho các tích phân. Theo đó, tích phân hàm ψ i được gọi là ket và kí hiệu như sau  ψ i dτ =    ψ i  =    i  (5) Tích phân của hàm liên hợp phức ψ ∗ j được gọi là bra  ψ ∗ j dτ =  ψ j    =  j    (6) Ví dụ:  ψ ∗ j (x)ψ i (x)dx =  ψ j    ψ i  =  j    i   ϕ ∗ m (x, y, z)ϕ n (x, y, z)dxdydz =  ϕ m    ϕ n  =  m    n  Chúng ta có   ϕ ∗ m ϕ n dτ  ∗ =  (ϕ ∗ m ) ∗ (ϕ n ) ∗ dτ =  ϕ ∗ n ϕ m dτ (7) Do đó  ϕ m    ϕ n  ∗ =  ϕ n    ϕ m  hay  m    n  ∗ =  n    m  (8) Đặt biệt  ϕ m    ϕ m  ∗ =  ϕ m    ϕ m  hay  m    m  ∗ =  m    m  (9) Vì tích phân  ϕ m    ϕ m  ∗ =  ϕ m    ϕ m  nên tích vô hướng  ϕ m    ϕ m  là một kết quả thực. Tương tự, ta có  ϕ m    cϕ n  = c  ϕ n    ϕ m  ;  cϕ m    ϕ n  = c ∗  ϕ n    ϕ m  (10) Với c là hằng số bất kì. Trong kí hiệu bra - ket  ψ m    ψ n  hàm được viết trước là hàm liên hợp phức của ψ m . Nếu các đặc hàm ψ i của toán tử  A tuân theo phương trình  ψ i    ψ j  = 0 với mọi giá trị i = j (11) thì ta nói các hàm ψ i là một bộ trực giao (orthogonal). Hơn nữa, nếu tích vô hướng của ψ i với chính nó bằng đơn vị thì ψ i được gọi là đã chuẩn hóa. 2 Một bộ những hàm vừa trực giao với nhau vừa chuẩn hóa được gọi là bộ hàm trực chuẩn (orthonormal)  ψ i    ψ j  = δ ij (12) với δ ij được gọi là Kronecker delta; nó bằng 1 khi i = j và bằng zero khi i = j. δ ij =  0 nếu i = j 1 nếu i = j (13) Khi giải quyết những bài toán liên quan đến hệ nhiều electron, ta thường gặp những tích phân của một toán tử nằm giữa hai hàm f m và f n như sau  f ∗ m  Af n dτ (14) Có rất nhiều kí hiệu được dùng để chỉ tích phân kiểu sandwich như trên. Sau đây là một số ví dụ  f ∗ m  Af n dτ =  f m     A    f n  =  m     A    n  = A mn (15) Tích phân này còn được gọi là phần tử ma trận của toán tử  A. 2 Toán tử Hermitian 2.1 Định nghĩa Toán tử tuyến tính  A được gọi là toán tử Hermitian nếu có tính chất sau  f ∗ m  Af n dτ =  f n (  Af m ) ∗ dτ (16) Trong đó f m và f n là những hàm hoàn hảo tùy ý. Lưu ý, phương trình trên không có nghĩa là f ∗ m  Af n = f n (  Af m ) ∗ Sử dụng kí hiệu ket và bra, ta viết lại (16) như sau  f m     A    f n  =  f n     A    f m  ∗ =   Af m    f n  (17) hay  m     A    n  =  n     A    m  ∗ =   Am    n  (18) Ví dụ: Xét hai toán tử đạo hàm bậc nhất d dx và toán tử đạo hàm bậc hai d 2 dx 2 , với hai hàm f(x) và g(x) là những hàm thực, xác định trong khoảng 0 ≤ x ≤ 1 và thỏa mãn điều kiện biên là f(0) = f(1) = 0. 3 Vì f (x) là hàm thực nên f ∗ (x) = f(x), ta có  1 0 f ∗ (x) d dx g(x)dx =  1 0 f(x)g  (x)dx Áp dụng công thức tính tích phân từng phần, đặt u = f(x) dv = g  (x)dx Ta có du = f  (x)dx v = g(x) Do đó  1 0 f(x)g  (x)dx = f(x)g(x)    1 0 −  1 0 g(x)f  (x)dx = −  1 0 g(x)f  (x)dx = −  1 0 g ∗ (x) d dx f(x)dx Ta thấy  1 0 f ∗ (x) d dx g(x)dx = −  1 0 g ∗ (x) d dx f(x)dx (19) Như vậy, toán tử d dx không phải toán tử Hermitian, mà là anti-Hermitian. Tiếp theo, chúng ta xét  1 0 f ∗ (x) d 2 dx 2 g(x)dx =  1 0 f(x)g  (x)dx Đặt u = f(x) dv = g  (x)dx Ta có du = f  (x)dx v = g  (x) Do đó  1 0 f(x)g  (x)dx = f(x)g  (x)    1 0 −  1 0 f  (x)g  (x)dx = −  1 0 f  (x)g  (x)dx Đặt f  (x) = h(x) và áp dụng kết quả từ (19)  1 0 f(x)g  (x)dx = −  1 0 g(x)f  (x)dx 4 Ta có  1 0 f  (x)g  (x)dx =  1 0 h(x)g  (x)dx = −  1 0 g(x)h  (x)dx với h  (x) = f  (x), nên  1 0 f  (x)g  (x)dx = −  1 0 g(x)h  (x)dx = −  1 0 g(x)f  (x)dx Do đó  1 0 f(x)g  (x)dx = −  1 0 f  (x)g  (x)dx =  1 0 g(x)f  (x)dx hay  1 0 f ∗ (x) d 2 dx 2 g(x)dx =  1 0 g ∗ (x) d 2 dx 2 f(x)dx Như vậy, trong điều kiện đã xét thì d 2 dx 2 là toán tử Hermitian. 2.2 Tính Hermitian của các toán tử trong cơ học lượng tử Nếu  A là toán tử tuyến tính mô tả thuộc tính vật lí A. Giá trị trung bình thu được khi thực hiện phép đo A được tính như sau A =  Ψ ∗  AΨdτ (20) với Ψ là hàm trạng thái của hệ. Giá trị trung bình của một thuộc tính vật lí phải là một số thực; do đó, ta có A = A ∗ (21) hay  Ψ ∗  AΨdτ =   Ψ ∗  AΨdτ  ∗ =  Ψ(  AΨ) ∗ dτ (22) Phương trình trên có thể biểu diễn bằng kí hiệu ket - bra  Ψ     A    Ψ  =  Ψ     A    Ψ  ∗ (23) Như vậy, nếu  A là toán tử tuyến tính mô tả thuộc tính vật lí thì nó là toán tử Hermitian. Ví dụ: Chúng ta chứng minh toán tử p x = −i d dx là toán tử Hermitian; nghĩa là chứng minh  ∞ −∞ ψ ∗ i (x)p x ψ j (x)dx =  ∞ −∞ ψ j (x)  p x ψ i (x)  ∗ dx (24) 5 Ta có  ∞ −∞ ψ ∗ i (x)p x ψ j (x)dx =  ∞ −∞ ψ ∗ i (x)  − i d dx ψ j (x)  dx =  ∞ −∞ ψ ∗ i (x)(−i)ψ  j (x)dx Đặt u = ψ ∗ i (x) dv = −iψ  j (x)dx Ta có du = (ψ ∗ i (x))  dx; v = −iψ j (x)  ∞ −∞ ψ ∗ i (x)(−i)ψ  j (x)dx = ψ ∗ i (x)(−i)ψ j (x)    ∞ −∞ −  ∞ −∞ (−i)ψ j (x)(ψ ∗ i (x))  dx = 0 +  ∞ −∞ ψ j (x)(i)(ψ ∗ i (x))  dx =  ∞ −∞ ψ j (x)  − i dψ i (x) dx  ∗ dx =  ∞ −∞ ψ j (x)  p x ψ i (x)  ∗ dx Vì ψ(x) là những hàm mô tả trạng thái của hệ nên chúng bị triệt tiêu khi x = ±∞, do đó ta có ψ ∗ i (x)(−i)ψ j (x)    ∞ −∞ = 0 Như vậy, ta có  ∞ −∞ ψ ∗ i (x)p x ψ j (x)dx =  ∞ −∞ ψ j (x)  p x ψ i (x)  ∗ dx Đây chính là điều cần chứng minh. 3 Các định lí về toán tử Hermitian 3.1 Định lí 1 Vì phép đo một thuộc tính vật lí A được mô tả bởi toán tử Hermitian  A phải cho kết quả dương nên đặc trị của toán tử Hermitian phải là số thực. Thật vậy, chúng ta xét phương trình đặc trị  Aψ i = α i ψ i 6 Trong đó  A là toán tử Hermitian; ψ i là đặc hàm của  A với α i là đặc trị tương ứng. Nhân hai vế phương trình với ψ ∗ i rồi lấy tích phân toàn phần, ta được  ψ ∗ i  Aψ i dτ =  ψ ∗ i αψ i dτ = α i  ψ ∗ i ψ i dτ = α i  |ψ i | 2 dτ Vì  A là toán tử Hermitian nên  ψ ∗ i  Aψ i dτ =  ψ i (  Aψ i ) ∗ dτ =  ψ(α i ψ) ∗ dτ = α ∗ i  ψ i ψ ∗ i dτ = α ∗  |ψ i | 2 dτ Như vậy  ψ ∗ i  Aψ i dτ = α i  |ψ i | 2 dτ = α ∗ i  |ψ i | 2 dτ Suy ra (α i − α ∗ i )  |ψ i | 2 dτ = 0 (25) Vì  |ψ i | 2 dτ không thể bằng zero tại mọi điểm nên α i −α ∗ i = 0 hay α i = α ∗ i . Nghĩa là, đặc trị α i là số thực. Chúng ta cũng có thể sử dụng kí hiệu ket - bra để chứng minh. Ta có  ψ i     A    ψ i  =  ψ i    α i    ψ i  = α i  ψ i    ψ i  Mặt khác, ta có  ψ i    ψ i  =  ψ i    ψ i  ∗ =  ψ i    ψ i  Do đó  ψ i     A    ψ i  ∗ = α ∗  ψ i    ψ i  ∗ = α ∗ i  ψ i    ψ i  Vì  A là toán tử Hermitian nên  ψ i     A    ψ i  =  ψ i     A    ψ i  ∗ α i  ψ i    ψ i  = α ∗ i  ψ i    ψ i  Suy ra α i = α ∗ i Phương trình đúng khi α i là số thực. Tóm lại, các đặc trị của toán tử Hermitian là số thực. 7 3.2 Định lí 2 Chúng ta đã chứng minh rằng nếu ψ i và ψ j là hai hàm sóng mô tả hai trạng thái khác nhau của hạt trong hộp thì chúng trực giao với nhau  ψ i    ψ j  = 0 Sau đây ta chứng minh một định lí tổng quát về sự trực giao đó là các đặc hàm không suy biến (nondegenerate eigenfunctions) của một toán tử Hermitian thì trực giao với nhau. Gọi ψ 1 và ψ 2 là những đặc hàm của toán tử Hermitian  A với những đặc trị α 1 và α 2 khác nhau. Ta có  Aψ 1 = α 1 ψ 1 ;  Aψ 2 = α 2 ψ 2 (26) Nhân  Aψ 1 với ψ ∗ 2 rồi lấy tích phân toàn phần, ta được  ψ 2     A    ψ 1  =  ψ 2    α 1    ψ 1  = α 1  ψ 2    ψ 1  (27) Mặt khác, vì  A là toán tử Hermitian nên  ψ 2     A    ψ 1  =  ψ 1     A    ψ 2  ∗ = α ∗ 2  ψ 1    ψ 2  ∗ Do đặc trị α 2 là số thực nên  ψ 2     A    ψ 1  = α ∗ 2  ψ 1    ψ 2  ∗ = α 2  ψ 2    ψ 1  (28) Từ (27) và (28), ta có α 2  ψ 1    ψ 2  = α 1  ψ 1    ψ 2  (α 2 − α 1 )  ψ 2    ψ 1  = 0 vì α 1 và α 2 khác nhau nên  ψ 2    ψ 1  = 0 (29) Đây chính là điều chúng ta cần chứng minh. Trong trường hợp đặc trị suy biến, nghĩa là α 2 = α 1 , và do đó (α 2 − α 1 )  ψ 2    ψ 1  bằng zero dù ψ 1 và ψ 2 không trực giao với nhau. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xây dựng được ít nhất một đặc hàm mới từ ψ 1 và ψ 2 với cùng đặc trị và 8 trực giao với ψ 1 và ψ 2 . Thật vậy, gọi ψ 1 và ψ 2 là những đặc hàm độc lập của toán tử Hermitian  A với cùng đặc trị α  Aψ 1 = αψ 1 ;  Aψ 2 = αψ 2 Chúng ta sẽ tổ hợp tuyến tính ψ 1 và ψ 2 thành hàm φ 2 có dạng φ 2 = ψ 2 + cψ 1 (30) Ta thấy φ 2 cũng là một đặc hàm của  A với đặc trị α  Aφ 2 =  A(ψ 2 + cψ 1 ) =  Aψ 2 + c  Aψ 1 = α(ψ 2 + cψ 1 ) = αφ 2 Để φ 2 trực giao với ψ 1 thì hằng số c phải được chọn sao cho  ψ ∗ 1 φ 2 dτ = 0  ψ ∗ 1 (ψ 2 + cψ 1 )dτ =  ψ ∗ 1 ψ 2 + c  ψ ∗ 1 ψ 1 = 0 ⇒ c = −  ψ ∗ 1 ψ 2  ψ ∗ 1 ψ 1 = −  ψ 1    ψ 2   ψ 1    ψ 1  = −  ψ 1    ψ 2  (31) Phương pháp này còn được gọi là phép chuẩn hóa trực giao Schmidt (Schmidt orthogonalization procedure) và có thể được mở rộng để xây dựng các đặc hàm độc lập tuyến tính trực giao với nhau khi đặc trị suy biến bậc n. 4 Đặc hàm đồng thời 4.1 Định lí 3 Nếu hàm trạng thái ψ là một đặc hàm đồng thời của hai toán tử  A và  B với các đặc trị là α và β thì phép đo thuộc tính vật lí A cho kết quả là α và phép đo thuộc tính vật lí B cho kết quả là β. Như vậy, hai tính chất A và B đều có những giá trị xác định khi ψ là một đặc hàm đồng thời của  A và  B. Khi hai toán tử tuyến tính có chung một bộ đặc hàm thì chúng sẽ giao hoán với nhau. Sau đây, chúng ta chứng minh định lí này. Gọi ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n là các đặc hàm chung của hai toán tử  A và  B  Aψ i = α i ψ i  Bψ i = β i ψ i với i = 1, 2, . . . , n. Ta cần phải chứng minh [  A,  B] = 0 hay (  A  B −  B  A)f = 0 (32) trong đó, f là một hàm tùy ý có cùng điều kiện biên với ψ i . 9 Chúng ta bắt đầu bằng cách khai triển f theo ψ i như sau f = a 1 ψ 1 + a 2 ψ 2 + ··· =  i a i ψ i (33) Ta có (  B  A −  A  B)f = (  B  A −  A  B)  i a i ψ i Vì  A và  B đều là những toán tử tuyến tính nên (  B  A −  A  B)  i a i ψ i =  i a i (  B  A −  A  B)ψ i =  i a i (  B  Aψ i −  A  Bψ i ) =  i a i (  Bα i ψ i −  Aβ i ψ i ) =  i a i (α i  Bψ i − β i  Aψ i ) =  i a i (α i β i ψ i − β i α i ψ i ) = 0 Từ đó, ta có [  A,  B]f = (  B  A −  A  B)  i a i ψ i = 0 (34) Đây là điều ta cần chứng minh. Như vậy,  A và  B sẽ giao hoán với nhau nếu chúng có chung một bộ các đặc hàm hoàn chỉnh. 4.2 Định lí 4 Sau đây, chúng ta sẽ chứng minh điều ngược lại với định lí 3. Nghĩa là, nếu hai toán tử Hermitian  A và  B giao hoán với nhau, chúng ta có thể xây dựng một tập hợp các đặc hàm hoàn chỉnh chung cho chúng. Gọi ψ i và α i là đặc hàm và đặc trị của  A  Aψ i = α i ψ i Từ đó, ta có  B  Aψ i =  B(α i ψ i ) Vì  A và  B giao hoán với nhau và vì  B là toán tử tuyến tính nên  A(  Bψ i ) = α i (  Bψ i ) (35) Điều này có nghĩa hàm  Bψ i là một đặc hàm của  A với đặc trị α i . Đến đây, có hai khả năng: các đặc trị α i của  A có thể suy biến hoặc cũng có thể không suy biến. Nếu α i không suy biến, nó là đặc trị của một hàm độc lập ψ i , nên hàm  Bψ i tỉ lệ với ψ i  Bψ i = β i ψ i 10 [...]... thực hiện phép đo thuộc tính vật lí A, dựa vào (57) 6 Các định đề của cơ học lượng tử Sau đây, chúng ta sẽ tóm tắt lại những định đề mà chúng ta đã khảo sát 6.1 Định đề 1 Trạng thái của một hệ được mô tả bởi một hàm Ψ của các tọa độ và thời gian Hàm này, được gọi là hàm trạng thái hay hàm sóng, chứa đựng mọi thông tin cần biết của hệ Nó là hàm đơn trị, liên tục và khả tích bình phương Bình phương hàm... c2 và c1 , c2 Vì vậy, có hai hàm riêng biệt ψi và ψi (1) = c1 ψi1 + c2 ψi2 (2) = c1 ψi1 + c2 ψi2 ψi ψi (1) (1) (2) (2) đều thỏa mãn phương trình (1) = βi ψi (2) = βi ψi Bψi Bψi (1) (1) (2) (2) Do đó, chúng là những đặc hàm đồng thời của các toán tử hoán vị A và B Như vậy, khi A và B giao hoán với nhau, chúng ta sẽ xây dựng được các đặc hàm chung cho chúng 4.3 Định lí 5 Định lí này còn được gọi là định. .. Những áp dụng của cơ học lượng tử vào hóa học chủ yếu sử dụng phương trình Schr¨dinger không phụ thuộc thời gian o 18 Bài tập d và B = A2 là những toán tử Hermitian dx 2 Trạng thái của một hệ được mô tả bởi 1 Chứng minh A = −i ψ(x) = αxe−x 2 /2 với α là hằng số chuẩn hóa Chứng minh +∞ +∞ ψ(x)ψ (x)dx = −∞ 2 ψ (x) dx −∞ 3 Cho ψi và ψj là hai đặc hàm của toán tử Hermitian A với đặc trị αi và αj khác nhau;... gian nên ta có yêu cầu hàm sóng chuẩn hóa ΨΨ =1 6.2 Định đề 2 Mỗi thuộc tính vật lí được đặc trưng bởi một toán tử Các toán tử này có hai tính chất đặc trưng quan trọng là tuyến tính và Hermitian A(αi ψi + αj ψj ) = αi Aψi + αj Aψj ∗ ψi A ψj = ψj A ψi 6.3 = Aψi ψj Định đề 3 Giá trị được phép αi của một thuộc tính vật lí A được đặc trưng bởi toán tử A là các đặc trị của phương trình Aψi = αi ψi ∗ Nhân hai... đặc trị của B Như vậy, rõ ràng ψi là đặc hàm chung của hai toán tử hoán vị A và B Trong trường hợp các đặc trị αi suy biến, chúng ta vẫn có thể xây dựng được các đặc hàm mới của B, đồng thời chúng cũng là các đặc hàm của A, bằng cách tổ hợp tuyến tính các hàm ψi Để đơn giản, chúng ta xét trường hợp đặc trị αi suy biến bậc hai Gọi ψi1 và ψi2 là hai đặc hàm độc lập của A với đặc trị αi ; ψi là hàm tổ... sau Nếu ψi và ψj là các đặc hàm của toán tử Hermitian A với các đặc trị khác nhau, nghĩa là Aψi = αi ψi Aψj = αj ψj (αi = αj ) và nếu B là toán tử tuyến tính giao hoán với A thì ta có ψi B ψj = 0 (41) Sau đây, chúng ta sẽ chứng minh định lí này Ta có [A, B] = 0 hay ABψj = B Aψj = Bαj ψj = αj Bψj (42) ∗ Nhân αj Bψj với ψi rồi lấy tích phân toàn phần, ta được αj ψi B ψj = αj ψi Bψj (43) Vì A và B giao... chúng sẽ có chung những đặc hàm, theo định lí 4 Do đó, nếu ψj là đặc hàm của A thì nó cũng sẽ là đặc hàm của B Gọi βj là đặc trị của B, ta có Bψj = βj ψj 12 (44) Từ (43) và (44) ta được αj ψi B ψj = αj ψi βj ψj = αj βj ψi ψj = 0 (45) vì các đặc hàm ψi và ψj là những đặc hàm của toán tử Hermtian với các đặc trị khác nhau nên trực giao với nhau, theo định lí 2 5 Phép đo và những trạng thái chồng chất Gọi... thì ψi ψi = 1 Do đó αi = ψi A ψi và nếu ψi là đặc hàm của A thì các phép đo thuộc tính A luôn cho một giá trị duy nhất Ngược lại, nếu ψi không phải là đặc hàm của A thì mỗi phép đo thuộc tính A luôn cho một giá trị ngẫu nhiên 6.4 Định đề 4 Hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ là nghiệm của phương trình Schr¨dinger o HΨ = EΨ với H là toán tử Hamiltonian và E là năng lượng của hệ Một hạt trong trạng... sử B là một toán tử tuyến tính giao hoán với A Chứng minh ψj B ψi = 0 4 Trạng thái ψ1 được mô tả bởi ψ1 = c1 dz 2 √ i 3 + d 2 2 2 x −y Cho biết dz 2 và dx2 −y2 chuẩn hóa và trực giao với nhau Xác định hệ số khai triển c1 để ψ1 chuẩn hóa So sánh năng lượng của trạng thái trên với trạng thái ψ2 được mô tả bởi √ i 3 ψ2 = c1 dz 2 − d 2 2 2 x −y 5 Hai trạng thái suy biến ψ1 và ψ2 được xác định như sau 1 ψ1... trong hộp một chiều) √ 2mE iαx −iαx ψ1 (x) = c1 e và ψ2 (x) = c2 e (α = ) Từ đó, ta có nhận xét rằng cho dù hàm trạng thái ψ không phải là đặc hàm của toán tử A mô tả thuộc tính vật lí A ta vẫn có thể biểu diễn ψ dưới dạng tổ hợp tuyến tính các đặc hàm cụ thể của A và được gọi là trạng thái chồng chất ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · = ci ψi (46) i trong đó ci là các hệ số khai triển; ψi là những đặc hàm của . Các định lí và định đề của cơ học lượng tử Lý Lê Ngày 8 tháng 12 năm 2009 Tóm tắt nội dung Trong những phần trước, chúng ta đã áp dụng cơ học lượng tử. tính vật lí A, dựa vào (57). 6 Các định đề của cơ học lượng tử Sau đây, chúng ta sẽ tóm tắt lại những định đề mà chúng ta đã khảo sát. 6.1 Định đề 1 Trạng thái