ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA SƯ PHẠM KỸ THUẬT 0 BÀI GIẢNG HÌNH HỌA  GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật ĐÀ NẴNG - 2005 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mồớ õỏửu M U A. MC CH V YấU CU 1) Mc ớch Hỡnh ho l mt mụn hc thuc lnh vc Hỡnh hc, nhm: Nghiờn cu cỏc phng phỏp biu din cỏc hỡnh trong khụng gian lờn mt mt m thụng thng l mt phng hai chiu Nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn trong khụng gian bng cach gii chỳng trờn cỏc hỡnh biu din phng ú Cung cp mt s kin thc hỡnh hc c bn hc tip mụn V k thut v gi i quyt mt s vn liờn quan n chuyờn mụn. 2) Yờu cu ca hỡnh biu din Hỡnh biu din phi n gin, rừ rng, chớnh xỏc. Cỏc hỡnh biu din phi tng ng vi mt hỡnh nht nh trong khụng gian; ngi ta gi tớnh cht ny l tớnh phn chuyn hay tớnh tng ng hỡnh hc ca hỡnh biu din 3) Mt s ký hiu v quy c Trong bi ging ny s dựng nhng ký hiu v qui c sau: im Ch in nh: A, B, C, ng thng Ch thng nh: a,b,c, Mt phng Ch Hy lp hoc ch vit hoa nh: , , , , A, B, C, S liờn thuc Ký hiu nh: im Aa; ng thng a mp ( ), bmp(Q), Vuụng gúc nh: a b Giao nh: A= d l Kt qu = nh: g= mp mp Song song // nh: d // k Trựng nh: A B B. CC PHẫP CHIU I. PHẫP CHIU XUYấN TM 1) Cỏch xõy dng Trong khụng gian cho mt phng P v mt im S khụng thuc mp(P ).(Hỡnh 1) Ngi ta thc hin phộp chiu mt im A bt k nh sau: V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng P ti im A A A S P Ta cú cỏc nh ngha: P : Mt phng hỡnh chiu S : Tõm chiu Hỗnh1 SA : ng thng chiu hoc tia chiu A : Hỡnh chiu xuyờn tõm ca im A t tõm chiờỳ S lờn mt phng hỡnh chiu P . Phộp chiu c xõy dng nh trờn c gi l phộp chiu xuyờn tõm vi tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P. Mt phộp xuyờn tõm c xỏc nh khi bit tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P. GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 1 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mồớ õỏửu ắ Chỳ ý a) Hỡnh l mt tp hp im. Vy chiu mt hỡnh ta chiu mt s im thnh phn ca hỡnh xỏc nh hỡnh ú b) Nu trong khụng gian clic ta b sung thờm cỏc yu t vụ tn thỡ: _ Hai ng thng son g song xem nh ct nhau ti mt im vụ tn: a // b a b = M Nh vy biu din mt im vụ tn ta biu din nú bng mt phng ng thng _ Hai mt phng son g song xem nh ct nhau theo mt ng thng vụ tn mp // mp mp mp = d 2) Tớnh cht 1. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca mt ng thng khụng i qua tõm chiu l mt ng thng Khi chiu ng thng a, cỏc tia chiu SA, SB hỡnh thnh mt mt phng (SAB) gi l mt phng chiu. Do ú hỡnh chiu a(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hỡnh 2) 2. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca nhng ng thng song song núi chung l nhng ng thng ng qui Gi s cho a // b nờn cỏc mp(S,a) v mp(S,b) s giao vi mp(P) cho cỏc giao tuyn a, b ct nhau ti im M (M l hỡnh chiu xuyờn tõm ca im M ca ng thng a, b) (hỡnh 3) P P S M' S A B B' A ' a a' a b b' a' A B B' A Hỡnh 2 Hỡnh 3 II. PHẫP CHIU SONG SONG 1) Cỏch xõy dng Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm khi tõm chiu S xa vụ tn Nh vy phộp chiu song song c xỏc nh khi bit mt phng hỡnh chiu P v phng chiu s A P A t s Hỗnh 4 Ngi ta chiu song song im A bng cỏch qua A v ng thng t song song vi phng s, v giao im A = t mp(P ) thỡ A l hỡnh chiu song song ca im A t phng chiu s lờn mt phng hỡnh chiu P (hỡnh 4). 2) Tớnh cht Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm nờn cú nhng tớnh cht ca phộp chiu xuyờn tõm. Ngoi ra phộp chiu song song cú nhng tớnh cht sau: GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 2 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mồớ õỏửu 1. Hỡnh chiu song song ca nhng ng thng khụng song song vi phng chiu l nhng ng thng song song. Gi s cho a // b nờn cỏc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do ú giao tuyn ca chỳng vi mt phng hỡnh chiu P l nhng ng thng song song: a // b (hỡnh 5) P P s s a ' b ' b a C ' B ' A ' C B A Hỡnh 5 Hỡnh 6 2. T s n ca ba im phõn bit thng hng bng t s n ca ba im phõn bit hỡnh chiu c a chỳng Cho ba im A, B ,C phõn bit thng hng, chiu thnh ba im A, B, C cng phõn bit thng hng.(hỡnh 6). Theo nh lý Thalet, ta cú: Ký hiu t s n ca ba im A,B,C nh sau: (ABC) = (ABC) '' '' BC AC CB CA = III. PHẫP CHIU VUễNG GểC 1) Cỏch xõy dng Phộp chiu vuụng gúc l trng hp c bit ca phộp chiờu song song khi phng chiu s vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu P : s P (hỡnh 7) P s Hỡnh 7 2) Tớnh cht Phộp chiu vuụng gúc cú nhng tớnh cht ca phộp chiu song song; Ngoi ra cũn cú nhiu tớnh cht, chỳng ta s nghiờn cu cỏc chng sau. IV. NHN XẫT Ta cú th dựng cỏc phộp chiu trờn biu din vt th trong khụng gian lờn mt mt phng. Tuy nhiờn vi mi hỡnh chiờu thỡ cha xỏc nh c mt vt th duy nht trong khụng gian Vỡ vy mt hỡnh chiu cha m bo c tớnh phn chuyn ca hỡnh biu din. ắ Trong cỏc bi sau chỳng ta s nghiờn cu phng phỏp cỏc hỡnh chiu vuụng gúc m cỏc hỡnh biu din m bo tớnh phn chuyn c gi l thc . ======================== GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 3 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm Bi 1 IM I. THC CA IM I.1 H thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc a) Cỏch xõy dng Trong khụng gian cho hai mt phng P 1 v P 2 vuụng gúc nhau, d hỡnh dung t P 1 nm ngang, P 2 thng ng. Ta nhn c h thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc (hỡnh 1.1) x A x (III) Cao<0, xa <0 (II) Cao>0, xa <0 (I) Cao>0, xa >0 A X A 2 A 1 A 1 A 2 A X P 1 (IV) Cao<0, xa >0 P 2 Hỡnh 1.1 Hỡnh 1.2 Xột mt im A bt k trong khụng gian. _ Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn P 1 v P 2 ta nhn c cỏc hỡnh chiu A 1 , A 2 _ Quay mp P 1 quanh trc x mt gúc 90 0 theo chiu mi tờn qui c nh (hỡnh 1.1) n trựng P 2 . Vỡ mp (A A 1 A 2 ) P 1 v P 2 nờn s vuụng gúc vi trc x ti im A X . Do ú sau khi quay n v trớ mi ba im A 1 , A X , A 2 thng hng v vuụng gúc trc x (hỡnh1.2) b) Cỏc nh ngha _ P 1 Mt phng hỡnh chiu bng _ P 2 Mt phng hỡnh chiu ng _ x = P 1 P 2 Trc hỡnh chiu _ A 1 Hỡnh chiu bng ca im A _ A 2 Hỡnh chiu ng ca im A _ A 1 A 2 ( x) ng giúng _ A 1 A x xa ca im A, qui c dng nu A 1 nm phớa di trc x _ A 2 A x cao ca im A, qui c dng nu A 2 nm phớa trờn trc x _ (A 1 , A 2 ) Cp im hỡnh chiu ny gi l thc ca im A.Tht vy t A 1 , A 2 ta cú th dng li c im A theo th t ngc li vi cỏch dng thc ca nú H thng P 1 v P 2 chia khụng gian ra lm 4 gúc phn t: _ Gúc phn t 1 - L phn khụng gian nm trờn P 1 v trc P 2 _ Gúc phn t 2 - L phn khụng gian nm trờn P 1 v sau P 2 _ Gúc phn t 3 - L phn khụng gian nm di P 1 v sau P 2 _ Gúc phn t 4 - L phn khụng gian nm di P 1 v trc P 2 + Mt phng phõn giỏc 1. L mt phng phõn giỏc ca P 1 v P 2 i qua gúc phn t th 1 v gúc phn t th 3. Nhng im thuc mt phng phõn giỏc1 cú thc l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng i xng nhau qua trc hỡnh chiu x GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 4 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm + Mt phng phõn giỏc 2. L mt phng phõn giỏc ca P 1 v P 2 i qua gúc phn t th 2 v gúc phn t th 4. Nhng im thuc mt phng phõn giỏc 2 cú thc l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng trựng nhau (Hỡnh 1.3) l hỡnh khụng gian biu din mt phng phõn giỏc 1, mt phng phõn giỏc 2 v cỏc gúc phn t ca h thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc P 1 v P 2 Phõn giỏc 2 Phõn giỏc 1 P 2 P 2 A A 2 P 1 x A 1 x P 1 Hỡnh 1.3 Hỡnh 1.4 Nu ta t trc hỡnh chiu x vuụng gúc vi mt phng ca t giy thỡ h thng hai mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 v hai mt phng phõn giỏc 1, 2 c biu din nh (hỡnh 1.4) Túm li thc ca mt im trong khụng gian l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng cú th phõn bit hoc trựng nhau I.2 H thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc a) Cỏch xõy dng Thờm vo mt phng P 3 vuụng gúc vi P 1 v P 2 , thng P 3 t phớa bờn phi ngi quan sỏt, ta nhn c h thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc nh (hỡnh 1.5) Hỡnh 1.5 Hỡnh 1.6 x A P 2 y z 0 A z A 1 P 1 x z y y A y A 1 45 A y A 2 A 3 A y A z A 2 A x A 3 P 3 0 A x Gi y = P 1 P 3 ; z = P 2 P 3 Xột mt im A bt k trong khụng gian. _ Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn cỏc mt phng P 1 , P 2 , P 3 ta nhn c cỏc hỡnh chiu A 1 , A 2 , A 3 . _ Quay cỏc mp P 1 , P 3 ln lt quanh cỏc trc x, trc z mt gúc 90 0 theo chiu mi tờn qui c nh (hỡnh 1.5). Trc y c tỏch ra lm hai phn, mt phn trc y theo mp P 1 n trựng vi trc GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 5 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm z, mt phn trc y theo mp P 3 n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din nh (hỡnh1.6) b) Cỏc nh ngha _ P 3 Mt phng hỡnh chiu cnh _ A 2 A z xa cnh ca im A, qui c dng nu A 2 nm phớa bờn trỏi trc z _ A 3 Hỡnh chiu cnh ca im A ắ Chỳ ý _ A 2 A z = 0 A y = 0 A y = A x A 1 _ Vỡ hai hỡnh chiu biu din thc ca mt im nờn ta d dng v c hỡnh chiu th ba ca im ú Vớ d Cho thc ca im B (B 1 , B 2 ) (hỡnh 1.7a). Hóy v hỡnh chiu th ba ca im B. Hỡnh 1.7a Hỡnh 1.7b B Z x y B 2 B y B Y B 3 B 2 B 1 x B 1 y Hỡnh chiu cnh B 3 ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B y' = 0B y II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 , P 3 lm ba mt phng to cỏc; ba trc hỡnh chiu x, y, z lm ba trc to cỏc (hỡnh 1.8) Vi im A (x A , y A , z A ) bt k trong khụng gian, ta cú: _ Honh x A = 0A x : xa cnh ca im A _ Tung y A = A x A 1 : xa ca im A _ Cao z A = A 1 A : cao ca im A Nh vy Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú. P 3 0 z y x A 1 A A x y A z A x A P 2 Hỡnh 1.8 P 1 Vớ d Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B (4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng. -2 +4 y - z + B Z B Y y + z - -5 Hỡnh 1.9 +2 +3 x - x + x + y + z - A Y A X A z y - z + +4 A 1 A 2 B 2 B 1 B X thc ca cỏc im A, B c biu din nh (hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y, z . x - Trong ú: OA x = +2; OA Y = +3; OA Z = +4 OB x = +4; OB Y = -2; OB Z = -5 III. MT VI V D GII SN GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 6 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm Vớ d 1 Hóy v thc ca cỏc im sau: _ im A thuc mt phng P 1 _ im B thuc mt phng P 2 _ im C thuc mt phng Phõn giỏc 1 _ im D thuc mt phng Phõn giỏc 2 _ im E thuc trc hỡnh chiu x Gii _ im A thuc mt phng P 1 nờn cú A 1 A; A 2 x _ im B thuc mt phng P 2 nờn cú B 2 B; B 1 x _ im C thuc mt phng phõn giỏc 1 nờn cú C 1 v C 2 i xng nhau qua trc x _ im D thuc mt phng phõn giỏc 2 nờn cú D 1 D 2 _ im E thuc trc hỡnh chiu x nờn cú E 1 E 2 x ; (Hỡnh 1.10) Hỡnh 1.10 Hỡnh 1.11 F 2 A 1 o y y z x H Y F Y H 3 H 2 H 1 G 2 G 3 G Y G 1 F Y F Y G Y F 3 F 1 E 1 E 2 D 1 D 2 C 1 C 2 B 1 B 2 x Vớ d 2 Cho thc ca cỏc im F, G, H (hỡnh 1.11). Hóy v hỡnh chiu cnh ca chỳng v cho bit chỳng thuc gúc phn t th my? Gii Hỡnh chiu cnh ca cỏc im F, G, H c v theo chiốu mi tờn bt u i t hỡnh chiu bng F 1 , G 1 , H 1 tip theo l mi tờn i qua hỡnh chiu ng F 2 , G 2 , H 2 . Ta s xỏc nh c cỏc hỡnh chiu cnh F 3 , G 3 , H 3 ; (Hỡnh 1.11) _ im F cú cao dng, xa õm nờn im F thuc gúc phn t th 2 _ im G cú cao õm, xa õm nờn im G thuc gúc phn t th 3 _ im H cú cao õm, xa dng nờn im H thuc gúc phn t th 4 ================ GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 7 Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng Bài 2 ĐƯỜNG THẲNG I. ĐỒ THỨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Đồ thức của đường thẳng được xác định bởi đồ thức của hai điểm thuộc đường thẳng đó. Giả sử đường thẳng d được xác định bởi hai điểm A(A 1 , A 2 ) và B (B 1 , B 2 ) thì : Hai điểm A 1 , B 1 xác định hình chiếu bằng d 1 của đường thẳng d Hai điểm A 2 , B 2 xác định hình chiếu đứng d 2 của đường thẳng d (hình 2.1) B 2 d 1 d 2 A 2 B 1 A 1 x d 1 d 2 x Hình 2.1 Hình 2.2 Nếu d là đường thẳng thường (d 1 , d 2 không vuông góc trục hình chiếu x ), thì khi biểu diễn đồ thức của đường thẳng d không cần biểu diễn hai điểm thuộc nó (hình 2.2) . ¾ Chú ý _ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác1 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng dối xứng nhau qua trục hình chiếu x _ Những đường thẳng thuộc mặt phẳng phân giác 2 có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng trùng nhau II. CÁC VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA ĐƯỜNG THẲNG II. 1 Loại đường thẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu 1) Đường bằng (h) a) Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi h là đường bằng, ta có: h // P 1 (hình 2.3a) h 2 h 1 B 1 A 2 B 2 β A 1 A B A 1 B 1 A 2 B 2 h 1 h 2 h β x x P 2 P 1 β Hình 2.3a Hình 2.3b b) Tính chất: • Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x : h 2 // x (hình 2.3b) GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 8 Baìi giaíng HÇNH HOAû Âæåìng thàóng • Hình chiếu bằng của đường bằng hợp với trục x một góc bằng góc của đường bằng hợp với mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(h 1 , x) = ∠ (h , P 2 ) = β • Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng, bằng chính nó. Giả sử A, B ∈ h ⇒ A 1 B 1 = AB (hình 2.3b) 2) Đường mặt (f) a) Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng: Gọi f là đường mặt, ta có: f // P 2 (hình 2.4a) C D f 2 f 1 D 1 C 2 D 2 α C 1 f 1 f 2 f P 1 P 2 x x D 1 C 2 D 2 C 1 α α Hình 2.4a Hình 2.4b b) Tính chất • Hình chiếu bằng của đường mặt song song với trục x : f 1 // x (hình 2.4b) • Hình chiếu đứng của đường mặt hợp với trục x một góc bằng góc của đường mặt hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠(f 2 , x) = ∠(f , P 1 ) = α • Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt, bằng chính nó. Giả sử C, D ∈ f ⇒ C 2 D 2 = CD (hình 2.4b) 3) Đường cạnh (p) a) Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh: p // P 3 (hình 2.5a) z x z x P 2 p 2 p 1 E 2 F 2 α E 1 P 1 α β F 1 E 3 F 3 E 1 F 1 E 2 F 2 E 3 F 3 β β α 0 y 0 y ’ y P 3 P 3 p 2 p 1 P P 3 F E Hình 2.5a Hình 2.5b b) Tính chất • Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x: p 1 ≡ p 2 ⊥ x . Hai hình chiếu này chưa biểu diễn được một đường cạnh cụ thể trong không gian. Vì vậy để biểu diễn một đường cạnh cụ thể ta cần phải biểu diễn đồ thức của hai điểm thuộc đường cạnh đó; (hình 2.5b) biểu diễn đường cạnh p được xác định bằng hai điểm E, F • Hình chiếu cạnh của đườ ng cạnh lần lượt hợp với trục y’, z các góc bằng góc của đường cạnh hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng : ∠(p 3 , y’) = ∠(p , P 1 ) = α GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 9 . PHẠM KỸ THUẬT 0 BÀI GIẢNG HÌNH HỌA  GVC.ThS NGUYỄN ĐỘ Bộ môn Hình họa – Vẽ kỹ thuật . Hình 2.5a Hình 2.5b b) Tính chất • Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của đường cạnh, trùng nhau và vuông góc với trục x: p 1 ≡ p 2 ⊥ x . Hai hình