Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TỔ: TOÁN- TIN TRƯỜNG : THPT LÊ HOÀN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Vấn đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b) Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) là f’(x) ≥ 0 (hoặc f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a; b), dấu đẳng thức xảy ra tại một số hữu hạn điểm x 0 ∈ (a; b) hoặc không xảy ra trên (a; b). 2. Các dạng bài toán thường gặp: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) trên tập xác định của nó. Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x) B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt. Tìm tham số m để hàm y = f(x; m) đồng biến, nghịch biến hoặc không đổi trên các khoảng xác định của nó. Phương pháp: B1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x; m) B2. Tìm y’ = f’(x; m) theo x. B3. * Nếu f(x) là hàm số đa thức bậc 3, 4 hoặc hàm số dạng f(x) = 2 ax bx c dx e + + + , ad ≠ 0 thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định của nó là y’ ≥ 0, ∀x ∈D) (hoặc y’ ≤ 0, ∀x ∈ D). * Nếu f(x) = ax b cx d + + thì điều kiện để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các khoảng xác định của D là y’> 0, ∀x ∈D (hoặc y’ < 0, ∀x ∈ D) * Điều kiện để 1 hàm số bất kỳ nào đó là hàm số không đổi trên từng khoảng xác định của nó là: y’ = 0, ∀x ∈ D. B4. Từ điều kiện ở (B 3 ) ta chuyển về bài toán đại số (thường là bài toán tam thức bậc 2) để giải tìm m. BÀI TẬP Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 3 2 3 2 2 2 4 2 a / y x 3x 2 ; b / y x 3x 2 c / y x (4 x ) ; d / y x 2x 3 = − − + = − + = − = − + Phương pháp: B1. Tìm tập xác định D của f(x) B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm. Xét dấu y’. Lập bảng biến thiên của y trên D B3. Dựa vào bảng biến thiên suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lí ở phần tóm tắt. Bài 2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 1 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 2 2 2x 1 x 4 a / y ; b / y x 2 x 2 x x 2 x 4 c / y ; d / y 2 x x − + = = − − − − + + = = − Phương pháp làm như bài 1. Bài 3. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 2 2 2 x 1 a / y 4 3x x ; b / y x x 1 1 c / y ; d / y | x 3x 4| x 1 + = − − = − + = = − − + Phương pháp làm như bài 1. Bài 4. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên các khoảng xác định của nó: a/ y = 4x 3 + (m + 3)x 2 + mx (ĐS: m = 3) b/ 3 2 mx y mx 4x 1 3 = − + − (ĐS: 0 ≤ m ≤ 4) c/ mx 1 y x m + = + (ĐS: m < - 1 ∨ m > 1) d/ 2 x mx 1 y x 1 + − = − (ĐS: -5 ≤ m ≤ 1 3 ) Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2 Bài 5. Tìm m để hàm số 2 3 2 ( 5 ) 6 6 1y m m x mx x= − + + + + đồng biến trên R. HD: y’ ≥ 0, x R∀ ∈ Bài 6. Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. a/ y = mx 3 + 3x 2 + 3mx (ĐS: m ≤ -1) b/ y = mx 1 x m + + (ĐS: -1 < m < 1) c/ 2 2 x 2mx 3m y x 2m − + = − + (ĐS: m = 0) Thực hiện theo các bước nêu ở dạng 2 Vấn đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và có đạo hàm trên (a; b) ⊂ D (có thể trừ điểm x 0 ) * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f' x > 0 trên a; x f' x < 0 trên x ; b thì x 0 là điểm cực đại của hàm số * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f' x < 0 trên a; x f' x > 0 trên x ; b thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số 2. Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D, có đạo hàm cấp 2 trên (a; b) ⊂ D và f’(x 0 ) = 0 Khi đó a/ Nếu f”(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại của hàm số b/ Nếu f”(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số 3. Các dạng bài toán thường gặp: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) Phương pháp 1: B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 2 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 , tìm giá trị của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thiên của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT. Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, y” B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x 1 , x 2 và tìm y”(x 1 ), y”(x 2 ) … * Nếu y”(x i ) < 0 (hoặc y”(x i ) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x i , i = 1, 2, Tìm m để hàm số y = f(x) đạt cực đại hay đạt cực tiểu tại điểm x = x 0 cho trước nào đó. Phương pháp 1: (Sử dụng đối với các hàm có đạo hàm cấp 2 phức tạp) B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) B2. Tìm y’ B3. Để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x 0 điều kiện cần là y’(x 0 ) = 0 hay y’(x) không tồn tại tại điểm x 0 , từ điều kiện này ⇒ m. B4. Thử lại ứng với các giá trị vừa tìm của m, ứng với giá trị m nào bài toán thỏa mãn thì nhận giá trị m đó. Phương pháp 2: (Sử dụng đối với hàm số đạo hàm cấp 2 đơn giản) B1. Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) B2. Tìm y’, y” B3. Dựa vào các điều kiện sau, tìm được 1 hệ phương trình đối với m, giải tìm m. * y đạt cực đại tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 = ⇔ < y' x y" x * y đạt cực tiểu tại x = x 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 = ⇔ > y' x y" x Tìm m để hàm số y = f(x) luôn luôn có cực đại hay có cực tiểu. Phương pháp: 1. Đối với hàm bậc 3 : y = f(x; m) = ax 3 +bx 2 + cx+d, a ≠ 0 Hay hàm: ( ) + + = = + 2 ax bx c y f x; m dx e , ad ≠ 0 B1. Tìm y’ B2. Vì dấu của y’ cùng dấu với (1 biểu thức bậc 2) nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ đổi dấu đúng hai lần ⇒ (tam thức bậc 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc tập xác định ⇒ m. 2. Đối với hàm bậc 4: y = f(x; m) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, a≠ 0 B1. Tìm y’ (y’ là hàm bậc 3) B3. *Vì y’ là 1 biểu thức bậc 3 nên để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ phải đổi dấu 3 lần. ⇒ y’ = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇒ m * Để hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại thì y’ đổi dấu đúng 1 lần từ - sang +. ⇒ a > 0 ⇒ m y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm * Để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu thì y’ chỉ có một lần đổi dấu từ + sang - ⇒ a < 0 ⇒ m y’ = 0 có 1 nghiệm hoặc chỉ có 2 nghiệm. Tìm m để hàm số y = f(x) có cực đại hay có cực tiểu với x CĐ , x CT hay y CĐ , y CT thỏa mãn một điều kiện hay một hệ thức cho trước. Phương pháp: Sử dụng đối với hàm số bậc 3, hàm phân thức ; Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 3 (bậc 2) (bậc 1) (bậc 2) (bậc 2) Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, dấu y’ cùng dấu với một tam thức bậc 2. B3. Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ biểu thức bậc 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa điều kiện. a ≠ 0 ⇔ ∆ > 0 (∆’ > 0) ⇒ tham số m (1) nghiệm thỏa điều kiện B4. * Khi đó nếu ∆ hay ∆’ = bình phương một biểu thức thì tìm trực tiếp x CĐ, x CT . * Nếu ∆ không như trên thì sử dụng định lí Viet tìm { 1 2 1 2 x x x .x + B5. Biến đổi hệ thức đã cho về hệ thức chỉ chứa tổng tích của x 1 , x 2 . Rồi thay biểu thức tổng, tích ở bước 4 vào hệ thức ở bước 5 ta được 1 phương trình hay bất phương trình đối với m, giải tìm m. Kết hợp với điều kiện m ở bước 3 suy ra các giá trị m cần tìm. Chú ý: Cách tìm y CĐ, y CT của các hàm số thường gặp: a/ Đối với hàm số dạng: ( ) ( ) u x y v x = nếu có cực trị thì y CĐ = ( ) ( ) ( ) ( ) = CD CT CT CD CT u' x u' x ; y v' x v' x Vì tại x CĐ , x CT có 2 0 0 0 u'v uv' u' u y' u' v uv' v' v v − = ⇒ = ⇒ − = ⇒ = b/ Đối với hàm số bậc 3: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0 Nếu x CĐ , x CT đơn giản thì thay x CĐ , x CT vào y = f(x) để tìm y CĐ , y CT . Nếu x CĐ , x CT phức tạp hoặc không tính cụ thể x CĐ , x CT để tìm y CĐ , y CT như sau: * Phân tích hàm số về dạng y = (Ax + B).y’ + Cx + D (Bằng cách chia y cho y’, có thương là Ax + B và phần dư là Cx+D) * Nếu hàm số có cực trị thì y CĐ = Cx CĐ + D; y CT = Cx CT + D vì tại x CĐ , x CT có y’ = 0. BÀI TẬP Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 3 2 4 2 4 2 3 2 3 12 5 4 5 2 2 3 4 1 = − − + = − − + − + = − + = − = = − x a / y x x x ; b / y x x x x x c / y x ; d / y x e / y x.e ; f / y ln x x Phương pháp 1: B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’. Tìm các điểm 0 x mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm, tìm giá trị của hàm số tại các điểm 0 x , lập bảng biến thiên của y trên D. B3. Dựa vào bảng biến thiên và định lí 1 ⇒ các giá trị CĐ, CT. Phương pháp 2: Chỉ xét đối với các hàm số có đạo hàm các cấp liên tục trên miền xác định của nó B1. Tìm TXĐ D. B2. Tìm y’, y” B3. Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x 1 , x 2 và tìm y”(x 1 ), y”(x 2 ) … * Nếu y”(x i ) < 0 (hoặc y”(x i ) > 0) thì hàm số đạt cực đại (hoặc đạt cực tiểu) tại x i , i = 1, 2, Bài 2. Tìm m để hàm số sau: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 4 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013-2014 a/ y =x 3 + 2mx 2 + mx + 1 t cc i ti x = -1 (S: m =1) b/ y = -3x 4 + mx 2 - 1 t cc i ti 3 3 =x (S: m = 2) c/ y = x 3 - 3mx 2 + (m - 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2 (S: m = 1) d/ y = x 3 - mx 2 + 2 3 ữ m x + 5 t cc tiu ti x =1 (S: m= 7 3 ) e) 2 1+ + = + x mx y x m t cc i ti x = 2 (S: m = -3) 2 3 2 = mx mx f / y x t cc tiu ti x = 1 (S: khụng cú m) g/ 2 2 2 2 2 + + = + x x m y x x t cc i ti x = 2 (S: m = 2) Thc hin cỏc bc theo dng 2 Bi 3. Tỡm cỏc giỏ tr ca m, n sao cho hm s: ( ) 1 = = + + + n y f x x m x t cc i ti x = -2 v cú f(-2) = -2. HD: '( 2) 0 ''( 2) 0 ( 2) 2 y y y = < = Bi 4. Cho haỡm sọỳ ( ) 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + Chổùng minh rũng m R õọử thở haỡm sọỳ luọn coù cổỷc õaỷi, cổỷc tióứu vaỡ khoaớng caùch giổợa hai õióứm õoù bũng 20 . HD: + Xỏc nh m hm s cú cc i, cc tiu: y = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc -1. + Chng minh 2 2 ( ) ( ) 20 B A B A AB x x y y= + = , vi A, B l im cc i, cc tiu. Bi 5. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m hm s sau õy: a/ y = x 3 - 3mx 2 + 3(2m - 1)x + 1 cú cc i, cc tiu v tỡm ta cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s. (S: m 1) b/ y = (x + m) 3 + (x + 2m) 3 - x 3 cú cc i, cc tiu (S: m 0) c/ ( ) 2 2 1 + + = + x m x m y x cú cc i, cc tiu, tỡm ta ca im cc i, cc tiu ca th hm s. Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc i, cc tiu ca th hm s. (S: m < - 1 2 , y = 2x + m +2) Vn 3 GI TR LN NHT V GI TR NH NHT CA HM S A. Túm tt lý thuyt: 1. S M gi l giỏ tr ln nht ca f(x) trờn tp I. ( ) ( ) 0 0 f x M, x I x I:f x M = (Kớ hiu : M = Max f(x)) I 2. S m gi l giỏ tr nh nht ca f(x) trờn tp I. ( ) ( ) 0 0 f x m, x I x I:f x m = Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 5 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 (Kí hiệu : m = Min f(x)) B. Các dạng toán thường gặp: Ứng dụng của đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = f(x) trên I. Trường hợp 1: Tập I đã cho là 1 khoảng (a; b) hoặc nửa khoảng (a; b]; [a; b) với a, b có thể là ± ∞ B 1 : Tìm y’ B 2 : Tìm các điểm mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x 1 , x 2 , ∈ I. Tìm giá trị f(x 1 ), f(x 2 ), và tính ( ) ( ) x a x b , lim limf x f x + − → → B 3 : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập I. Dựa vào bảng biến thiên suy ra ( ) ( ) II , Max Minf x f x Trường hợp 2: Tập I đã cho là đoạn [a; b]. Phương pháp: B 1 : Tìm y’ B 2 : Tìm các điểm thuộc (a; b) mà tại đó y’ = 0 hoặc không có đạo hàm: x 1 , x 2 ∈ I (nếu có) và tìm các giá trị f(x 1 ), f(x 2 ), , f(a), f(b). B 3 : So sánh các giá trị: f(x 1 ), f(x 2 ), , f(a), f(b) suy ra [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 x I Max f x ,f x , ,f a ,f b Max f x ∈ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 2 x I Min f x ,f x , ,f a ,f b Minf x ∈ = Trường hợp 3: Không cho biết tập I, tức là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên tập xác định D của hàm số: (Tức là I ≡ D). B 1 : Tìm tập xác định D của hàm số. B 2 : Chuyển bài tập về trường hợp 1 hoặc 2. BÀI TẬP Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 3 4 ( ) 4 3f x x x= − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 1 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 4 2 ( ) 2 3 3f x x x= + − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 1 Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a. ] 3 2 ( ) 6 9 , 0;4f x x x x x = − + ∈ b. ] 3 2 ( ) 6 9 , 2;4f x x x x x = − + ∈ c. ] 4 2 ( ) 2 3, 0;2f x x x x = − + ∈ d. ] 4 2 ( ) 2 3, 2;3f x x x x = − + ∈ − HD: Sử dụng trường hợp 2 Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x 2 4 x − . HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 2 Bài 5. Cho hàm số f(x) = x + 2 4 x − . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. HD: Tìm tập xác định Sử dụng trường hợp 2 Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a. ( ) sinx os2f x c x= + HD: Đặt t = sinx b. ( ) 2 osx os2f x c c x= + HD: Đặt t = cosx Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 6 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 Vấn đề 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số y = f(x) (B 1 ): Tìm tập xác định của hàm số đã cho. (B 2 ): Dựa vào các định nghĩa và định lí sau để tìm các đường tiệm cận (B 3 ): Kết luận 1. Tiệm cận đứng : (⊥ Ox) Nếu ∃x 0 (hữu hạn) sao cho ( ) 0 x x lim f x + → = ±∞ (hoặc ( ) 0 x x lim f x − → = ±∞ ) thì đường thẳng có phương trình x = x 0 là tiệm cận đứng bên phải (hoặc bên trái) của đồ thị hàm số. 2. Tiệm cận ngang: (⊥ Oy) Nếu ( ) ( ) 0 x x f x y lim →−∞ →+∞ = (hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = y 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số. 3. Tiệm cận xiên: Nếu tồn tại đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ≠ 0 sao cho ( ) ( ) ( ) x x f x ax b 0 lim →−∞ →+∞ − + = thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x). 4. Nếu ( ) ( ) x x f x a lim x →−∞ →+∞ = (hữu hạn) và ( ) ( ) x x f x ax b lim →−∞ →+∞ − = (hữu hạn) thì đường thẳng có phương trình y = ax + b là tiệm cận xiên bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu a ≠ 0 và nếu a = 0 là tiệm cận ngang bên trái (hay bên phải) của đồ thị hàm số. Chú ý: 1/ Nếu đường thẳng x = x 0 (hay y = y 0 hay y = ax + b, a ≠ 0) vừa là tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) bên trái và bên phải của đồ thị hàm số y = f(x) thì gọi chung là tiệm cận đứng (hay ngang hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x). 2/ Đối với hàm số phân thức: + Nếu phương trình mẫu số = 0 có nghiệm thì đồ thị của nó có tiệm cận đứng (số tiệm cận đứng = số nghiệm của phương trình mẫu số = 0) + Nếu (bậc tử) ≤ (bậc mẫu) thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang. + Nếu (bậc tử) = (bậc mẫu) + 1 thì đồ thị của nó có tiệm cận xiên. * Đối với hàm phân thức để tìm tiệm cận xiên ta thực hiện phép chia tử cho mẫu sau đó dùng định lí 3. 3/ Đối với các hàm số vô tỉ hoặc hàm số khác để tìm tiệm cận xiên (nếu có) ta sử dụng định lí 4. BÀI TẬP Bài 1. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau: 2 2 x 2 2x a / y ; b / y x 3 x 1 x 2x 1 x x 1 c / y ; d / y x 1 x 1 + = = − − − + + + = = + − Bài 2. Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị của các hàm số sau: Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 7 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 3 2 2 3 2 x 2 x a / y ; b / y x 4x 5 x 1 2 x x 1 c / y x ; d / y x 1 x + = = + − − + + = + = − Bài 3. Tìm m để hàm số 1 y mx x = + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 1 2 Vấn đề 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0 Phương pháp: 1) Tập xác định: D = R 2) Giới hạn: ( ) { 3 2 x neu a 0 lim ax bx cx d neu a 0 →±∞ ±∞ > + + + = ∞ <m 3) Sự biến thiên: * Tìm y’ = 3ax 2 + 2bx + c + Nếu ∆ < 0 (∆ = 0): y’ = 0 vô nghiệm (hoặc có nghiệm kép). Khi đó: * nếu a > 0 thì y’ > 0 (y’ ≥ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số tăng trên R * nếu a < 0 thì y’ < 0 (y’ ≤ 0), ∀x ∈ R ⇒ hàm số giảm trên R + Nếu ∆ > 0 Khi đó y’ = 0 ⇔ 3ax 2 + 2bx + c = 0 ⇔ x = x 1 ⇒ y = y 1 = f(x 1 ) x = x 2 ⇒ y = y 2 = f(x 2 ) (Trong hai nghiệm x 1 , x 2 : y’ trái dấu a; ngoài hai nghiệm x 1 , x 2 : y’ cùng dấu a) Hàm số có hai cực trị Bảng biến thiên : x -∞ +∞ y' dấu của y’ y chiều biến thiên của y 4) Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: * Tìm y” = 6ax + 2b y" = 0 ⇔ 6ax + 2b = 0 ⇔ x = - b 3a ⇒ y = CD CT y y 2 + Nhận xét : Vì ''y đổi dấu khi qua điểm x = - b 3a nên đồ thị hàm số nhận điểm I(- b 3a ; CD CT y y 2 + ) làm điểm uốn. 5) Điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = d * Nếu hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R tìm hai điểm đối xứng qua điểm uốn, thường tìm thêm điểm đối xứng của điểm (0; d) qua điểm uốn. * Nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tìm thêm hai điểm (x 3 ; y 3 ), (x 4 ; y 4 ). với x 3 < x 1 < x u < x 2 < x 4 và x 3 , x 1 , x u , x 2 , x 4 tạo thành cấp số cộng). Nếu a > 0 thì y 2 = y CT , y 1 = y CĐ Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 8 (giả sử x 1 < x 2 ) Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 Nếu a < 0 thì y 2 = y CĐ , y 1 = y CT 6) Đồ thị: * Vẽ hệ trục (có thể chọn đơn vị trên Ox, Oy không cần bằng nhau) * Dựng điểm CĐ, CT (nếu có), điểm uốn. * Dựng các điểm đặc biệt. * Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị. Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên cần vẽ hình sao cho điểm uốn là tâm của hình vẽ và nếu y' = 0 có nghiệm kép (∆ = 0) thì tiếp tuyến tại điểm uốn // Ox. * * * II . KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG: y = ax 4 + bx 2 + c với a ≠ 0 Phương pháp: 1) Tập xác định: D = R. Hàm số đã cho là hàm số chẵn. 2) Giới hạn: { x neua 0 y lim neua 0 →±∞ +∞ > = −∞ < 3) Sự biến thiên: y' = 4ax 3 + 2bx = 4ax 2 b x 2a + A. Trường hợp: * Nếu a.b ≥ 0 Thì 2 b x 0 2a + ≥ , ∀x ∈ R ⇒ y' cùng dấu 4ax ( y' = 0 ⇔ x = 0, (y = c)) Bảng biến thiên Nếu a > 0 Nếu a < 0 x -∞ 0 +∞ x -∞ 0 +∞ y' - 0 + y' + 0 - y +∞ CT +∞ y -∞ CĐ -∞ 4) Tìm điểm uốn của đồ thị: y" = 12ax 2 + 2b luôn cùng dấu a. * Đồ thị hàm số không có điểm uốn. 5) Điểm đặc biệt: Cho x = ± 1 ⇒ y = a + b + c 6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị) B. Trường hợp: *Nếu a, b trái dấu: (a.b < 0) y' = 0 ⇔ 2 b 4ax x 0 2a + = ⇔ x = 0 ⇒ y = c hoặc 1,2 1,2 b x y ? 2a = ± − ⇒ = Bảng biến thiên: x -∞ x 1 0 x 2 +∞ Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 9 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 y' (trái dấu a) 0 (cùng dấu a) 0 (trái dấu a) 0 (cùng dấu a) y chiều biến thiên của y 4) Tìm điểm uốn của đồ thị: * y" = 12ax 2 + 2b y" = 0 ⇔ 12ax 2 + 2b = 0 ⇒ b x 6a = ± − ⇒ y = ? Lập bảng xét dấu của y". Tìm điểm uốn của đồ thị. * Đồ thị hàm số có hai điểm uốn. 5) Điểm đặc biệt: x 0 y c b x a = = ⇒ = ± − 6) Đồ thị: (Dựa vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị) (Có thể chọn đơn vị trên Ox và Oy không cần bằng nhau) Chú ý: Hàm số dạng này là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng nên vẽ đồ thị sao cho thỏa mãn tính chất này. * * * III. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG: ax b y cx d + = + , c ≠ 0, ad - cb ≠ 0 1) Tập xác định: D = R \ d c − 2) Giới hạn, tiệm cận: + Ta có x ( d/c) lim y ± → − = ±∞ ⇒ TCĐ : x = d c − và x a a y TCN :y lim c c →±∞ = ⇒ = 3) Sự biến thiên: ( ) ( ) 2 2 a b c d ad cb y' cx d cx d − = = + + + Nếu ad - cb < 0 ⇒ y' < 0, ∀x ∈ D ⇒ Hàm số giảm trên từng khoảng của D. + Nếu ad - cb > 0 ⇒ y' > 0, ∀x ∈ D ⇒ Hàm số tăng trên từng khoảng của D 4) Bảng biến thiên: Nếu y' < 0 x -∞ -d/c +∞ y' - - y a c -∞ +∞ a c Nếu y' > 0 x -∞ -d/c +∞ Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 10 [...]... 3x 2 + 3 2 d/ y = -x4 + 10x2 - 9 ; Bi 5: Kho sỏt s bin thi n v v th cỏc hm s: a/y= x+3 x +1 ; b/y = x4 x2 c/ y = 3x + 2 x+2 ; d/y= x+2 2x + 1 e/ y = 2x 4 x 3 ; f /y= x + 1 x+2 g/y = x+2 2x + 1 ; h/y= 3x + 1 2x + 2 Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 11 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 * * * Vn 6 TIP TUYN CA TH HM S Phng trỡnh tip tuyn... - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 12 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 Dng 3: Lp phng trỡnh tip tuyn ca th hm s khi bit tung tip im y0 Phng phỏp: Bc 1:Tớnh honh tip im x0 bng cỏch gii phng trỡnh y0 = f ( x0 ) x0 Bc 2: Tớnh y '( x0 ) Bc 3: Th vo phng trỡnh y = y '( x0 ).( x x0 ) + y0 Bi tp 4: Cho hm s y = x 4 + 2x + 3 (C) a.Kho sỏt s bin thi n... S nghim ca phng trỡnh f ( x) = g ( x) bng s giao im ca ( C1 ) v ( C2 ) Bi 1: Cho hm s y = x 3 3x + 1 (C) a Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 15 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 b Bin lun theo k s nghim ca phng trỡnh x 3 + 3x 1 + k = 0 HD: Phng trỡnh x 3 + 3x 1 + k = 0 x3 3x + 1 = k S nghim... bin thi n v v th cỏc hm s: a/ y = x3 - 3x + 2 ; b/ y = 2x3 - 3x2 + 1 1 3 5 3 x3 2x 2 + 3x + 1 3 c/ y = x 3 + x 2 + 3x + ; d/ y = e/ y = x3 + 4x2 + 4x ; f/ y = -x3 + 2x2 - 8x - 1 ; h/ y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 g/y= 1 3 x 2x 2 + 3x 3 Bi 3: Kho sỏt s bin thi n v v th cỏc hm s: ; c/ y = 1 4 1 x + x2 + 2 2 1 1 b / y = x4 x2 + 4 4 ; a / y = x 4 + 3x 2 + 2 d / y = x 4 2x 2 + 1 Bi 4: Kho sỏt s bin thi n... tip tuyn i qua im cho trc Cho hm s y = f ( x) (C) lp phng trỡnh tip tuyn i qua im A( x A ; y A ) ta la chn mt trong hai cỏch sau: Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 13 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 Cỏch 1: Bc 1: ng thng (d) qua A( x A ; y A ) cú phng trỡnh: y = k ( x x A ) + y A Bc 2: (d) tip xỳcvi (C) khi v ch khi h sau cú nghim (1)... trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im un c Mt ng thng i qua gc ta O (0; 0)v im A (2; 2) Tỡm ta cỏc giao im ca th (C) vi ng thng OA Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 14 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 HD : b + im un I (1;1) + y(1) = 3 + Phng trỡnh tip tuyn c + Phng trỡnh ng thng OA y = kx, OA qua A(2; 2) nờn phng trỡnh OA l y = x Phng trỡnh... http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 y' y + + a c + a c - 5) im c bit: b (nu d 0) d b * y = 0 x = (nu a 0) a *x=0 y= Tỡm thờm ta 2 im cú honh i xng qua tim cn ng 6) th: V h trc - V ng tim cn - Dng cỏc im c bit (sao cho mi nhỏnh ca th phi qua hai im) V th (v hỡnh sao cho giao im 2 ng tim cn l tõm ca hỡnh v) Phi chn n v trờn Ox, Oy bng nhau BI TP Bi 1: Kho sỏt s bin thi n v v th cỏc hm... R; a m + n = a m a n (a ) = a a n an ( ) = n b b m n m.n m (a.b) n = a n b n n am = a n 3/ Cho 0 < a, b, c 1; M , N > 0; R Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 16 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 log a a = 1 log a 1 = 0 M = log a M log a N N 1 log a b = log b a log a MN = log a M + log a N log a log a M = log a M log a M = 1 log... Bin i v cựng c s v dng c bn +Bc 1: Tỡm iu kin ca n ó cho (nu cú) +Bc 2: Bin i tng ng v cỏc phng trỡnh , bt phng trỡnh c bn gii Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 17 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 *Chỳ ý: Phng phỏp ny s dng i vi phng trỡnh, bt phng trỡnh m ch cú 1 c s v ch cú 2 s hng 2/ Phng phỏp 2: Lụgarit húa Ly lụgarit c hai v ca... tiờn phi chỳ ý l t iu kin phng trỡnh, bt phng trỡnh cú ngha +Nu c s cha n thỡ K l: c s dng v khỏc 1 +Biu thc di du lụgarit phi dng Nm hc 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 18 Li Vn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyờn ễn Thi Tt Nghip 2013 -2014 1 Phng phỏp 1: Bin i a v cựng c s Bin i a v cựng mt c s, thng c s l hng s sau ú bin i v phng trỡnh , bt phng trỡnh c bn gii 2 Phng phỏp . http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp 2013-2014 Vấn đề 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp tìm các đường tiệm cận (nếu có) của. hoặc không có đạo hàm Năm học 2013 - 2014 http://violet.vn/vanlonghanam 2 Lại Văn Long website: http://violet.vn/vanlonghanam: Chuyên Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp