CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trườ n g hợ p 1: TỔ N G HAI SỐ KHÔ N G Â M Á p dụn g Bà i 156 Ta có : ⎧A ≥ ∧ B ≥ A = B = ⎩A + B = Nế u ⎨ Giả i phương trình: cos2 x + 3tg x − cos x + 3tgx + = (*) ( (*) ⇔ cos x − ) +( 3tgx + ) =0 ⎧ ⎪cos x = ⎪ ⇔⎨ ⎪tgx = − ⎪ ⎩ π ⎧ x = ± + k2π, k ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎪tgx = − ⎪ ⎩ ⇔x=− Baø i 157 π + k2π, k ∈ Giả i phương trình: cos 4x.cos2 2x + − cos 3x + = ( *) Ta coù : ( *) ⇔ cos 4x (1 + cos 4x ) + + − cos 3x = ⇔ ( cos2 4x + cos 4x + 1) + − cos 3x = ⇔ ( cos 4x + 1) + − cos 3x = ⎧ ⎪cos 4x = − ⇔⎨ 2⇔ ⎪cos 3x = ⎩ ⎧ ⎪cos 4x = − ⎪ ⇔⎨ ⎪ x = k2π , k ∈ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪cos 4x = − ⎨ ⎪3x = k2π, k ∈ ⎩ (có đầu cung) ⎧ cos 4x = − ⎪ ⎪ ⇔⎨ 2π 2π ⎪x = − +m2π hay x = m2π hay x = + m2π , m ∈ ⎪ 3 ⎩ 2π ⇔x=± + m2π, m ∈ (ta nhậ n k = ±1 loạ i k = ) Bà i 158 Giả i phương trình: sin 3x sin2 x + ( cos 3x sin3 x + sin 3x cos3 x ) = sin x sin2 3x ( *) 3sin 4x Ta coù : cos 3x.sin 3x + sin 3x.cos3 x = ( cos3 x − cos x ) sin x + ( sin x − sin3 x ) cos3 x = −3 cos x sin x + sin x cos3 x = sin x cos x ( cos2 x − sin x ) 3 sin 2x cos 2x = sin 4x Vaäy: ( *) ⇔ sin x + sin2 3x = sin x sin2 3x vaø sin 4x ≠ = 1 ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin 3x − sin x ⎟ − sin4 3x + sin2 3x = vaø sin 4x ≠ 4 ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin 3x − sin x ⎟ + sin 3x (1 − sin2 3x ) = vaø sin 4x ≠ ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ sin2 3x − sin x ⎟ + sin2 6x = vaø sin 4x ≠ 16 ⎝2 ⎠ ⎧sin 4x ≠ ⎪1 ⎪ ⇔ ⎨ sin 3x = sin x ⎪2 ⎪sin 3x = ∨ cos 3x = ⎩ ⎧sin 4x ≠ ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⎪ ⎪1 ⇔ ⎨sin 3x = ∨ ⎨ = sin x ⎪sin x = (VN) ⎪ ⎩ ⎪sin 3x = ±1 ⎩ ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨sin x = ⎪ ⎪3 sin x − sin x = ±1 ⎩ ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x = ⎩ ⎧sin 4x ≠ ⎪ ⇔⎨ π 5π ⎪ x = + k2π ∨ + k2π, k ∈ ⎩ π 5π ⇔ x = + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 Trường hợp Phương pháp đối lập ⎧A ≤ M ≤ B A = B = M ⎩A = B Nếu ⎨ Bà i 159 Giả i phương trình: sin4 x − cos4 x = sin x + cos x (*) Ta coù : (*) ⇔ sin2 x − cos2 x = sin x + cos x ⇔ − cos 2x = sin x + cos x ⎧cos 2x ≤ ⎪ ⇔⎨ ⎪cos 2x = + sin x cos x ⎩ ⎧cos 2x ≤ ⎧cos 2x ≤ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪− sin 2x = sin 2x ⎩sin 2x = (cos 2x = ± ) ⎩ ⇔ cos 2x = −1 ⇔x= π + kπ, k ∈ Cá c h c Ta có sin x − cos4 x ≤ sin4 x ≤ sin x ≤ sin x + cos x Do Bà i 160: ⎧cos x = π ⎪ ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ (*) ⇔ ⎨ ⎪sin x = sin x ⎩ Giả i phương trình: ( cos 2x − cos 4x ) = + sin 3x (*) Ta coù : (*) ⇔ sin 3x.sin x = + sin 3x • Do: sin 3x ≤ sin x ≤ nê n sin 3x sin x ≤ • Do sin 3x ≥ −1 neâ n + sin 3x ≥ Vaä y sin 3x sin x ≤ ≤ + sin 3x Dấ u = củ a phương trình (*) đú n g ⎧sin2 3x = ⎧sin2 x = ⎪ ⎨sin x = ⇔ ⎨ ⎩sin 3x = −1 ⎪sin 3x = −1 ⎩ π ⎧ π ⎪ x = ± + k2π, k ∈ ⇔⎨ ⇔ x = + k2π, k ∈ 2 ⎪sin 3x = −1 ⎩ cos3 x − sin x = cos 2x (*) sin x + cos x Điề u kiệ n : sin x ≥ ∧ cos x ≥ Ta coù : (*) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = ( cos2 x − sin x ) sin x + cos x Bà i 161 Giả i phương trình: ( ⎡cos x − sin x = ⇔⎢ ⎢1 + sin x cos x = ( cos x + sin x ) sin x + cos x ⎣ π Ta coù : (1) ⇔ tgx = ⇔ x = + kπ, k ∈ Xét (2) Ta có : sin x ≥ sin x ≥ sin x ≥ sin x Tương tự cos x ≥ cos x ≥ cos2 x sin x + cos x ≥ sin x + cos x ≥ Vậ y Suy vế phải củ a (2) ≥ Mà vế trá i củ a (2): + sin 2x ≤ 2 Do (2) vô nghiệ m π Vậ y : (*) ⇔ x = + kπ, k ∈ ( Baø i 162: Giả i phương trình: Ta có : (*) ⇔ − cos x − cos x + = (*) − cos x = + cos x + ⇔ − cos x = + cos x + cos x + ⇔ −2 ( cos x + 1) = cos x + Ta coù : −2 ( cos x + 1) ≤ ∀x maø cos x + ≥ ∀x Do dấ u = củ a (*) xaû y ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ ) (1) (2) ) Bà i 163: Giả i phương trình: cos 3x + − cos2 3x = (1 + sin2 2x ) (*) Do bấ t đẳ n g thứ c Bunhiacoá p ski: AX + BY ≤ A + B2 X + Y neâ n : cos 3x + − cos2 3x ≤ cos2 3x + ( − cos2 3x ) = Dấ u = xả y ⇔ cos 3x = − cos2 3x ⎧cos 3x ≥ ⇔⎨ 2 ⎩cos 3x = − cos 3x Mặ t c : ⎧cos 3x ≥ ⇔⎨ ⇔ cos 3x = ⎩cos 3x = ±1 (1 + sin 2x ) ≥ daá u = xaû y ⇔ sin 2x = Vaä y : cos 3x + − cos2 3x ≤ ≤ (1 + sin2 2x ) daá u = củ a (*) xả y khi: cos 3x = ∧ sin 2x = ⎧cos 3x = ⎪ ⇔⎨ kπ ⎪ x = , k ∈ ( có đầu cung ) ⎩ ⇔ x = 2mπ , m ∈ Baø i 164: Giả i phương trình: π⎞ ⎛ tg x + cotg x = sin ⎜ x + ⎟ (*) 4⎠ ⎝ Điề u kiệ n : sin 2x ≠ • Do bấ t đẳ n g thứ c Cauchy: tg x + cotg x ≥ dấ u = xả y tgx = cotgx π⎞ ⎛ • Mặ t c : sin ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ neâ n sin5 ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ dấ u = xả y sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ Do : tg x + cotg x ≥ ≥ sin5 ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ ⎧tgx = cotgx ⎪ Daá u = củ a (*) xả y ⇔ ⎨ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x + ⎟ = ⎝ ⎠ ⎩ ⎧tg x = ⎪ ⇔⎨ π ⎪ x = + k2π , k ∈ ⎩ π ⇔ x = + k2π, k ∈ Trường hợp 3: Áp dụn g: ⎧ A ≤ M B ≤ M ⎧A = M ⎨ ⎩A + B = M + N ⎩B = N ⎧sin u = sin u + sin v = ⇔ ⎨ ⎩sin v = ⎧sin u = sin u − sin v = ⇔ ⎨ ⎩sin v = − ⎧sin u = − sin u + sin v = − ⇔ ⎨ ⎩sin v = − Nếu ⎨ Tương tự cho cá c trườ n g hợp sau sin u ± cos v = ± ; cos u ± cos v = ± Bà i 165: Ta có : Giả i phương trình: cos 2x + cos ( *) ⇔ cos 2x + cos 3x =2 3x − = ( *) 3x ≤1 neâ n dấ u = củ a (*) xả y ⎧ x = kπ , k ∈ ⎧cos 2x = ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ x = 8mπ, m ∈ 8hπ 3x ⎪cos = ⎪x = , h ∈ ⎩ ⎩ 8hπ 8h ⇔k= Do : kπ = 3 để k nguyên ta chọn h = 3m ( m ∈ Ζ ) ( k = 8m ) Do cos 2x ≤ vaø cos Caù c h khaù c ⎧cos 2x = ⎪ ⇔ ⎨ 3x ⎪cos = ⎩ Baø i 166: ⎧ x = kπ , k ∈ ⎪ ⎨ 3kπ ⎪cos = ⎩ ⇔ x = 8mπ, m ∈ Giả i phương trình: cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos x.cos 2x.cos 3x + ( *) cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos 3x cos x + cos2 3x − = cos 3x ( cos x + cos 3x ) − = cos 3x.cos 2x.cos x − 1 Vaä y : cos 3x.cos 2x.cos x = ( cos 2x + cos 4x + cos 6x + 1) Do : ( *) ⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = ( cos2x + cos 4x + cos6x ) + 4 ⇔ ( cos 2x + cos 4x + cos 6x ) = 4 ⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = ⎧cos 2x = ⎧2x = k2π, k ∈ (1) ⎪ ⎪ (2) ⇔ ⎨cos 4x = ⇔ ⎨cos 4x = ⎪cos 6x = ⎪cos 6x = (3) ⎩ ⎩ ⇔ 2x = k2π, k ∈ ⇔ x = kπ, k ∈ ( Theá (1) o (2) (3) ta thấ y hiể n nhiê n thỏ a ) Bà i 167: Giả i phương trình: cos 2x − sin 2x − sin x − cos x + = ( *) Ta coù : ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 3 cos 2x + sin 2x ⎟ + ⎜ sin x + cos x ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( *) ⇔ = ⎜ − ⎜ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ = sin ⎜ 2x − ⎟ + sin ⎜ x + ⎟ 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ ⎧ π⎞ ⎛ π π ⎧ ⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪2x − = + k2π, k ∈ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎛ x + π ⎞ = ⎪ x + π = π + h2π, h ∈ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎩ 6⎠ ⎝ ⎩ π ⎧ ⎪ x = + kπ, k ∈ π ⎪ ⇔⎨ ⇔ x = + hπ, h ∈ ⎪ x = π + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ Caù c h khaù c ⎧ π⎞ ⎛ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ( *) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎛ x + π ⎞ = ⎪ x + π = π + h2π, h ∈ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ 6⎠ ⎩ ⎝ ⎩ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x = π + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ Baø i 168: ⇔x= Giả i phương trình: π + hπ, h ∈ cos x − cos 2x − cos 4x = ( *) Ta coù : ( * ) ⇔ cos x − ( cos2 x − ) − (1 − sin 2x ) = ⇔ 4cosx − cos2 x + sin2 x cos2 x = ⇔ cos x = hay − cos x + sin x cos x = ⇔ cos x = hay + cos x ( sin x − 1) = ⇔ cos x = hay − cos x cos 2x = ( * *) ⇔ cos x = hay − ( cos 3x + cos x ) = ⇔ cos x = ∨ cos 3x + cos x = ⎧cos 3x = ⇔ cos x = ∨ ⎨ ⎩cos x = ⎧cos x = ⇔ cos x = ⇔ ⎨ ⎩4 cos x − cos x = ⇔ cos x = ∨ cos x = π + kπ ∨ x = k2π, k ∈ Caù c h khaù c ( * *) ⇔ cos x = hay cos x cos 2x = ⎧cos x = ⎧cos x = − ⇔ cos x = ∨ ⎨ ∨⎨ ⎩cos 2x = ⎩cos 2x = − ⎧ x = k2π, k ∈ ⎧ x = π + k2π, k ∈ π ⇔ x = + kπ, k ∈ ∨ ⎨ ∨⎨ ⎩cos 2x = ⎩cos 2x = − π ⇔ x = + kπ ∨ x = k2π, k ∈ Bà i 169: Giả i phương trình: tg2x + tg3x + = ( *) sin x cos 2x cos 3x ⇔x= Điề u kieä n : sin 2x cos 2x cos 3x ≠ Lú c : sin 2x sin 3x + + =0 ( *) ⇔ cos 2x cos 3x sin x.cos 2x.cos 3x ⇔ sin 2x sin x cos 3x + sin 3x sin x.cos 2x + = ⇔ sin x ( sin 2x cos 3x + sin 3x cos 2x ) + = ( loaïi ) ⇔ sin x.sin 5x = −1 ⇔ − ( cos 6x − cos 4x ) = −1 ⇔ cos 6x − cos 4x = ⎧cos 6x = ⇔⎨ ⇔ ⎩cos 4x = −1 ⎧t = cos 2x ⎪ ⎨4t − 3t = ⇔ ⎪ ⎩2t − = −1 ⎧t = cos 2x ⎪ ⎨4t − 3t = ⎪ ⎩t = Do : (*) vô nghiệ m Caù c h khaù c ⎧sin x = ⎧sin x = − hay ⎨ ⇔ sin x sin 5x = −1 ⇔ ⎨ ⎩sin 5x = − ⎩sin 5x = π π ⎧ ⎧ ⎪ x = + k2π, k ∈ ⎪ x = − + k2π, k ∈ hay ⎨ ⇔⎨ 2 ⎪sin 5x = − ⎪sin 5x = ⎩ ⎩ ⇔ x ∈∅ Bà i 170: Giả i phương trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = ( *) 1 (1 + cos 6x ) cos 2x − (1 + cos 2x ) = 2 ⇔ cos 6x cos 2x = Ta coù : ( * ) ⇔ ( cos 8x + cos 4x ) = ⇔ cos 8x + cos 4x = ⇔ ⎧cos 8x = ⇔⎨ ⎩cos 4x = ⎧2 cos2 4x − = ⇔⎨ ⎩cos 4x = ⎧cos2 4x = ⇔⎨ ⎩cos 4x = ⇔ cos 4x = ⇔ 4x = k2π, k ∈ kπ ,k ∈ ⇔x= Caù c h khaù c ⇔ cos 6x cos 2x = ⎧cos 2x = ⎧cos 2x = −1 ⇔⎨ hay ⎨ ⎩cos 6x = ⎩cos 6x = −1 ⎧2x = k2π, k ∈ ⎧2x = π + k2π, k ∈ ⇔⎨ hay ⎨ ⎩cos 6x = ⎩cos 6x = −1 kπ x= ,k ∈ Caù c h khaù c ⎧cos 8x = ⎧cos 8x = ⇔⎨ ⎨ ⎩cos 4x = ⎩4x = k2π, k ∈ kπ ⇔x= ,k ∈ Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ x y = a hàm giảm 0< a m, ∀x ≠ n π ⇔ n > m, ∀x ≠ + kπ , k ∈ π + kπ , k ∈ ⇔ n ≥ m, ∀x n ⇔ n ≥ m, ∀x Giả i phương trình: − Ta có : ( *) ⇔ = x2 = cos x ( *) x2 + cos x x2 + cos x R Ta có : y ' = x − sin x vaø y '' = − cos x ≥ ∀x ∈ R Do y’(x) hà m đồ n g biế n trê n R Vaä y ∀x ∈ ( 0, ∞ ) : x > neân y ' ( x ) > y ' ( 0) = Xeù t y= ∀x ∈ ( −∞, 0) : x < neân y ' ( x ) < y ' ( 0) = Do : x2 + cos x ≥ ∀x ∈ R Dấ u = củ a (*) xả y tạ i x = Do ( *) ⇔ x = • Vậ y : y = Bà i 172: Giả i phương trình sin x + sin x = sin x + sin10 x (*) Ta coù ⎧sin x ≥ sin x dấu =xảy sin x = 1hay sinx = ⎪ ⎨ 10 ⎪ sin x ≥ sin x dấu =xảy sin x = hay sinx = ⎩ ⇔ sin x = ∨ sinx = π ⇔ x = ± + k 2π ∨ x = k 2π , k ∈ Caù c h khaù c (*) ⇔ sin x = hay 1+ sin x = sin x + sin x ⇔ sin x = hay sin x =1 Giaû i cá c phương trình sau BÀI TẬP lg ( sin2 x ) − + sin x = π⎞ ⎛ sin 4x − cos 4x = + sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ sin x + sin 3x = sin x sin 3x sin x π = cos x cos x + sin 10x = + cos 28x sin x ( cos 4x − cos 2x ) sin x + cos x = ( − sin 3x ) sin 3x ( cos 2x − sin 3x ) + cos 3x (1 + sin 2x − cos 3x ) = tgx + tg2x = − sin 3x cos 2x 10 log a ( cot gx ) = log ( cos x ) = + sin 3x 12 ⎡ π⎤ 2sin x = cos x với x ∈ ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ 13 14 cos x + sin x = 13 cos 2x − cos 6x + ( sin 2x + 1) = 14 sin x + cos x = ( − cos 3x ) 15 sin3 x + cos3 x = − sin4 x 16 17 cos2 x − cos x − 2x sin x + x + = sin x + sin x = sin x + cos x 18 cot g x + cos2 x − cot gx − cos x + = 11 Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn) ... k2π, k ∈ ⎩ π 5π ⇔ x = + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 Trường hợp Phương pháp đối lập ⎧A ≤ M ≤ B A = B = M ⎩A = B Nếu ⎨ Bà i 159 Giả i phương trình: sin4 x − cos4 x = sin x + cos x (*) Ta coù : (*) ⇔... h2π, h ∈ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ 6⎠ ⎩ ⎝ ⎩ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ 2x − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ x = π + h2π, h ∈ ⎪ ⎩ Baø i 1 68: ⇔x= Giả i phương trình: π + hπ, h ∈ cos x − cos 2x − cos 4x = ( *) Ta coù : ( * ) ⇔ cos x − ( cos2 x −... x + cos x Do Bà i 160: ⎧cos x = π ⎪ ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ (*) ⇔ ⎨ ⎪sin x = sin x ⎩ Giả i phương trình: ( cos 2x − cos 4x ) = + sin 3x (*) Ta coù : (*) ⇔ sin 3x.sin x = + sin 3x • Do: sin 3x