1 Phương pháp phân tích hệ thống và lời giải số trực tiếp The method of analyzing engineering systems and its direct numerical solution Bùi Trương Vĩ Đại học kỹ thuật Đà Nẵng TÓM TẮT Nội dung bài báo trình bày phương pháp không gian-trạng thái dùng trong kỹ thuật phân tích và đánh giá chất lượng các hệ thống động lực cũng như lời giải số trực tiếp có thể dễ dàng thực hiện trên các máy tính số. Các ví dụ ứng dụng bao gồm khảo sát và giải cho2 hệ thống .1.Hệ thống cơ học : Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của chiều dài vít me hộp chạy dao máy CNC đến độ chính xác gia công trên máy 2.Hệ thống cơ-điện tử :Khảo sát đặc tính động lực của động cơ điện 1 chiều điều khiển tốc độ bằng dòng điện phần ứng cho cả 2 trường hợp : trục cứng vững tuyệt đối và trục có tính đến độ đàn hồi. ABSTRACT This article develops the state-space representation using in analyzing and examining the performance of engineering systems, also includes the solution using direct numerical method. One of the most advantages of this approach is the ease to solve numerically by computer. Two applications are introduced as illustrating examples, one is the solution of a mechanical system in which the performance of the system can be investigated and examined, the other is the solution of an electromechanical system : a system with an armature-controlled DC motor,both rigid and flexible shaft. ĐẶT VẤN ĐỀ: Sau khi đã nhận được các phương trình đặc trưng mô tả mô hình các hệ thống động lực dùng làm hệ thống chấp hành máy, các mô hình toán học nầy cần được biểu diễn sao cho lời giải của chúng có thể mô tả được trạng thái hoạt động của hệ thống chấp hành ở một thời điểm bất kỳ t nào đó (t ≥ t o ,với t o là thời điểm bắt đầu). Một phương pháp tổng quát cho phép xác định trạng thái chuyển động của một hệ thống là phương pháp không gian - trạng thái, dựa trên tập hợp các biến trạng thái. Các biến trạng thái nói chung là các đại lượng toán học dùng để mô tả 1 hệ thống ở dạng tường minh. NỘI DUNG: Phương pháp không gian - trạng thái mô tả lại các phương trình chuyển động của hệ thống qua các biến trạng thái : • Số biến trạng thái bằng số điều kiện đầu để giải được phương trình chuyển động. • Các biến trạng thái chính là các biến mà điều kiện đầu đòi hỏi. + DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG GIAN-TRẠNG THÁI :    += += DuCxy BuAxx & với : A,B,C,D là các ma trận không gian- trạng thái ; x,u là các véctơ Ma trận A có kích thước n × n , là ma trận hệ thống Ma trận B có kích thước n × m , là ma trận biến vào Ma trận C có kích thước p × n , là ma trận biến ra Ma trận D có kích thước p × m , là ma trận truyền x là véctơ trạng thái có kích thước n × 1 (véc tơ cột) u là véctơ biến vào có kích thước m × 1 y là véctơ biến ra , có kích thước p × 1 Để phân tích và khảo sát đặc tính chất lượng của các hệ thống động lực dùng trong hệ chấp hành máy công cụ ĐKS, ta phải tìm lời giải cho dạng tổng quát của phương trình không gian-trạng thái . Bài toán quy về việc giải các phương trình biến trạng thái, bởi vì phương trình biến ra y dễ dàng tính được một khi chúng ta đã tìm được x + LỜI GIẢI SỐ TRỰC TIẾP CỦA PHƯƠNG TRÌNH BIẾN TRẠNG THÁI : 1 trong những ưu điểm chính của phương pháp không gian- trạng thái là thuận tiện giải trên các máy tính số đối với các phương trình mô tả hệ thống. Phép tính xấp xỉ đạo hàm của 1 biến x: t )t(x)tt(x x ∆ −∆ + = & hay : x(t + ∆t) = x(t) + tx∆ & Đây có thể được coi là biểu thức xấp xỉ kế tiếp để tính giá trị của x ở thời điểm (t ) t ∆+ khi biết giá trị của x và x & ở thời điểm t . Thay x & ở phương trình biến trạng thái vào biểu thức xấp xỉ kế tiếp , ta có: x( ][ tuB)t(Ax)t(x)tt ∆+ + = ∆ + Chú ý rằng các hệ thống động lực dùng làm hệ chấp hành máy công cụ được mô tả ở trên với giả thiết có các số hạng A và B là tuyến tính và không đổi theo thời gian, nhưng biểu thức xấp xỉ kế tiếp ở trên vẫn áp dụng được nếu các số hạng ( và do đó là hệ thống ) phụ thuộc theo thời gian và / hay không tuyến tính . Như vậy, bắt đầu từ thời điểm t = 0 , cùng với các điều kiện đầu đã biết , ta có thể xác định được các biến trạng thái ở các bước thời gian kế tiếp ỨNG DỤNG : VÍ DỤ 1 : Khảo sát ảnh hưởng độ đàn hồi của chiều dài vít me hộp chạy dao máy CNC đến độ chính xác gia công trên máy 2 Bài toán đặt ra là giả sử ta có 1 hệ thống cơ học dùng làm hệ thống truyền động chạy dao cho máy CNC, bao gồm động cơ truyền động cho trục vít me qua hộp giảm tốc bánh răng. Trục vít me dẫn động bàn máy mang chi tiết gia công đến vị trí chính xác càng nhanh càng tốt. Do vít me có chiều dài nhất định cũng như tính đàn hồi của các bánh răng trong hộp giảm tốc, góc xoay của vít me tại vị trí làm việc (vị trí ăn khớp với đai ốc bàn máy ) sẽ khác với góc xoay tính toán, và dẫn đến không tiên đoán được vị trí thực tế của bàn máy. Yêu cầu của bài toán nhằm tìm ra các ảnh hưởng do tính đàn hồi của vít me tác dụng đến sự làm việc của cơ cấu chấp hành (bàn máy) cũng như biện pháp khắc phục để bàn máy mang chi tiết gia công đến vị trí mong muốn với độ chính xác cao. Yêu cầu nầy là đặc biệt có ý nghĩa khi bàn máy mang chi tiết gia công đang thực hiện chuyển động cắt gọt , bởi vì dụng cụ cắt có thể cắt lẹm vào bề mặt gia công LỜI GIẢI 4 4 3 3 4 M 1 1 θ J 1 J 3 3 θ 4 θ J 4 M t k N H 1a) : Hệ thống truyền động 4 4 4 3 3 4 M 1 M t k 1 θ J 1 2 θ J 2 J 3 J 4 3 θ 4 θ H1b) :Môhình hệ thống 4 2 θ J 2 I II Hình 1trình bày sơ đồ hệ thống truyền động chạy dao theo 1trục toạ độ của máy công cụ ĐKS(CNC) Các giả thiết ban đầu : Trục I : trục động cơ, giả sử cứng vững tuyệt đối , khi đó rô to động cơ cùng với trục I và bánh răng 2 quay cùng tốc độ, hay nói một cách khác θ 1 = θ 2 = θ m ; Trục II : trục vít me,có độ cứng k vm 4 l32 dGπ = với G : mô đun đàn hồi chống xoắn của vật liệu; d,l vm : đường kính trung bình của ren và chiều dài vít me ; N>1: tỉ số truyền giảm tốc ; J 1 : mômen quán tính rô to động cơ J 4 :mômen quán tính bàn mang tải quy về trục II; Bỏ qua mômen quán tính các bánh răng J 2 và J 3 ; b 1 ,b 2 : hệ số ma sát trên các trục I và II tương ứng . Phương trình chuyển động của hệ thống truyền động cơ học : M 1 -b 1 m θ & -M 2 = J 1 m θ && (1.1) k 44424 m Jb N θ=θ−       θ− θ &&& (1.2) Ngoài ra, do trục I truyền chuyển động đến trục vít me qua cặp bánh răng trung gian được giả thiết bỏ qua mô men quán tính, nên ta có thể viết : NM 2 =       θ− θ 4 m N k (1.3) Áp dụng kỹ thuật phân tích không gian-trạng thái với định nghĩa véc tơ biến trạng thái x như sau : x 1 = θ m ; x 3 = θ 4 ; x 2 = m θ & ; x 4 = 4 θ & Khi đó có thể viết : 21 xx = & ; 43 xx = & ; m2 x θ= && & ; 44 x θ= && & Từ các phương trình (1),(2),(3), ta có: 1 1 4 1 m 2 1 m 1 1 m J M NJ k NJ k J b +θ+θ−θ−=θ &&& 1 1 3 1 1 2 1 2 1 1 J M x NJ k x NJ k x J b ++−−= và 4 4 2 4 4 m 4 4 J b J k NJ k θ−θ−θ=θ &&& 4 4 2 3 4 1 4 x J b x J k x NJ k −−= Viết lại ở dạng phương trình biến trạng thái : =                     4 3 2 1 x x x x          − NJ k 0 NJ k 0 4 2 1 0 0 J b 1 1 1 − 4 1 J k 0 NJ k 0 −          − 4 2 J b 1 0 0                     4 3 2 1 x x x x +                   0 0 J 1 0 1 M 1 Thay các số liệu thành phần của A và B, trong đó cho trước : J 1 = 0,0001Nms 2 /rad ; J 4 = 0,001Nms 2 /rad ; b 1 = b 2 = 0,01Nms/rad; k = 1Nm/rad ; N = 5 và giải bằng lời giải số trực tiếp phương trình biến trạng thái. Lời giảisố trực tiếp Kết quả :H1.c,d. 3 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Thơ ̀i gian t (s) H1.c)Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ học 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 00,511,522,533,544,55 Thời gian t ( s ) H1.d)Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ học Thuật toán • Xác định gia số thời gian và các giá trị đầu dt = 0,01 N=1000 x 1 (0) = 0 x 2 (0) = 0; u (0) = M 1 (0)= 1/100 • Thời điểm bắt đầu : t 1 = 0 • Thực hiện các phép tính với i=1            −− +=+ +=+ + +− −+=+ +=+ ∆t*(t)]10x(t)1000x (t)[200x(t)x∆t)(tx ∆t(t)*x(t)x∆t)(tx ∆t*]10000M (t)2000x(t)100x (t)400x[(t)x∆t)(tx ∆t(t)*x(t)x∆t)(tx 43 144 433 1 32 122 211 • Cập nhật các giá trị của x và t tại điểm kế tiếp • Tiếp tục cho đến i = N+1 Lời giải nhận được chỉ ra đặc tính động lực của hệ thống chấp hành cơ học Trên đồ thị H1c,d là các đường đặc tính x 2 và x 4 biểu thị sự biến đổi tốc độ góc của trục I và trục II theo thời gian , qua đó ta có thể thấy rằng có thể coi đáp ứng đạt giá trị xác lập sau khoảng 1s, đây là khoảng thời gian khá dài khi gia công với tốc độ cao. Mặt khác, bản chất dao động của đáp ứng có thể sản sinh ra các mấp mô trên bề mặt gia công. Biện pháp khắc phục : Cần thiết lập hệ thống điều khiển có phản hồi cho hệ thống khảo sát. Σ - Hệ thống chấphành x H1.e:Mô hình hệ thống có phản hồi dạng không gian-trạng thái Σ + + B A y x & ru G + C Trong trường hợp tổng quát , đối với hệ thống có phản hồi mô tả ở dạng không gian - trạng thái (H 1.e), cần xác định véc tơ phản hồi G sao cho hệ thống được cung cấp 1 véc tơ điều khiển u đảm bảo đáp ứng hệ đúng theo mong muốn. Các trị riêng của hệ thống hở: eig(A)= 0.0000 , -96.2922 , -6.8539 +32.1414i và -6.8539 -32.1414i Trước hết kiểm tra tính điều khiển được của hệ thống ( có đặt các cực tuỳ ý được hay không ): Rk C T = Rk [ B][AB][A 2 B][A 3 B] = 4 = bậc của hệ thống : Hệ có tính điều khiển được Đặt cực: Để có cản tới hạn ( ξ = 1), ta đặt tất cả 4 cực tại s = -20 và sau đó tìm véctơ hệ số phản hồi thích hợp . Véctơ cực vòng kín mong muốn : dp = [-20 -20 -20 -20] Véctơ hệ số phản hồi : k = acker(A,B,dp) cho kết quả : k =[ 0.0300 -0.0030 -0.0700 -0.0225 ] Các mô tả hệ thống có phản hồi trở thành : AC = A-B*k ; BC = B; CC=C ;DC=0 trong đó: AC= [0 1 0 0;-700 -70 2700 225;0 0 0 1; 200 0 -1000 -10] Kiểm tra các trị riêng của AC: eig(AC) = -20.0050 , -19.9950 , -20.0000 + 0.0050i và -20.0000 - 0.0050i Kết quả là phù hợp. Đáp ứng nấc hệ thống có phản hồi nhận được như 4 (H 1.f) Đường x3 mô tả đặc tính chuyển vị góc tại vị trí mang tải trên trục II của hệ thống chấp hành theo yêu cầu thiết kế ξ = 1 ( đáp ứng không dao động nhanh nhất ); tương ứng với sự biến đổi tốc độ góc trên các trục I và II sau thời gian xác lập sẽ bằng 0 (các đường x2 và x4 ở H1. c,d ). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 Thời gian t(s) x3 H1.f): Đáp ứng nấc của hệ thống có phản hồi Kết quả của phương pháp trên là rõ ràng , tuy vậy có 1 số nhược điểm , ví dụ việc đặt cực tuỳ ý có thể vượt quá khả năng thực tế của hệ điều khiển hệ thống truyền động, cũng như tất cả các biến trạng thái phải được phản hồi (trường hợp đang khảo sát, cần 2 chuyển vị kế và 2 tốc kế ), dẫn đến hệ phức tạp, tăng giá thành . VÍ DỤ 2: Khảo sát đặc tính động lực của động cơ điện 1 chiều điều khiển tốc độ bằng dòng điện phần ứng Các giả thiết ban đầu : Trục tuyệt đối cứng ( ∞→k ) và là thành phần đàn hồi , do vậy có thể coi rô to, trục và điã mang tải là 1 vật thể rắn duy nhất quay cùng tốc độ ω. Momen quán tính khối lượng tổng là : J= J r +J đ i a : dòng điện phần ứng R a ,L a : điện trở , cuộn cảm trong mạch điện V i : thế hiệu đặt vào (biến vào) LỜI GIẢI Hệ thống có thể được mô tả bởi 2 phương trình vi phân. Đối với mạch điện, ứng dụng định luật Kirchoff phân tích mạch vòng, ta có : ΣV điện áp rơi = 0 V Ra + V La +E b - V i = 0 trong đó : E b là sức phản điện sinh ra trong động cơ khi cuộn dây rô to bắt đầu quay. E b = K e ω =K e θ & với K e : hệ số phản điện, là hằng số. K e       s 1 rad Volt Đối với hệ thống cơ học, dựa vào sơ đồ H2b, ta có : + 4→ΣM c = I c →4+ hay M 1 +M t - b θ & =J θ && (2.1) + - V i R a L a + - k i a J r J đ 4 θ=ωθ & , M t H2 a) Hệ thống động lực với động cơđiện 1 chiều điều khiển tốc độ bằng dòng điện phần ứng. H2 b) Sơđồ phân tích Hệ có 1biến vào V i và 2biến ra, i a và θ ,là các biến độc lập. 4 3 θ & b M 1 +M t 4 θ Momen sinh ra bởi động cơ tỉ lệ với dòng phần ứng i a : M 1 = k m i a trong đó k m : hằng số ngẫu của động cơ . K m       A Nm Viết lại : J θ+θ &&& b - k m i a = M t (2.2) Cuối cùng , phương trình mô tả hê thống :      =θ++ =−θ+θ ieaa a a tam VkiR dt di L MikbJ & &&& Sắp xếp lại ở dạng ma trận bậc 2, phương trình vi phân mô tả mô hình hệ thống trên (H2 a) có thể được biểu diễn :    0 J    0 0       θ a i && && +    e k b    a L 0       θ a i & & +    0 0    − a m R k       θ a i =       i t V M Do hệ phương trình không chứa số hạng độ cứng , nên có thể thay ω = θ & . Khi đó các phương trình hệ trở thành :      =ω++ =−ω+ω ieaa a a tam VkiR dt di L MikbJ & và ở dạng ma trận : 5    0 J    a L 0       ω a i & & +    e k b    − a m R k       ω a i =       i t V M Áp dụng lời giải số trực tiếp cho hệ thống cơ-điện tử trình bày ở H2 với phương trình vi phân mô tả ở dạng ma trận như trên Các số liệu ban đầu cho trước Điều kiện đầu i a (0) = 0 ; )0(i a & =0. L a = 1H ; R a = 1Ω k e = 1 Vs. J = 1kgm 2 . b = 2Nms . k m = 1Nm/A . M t = 0 . Thay các giá trị bằng số, ta có:    0 1    1 0       ω a i & & +    1 2    − 1 1       ω a i =       1 0 H2.c) là lời giải nhận được đối với hệ thống cơ - điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm dòng nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu cho trước như trên. Giá trị xác lập của dòng và tốc độ đạt được là 0,67A và 0,33 rad/s tương ứng , được tìm thấy qua đồ thị. Lời giải số trực tiếp Kết quả :H2.c 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 012345678910 Thời gian t(s) )t(ω i(t) H2.c) :Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ-điện tử Nếu giả thiết trục có độ cứng hữu hạn k , hệ thống điện ở (H2a) không thay đổi, nhưng sơ đồ phân tích hệ thống cơ học ở (H2b) được thay đổi như sau: Mô tả hệ thống cơ học (H2b) theo mô hình hệ thống có 2 bậc tự do, với 1 θ , 2 θ là các toạ độ vị trí góc. J t 4 4 4 M 1 =k m i a θ 1 J r k b θ 2 M t H2 d) :Sơđồ phân tích hệ thống cơ học khi trục có độ cứng hữu hạn Phương trình vi phân mô tả hệ thống điện : L a +R a i a +k e =V i (3.1) dt di a 1 θ & Đối với hệ thống cơ học,các phương trình momen : )2.3(ikM)(k)(bJ am121211r ==θ−θ+θ−θ+θ &&&& )3.3(M)(k)(bJ t21122t =θ−θ−θ−θ+θ &&&& Viết lại ở dạng phương trình biến traṇg thái với các biến traṇg thái được chọn : x 1 = 1 θ ; x 2 = 11 x & & =θ ; x 3 = 2 θ ; x 4 = 32 x & & =θ ; x 5 = i a ; x 6 = 5a xi & & = . Khi đó đối với toàn hệ thống điện và cơ :                       6 5 4 3 2 1 x x x x x x & & & & & & =             − 0 0 J k 0 J k 0 t r 0 L k J b 0 J b 1 a e t r − − 0 0 J k 0 J k 0 t r − 0 0 J b 1 J b 0 t r − 0 L R 0 0 J k 0 a a r m −             0 0 0 0 0 0                         6 5 4 3 2 1 x x x x x x + i a V 0 L/1 0 0 0 0                     + t t M 0 0 J/1 0 0 0                     Áp dụng lời giải số trực tiếp cho hệ thống cơ-điện tử trình bày ở H2 với phương trình vi phân mô tả ở dạng ma trận như trên Các số liệu ban đầu cho trước : Điều kiện đầu : i a (0) = 0 ; )0(i a & =0 ; 1 θ (0 ) = 0; 0)0( 1 =θ & . 6 0)0( 2 =θ ; 0)0( 2 =θ & . Lời giải số trực tiếp Kết quả :H2.e H2e): Lời giải số trực tiếp hệ thống cơ-điện tử -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 0246810 Thời gian t(s) x2 x4 x5 Điện áp đặt vào là hàm nấc đơn vị : V i (t) =1; M t = 0 L a = 1H R a = 1Ω; k = 1Nm/rad; b = 2Nms ; k e =1Vs k m =1Nm/A ; J r = 0,1kgm 2 ; J t = 1 kgm 2 ; Thay vào các giá trị bằng số , ta có:                     6 5 4 3 2 1 x x x x x x & & & & & & =           − 0 0 1 0 10 0 0 1 2 0 20 1 − − 0 0 1 0 10 0 − 0 0 2 1 20 0 − 0 1 0 0 10 0 −           0 0 0 0 0 0                     6 5 4 3 2 1 x x x x x x + i V 0 1 0 0 0 0                     + t M 0 0 1 0 0 0                     H2.e) là lời giải nhận được đối với hệ thống cơ - điện tử H2 khi chịu tác động của biến vào là hàm nấc đơn vị theo các số liệu và điều kiện đầu cho trước như trên. Trên đồ thị ,các đường đặc tính x 2 và x 4 biểu thị sự biến đổi tốc độ góc tại vị trí rô to và tại vị trí đĩa mang tải theo thời gian .Rõ ràng là do ảnh hưởng bởi độ đàn hồi của trục gây ra 1 lượng chuyển vị vượt quá trong giai đoạn quá độ của hệ thống chấp hành .Lượng vượt quá nầy lên đến hơn 10% theo đồ thị sau thời gian 4,71 s KẾT LUẬN Trên đây là phương pháp mô tả không gian -trạng thái trong phân tích thiết kế các hệ thống kỹ thuật và cách dùng lởi giải số trực tiếp để nhận được kết quả tính toán Độ chính xác kết quả nhận được ngoài việc phụ thuộc vào mô hình thiết lập còn phụ thuộc vào thuật toán tìm lời giải. Đối với thuật toán của lời giải số trực tiếp, độ chính xác kết quả nhận được chỉ phụ thuộc vào số phép lặp, và độ dài thời gian thực hiện, và tùy theo tính chất hệ thống khảo sát cũng như tùy thuộc vào chỉ tiêu cụ thể khi phân tích , đánh giá chất lượng hệ thống để lựa chọn số phép lặp N và gia số thời gian ∆t thích hợp. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn đắc Lộc,Tăng Huy : Điều khiển số và công nghệ trên máy điều khiển số CNC,Nhà xuất bản Khoa học-Kỹ thuật,Hà Nội 1996 [2] Hung V.Vu,Ramin S.Esfandiari : Dynamic Systems,Mc Graw Hill Inc 1998 [3] Đỗ Sanh : Cơ học Tập 2 , Nhà xuất bản Giáo Dục , Hà Nội 1996 [4] Đặng văn Đào, Lê văn Doanh: Kỹ thuật điện,Nhà xuất bản Khoa học-Kỹ thuật, Hà Nội 1997 [5] Morris Driels : Linear Control Systems Engineering ,Mc Graw Hill International Editions , Mechanical Engineering Series , 1995 [6]Trần văn Minh : Phương pháp số và chương trình bằng Turbo Pascal (Tài liệu dùng cho cán bộ và sinh viên các ngành kỹ thuật),Nhà xuất bản Khoa học-Kỹ thuật,Hà Nội 1998 [7]Elliot B.Koffman : Turbo Pascal, Problem Solving and Program Design, Addison-Wesley Publishing Company, Inc,1991. [8] MatLab 6p5 ,The MathWorks Inc,2002 7 . tổng quát của phương trình không gian-trạng thái . Bài toán quy về việc giải các phương trình biến trạng thái, bởi vì phương trình biến. thống có thể được mô tả bởi 2 phương trình vi phân. Đối với mạch điện, ứng dụng định luật Kirchoff phân tích mạch vòng, ta có :